View source for स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण

{{short description|Probability distribution}}
{{Probability distribution|
  name       =Scaled inverse chi-squared|
  type       =density|
  pdf_image  =[[File:Scaled inverse chi squared.svg|250px]]|
  cdf_image  =[[File:Scaled inverse chi squared cdf.svg|250px]]|
  parameters =<math>\nu > 0\,</math><BR /><math>\tau^2 > 0\,</math> |
  support    =<math>x \in (0, \infty)</math>|
  pdf        =<math>\frac{(\tau^2\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}~
\frac{\exp\left[ \frac{-\nu \tau^2}{2 x}\right]}{x^{1+\nu/2}} </math>|
  cdf        =<math>\Gamma\left(\frac{\nu}{2},\frac{\tau^2\nu}{2x}\right)
\left/\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\right.</math>|
  mean       =<math>\frac{\nu \tau^2}{\nu-2}</math> for <math>\nu >2\,</math>|
  median     =|
  mode       =<math>\frac{\nu \tau^2}{\nu+2}</math>|
  variance   =<math>\frac{2 \nu^2 \tau^4}{(\nu-2)^2 (\nu-4)}</math>for <math>\nu >4\,</math>|
  skewness   =<math>\frac{4}{\nu-6}\sqrt{2(\nu-4)}</math>for <math>\nu >6\,</math>|
  kurtosis   =<math>\frac{12(5\nu-22)}{(\nu-6)(\nu-8)}</math>for <math>\nu >8\,</math>|
  entropy    =<math>\frac{\nu}{2}
\!+\!\ln\left(\frac{\tau^2\nu}{2}\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\right)</math>
<math>\!-\!\left(1\!+\!\frac{\nu}{2}\right)\psi\left(\frac{\nu}{2}\right)</math>|
  mgf        =<math>\frac{2}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(\frac{-\tau^2\nu t}{2}\right)^{\!\!\frac{\nu}{4}}\!\!K_{\frac{\nu}{2}}\left(\sqrt{-2\tau^2\nu t}\right)</math>|
  char       =<math>\frac{2}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(\frac{-i\tau^2\nu t}{2}\right)^{\!\!\frac{\nu}{4}}\!\!K_{\frac{\nu}{2}}\left(\sqrt{-2i\tau^2\nu t}\right)</math>|
}}
'''स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण''' ''x'' = 1/''s<sup>2</sup>'' के लिए वितरण है, जहां s<sup>2</sup> स्वतंत्र [[सामान्य वितरण]] यादृच्छिक चर v के वर्गों का  प्रतिरूप माध्य है जिसका माध्य 0 एवं व्युत्क्रम विचरण 1/σ<sup>2</sup> = τ<sup>2</sup> है। इसलिए वितरण दो मात्राओं ν एवं τ<sup>2</sup> द्वारा परिचालित है, जिसे क्रमशः स्वतंत्रता की ची-वर्ग डिग्री की संख्या एवं स्केलिंग पैरामीटर के रूप में जाना जाता है।

स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का यह परिवार दो अन्य वितरण परिवारों [[व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण]] एवं [[व्युत्क्रम-गामा वितरण]] से निकटता से संबंधित है। व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण की अपेक्षा में, स्केल किए गए वितरण में अतिरिक्त पैरामीटर τ<sup>2</sup> होता है, जो वितरण को क्षैतिज एवं लंबवत रूप से मापता है, जो मूल अंतर्निहित प्रक्रिया के व्युत्क्रम-विचरण का प्रतिनिधित्व करता है। साथ ही, स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण को उनके योग के व्युत्क्रम के अतिरिक्त ν वर्ग विचलन के माध्य के व्युत्क्रम के वितरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इस प्रकार दोनों वितरणों में यह संबंध है कि यदि
:<math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, \tau^2)</math> तब <math> \frac{X}{\tau^2 \nu} \sim \mbox{inv-}\chi^2(\nu)</math> होता है।
व्युत्क्रम गामा वितरण की अपेक्षा में, स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण समान डेटा वितरण का वर्णन करता है, परन्तु भिन्न [[सांख्यिकीय पैरामीटर]] का उपयोग करता है, जो कुछ परिस्थितियों में अधिक सुविधाजनक हो सकता है। विशेष रूप से, यदि
:<math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, \tau^2)</math> तब <math>X \sim \textrm{Inv-Gamma}\left(\frac{\nu}{2}, \frac{\nu\tau^2}{2}\right)</math> होता है।
किसी भी रूप का उपयोग  निश्चित प्रथम व्युत्क्रम [[क्षण (गणित)]] के लिए [[अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण]], वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। <math>(E(1/X))</math> एवं प्रथम लघुगणक क्षण <math>(E(\ln(X))</math> है।

