View source for अभिलक्षणिक बहुपद

{{Use American English|date = April 2019}}
{{short description|Polynomial whose roots are the eigenvalues of a matrix}}
{{About|the characteristic polynomial of a matrix or of an endomorphism of vector spaces|the characteristic polynomial of a matroid|Matroid|that of a graded poset|Graded poset}}

रैखिक बीजगणित में, एक [[वर्ग मैट्रिक्स]] का विशिष्ट [[बहुपद]] एक बहुपद होता है जो [[मैट्रिक्स समानता]] के तहत अपरिवर्तनीय होता है और बहुपद के मूल के रूप में स्वदेशी मान होता है। इसके गुणांकों के बीच मैट्रिक्स का निर्धारक और [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है। एक परिमित-आयामी [[सदिश स्थल]] के [[एंडोमोर्फिज्म]] का विशेषता बहुपद किसी भी आधार पर उस एंडोमोर्फिज्म के मैट्रिक्स का विशेषता बहुपद है (अर्थात, विशेषता बहुपद एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की पसंद पर निर्भर नहीं करता है)। विशेषता समीकरण, जिसे निर्धारक समीकरण के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{cite book |last=Guillemin |first=Ernst |title=परिचयात्मक सर्किट सिद्धांत|author-link=Ernst_Guillemin |date=1953 |url=https://archive.org/details/introductorycirc0000guil |publisher=Wiley |pages=366, 541 |isbn=0471330663}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Forsythe |first1=George E. |last2=Motzkin |first2=Theodore |date=January 1952 |title=रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की स्थिति में सुधार के लिए गॉस परिवर्तन का विस्तार|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-1952-0048162-0/S0025-5718-1952-0048162-0.pdf |journal=American Mathematical Society – Mathematics of Computation |volume=6 |issue=37 |pages=18–34 |doi=10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 |access-date=3 October 2020|doi-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |last=Frank |first=Evelyn |date=1946 |title=सम्मिश्र गुणांक वाले बहुपदों के शून्यकों पर|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=52 |issue=2 |pages=144–157 |doi=10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 |doi-access=free }}</ref> विशेषता बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त समीकरण है।

[[वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत]] में, एक ग्राफ़ (असतत गणित) का विशेषता बहुपद इसके आसन्न मैट्रिक्स का विशेषता बहुपद है।<ref>{{cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/CharacteristicPolynomial.html
| title = Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld
|access-date = August 26, 2011}}</ref>


==प्रेरणा==
रैखिक बीजगणित में, eigenvalues और eigenvectors एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि, एक [[रैखिक परिवर्तन]] को देखते हुए, एक eigenvector एक वेक्टर होता है जिसकी दिशा परिवर्तन से नहीं बदलती है, और संबंधित eigenvalue वेक्टर के परिमाण के परिणामी परिवर्तन का माप है।

अधिक सटीक रूप से, यदि परिवर्तन को एक वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है <math>A,</math> एक eigenvector <math>\mathbf{v},</math> और संबंधित eigenvalue <math>\lambda</math> समीकरण को संतुष्ट करना होगा
<math display=block>A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},</math>
या, समकक्ष,
<math display=block>(\lambda I - A) \mathbf{v} = 0</math>
कहाँ <math>I</math> पहचान मैट्रिक्स है, और <math>\mathbf{v}\ne \mathbf{0}</math>
(हालांकि शून्य वेक्टर प्रत्येक के लिए इस समीकरण को संतुष्ट करता है <math>\lambda,</math> इसे आइजेनवेक्टर नहीं माना जाता है)।

यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स <math>(\lambda I - A)</math> [[एकवचन मैट्रिक्स]] और उसका निर्धारक होना चाहिए
<math display=block>\det(\lambda I - A) = 0</math>
शून्य होना चाहिए.

दूसरे शब्दों में, के eigenvalues {{mvar|A}} किसी फ़ंक्शन के शून्य हैं
 <math display=block>\det(xI - A),</math>
जो कि एक [[राक्षसी बहुपद]] है {{mvar|x}} डिग्री का {{mvar|n}} अगर {{mvar|A}} एक है {{math|''n''×''n''}} आव्यूह। यह बहुपद का अभिलाक्षणिक बहुपद है {{mvar|A}}.

