View source for विभेदन नियम

{{Short description|Rules for computing derivatives of functions}}
{{Calculus |Differential}}

यह अवकलन नियमों का सारांश है, अर्थात कलन में किसी फलन (गणित) के अवकलज की [[गणना]] के नियम।

== विभेदन के प्राथमिक नियम ==

जब तक अन्यथा न कहा जाए, सभी फलन वास्तविक संख्या के फलन हैं। वास्तविक संख्या (आर) जो वास्तविक मान लौटाते हैं; हालांकि अधिक आम तौर पर, नीचे दिए गए सूत्र उन सभी जगहों पर लागू होते हैं जहां वे [[अच्छी तरह से परिभाषित]] होते हैं<ref>''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, {{ISBN|978-0-07-150861-2}}.</ref><ref>''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, {{ISBN|978-0-07-162366-7}}.</ref> - जटिल संख्या के मामले सहित | जटिल संख्या (सी)।<ref>''Complex Variables'', M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, {{ISBN|978-0-07-161569-3}}</ref>


===स्थिर पद नियम===
के किसी भी मूल्य के लिए <math>c</math>, कहाँ <math>c \in \mathbb{R}</math>, अगर <math>f(x)</math> द्वारा दिया गया निरंतर कार्य है <math>f(x) = c</math>, तब <math>\frac{df}{dx} = 0</math>.<ref>{{cite web |title=विभेदीकरण नियम|url=https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/11/assignments/47/6 |website=University of Waterloo - CEMC Open Courseware |access-date=3 May 2022}}</ref>


== प्रमाण ==
होने देना <math>c \in \mathbb{R}</math> और <math>f(x) = c</math>. व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार,

:<math>\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(c) - (c)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
&= 0
\end{align}</math>
यह दर्शाता है कि किसी स्थिर फलन का अवकलज 0 होता है।

===विभेद रैखिक=== है
{{main|Linearity of differentiation}}

किसी भी समारोह के लिए <math>f</math> और <math>g</math> और कोई भी वास्तविक संख्या <math>a</math> और <math>b</math>, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न <math>h(x) = af(x) + bg(x)</math> इसके संबंध में <math>x</math> है: <math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x).</math>
लीबनिज के अंकन में इसे इस प्रकार लिखा गया है:
<math display="block"> \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.</math>
विशेष मामलों में शामिल हैं:
* स्थिर कारक नियम <math display="block">(af)' = af' </math>
* योग नियम <math display="block">(f + g)' = f' + g'</math>
* घटाव नियम <math display="block">(f - g)' = f' - g'.</math>


=== उत्पाद नियम ===

{{main|Product rule}}

कार्यों एफ और जी के लिए, एक्स के संबंध में फ़ंक्शन एच (एक्स) = एफ (एक्स) जी (एक्स) का व्युत्पन्न है
<math display="block"> h'(x) = (fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).</math>
लाइबनिज के अंकन में यह लिखा है
<math display="block">\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.</math>


=== श्रृंखला नियम ===
{{main|Chain rule}}

समारोह का व्युत्पन्न <math>h(x) = f(g(x))</math> है
<math display="block"> h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).</math>
लीबनिज के अंकन में, इसे इस प्रकार लिखा गया है:
<math display="block">\frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),</math>
अक्सर संक्षिप्त किया जाता है
<math display="block">\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.</math>
मानचित्रों की धारणा पर ध्यान केंद्रित करना, और अंतर मानचित्र होना <math>\text{D}</math>, इसे और अधिक संक्षिप्त तरीके से लिखा गया है:
<math display="block"> [\text{D} (f\circ g)]_x = [\text{D} f]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,.</math>


=== उलटा कार्य नियम ===

{{main|Inverse functions and differentiation}}

यदि समारोह {{Mvar|f}} का उलटा कार्य है {{Mvar|g}}, मतलब है कि <math>g(f(x)) = x</math> और <math>f(g(y)) = y,</math> तब
<math display="block">g' = \frac{1}{f'\circ g}.</math>
लीबनिज नोटेशन में, इसे इस रूप में लिखा जाता है
<math display="block"> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}.</math>


