View source for वर्णक्रमीय प्रमेय

{{Short description|Result about when a matrix can be diagonalized}}
गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और [[कार्यात्मक विश्लेषण]], वर्णक्रमीय प्रमेय परिणाम है जब [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालिका]] या [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर विकर्ण आव्यूह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है)। यह अत्यंत उपयोगी है क्योंकि विकर्ण आव्यूह को साम्मिलित करने वाली संगणनाओं को अधिकांशतः संबंधित विकर्ण आव्यूह को साम्मिलित करते हुए बहुत सरल संगणनाओं में घटाया जा सकता है। परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए विकर्णकरण की अवधारणा अपेक्षाकृत सीधी है, किंतु अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्यतः , स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक संचालिका के वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन संचालिका द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय सी * - बीजगणित के बारे में कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।

संचालिका के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय प्रयुक्त होता है वे स्व-संबद्ध संचालिका या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः [[सामान्य ऑपरेटर|सामान्य संचालिका]] होते हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय विहित रूप अपघटन भी प्रदान करता है, जिसे आव्यूह का आइजन अपघटन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर संचालिका कार्य करता है।

[[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को सिद्ध किया, अर्थात, प्रत्येक वास्तविक, सममित आव्यूह विकर्णीय है। इसके अतिरिक्त , कॉची निर्धारकों के बारे में व्यवस्थित होने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref>{{cite journal| doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 | volume=2 | title=कौची और मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत| year=1975 | journal=Historia Mathematica | pages=1–29 | last1 = Hawkins | first1 = Thomas| doi-access=free }}</ref><ref>[http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II]</ref> [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा सामान्यीकृत वर्णक्रमीय प्रमेय आज संभवतः संचालिका सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम है।

यह लेख मुख्य रूप से सबसे सरल प्रकार के वर्णक्रमीय प्रमेय पर केंद्रित है, जो हिल्बर्ट स्थान पर स्वयं-आसन्न संचालिका के लिए है। चूँकि , जैसा कि ऊपर बताया गया है, स्पेक्ट्रल प्रमेय भी हिल्बर्ट स्थान पर सामान्य संचालिका के लिए है।

== परिमित-आयामी स्थति ==


=== हर्मिटियन मानचित्र और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] ===
हम <math>\mathbb{C}^n</math> पर एक हर्मिटियन मैट्रिक्स पर विचार करके प्रारंभ करते हैं (किंतु निम्नलिखित चर्चा <math>\mathbb{R}^n</math> पर सममित मैट्रिक्स के अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति के अनुकूल होगी)। हम एक सकारात्मक निश्चित सेस्की रैखिक आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न परिमित-आयामी जटिल आंतरिक उत्पाद स्थान {{math|''V''}} पर एक हर्मिटियन मानचित्र <math>A</math>पर विचार करते हैं। <math>A</math> पर हर्मिटियन स्थिति का अर्थ है कि सभी {{math|''x'', ''y'' ∈ ''V''}} के लिए,

:<math> \langle A x, y \rangle =  \langle x, A y \rangle.</math>
समतुल्य नियम यह है {{math|1=''A''<sup>*</sup> = ''A''}}, जहाँ {{math|''A''<sup>*</sup>}} का [[हर्मिटियन संयुग्म]] है {{math|''A''}}. उस स्थिति में {{math|''A''}} की पहचान हर्मिटियन आव्यूह से की जाती है, जिसका आव्यूह {{math|''A''<sup>*</sup>}} को इसके संयुग्मी संक्रमण से पहचाना जा सकता है। (यदि {{math|''A''}} वास्तविक आव्यूह है, तो यह इसके समतुल्य है {{math|1=''A''<sup>T</sup> = ''A''}}, वह है, {{math|''A''}} सममित आव्यूह है।)

