View source for सीमाओं की सूची

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यह प्राथमिक कार्यों जैसे सामान्य कार्य (गणित) के लिए [[सीमा (गणित)]] की एक सूची है। इस लेख में, एसएम के संबंध में ''ए'', ''बी'' और ''सी'' शब्द स्थिर हैं

== सामान्य कार्यों के लिए सीमाएं ==

=== सीमाओं की परिभाषाएं और संबंधित अवधारणाएं ===
<math>\lim_{x \to c} f(x) = L </math> [[अगर और केवल अगर]] {{nowrap|<math>\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0 : 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \varepsilon</math>.}} यह (ε, δ)-सीमा की परिभाषा है।

एक अनुक्रम की सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर को इस रूप में परिभाषित किया गया है <math>\limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\sup_{m \geq n} x_m\right) </math> और <math>\liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty}\left(\inf_{m \geq n} x_m\right) </math>.

एक समारोह, <math>f(x)</math>, को एक बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, c, यदि <math display="block">\lim_{x \to c} f(x) = f(c).</math>


=== एक ज्ञात सीमा पर संचालन ===

अगर <math> \lim_{x \to c} f(x) = L </math> तब:

*<math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm a] = L \pm a</math>
*<math>\lim_{x \to c} \, a f(x) = a L</math><ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/lHopital/limit_laws.html|title=मूल सीमा कानून|website=math.oregonstate.edu|access-date=2019-07-31}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.symbolab.com/cheat-sheets/Limits#|title=चीट शीट को सीमित करें - Symbolab|website=www.symbolab.com|language=en|access-date=2019-07-31}}</ref><ref name=":5">{{Cite web|url=http://faculty.up.edu/wootton/Calc1/Section2.3.pdf|title=Section 2.3: Calculating Limits using the Limit Laws}}</ref>
*<math>\lim_{x \to c} \frac{1}{f(x)}= \frac1L</math><ref name=":6">{{Cite web|url=https://www.mathportal.org/formulas/limits_and_derivatives_formulas.pdf|title=Limits and Derivatives Formulas}}</ref> अगर एल 0 के बराबर नहीं है।
*<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L^n </math> अगर एन एक सकारात्मक पूर्णांक है<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />*<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L^{1 \over n} </math> यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, और यदि n सम है, तो L > 0.<ref name=":0" /><ref name=":5" />व्यापक रूप से, यदि g(x) L पर संतत है और <math>\lim_{x \to c} f(x) = L</math> तब
*<math>\lim_{x \to c} g\left(f(x)\right) =g(L)</math><ref name=":0" /><ref name=":1" />


=== दो ज्ञात सीमाओं पर संचालन ===
अगर <math> \lim_{x \to c} f(x) = L_1</math> और <math>\lim_{x \to c} g(x) = L_2</math> तब:
*<math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />*<math>\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \cdot L_2</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />*<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />


=== डेरिवेटिव या अतिसूक्ष्म परिवर्तन से जुड़ी सीमाएं ===
इन सीमाओं में, अतिसूक्ष्म परिवर्तन <math>h</math> अक्सर निरूपित किया जाता है <math>\Delta x</math> या <math>\delta x</math>. अगर <math>f(x)</math>पर अवकलनीय फलन है <math>x</math>, 

*<math>\lim_{h \to 0} {f(x+h)-f(x)\over h} = f'(x)</math>. यह व्युत्पन्न की परिभाषा है। सभी [[भेदभाव नियम]]ों को सीमा से जुड़े नियमों के रूप में भी बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि g(x) x पर अवकलनीय है,
**<math>\lim_{h \to 0} {f\circ g(x+h)-f\circ g(x)\over h}=f'[g(x)]g'(x)</math>. यह चेन नियम है।
**<math>\lim_{h \to 0} {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>. यह उत्पाद नियम है।
*<math>\lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{1/h} = \exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)</math>
*<math>\lim_{h \to 0} {\left({f(e^h x)\over{f(x)}}\right)^{1/h} } = \exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)</math>
अगर <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> सी युक्त एक खुले अंतराल पर अलग-अलग हैं, संभवतः सी को छोड़कर, और <math>\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ or } \pm\infty</math>, ल'हॉपिटल के नियम का उपयोग किया जा सकता है:
*<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math><ref name=":1" />