== पावर कानून, बहुपद, भागफल और पारस्परिक ==

=== बहुपद या प्राथमिक शक्ति नियम ===

{{main|Power rule}}

अगर <math>f(x) = x^r</math>, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए <math>r \neq 0,</math> तब
:<math>f'(x) = rx^{r-1}.</math>
कब <math>r = 1,</math> यह विशेष मामला बन जाता है कि अगर <math>f(x) = x,</math> तब <math>f'(x) = 1.</math>
घात नियम को योग और अचर अनेक नियमों के साथ जोड़कर किसी भी बहुपद के अवकलज की गणना की जा सकती है।

=== पारस्परिक नियम ===

{{main|Reciprocal rule}}
का व्युत्पन्न <math>h(x)=\frac{1}{f(x)}</math>किसी भी (गैर-गायब) समारोह के लिए{{Mvar|f}} है:

:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> जहां कहीं भी{{Mvar|f}} शून्य नहीं है।

लीबनिज के अंकन में, यह लिखा है

:<math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.</math>
व्युत्क्रम नियम या तो भागफल नियम से, या शक्ति नियम और श्रृंखला नियम के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है।

=== भागफल नियम ===
{{main|Quotient rule}}
अगर{{Mvar|f}} और{{Mvar|g}} कार्य हैं, फिर:
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> जहां कहीं भी{{Mvar|g}} अशून्य है।

यह उत्पाद नियम और पारस्परिक नियम से प्राप्त किया जा सकता है।

=== सामान्यीकृत शक्ति नियम ===

{{main|Power rule}}

प्राथमिक शक्ति नियम काफी सामान्य करता है। सबसे सामान्य शक्ति नियम कार्यात्मक शक्ति नियम है: किसी भी कार्य के लिए ''{{Mvar|f}} और{{Mvar|g}},

:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math>
जहां भी दोनों पक्ष अच्छी तरह से परिभाषित हैं।

विशेष स्थितियां
* अगर <math display="inline">f(x)=x^a\!</math>, तब <math display="inline">f'(x)=ax^{a-1}</math>कब{{Mvar|a}} कोई गैर-शून्य वास्तविक संख्या है और{{Mvar|x}} सकारात्मक है।
* पारस्परिक नियम विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जहां <math display="inline">g(x)=-1\!</math>.

== घातीय और लघुगणक कार्यों के डेरिवेटिव ==

:<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0</math>
उपरोक्त समीकरण सभी के लिए सत्य है {{Mvar|c}}, लेकिन के लिए व्युत्पन्न <math display="inline">c<0</math> एक जटिल संख्या देता है।

:<math> \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}</math>
:<math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 1</math>
उपरोक्त समीकरण भी सभी के लिए सत्य है{{Mvar|c}}, लेकिन यदि एक सम्मिश्र संख्या देता है <math display="inline">c<0\!</math>.

:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln x\right)  = {1 \over x} ,\qquad x > 0.</math>
:<math> \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0.</math>
:<math> \frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e}.\qquad</math>कहाँ <math>W(x)</math> [[लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह]] है

:<math> \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).</math>
:<math> \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{if }f(x) > 0, \text{ and if } \frac{df}{dx} \text{ and } \frac{dg}{dx} \text{ exist.}</math>
:<math> \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ if } f_{i<n}(x) > 0 \text{ and }</math> <math> \frac{df_{i}}{dx} \text{ exists. }</math>


=== लघुगणकीय व्युत्पन्न ===

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के लॉगरिदम को अलग करने के नियम को बताने का एक और तरीका है (श्रृंखला नियम का उपयोग करके):
:<math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> जहां कहीं भी{{Mvar|f}} सकारात्मक है।

लघुगणकीय विभेदीकरण एक ऐसी तकनीक है जो वास्तव में व्युत्पन्न को लागू करने से पहले कुछ भावों को सरल बनाने के लिए लघुगणक और इसके विभेदन नियमों का उपयोग करती है।{{citation needed|date=October 2021}}