इस स्थिति का तात्पर्य है कि हर्मिटियन मानचित्र के सभी आइजनमान वास्तविक हैं: इसे उस स्थिति में प्रयुक्त करने के लिए पर्याप्त है जब {{math|1=''x'' = ''y''}} ईजेनवेक्टर है। (याद रखें कि रेखीय मानचित्र का [[आइजन्वेक्टर]] {{math|''A''}} (गैर-शून्य) वेक्टर है {{math|''x''}} ऐसा है कि {{math|1=''Ax'' = ''λx''}} कुछ अदिश के लिए {{math|''λ''}}. मान {{math|''λ''}} संगत [[eigenvalue|आइजनमान]]  है। इसके अतिरिक्त , आइजनमान [[विशेषता बहुपद]] की जड़ें हैं।)

प्रमेय। यदि {{math|''A''}} {{math|''V''}} पर हर्मिटियन है, तो {{math|''A''}} के ईजेनवेक्टरों से मिलकर {{math|''V''}} का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार उपस्थित है। प्रत्येक ईजेनवेल्यू वास्तविक है।

हम उस स्थिति के लिए प्रमाण का स्केच प्रदान करते हैं जहां स्केलर्स का अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्या है।

बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, {{math|''A''}} की विशेषता बहुपद पर प्रयुक्त, कम से कम आइजनमान  है {{math|''λ''<sub>1</sub>}} और ईजेनवेक्टर {{math|''e''<sub>1</sub>}} होता है। तब से
: <math>\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle = \langle A (e_1), e_1 \rangle = \langle e_1, A(e_1) \rangle = \bar\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle,</math> हम पाते हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>}} यह सचमुच का है। अब स्थान पर विचार करें {{math|1=''K'' = span{''e''<sub>1</sub>}<sup>⊥</sup>}}, का [[ऑर्थोगोनल पूरक]] {{math|''e''<sub>1</sub>}}. हर्मिटिसिटी द्वारा, {{math|''K''}} की अपरिवर्तनीय उपसमष्टि है {{math|''A''}}. इसी तर्क को प्रयुक्त करना {{math|''K''}} पता चलता है कि {{math|''A''}} में आइजनवेक्टर है {{math|''e''<sub>2</sub> ∈ ''K''}}. परिमित प्रेरण तब प्रमाण को समाप्त करता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय परिमित-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थानों पर सममित मानचित्रों के लिए भी है, किंतु ईजेनवेक्टर का अस्तित्व बीजगणित के मौलिक प्रमेय से तुरंत अनुसरण नहीं करता है। इसे सिद्ध करने के लिए विचार करें {{math|''A''}} हर्मिटियन आव्यूह के रूप में और इस तथ्य का उपयोग करें कि हर्मिटियन आव्यूह के सभी आइजनमान वास्तविक हैं।

का आव्यूह प्रतिनिधित्व {{math|''A''}} ईजेनवेक्टर के आधार में विकर्ण है, और निर्माण के द्वारा प्रमाण पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल ईजेनवेक्टर का आधार देता है; ईकाई वैक्टर होने के लिए उन्हें चुनकर ईजेनवेक्टरों का ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है। {{math|''A''}} को जोड़ीदार ऑर्थोगोनल अनुमानों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे इसका वर्णक्रमीय अपघटन कहा जाता है। होने देना

: <math>V_\lambda = \{v \in V: A v = \lambda v\}</math>
एक आइगेनमान के अनुरूप आइगेनस्थान हो {{math|''λ''}}. ध्यान दें कि परिभाषा विशिष्ट ईजेनवेक्टर के किसी भी विकल्प पर निर्भर नहीं करती है। {{math|''V''}} रिक्त स्थान का ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है {{math|''V''<sub>''λ''</sub>}} जहां सूचकांक आइजनमान से अधिक है।