==औपचारिक परिभाषा==

एक पर विचार करें <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A.</math> की विशेषता बहुपद <math>A,</math> द्वारा चिह्नित <math>p_A(t),</math> द्वारा परिभाषित बहुपद है<ref>{{Cite book|title=उन्नत रैखिक बीजगणित|author=Steven Roman |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2 |isbn=3540978372 |edition=2 |year=1992 |publisher=Springer |page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2/page/n142 137]}}</ref>
<math display=block>p_A(t) = \det (t I - A)</math>
कहाँ <math>I</math> को दर्शाता है <math>n \times n</math> शिनाख्त सांचा।

कुछ लेखक विशिष्ट बहुपद को परिभाषित करते हैं <math>\det(A - t I).</math> वह बहुपद यहाँ चिन्ह द्वारा परिभाषित बहुपद से भिन्न है <math>(-1)^n,</math> इसलिए इससे मूल के रूप में eigenvalues जैसे गुणों पर कोई फर्क नहीं पड़ता <math>A</math>; हालाँकि ऊपर दी गई परिभाषा सदैव एक राक्षसी बहुपद देती है, जबकि वैकल्पिक परिभाषा केवल एक राक्षसी बहुपद देती है <math>n</math> सम है।

==उदाहरण==

मैट्रिक्स के अभिलक्षणिक बहुपद की गणना करना
<math display=block>A = \begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.
</math>
निम्नलिखित के निर्धारक की गणना की जाती है:
<math display=block>t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t-0
\end{pmatrix}
</math> और पाया गया <math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!,</math> की विशेषता बहुपद <math>A.</math>
एक अन्य उदाहरण अतिशयोक्तिपूर्ण कोण φ के [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों का उपयोग करता है।
मैट्रिक्स के लिए ले लो
<math display=block>A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.</math>
इसका अभिलक्षणिक बहुपद है
<math display=block>\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).</math>


==गुण==

विशेषता बहुपद <math>p_A(t)</math> एक का <math>n \times n</math> मैट्रिक्स मोनिक है (इसका अग्रणी गुणांक है <math>1</math>) और इसकी डिग्री है <math>n.</math> विशिष्ट बहुपद के बारे में सबसे महत्वपूर्ण तथ्य प्रेरक पैराग्राफ में पहले ही उल्लेख किया गया था: के eigenvalues <math>A</math> के कार्यों का मूल रूप से मूल हैं <math>p_A(t)</math> (यह [[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]] के लिए भी लागू होता है <math>A,</math> लेकिन इसकी डिग्री इससे कम हो सकती है <math>n</math>). विशेषता बहुपद के सभी गुणांक मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में [[बहुपद अभिव्यक्ति]] हैं। विशेषकर इसका स्थिर गुणांक <math>p_A(0)</math> है <math>\det(-A) = (-1)^n \det(A),</math> का गुणांक <math>t^n</math> एक है, और का गुणांक <math>t^{n-1}</math> है {{math|1=tr(−''A'') = −tr(''A'')}}, कहाँ {{math|tr(''A'')}} का [[ट्रेस (मैट्रिक्स)]] है <math>A.</math> (यहां दिए गए संकेत पिछले अनुभाग में दी गई औपचारिक परिभाषा के अनुरूप हैं;<ref>Proposition 28 in these [http://users.math.yale.edu/~tl292/teaching/math225/notes/week10.pdf lecture notes]{{dead link|date=November 2016 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> वैकल्पिक परिभाषा के लिए इसके बजाय ये होंगे <math>\det(A)</math> और {{math|(−1)<sup>''n'' – 1 </sup>tr(''A'')}} क्रमश।<ref>Theorem 4 in these [https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/115a.3.02f/week8.pdf lecture notes]</ref>)

एक के लिए <math>2 \times 2</math> आव्यूह <math>A,</math> अभिलक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है
<math display=block>t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).</math>
बाह्य बीजगणित की भाषा का उपयोग करते हुए, एक का अभिलक्षणिक बहुपद <math>n \times n</math> आव्यूह <math>A</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display=block>p_A (t) = \sum_{k=0}^n t^{n-k} (-1)^k \operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right)</math>
कहाँ <math display="inline">\operatorname{tr}\left(\bigwedge^k A\right)</math> का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है <math>k</math>वें बाहरी बीजगणित#कार्यात्मकता <math>A,</math> जिसका आयाम है <math display="inline">\binom {n}{k}.</math> इस ट्रेस की गणना सभी प्रमुख अवयस्कों के योग के रूप में की जा सकती है <math>A</math> आकार का <math>k.</math> पुनरावर्ती फ़ैडीव-लेवेरियर एल्गोरिदम इन गुणांकों की अधिक कुशलता से गणना करता है।