=== असमानताएं ===
अगर <math>f(x)\leq g(x) </math> एक अंतराल में सभी एक्स के लिए जिसमें सी शामिल है, संभवतः सी को छोड़कर, और की सीमा <math>f(x) </math> और <math>g(x) </math> दोनों सी पर मौजूद हैं, फिर<ref name=":4">{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/1/limits.18/index.html|title=सीमा प्रमेय|website=archives.math.utk.edu|access-date=2019-07-31}}</ref>
<math display="block">\lim_{x\to c}f(x)\leq \lim_{x\to c}g(x) </math>
अगर <math>\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L</math> और <math>f(x)\leq g(x)\leq h(x)</math>सभी एक्स के लिए एक खुले अंतराल में जिसमें सी शामिल है, संभवतः सी को छोड़कर,
<math display="block">\lim_{x \to c} g(x) = L.</math> इसे [[निचोड़ प्रमेय]] के रूप में जाना जाता है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />यह उन मामलों में भी लागू होता है जहां f(x) और g(x) c पर अलग-अलग मान लेते हैं, या c पर असंतत हैं।

== बहुपद और फॉर्म एक्स के कार्य<sup>एक</sup>==

*<math>\lim_{x \to c} a = a</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />



=== x === में बहुपद

*<math>\lim_{x \to c} x = c</math><ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":5" />*<math>\lim_{x \to c} (ax + b) = ac + b</math>
*<math>\lim_{x \to c} x^n = c^n</math> अगर एन एक सकारात्मक पूर्णांक है<ref name=":4" />*<math>\lim_{x\to\infty} x/a = \begin{cases}
\infty, & a > 0 \\
\text{does not exist}, & a = 0 \\
-\infty, & a < 0 \end{cases}</math>
सामान्य तौर पर, अगर <math>p(x)</math>एक बहुपद है, तो बहुपदों की निरंतरता से,<ref name=":4" /> <math display="block">\lim_{x \to c} p(x) = p(c)</math> यह [[तर्कसंगत कार्य]]ों के लिए भी सच है, क्योंकि वे अपने कार्य के डोमेन पर निरंतर हैं।<ref name=":4" />


=== फॉर्म एक्स के कार्य<sup>ए</सुप> ===

*<math>\lim_{x\to c}x^a=c^a.</math><ref name=":4" />विशेष रूप से,
**<math>\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a < 0 \end{cases}</math>
*<math>\lim_{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a} </math>.<ref name=":4" />विशेष रूप से,
**<math>\lim_{x\to\infty} x^{1/a}=\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty \text{ for any } a > 0 </math><ref name=":3">{{Cite web| url=http://www.sosmath.com/calculus/sequence/specialim/specialim.html|title=कुछ विशेष सीमाएँ|website=www.sosmath.com|access-date=2019-07-31}}</ref>
*<math>\lim_{x \to 0^+} x^{-n} =\lim \frac{1}{x^n}= +\infty</math>
*<math>\lim_{x \to 0^-} x^{-n} =\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} =\begin{cases}
-\infty, & \text{if } n \text{ is odd} \\
+\infty, & \text{if } n \text{ is even}
\end{cases} </math>
*<math>\lim_{x\to\infty} ax^{-1}=\lim_{x\to\infty}a/x=0 \text{ for any real }a </math>


== घातीय कार्य ==

=== फॉर्म के कार्य ए<sup>जी (एक्स) </सुप> ===
*<math>\lim_{x \to c} e^{x} = e^c </math>, की निरंतरता के कारण <math>e^{x} </math>
*<math>\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 < a < 1 \end{cases}</math>
*<math>\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 < a < 1 \end{cases}</math><ref name=":3" />*<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases}
1, & a > 0 \\
0, & a = 0 \\
\text{does not exist}, & a < 0
\end{cases}</math>


=== फॉर्म एक्स के कार्य<sup>जी (एक्स) </सुप> ===
*<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1</math>


=== फॉर्म एफ (एक्स) के कार्य<sup>जी (एक्स) </सुप> ===
*<math>\lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k}</math><ref name=":1" />*<math>\lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e</math><ref name=":1" />*<math>\lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk}</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math><ref name=":2">{{Cite web|url=https://www.pioneermathematics.com/some-important-limits-formula.html|title=कुछ महत्वपूर्ण सीमाएँ - गणित के सूत्र - गणित के सूत्र - मूल गणित के सूत्र|website=www.pioneermathematics.com|access-date=2019-07-31}}</ref>
*<math>\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}</math>
*<math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk} </math><ref name=":3" />*<math> \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} </math>. यह सीमा #Logarithmic और एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस Anchor01 से प्राप्त की जा सकती है।

=== रकम, उत्पाद और सम्मिश्र ===

*<math>\lim_{x \to 0} x e^{-x} = 0 </math>
*<math>\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0 </math>
*<math>\lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} \right) = \ln{a},</math> सभी सकारात्मक ए के लिए<ref name=":6" /><ref name=":2" />*<math>\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) = 1 </math>
*<math>\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{ax} - 1}{x} \right) = a </math>


== लघुगणकीय कार्य ==

=== प्राकृतिक लघुगणक ===
*<math>\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c </math>, की निरंतरता के कारण <math>\ln {x} </math>. विशेष रूप से,
**<math>\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>
*<math>\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1</math>
*<math>\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1</math><ref name=":2" />*<math> \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a</math>. यह सीमा L'Hôpital के नियम से है।
*<math>\lim_{x \to 0} x\ln x = 0</math>, इस तरह <math>\lim_{x \to 0} x^x = 1</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0</math><ref name=":3" />