दूसरे शब्दों में, यदि {{math|''P''<sub>''λ''</sub>}} ओर्थोगोनल प्रक्षेपण   या ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण   को दर्शाता है {{math|''V''<sub>''λ''</sub>}}, और {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''m''</sub>}} के आइगेनमान हैं {{math|''A''}}, तो वर्णक्रमीय अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है
: <math>A = \lambda_1 P_{\lambda_1} + \cdots + \lambda_m P_{\lambda_m}.</math>
यदि A का वर्णक्रमीय अपघटन <math>A = \lambda_1 P_1 + \cdots + \lambda_m P_m</math> है, तो <math>A^2 = (\lambda_1)^2 P_1 + \cdots + (\lambda_m)^2 P_m</math> और <math>\mu A = \mu \lambda_1 P_1 + \cdots + \mu \lambda_m P_m</math> किसी भी अदिश \mu के लिए। यह इस प्रकार है कि किसी भी बहुपद  {{mvar|f}} के लिए एक है
: <math>f(A) = f(\lambda_1) P_1 + \cdots + f(\lambda_m) P_m.</math>
वर्णक्रमीय अपघटन [[शूर अपघटन]] और एकवचन मान अपघटन दोनों का विशेष स्थति  है।

=== सामान्य आव्यूह ===
{{main|सामान्य आव्यूह}}
वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। होने देना {{math|''A''}} परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर संचालिका बनें। {{math|''A''}} को [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]] कहा जाता है यदि {{math|1=''A''<sup>*</sup>''A'' = ''AA''<sup>*</sup>}}. कोई यह दिखा सकता है {{math|''A''}} सामान्य है यदि और केवल यदि यह एकात्मक रूप से विकर्ण है। प्रमाण: शूर अपघटन द्वारा, हम किसी भी आव्यूह को लिख सकते हैं {{math|1=''A'' = ''UTU''<sup>*</sup>}}, जहाँ {{math|''U''}} एकात्मक है और {{math|''T''}} ऊपरी-त्रिकोणीय है।

यदि {{math|''A''}} सामान्य है, तो कोई देखता है {{math|1=''TT''<sup>*</sup> = ''T''<sup>*</sup>''T''}}. इसलिए, {{math|''T''}} विकर्ण होना चाहिए क्योंकि सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण होता है (सामान्य आव्यूह  या  परिणाम देखें)। व्युत्क्रम स्पष्ट है।


दूसरे शब्दों में, {{math|''A''}} सामान्य है यदि और केवल यदि [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] उपस्थित है {{math|''U''}} ऐसा है कि

: <math>A = U D U^*,</math>
जहां {{math|''D''}} एक विकर्ण आव्यूह  है। फिर, {{math|''D''}} के विकर्ण की प्रविष्टियाँ {{math|''A''}} के आइगेनमान हैं। {{math|''U''}} के स्तंभ वैक्टर {{math|''A''}} के ईजेनवेक्टर हैं और वे ऑर्थोनॉर्मल हैं। हर्मिटियन स्थिति के विपरीत, {{math|''D''}} की प्रविष्टियाँ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।

== कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न संचालिका ==
{{main|हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर}}
हिल्बर्ट रिक्त स्थान की अधिक सामान्य सेटिंग में, जिसमें अनंत आयाम हो सकता है, [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|कॉम्पैक्ट संचालिका]] स्व-आसन्न संचालिका के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन वस्तुतः परिमित-आयामी स्थिति के समान है।

प्रमेय। कल्पना करना {{math|''A''}} हिल्बर्ट स्थान (वास्तविक या जटिल) पर कॉम्पैक्ट स्वयं संलग्न संचालिका है {{math|''V''}}. फिर इसका अलौकिक आधार है {{math|''V''}} के ईजेनवेक्टर से मिलकर {{math|''A''}}. प्रत्येक आइजनमान  वास्तविक है।

हर्मिटियन मेट्रिसेस के लिए, मुख्य बिंदु कम से कम अशून्य ईजेनवेक्टर के अस्तित्व को प्रमाण करना है। ईजेनवेल्यूज के अस्तित्व को दिखाने के लिए निर्धारकों पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, किंतु आइगेनवैल्यूज के चर निस्र्पण के अनुरूप अधिकतमकरण तर्क का उपयोग किया जा सकता है।

यदि संहतता धारणा को हटा दिया जाता है, तो यह सच नहीं है कि प्रत्येक स्व-संलग्न संचालिका के ईजेनवेक्टर होते हैं।

== परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक ==
{{See also|आइजन कार्य |स्व-आसन्न संकारक या स्पेक्ट्रल प्रमेय}}