जब गुणांकों का क्षेत्र (गणित) का लक्षण (बीजगणित) होता है <math>0,</math> ऐसे प्रत्येक ट्रेस की वैकल्पिक रूप से एकल निर्धारक के रूप में गणना की जा सकती है <math>k \times k</math> आव्यूह,
<math display=block>\operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right) = \frac{1}{k!}  
\begin{vmatrix}  \operatorname{tr}A  &   k-1 &0&\cdots &0 \\
\operatorname{tr}A^2  &\operatorname{tr}A&  k-2 &\cdots &0 \\
 \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots    \\
\operatorname{tr}A^{k-1} &\operatorname{tr}A^{k-2}& & \cdots & 1    \\ 
\operatorname{tr}A^k  &\operatorname{tr}A^{k-1}& & \cdots & \operatorname{tr}A
\end{vmatrix} ~.</math>
केली-हैमिल्टन प्रमेय बताता है कि प्रतिस्थापित करना <math>t</math> द्वारा <math>A</math> विशिष्ट बहुपद में (परिणामी शक्तियों को मैट्रिक्स शक्तियों और स्थिर पद के रूप में व्याख्या करना <math>c</math> जैसा <math>c</math> पहचान मैट्रिक्स का गुणा) शून्य मैट्रिक्स उत्पन्न करता है। अनौपचारिक रूप से कहें तो, प्रत्येक मैट्रिक्स अपने स्वयं के विशिष्ट समीकरण को संतुष्ट करता है। यह कथन यह कहने के बराबर है कि न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)। <math>A</math> के गुणधर्म बहुपद को विभाजित करता है <math>A.</math>
दो समान आव्यूहों का अभिलक्षणिक बहुपद समान होता है। हालाँकि, इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है: समान विशेषता बहुपद वाले दो आव्यूहों का समान होना आवश्यक नहीं है।

गणित का सवाल <math>A</math> और इसके स्थानान्तरण में समान विशेषता बहुपद है। <math>A</math> एक [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] के समान है यदि और केवल तभी जब इसके विशिष्ट बहुपद को पूरी तरह से रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सके <math>K</math> (विशेष बहुपद के बजाय न्यूनतम बहुपद के साथ भी यही सच है)। इस मामले में <math>A</math> [[जॉर्डन सामान्य रूप]] में एक मैट्रिक्स के समान है।

==दो आव्यूहों के गुणनफल का अभिलक्षणिक बहुपद==

अगर <math>A</math> और <math>B</math> दो वर्ग हैं <math>n \times n</math> आव्यूह फिर अभिलाक्षणिक बहुपद <math>AB</math> और <math>BA</math> संयोग:
 <math display=block>p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,</math>
कब <math>A</math> [[गैर-एकवचन मैट्रिक्स]] है|गैर-एकवचन यह परिणाम इस तथ्य से निकलता है <math>AB</math> और <math>BA</math> समान आव्यूह हैं:
<math display=block>BA = A^{-1} (AB) A.</math>
उस मामले के लिए जहां दोनों <math>A</math> और <math>B</math> एकवचन हैं, वांछित पहचान बहुपदों के बीच समानता है <math>t</math> और आव्यूहों के गुणांक। इस प्रकार, इस समानता को साबित करने के लिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि यह सभी गुणांकों के स्थान के एक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय (सामान्य [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए, या, अधिक सामान्यतः, [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] के लिए) पर सत्यापित है। चूँकि गैर-एकवचन आव्यूह सभी आव्यूहों के स्थान का एक [[खुला उपसमुच्चय]] बनाते हैं, यह परिणाम को सिद्ध करता है।

अधिक सामान्यतः, यदि <math>A</math> आदेश का एक मैट्रिक्स है <math>m \times n</math> और <math>B</math> आदेश का एक मैट्रिक्स है <math>n \times m,</math> तब <math>AB</math> है <math>m \times m</math> और <math>BA</math> है <math>n \times n</math> मैट्रिक्स, और एक के पास है
<math display=block>p_{BA}(t) = t^{n-m} p_{AB}(t).\,</math>
इसे साबित करने के लिए कोई मान सकता है <math>n > m,</math> यदि आवश्यक हो तो आदान-प्रदान करके, <math>A</math> और <math>B.</math> फिर, बॉर्डरिंग करके <math>A</math> द्वारा तल पर <math>n - m</math> शून्य की पंक्तियाँ, और <math>B</math> दाईं ओर, द्वारा, <math>n - m</math> शून्य के स्तंभ, एक को दो मिलते हैं <math>n \times n</math> मैट्रिक्स <math>A^{\prime}</math> और <math>B^{\prime}</math> ऐसा है कि <math>B^{\prime}A^{\prime} = BA</math> और <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> के बराबर है <math>AB</math> द्वारा सीमाबद्ध <math>n - m</math> शून्य की पंक्तियाँ और स्तंभ. परिणाम वर्ग आव्यूहों के मामले से, के विशिष्ट बहुपदों की तुलना करके प्राप्त होता है <math>A^{\prime}B^{\prime}</math> और <math>AB.</math>