स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का बायेसियन सांख्यिकी में भी विशेष उपयोग होता है, जो x = 1/s<sup>2</sup> के लिए पूर्वानुमानित वितरण के रूप में इसके उपयोग से कुछ सीमा तक असंबंधित है। विशेष रूप से, स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का उपयोग सामान्य वितरण के विचरण पैरामीटर के लिए संयुग्म पूर्व के रूप में किया जा सकता है। इस संदर्भ में स्केलिंग पैरामीटर को τ<sup>2</sup> के अतिरिक्त σ<sub>0</sub><sup>2</sup> द्वारा दर्शाया गया है, एवं इसकी  भिन्न व्याख्या है। इसके अतिरिक्त एप्लिकेशन को सामान्यतः व्युत्क्रम-गामा वितरण फॉर्मूलेशन का उपयोग करके प्रस्तुत किया गया है; चूँकि, कुछ लेखक, विशेष रूप से गेलमैन एट अल (1995/2004) का अनुसरण कर रहे हैं जिसका तर्क है कि व्युत्क्रम ची-स्क्वेर्ड पैरामीट्रिज़ेशन अधिक सहज है।

==विशेषता==
स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण की संभाव्यता घनत्व फलन डोमेन <math>x>0</math> पर विस्तृत है  एवं 

:<math> 
f(x; \nu, \tau^2)=
\frac{(\tau^2\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}~
\frac{\exp\left[ \frac{-\nu \tau^2}{2 x}\right]}{x^{1+\nu/2}}
</math> है,
जहाँ <math>\nu</math> [[स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)]] पैरामीटर है एवं <math>\tau^2</math> [[स्केल पैरामीटर]] है, संचयी वितरण फलन 

:<math>F(x; \nu, \tau^2)=
\Gamma\left(\frac{\nu}{2},\frac{\tau^2\nu}{2x}\right)
\left/\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)\right.</math>
:<math>=Q\left(\frac{\nu}{2},\frac{\tau^2\nu}{2x}\right)</math> है,
जहाँ <math>\Gamma(a,x)</math> अधूरा गामा फलन है, <math>\Gamma(x)</math> [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] है एवं <math>Q(a,x)</math>  [[नियमित गामा फ़ंक्शन|नियमित गामा फलन]] है। विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) है

:<math>\varphi(t;\nu,\tau^2)=</math>
:<math>\frac{2}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(\frac{-i\tau^2\nu t}{2}\right)^{\!\!\frac{\nu}{4}}\!\!K_{\frac{\nu}{2}}\left(\sqrt{-2i\tau^2\nu t}\right) ,</math>
जहाँ <math>K_{\frac{\nu}{2}}(z)</math> दूसरे प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है।

==पैरामीटर अनुमान==
<math>\tau^2</math> की [[अधिकतम संभावना अनुमान]]  

:<math>\tau^2 = n/\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}</math> है,
<math>\frac{\nu}{2}</math> की अधिकतम संभावना अनुमान  न्यूटन की विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है:

:<math>\ln\left(\frac{\nu}{2}\right) - \psi\left(\frac{\nu}{2}\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln\left(x_i\right) - \ln\left(\tau^2\right) ,</math>
जहाँ <math>\psi(x)</math> [[डिगामा फ़ंक्शन|डिगामा फलन]] है। माध्य का सूत्र लेकर एवं इसका निवारण करके प्रारंभिक अनुमान <math>\nu</math> प्राप्त किया जा सकता है। <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math> प्रतिरूप माध्य हो, फिर  प्रारंभिक अनुमान <math>\nu</math> द्वारा दिया गया है:

:<math>\frac{\nu}{2} = \frac{\bar{x}}{\bar{x} - \tau^2}</math> है।


==सामान्य वितरण के विचरण का बायेसियन अनुमान==

सामान्य वितरण के विचरण के बायेसियन अनुमान में स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण का दूसरा महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

बेयस प्रमेय के अनुसार, ब्याज की मात्राओं के लिए [[पश्च संभाव्यता वितरण]], मात्राओं एवं  संभावना फलन के लिए [[पूर्व वितरण]] के उत्पाद के समानुपाती होता है:
:<math>p(\sigma^2|D,I) \propto p(\sigma^2|I) \; p(D|\sigma^2)</math> जहां D डेटा का प्रतिनिधित्व करता है एवं I σ के बारे में किसी प्रारंभिक जानकारी का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2</sup>जो हमारे पास पनिवारणे से ही हो सकता है।

सबसे सरल परिदृश्य तब उत्पन्न होता है जब माध्य μ पनिवारणे से ही ज्ञात हो; या, वैकल्पिक रूप से, यदि यह σ की सशर्त संभावना है<sup>2</sup>जो कि μ के  विशेष कल्पित मान के लिए मांगा गया है।

तब संभाव्यता पद L(σ)<sup>2</sup>|D) = p(D|p<sup>2</sup>) का परिचित रूप है
:<math>\mathcal{L}(\sigma^2|D,\mu) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\sigma\right)^n} \; \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]</math>
इसे रीस्केलिंग-इनवेरिएंट पूर्व p(σ) के साथ संयोजित करना<sup>2</sup>|I) = 1/s<sup>2</sup>, जिसके बारे में तर्क दिया जा सकता है (उदाहरण के लिए मानक विचलन पैरामीटर के साथ जेफरीज़ पूर्व#गॉसियन वितरण) σ के लिए पूर्व संभव सबसे कम जानकारीपूर्ण है<sup>2</sup>इस समस्या में,  संयुक्त पश्चवर्ती संभावना देता है
:<math>p(\sigma^2|D, I, \mu) \propto \frac{1}{\sigma^{n+2}} \; \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]</math>
इस फॉर्म को स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण के रूप में पहचाना जा सकता है, पैरामीटर ν = n एवं τ के साथ<sup>2</sup>=s<sup>2</sup> = (1/n) Σ (x<sub>i</sub>-एम)<sup>2</sup>

गेलमैन एट अल की टिप्पणी है कि इस वितरण की पुन: उपस्थिति, जिसे पनिवारणे प्रतिरूप संदर्भ में देखा गया था, उल्लेखनीय लग सकता है; परन्तु पनिवारणे के विकल्प को देखते हुए परिणाम आश्चर्यजनक नहीं है।<ref>Gelman ''et al'' (1995), ''Bayesian Data Analysis'' (1st ed), p.68</ref>
विशेष रूप से, σ के लिए पनिवारणे  रीस्केलिंग-इनवेरिएंट का विकल्प<sup>2</sup> का परिणाम यह है कि σ के अनुपात की संभावना है<sup>2</sup>/s<sup>2</sup> का रूप समान होता है (कंडीशनिंग चर से स्वतंत्र) जब एस पर वातानुकूलित किया जाता है<sup>2</sup>जैसे कि जब σ पर वातानुकूलित किया जाता है<sup>2</sup>:

:<math>p(\tfrac{\sigma^2}{s^2}|s^2) = p(\tfrac{\sigma^2}{s^2}|\sigma^2)</math>
प्रतिरूप-सिद्धांत मामले में, σ पर वातानुकूलित<sup>2</sup>, (1/एस) के लिए संभाव्यता वितरण<sup>2</sup>)  स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है; एवं इसलिए σ के लिए संभाव्यता वितरण<sup>2</sup>एस पर वातानुकूलित<sup>2</sup>, जिसे स्केल-अज्ञेयवादी पूर्व दिया गया है,  स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण भी है।