=== ईजेनवेक्टरों की संभावित अनुपस्थिति ===

हम जिस अगले सामान्यीकरण पर विचार करते हैं, वह हिल्बर्ट स्थान पर [[परिबद्ध संचालिका]] स्वयं संलग्न संचालिका का है। ऐसे संचालिका के पास कोई आइजनमान नहीं हो सकता है: उदाहरण के लिए चलो {{math|''A''}} गुणन का संचालक हो {{math|''t''}} पर <math>L^2([0,1])</math>, वह है,<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Section 6.1</ref>
:<math> [A \varphi](t) = t \varphi(t). \;</math>
इस संचालिका के पास <math>L^2([0,1])</math> में कोई ईजेनवेक्टर नहीं है, चूँकि इसमें बड़ी जगह में ईजेनवेक्टर हैं। अर्थात् वितरण <math>\varphi(t)=\delta(t-t_0)</math>, जहाँ <math>\delta</math> डेल्टा कार्य  है, जब एक उपयुक्त अर्थ में निर्मित किया जाता है, तो यह एक ईजेनवेक्टर होता है। डायराक डेल्टा कार्य चूँकि मौलिक अर्थों में एक कार्य नहीं है और हिल्बर्ट स्थान {{math|''L''<sup>2</sup>[0, 1]}} या किसी अन्य बानाच स्थान में नहीं है। इस प्रकार, डेल्टा-कार्य <math>A</math> के "सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर" हैं, किंतु सामान्य अर्थों में ईजेनवेक्टर नहीं हैं।

=== स्पेक्ट्रल उप-स्थान और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय ===

(सच्चे) ईजेनवेक्टरों की अनुपस्थिति में, लगभग ईजेनवेक्टरों से युक्त उप-स्थानों की खोज की जा सकती है। उपरोक्त उदाहरण में, उदाहरण के लिए, जहाँ <math> [A \varphi](t) = t \varphi(t), \;</math> हम छोटे अंतराल पर समर्थित कार्यों के उप-स्थान पर विचार कर सकते हैं <math>[a,a+\varepsilon]</math> अंदर <math>[0,1]</math>. के अंतर्गत यह स्थान अपरिवर्तनीय है <math>A</math> और किसी के लिए <math>\varphi</math> इस उपक्षेत्र में, <math>A\varphi</math> के बहुत निकट है <math>a\varphi</math>. वर्णक्रमीय प्रमेय के इस दृष्टिकोण में, यदि <math>A</math> बंधा हुआ स्वयं-आसन्न संकारक है, तो कोई ऐसे वर्णक्रमीय उप-स्थानों के बड़े वर्गों की खोज करता है।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.2.1</ref> प्रत्येक उप-स्थान, बदले में, संबंधित प्रक्षेपण संचालिका द्वारा एन्कोड किया गया है, और सभी उप-स्थानों का संग्रह तब प्रक्षेपण-मूल्यवान माप द्वारा दर्शाया गया है।


स्पेक्ट्रल प्रमेय का एक सूत्रीकरण संचालिका  {{math|''A''}} को प्रक्षेपण-मूल्य माप के संबंध में संचालिका के स्पेक्ट्रम <math>\sigma(A)</math> पर समन्वय कार्य के अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त करता है। <ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.12</ref>
: <math> A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d E_{\lambda} .</math>
जब प्रश्न में स्व-आसन्न संचालिका कॉम्पैक्ट संचालिका होता है, तो स्पेक्ट्रल प्रमेय का यह संस्करण उपरोक्त परिमित-आयामी स्पेक्ट्रल प्रमेय के समान कुछ कम हो जाता है, अतिरिक्त इसके कि संचालिका को अनुमानों के परिमित या अनगिनत अनंत रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात माप में केवल परमाणु होते हैं।

=== गुणन संचालिका संस्करण ===

वर्णक्रमीय प्रमेय का वैकल्पिक सूत्रीकरण कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध स्व-संयोजक संकारक गुणन संकारक के समतुल्य है। इस परिणाम का महत्व यह है कि गुणन संचालक कई तरह से समझने में आसान हैं।