==ए का अभिलक्षणिक बहुपद<sup>क</sup>==

अगर <math>\lambda</math> एक वर्ग मैट्रिक्स का एक eigenvalue है <math>A</math> eigenvector के साथ <math>\mathbf{v},</math> तब <math>\lambda^k</math> का एक प्रतिरूप है <math>A^k</math> क्योंकि
<math display=block>A^k \textbf{v} = A^{k-1} A \textbf{v} = \lambda A^{k-1} \textbf{v} = \dots = \lambda^k \textbf{v}.</math>
बहुलताओं को सहमत होते हुए भी दिखाया जा सकता है, और यह इसके स्थान पर किसी भी बहुपद का सामान्यीकरण करता है <math>x^k</math>:<ref>{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=मैट्रिक्स विश्लेषण| publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54823-6 | year=2013 |edition=2nd|at=pp. 108–109, Section 2.4.2}}</ref>
{{math theorem 
  | name = Theorem
  | Let <math>A</math> be a square <math>n \times n</math> matrix and let <math>f(t)</math> be a polynomial. If the characteristic polynomial of <math>A</math> has a factorization
<math display=block>p_A(t) = (t - \lambda_1) (t - \lambda_2) \cdots (t-\lambda_n)</math>
then the characteristic polynomial of the matrix <math>f(A)</math> is given by
<math display=block>p_{f(A)}(t) = (t - f(\lambda_1)) (t - f(\lambda_2)) \cdots (t-f(\lambda_n)).</math>
}}
अर्थात् बीजगणितीय बहुलता <math>\lambda</math> में <math>f(A)</math> के बीजगणितीय गुणन के योग के बराबर है <math>\lambda'</math> में <math>A</math> ऊपर <math>\lambda'</math> ऐसा है कि <math>f(\lambda') = \lambda.</math> विशेष रूप से, <math>\operatorname{tr}(f(A)) = \textstyle\sum_{i=1}^n f(\lambda_i)</math> और <math>\operatorname{det}(f(A)) = \textstyle\prod_{i=1}^n f(\lambda_i).</math> यहाँ एक बहुपद है <math>f(t) = t^3+1,</math> उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स पर मूल्यांकन किया जाता है <math>A</math> बस के रूप में <math>f(A) = A^3+I.</math> प्रमेय किसी भी क्षेत्र या [[क्रमविनिमेय वलय]] पर आव्यूहों और बहुपदों पर लागू होता है।<ref>{{Cite book |last=Lang |first=Serge |url=https://www.worldcat.org/oclc/852792828 |title=बीजगणित|publisher=Springer |year=1993 |isbn=978-1-4613-0041-0 |location=New York |oclc=852792828|at=p.567, Theorem 3.10}}</ref>
हालाँकि, यह धारणा <math>p_A(t)</math> रैखिक कारकों में गुणनखंडन हमेशा सत्य नहीं होता है, जब तक कि मैट्रिक्स जटिल संख्याओं जैसे बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर न हो।

{{math proof|proof=
This proof only applies to matrices and polynomials over complex numbers (or any algebraically closed field).
In that case, the characteristic polynomial of any square matrix can be always factorized as 
<math display=block>p_A(t) = \left(t - \lambda_1\right) \left(t - \lambda_2\right) \cdots \left(t - \lambda_n\right)</math>
where <math>\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n</math> are the eigenvalues of <math>A,</math> possibly repeated. 
Moreover, the [[Jordan normal form|Jordan decomposition theorem]] guarantees that any square matrix <math>A</math> can be decomposed as <math>A = S^{-1} U S,</math> where <math>S</math> is an [[invertible matrix]] and <math>U</math> is [[upper triangular]]
with <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> on the diagonal (with each eigenvalue repeated according to its algebraic multiplicity).
(The Jordan normal form has stronger properties, but these are sufficient; alternatively the [[Schur decomposition]] can be used, which is less popular but somewhat easier to prove).