=== मनमाना आधारों के लिए लघुगणक ===
बी > 1 के लिए,
*<math>\lim_{x \to 0^+} \log_b x = -\infty</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \log_b x = \infty</math>
बी <1 के लिए,
*<math>\lim_{x \to 0^+} \log_b x = \infty</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \log_b x = -\infty</math>
दोनों मामलों को सामान्यीकृत किया जा सकता है:
*<math>\lim_{x \to 0^+} \log_b x = -F(b)\infty</math>
*<math>\lim_{x \to \infty} \log_b x = F(b)\infty</math>
कहाँ <math>F(x) = 2H(x-1) - 1</math> और <math>H(x)</math> [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है

== त्रिकोणमितीय कार्य ==
अगर <math>x</math> रेडियंस में व्यक्त किया गया है:

*<math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>
*<math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>
ये दोनों सीमाएँ sin और cos की निरंतरता से अनुसरण करती हैं।

*<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>.<ref name=":2" /><ref name="mit">{{cite web| url=https://web.mit.edu/wwmath/calculus/limits/trig.html| title=World Web Math: Useful Trig Limits| publisher=[[Massachusetts Institute of Technology]]
| access-date=2023-03-20}}</ref> या, सामान्य तौर पर,
**<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1</math>, 0 के बराबर नहीं के लिए।
**<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a</math>
**<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}</math>, b के लिए 0 के बराबर नहीं है।
*<math>\lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1</math>
*<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0</math><ref name=":6" /><ref name="mit" /><ref>{{cite web| url=https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/prooftrigderiv.aspx| title=कैलकुलस I - ट्रिग लिमिट्स का प्रमाण| access-date=2023-03-20}}</ref>
*<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}</math>
*<math>\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty</math>, पूर्णांक n के लिए।
*<math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1</math>. या, सामान्य तौर पर,
**<math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{ax} = 1</math>, 0 के बराबर नहीं के लिए।
**<math>\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}</math>, b के लिए 0 के बराबर नहीं है।
*<math>\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\sin \sin \cdots \sin(x_0)}_n= 0</math>, जहां एक्स<sub>0</sub> एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
*<math>\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\cos \cos \cdots \cos(x_0)}_n= d</math>, जहां डी [[डॉटी नंबर]] है। एक्स<sub>0</sub> कोई भी मनमानी वास्तविक संख्या हो सकती है।

== रकम ==
सामान्य तौर पर, कोई भी [[अनंत श्रृंखला]] उसके आंशिक योग की सीमा होती है। उदाहरण के लिए, एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] इसकी [[टेलर श्रृंखला]] की सीमा है, इसकी [[अभिसरण की त्रिज्या]] के भीतर।

*<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty</math>. इसे [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] के रूप में जाना जाता है।<ref name=":3" />*<math>\lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)=\gamma</math>. यह [[यूलर माशेरोनी स्थिरांक]] है।

== उल्लेखनीय विशेष सीमाएं ==
*<math>\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}\left(n!\right)^{1/n}=\infty</math>. यह असमानता पर विचार करके सिद्ध किया जा सकता है <math>e^x \geq \frac{x^n}{n!}</math> पर <math>x = n</math>. 
*<math>\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ \dots +\sqrt{2}}}}}_n= \pi</math>. यह पाई के लिए वियत के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है{{pi}}.

== सीमित व्यवहार ==

=== स्पर्शोन्मुख तुल्यता ===

[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]], <math>f(x)\sim g(x)</math>, यदि सत्य हैं <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1</math>. इसलिए, उन्हें सीमा के रूप में भी बदला जा सकता है। कुछ उल्लेखनीय स्पर्शोन्मुख समकक्षों में शामिल हैं
*<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x/\ln x}{\pi(x)}=1</math>अभाज्य संख्या प्रमेय के कारण, <math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}</math>, जहां π(x) [[प्राइम-काउंटिंग फंक्शन]] है।
*<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!}=1</math>, स्टर्लिंग के सन्निकटन के कारण, <math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>.

=== [[बिग ओ नोटेशन]] ===
बिग ओ नोटेशन द्वारा वर्णित कार्यों के व्यवहार को सीमाओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए

*<math>f(x)\in\mathcal{O}(g(x))</math> अगर <math>\limsup_{x\to\infty} \frac{|f(x)|}{g(x)}<\infty</math>


==संदर्भ==
{{Reflist}}

{{Calculus topics}}
[[Category: सीमाएं (गणित)]] [[Category: गणित से संबंधित सूचियाँ|सीमाएँ]] [[Category: कार्य और मानचित्रण]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 26/04/2023]]