लघुगणकों का उपयोग प्रतिपादकों को हटाने, उत्पादों को योगों में परिवर्तित करने और विभाजन को घटाव में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है - जिनमें से प्रत्येक डेरिवेटिव लेने के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति का कारण बन सकता है।

== त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव ==
{{main|Differentiation of trigonometric functions}}

{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x = \frac{e^{ix} +
 e^{-ix}}{2} </math>
|width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} </math>
|-
|<math> (\cos x)' = -\sin x = \frac{e^{-ix} -
 e^{ix}}{2i} </math>
|<math> (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} </math>
|-
|<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x </math>
|<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} </math>
|-
|<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = -{ 1 \over \sin^2 x} = -1 - \cot^2 x</math>
|<math> (\operatorname{arccot} x)' = {1 \over -1 - x^2} </math>
|-
|<math> (\sec x)' = \sec{x}\tan{x} </math>
|<math> (\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} </math>
|-
|<math> (\csc x)' = -\csc{x}\cot{x} </math>
|<math> (\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} </math>
|}
ऊपर दी गई तालिका में डेरिवेटिव तब होते हैं जब व्युत्क्रम छेदक की सीमा होती है <math>[0,\pi]\!</math> और जब प्रतिलोम व्युत्क्रमज्या का परिसर है <math>\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\!</math>.

अतिरिक्त रूप से एक [[यह हमारे पास आया]] 2 को परिभाषित करना आम है, <math>\arctan(y,x)\!</math>. इसका मूल्य सीमा में है <math>[-\pi,\pi]\!</math> और बिंदु के चतुर्भुज को दर्शाता है <math>(x,y)\!</math>. पहले और चौथे चतुर्थांश के लिए (अर्थात <math>x > 0\!</math>) किसी के पास <math>\arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)\!</math>. इसके आंशिक डेरिवेटिव हैं
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
| width="100%" |<math> \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}</math>, and <math> \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.</math>
|}


== अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के डेरिवेटिव्स ==
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|<math>( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x +
 e^{-x}}{2}</math>
| width="50%" |<math>(\operatorname{arcsinh}x)' = { 1 \over \sqrt{1 + x^2}}</math>
|-
|<math>(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math>
|<math>(\operatorname{arccosh}x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math>
|-
|<math>(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2x} = { 1 \over \cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x</math>
|<math>(\operatorname{arctanh}x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|<math>(\coth x )' = -\operatorname{csch}^2x = -{ 1 \over \sinh^2 x} = 1 - \coth^2 x</math>
|<math>(\operatorname{arccoth}x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math>
|-
|<math>(\operatorname{sech} x)' = -\operatorname{sech}{x}\tanh{x}</math>
|<math>(\operatorname{arcsech}x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math>
|-
|<math>(\operatorname{csch}x)' = -\operatorname{csch}{x}\coth{x}</math>
|<math>(\operatorname{arccsch}x)' = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}</math>
|}
इन डेरिवेटिव्स पर प्रतिबंधों के लिए हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस # डेरिवेटिव्स देखें।

== विशेष कार्यों के डेरिवेटिव्स ==
; [[गामा समारोह]]
:<math>\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt</math>
:<math>\begin{align}
\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\
& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\
& = \Gamma(x) \psi(x)
\end{align}</math> {{pb}} साथ <math>\psi(x)</math> [[डिगामा समारोह]] होने के नाते, के दाईं ओर कोष्ठक अभिव्यक्ति द्वारा व्यक्त किया गया <math>\Gamma(x)</math> ऊपर की पंक्ति में।
[[रीमैन जीटा समारोह]]
:<math>\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}</math>
:<math>\begin{align}
\zeta'(x) & = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}
=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\
& = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2} \prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}}
\end{align}</math>