Let <math display="inline">f(t) = \sum_i \alpha_i t^i.</math> 
Then 
<math display=block>f(A) = \textstyle\sum \alpha_i (S^{-1} U S)^i = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U S S^{-1} U S \cdots S^{-1} U S = \textstyle\sum \alpha_i S^{-1} U^i S = S^{-1} (\textstyle\sum \alpha_i U^i) S = S^{-1} f(U) S.</math> 
For an upper triangular matrix <math>U</math> with diagonal <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n,</math> the matrix <math>U^i</math> is upper triangular with diagonal <math>\lambda_1^i,\dots,\lambda_n^i</math> in <math>U^i,</math> 
and hence <math>f(U)</math> is upper triangular with diagonal <math>f\left(\lambda_1\right), \dots, f\left(\lambda_n\right).</math> 
Therefore, the eigenvalues of <math>f(U)</math> are <math>f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n).</math> 
Since <math>f(A) = S^{-1} f(U) S</math> is [[Similar matrix|similar]] to <math>f(U),</math> it has the same eigenvalues, with the same algebraic multiplicities.
}}

==धर्मनिरपेक्ष कार्य और धर्मनिरपेक्ष समीकरण==

===धर्मनिरपेक्ष कार्य===

धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द का प्रयोग उस चीज़ के लिए किया गया है जिसे अब ''विशेषता बहुपद'' कहा जाता है (कुछ साहित्य में धर्मनिरपेक्ष फलन शब्द अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यह शब्द इस तथ्य से आया है कि [[जोसेफ लुई लैग्रेंज]] के दोलन सिद्धांत के अनुसार, विशेषता बहुपद का उपयोग ग्रहों की कक्षाओं की [[धर्मनिरपेक्ष घटना]]ओं (एक सदी के समय के पैमाने पर, यानी वार्षिक गति की तुलना में धीमी) की गणना करने के लिए किया गया था।

===धर्मनिरपेक्ष समीकरण===
धर्मनिरपेक्ष समीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं.

* रैखिक बीजगणित में इसका प्रयोग कभी-कभी अभिलाक्षणिक समीकरण के स्थान पर किया जाता है।
* [[खगोल]] विज्ञान में यह किसी ग्रह की गति में असमानताओं के परिमाण की बीजगणितीय या संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जो एक छोटी अवधि की असमानताओं की अनुमति के बाद बनी रहती है।<ref>{{cite web
| url = http://dict.die.net/secular%20equation/
| title = secular equation
|access-date = January 21, 2010}}</ref>
* इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा और उसके तरंग कार्य से संबंधित [[आणविक कक्षीय]] गणनाओं में विशेषता समीकरण के स्थान पर भी इसका उपयोग किया जाता है।

==सामान्य साहचर्य बीजगणित के लिए==
मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद की उपरोक्त परिभाषा <math>A \in M_n(F)</math> किसी फ़ील्ड में प्रविष्टियों के साथ <math>F</math> जब मामले में कोई बदलाव किए बिना सामान्यीकरण किया जाता है <math>F</math> केवल एक क्रमविनिमेय वलय है। {{harvtxt|Garibaldi|2004}} एक क्षेत्र पर एक मनमाना परिमित-आयामी ([[साहचर्य बीजगणित]], लेकिन जरूरी नहीं कि क्रमविनिमेय) बीजगणित के तत्वों के लिए विशेषता बहुपद को परिभाषित करता है <math>F</math> और इस व्यापकता में चारित्रिक बहुपद के मानक गुणों को सिद्ध करता है।

==यह भी देखें==

* [[विशेषता समीकरण (बहुविकल्पी)]]
* [[टेंसर के अपरिवर्तनीय]]
* [[सहयोगी मैट्रिक्स]]
* फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
* केली-हैमिल्टन प्रमेय
* सैमुएलसन-बर्कोविट्ज़ एल्गोरिथम

==संदर्भ==

{{reflist}}

* T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) ''Basic Linear Algebra'', p 149, Springer {{ISBN|3-540-76122-5}} .
* John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) ''Linear Algebra'' 2nd edition, p 246, [[Addison-Wesley]] {{ISBN|0-201-11949-8}} .
* {{Citation|last=Garibaldi|first=Skip|author-link=Skip Garibaldi|title=The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions|journal=American Mathematical Monthly|volume=111|year=2004|issue=9|pages=761&ndash;778|doi=10.2307/4145188|jstor=4145188|mr=2104048|arxiv=math/0203276}}
* Werner Greub (1974) ''Linear Algebra'' 4th edition, pp 120&ndash;5, Springer, {{ISBN|0-387-90110-8}} .
* Paul C. Shields (1980) ''Elementary Linear Algebra'' 3rd edition, p 274, [[Worth Publishers]] {{ISBN|0-87901-121-1}} .
* [[Gilbert Strang]] (1988) ''Linear Algebra and Its Applications'' 3rd edition, p 246, [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-15-551005-3}} .
[[Category: बहुपदों]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: टेंसर]] 



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