=== पूर्व सूचनात्मक के रूप में उपयोग करें ===
यदि σ के संभावित मूल्यों के बारे में अधिक जानकारी है<sup>2</sup>, स्केल्ड व्युत्क्रम ची-स्क्वायर परिवार से  वितरण, जैसे स्केल-इनव-χ<sup>2</sup>(एन<sub>0</sub>, एस<sub>0</sub><sup>2</sup>) σ के लिए अधिक जानकारीपूर्ण पूर्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए  सुविधाजनक रूप हो सकता है<sup>2</sup>, मानो n के परिणाम से<sub>0</sub> पिछले अवलोकन (चूँकि n<sub>0</sub> आवश्यक नहीं कि पूर्ण संख्या हो):
:<math>p(\sigma^2|I^\prime, \mu) \propto \frac{1}{\sigma^{n_0+2}} \; \exp \left[ -\frac{n_0 s_0^2}{2\sigma^2} \right]</math>
इस तरह के पूर्व से पश्चवर्ती वितरण को बढ़ावा मिलेगा
:<math>p(\sigma^2|D, I^\prime, \mu) \propto \frac{1}{\sigma^{n+n_0+2}} \; \exp \left[ -\frac{ns^2 + n_0 s_0^2}{2\sigma^2} \right]</math>
जो स्वयं  स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है। इस प्रकार स्केल किए गए व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण σ के लिए  सुविधाजनक संयुग्मित पूर्व परिवार हैं<sup>2</sup>अनुमान.

=== माध्य अज्ञात होने पर विचरण का अनुमान ===

यदि माध्य ज्ञात नहीं है, तो इसके लिए जो सबसे असूचनात्मक पूर्व लिया जा सकता है, वह संभवतः अनुवाद-अपरिवर्तनीय पूर्व p(μ|I) ∝ स्थिरांक है, जो μ एवं σ के लिए निम्नलिखित संयुक्त पश्च वितरण देता है।<sup>2</sup>,
:<math>
\begin{align}
p(\mu, \sigma^2 \mid D, I) & \propto \frac{1}{\sigma^{n+2}} \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right] \\
      & = \frac{1}{\sigma^{n+2}} \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2} \right] \exp \left[ -\frac{n(\mu -\bar{x})^2}{2\sigma^2} \right]
\end{align}
</math>
σ के लिए सीमांत पश्च वितरण<sup>2</sup>μ पर ीकृत करके संयुक्त पश्च वितरण से प्राप्त किया जाता है,
:<math>\begin{align}
p(\sigma^2|D, I) \; \propto \; & \frac{1}{\sigma^{n+2}} \; \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2} \right] \; \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left[ -\frac{n(\mu -\bar{x})^2}{2\sigma^2} \right] d\mu\\
      = \; & \frac{1}{\sigma^{n+2}} \; \exp \left[ -\frac{\sum_i^n(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2} \right] \; \sqrt{2 \pi \sigma^2 / n} \\
      \propto \; & (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \; \exp \left[ -\frac{(n-1)s^2}{2\sigma^2} \right]
\end{align}</math>
यह फिर से मापदंडों के साथ  स्केल्ड व्युत्क्रम ची-वर्ग वितरण है <math>\scriptstyle{n-1}\;</math> एवं <math>\scriptstyle{s^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2/(n-1)}</math>.

==संबंधित वितरण==
* अगर <math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, \tau^2)</math> तब <math> k X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, k \tau^2)\, </math>
* अगर <math>X \sim \mbox{inv-}\chi^2(\nu) \, </math> (उलटा-ची-वर्ग वितरण) तो <math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, 1/\nu) \,</math>
* अगर <math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, \tau^2)</math> तब <math> \frac{X}{\tau^2 \nu} \sim \mbox{inv-}\chi^2(\nu) \, </math> (व्युत्क्रम-ची-वर्ग वितरण)
* अगर <math>X \sim \mbox{Scale-inv-}\chi^2(\nu, \tau^2)</math> तब <math>X \sim \textrm{Inv-Gamma}\left(\frac{\nu}{2}, \frac{\nu\tau^2}{2}\right)</math> (उलटा-गामा वितरण)
* स्केल्ड व्युत्क्रम ची वर्ग वितरण टाइप 5 [[पियर्सन वितरण]] का  विशेष मामला है

== संदर्भ ==
* Gelman A. ''et al'' (1995), ''Bayesian Data Analysis'', pp 474–475; also pp 47, 480
{{reflist}}

{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}

{{DEFAULTSORT:Scaled-Inverse-Chi-Squared Distribution}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: घातीय पारिवारिक वितरण]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 07/07/2023]]