== इंटीग्रल के डेरिवेटिव्स ==

{{main|Differentiation under the integral sign}}

मान लीजिए कि x फ़ंक्शन के संबंध में अंतर करना आवश्यक है

:<math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,</math>
जहां कार्य करता है <math>f(x,t)</math> और <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)</math> दोनों दोनों में निरंतर हैं <math>t</math> और <math>x</math> के किसी क्षेत्र में <math>(t,x)</math> विमान, सहित <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1</math>, और कार्य <math>a(x)</math> और <math>b(x)</math> दोनों निरंतर हैं और दोनों के लिए निरंतर डेरिवेटिव हैं <math>x_0\leq x\leq x_1</math>. फिर के लिए <math>\,x_0\leq x\leq x_1</math>:

:<math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,. </math>
यह सूत्र [[लीबनिज अभिन्न नियम]] का सामान्य रूप है और इसका उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
[[कैलकुलस का मौलिक प्रमेय]]।

== nवें क्रम के लिए डेरिवेटिव्स ==
गणना के लिए कुछ नियम मौजूद हैं {{mvar|n}}-वें कार्यों का व्युत्पन्न, जहां {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसमे शामिल है:

=== ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें ===
{{main|Faà di Bruno's formula}}
अगर {{mvar|f}} और {{mvar|g}} हैं {{mvar|n}}-समय अलग-अलग, फिर
<math display="block">  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math>
कहाँ <math display="inline"> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m</math> और सेट <math> \{k_m\}</math> डायोफैंटाइन समीकरण के सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांक समाधान शामिल हैं <math display="inline"> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math>.

=== जनरल लीबनिज नियम ===
{{main|General Leibniz rule}}
अगर {{mvar|f}} और {{mvar|g}} हैं {{mvar|n}}-समय अलग-अलग, फिर
<math display="block"> \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>


== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Differentiable function}}
* {{annotated link|Differential of a function}}
* {{annotated link|Differentiation of integrals}}
* {{annotated link|Differentiation under the integral sign}}
* {{annotated link|Hyperbolic functions}}
* {{annotated link|Inverse hyperbolic functions}}
* {{annotated link|Inverse trigonometric functions}}
* {{annotated link|Lists of integrals}}
* {{annotated link|List of mathematical functions}}
* {{annotated link|Matrix calculus}}
* {{annotated link|Trigonometric functions}}
* {{annotated link|Vector calculus identities}}

==संदर्भ==
{{reflist}}


== स्रोत और आगे पढ़ना ==
ये नियम शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्रारंभिक और उन्नत कलन दोनों पर कई पुस्तकों में दिए गए हैं। इस लेख में वे (उपर्युक्त संदर्भों के अतिरिक्त) में पाए जा सकते हैं:
*सूत्रों और सारणियों की गणितीय पुस्तिका (तीसरा संस्करण), एस. लिप्सचुट्ज़, एम.आर. स्पीगेल, जे. लियू, शाउम की रूपरेखा श्रृंखला, 2009, {{ISBN|978-0-07-154855-7}}.
*कैम्ब्रिज हैंडबुक ऑफ फिजिक्स फॉर्मूला, जी. वोन, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, {{ISBN|978-0-521-57507-2}}.
*भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए गणितीय तरीके, के.एफ. रिले, एमपी हॉब्सन, एस.जे. बेंस, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, {{ISBN|978-0-521-86153-3}}
*गणितीय कार्यों की NIST हैंडबुक, F.W.J. Olver, D.W. Lozier, R.F. Boisvert, C.W. क्लार्क, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010, {{ISBN|978-0-521-19225-5}}.

==बाहरी संबंध==
{{Library resources box 
|by=no 
|onlinebooks=no 
|others=no 
|about=yes 
|label=Differentiation rules}}
* [http://www.planetcalc.com/675/ Derivative calculator with formula simplification]

{{Calculus topics}}
{{Analysis-footer}}
[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: विभेदन नियम | विभेदन नियम ]] [[Category: अवकलन कलन|*]] [[Category: गणित से संबंधित सूचियाँ | डेरिवेटिव]] [[Category: गणितीय टेबल | डेरिवेटिव]] [[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: पथरी में प्रमेय]] 



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[[Category:Created On 26/04/2023]]