{{math theorem|name='''Theorem'''.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.20</ref>|math_statement= Let {{math|''A''}}  be a bounded self-adjoint operator on a Hilbert space {{math|''H''}}.  Then there is a [[measure space]] {{math|(''X'', Σ, ''μ'')}} and a real-valued [[ess sup|essentially bounded]] measurable function {{math|''f''}} on {{math|''X''}} and a [[unitary operator]] {{math|''U'':''H'' → ''L''<sup>2</sup>(''X'', ''μ'')}} such that
<math display="block"> U^* T U = A,</math>
where {{math|''T''}} is the [[multiplication operator]]:
<math display="block"> [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x),</math>
and <math>\|T\| = \|f\|_\infty</math>.}}

स्पेक्ट्रल प्रमेय [[ऑपरेटर सिद्धांत|संचालिका सिद्धांत]] नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की प्रारंभ है; स्पेक्ट्रल माप या स्पेक्ट्रल माप भी देखें।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य संचालिका के लिए समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि अब {{math|''f''}}  जटिल-मूल्यवान हो सकता है।

=== [[प्रत्यक्ष अभिन्न]] ===
प्रत्यक्ष अभिन्न के संदर्भ में वर्णक्रमीय प्रमेय का सूत्रीकरण भी है। यह गुणन-संचालक सूत्रीकरण के समान है, किंतु अधिक विहित है।

मान लीजिए <math>A</math> एक परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है और <math>\sigma (A)</math> को <math>A</math> का स्पेक्ट्रम होने दें। वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न सूत्रीकरण दो मात्राओं को <math>A</math> से जोड़ता है। सबसे पहले,<math>\mu</math> पर  <math>\sigma (A)</math>, और दूसरा, हिल्बर्ट स्पेसेस का एक परिवार<math>\{H_{\lambda}\},\,\,\lambda\in\sigma (A).</math>फिर हम प्रत्यक्ष अभिन्न  हिल्बर्ट स्थान बनाते हैं

<math display="block"> \int_\mathbf{R}^\oplus H_{\lambda}\, d \mu(\lambda). </math>


इस स्थान के तत्व कार्य (या खंड) हैं <math>s(\lambda),\,\,\lambda\in\sigma(A),</math> ऐसा है कि <math>s(\lambda)\in H_{\lambda}</math> सभी <math>\lambda</math> के लिए .

वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.19</ref>

{{math theorem|math_statement= यदि  <math>A</math> तब एक परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है <math>A</math>एकात्मक रूप से "गुणा" के समान है <math>\lambda</math>" ऑपरेटर चालू <math display="block"> \int_\mathbf{R}^\oplus H_{\lambda}\, d \mu(\lambda) </math>
किसी उपाय के लिए <math>\mu</math> और कुछ वर्ग <math>\{H_{\lambda}\}</math> हिल्बर्ट रिक्त स्थान की। मापदंड <math>\mu</math> द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है<math>A</math>माप-सैद्धांतिक तुल्यता तक; अर्थात्, कोई दो माप उसी से संबंधित हैं <math>A</math> माप शून्य के समान सेट हैं। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के आयाम <math>H_{\lambda}</math> द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है <math>A</math> के एक सेट तक <math>\mu</math>-शून्य को मापें।}}

रिक्त स्थान <math>H_{\lambda}</math> के लिए आइजनस्पेस जैसी किसी चीज़ के बारे में सोचा जा सकता है <math>A</math>. चूँकि , ध्यान दें कि जब तक कि एक-तत्व स्थित न हो <math>{\lambda}</math> सकारात्मक उपाय है, स्थान <math>H_{\lambda}</math> वास्तव में प्रत्यक्ष समाकलन की उपसमष्टि नहीं है। इस प्रकार <math>H_{\lambda}</math>को सामान्यीकृत ईजेनस्थान के रूप में सोचा जाना चाहिए-अर्थात, के तत्व <math>H_{\lambda}</math> ईजेनवेक्टर हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्थान से संबंधित नहीं हैं।

यद्यपि वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष अभिन्न सूत्रीकरण दोनों स्व-संयोजक संकारक को गुणन संकारक के समान रूप से व्यक्त करते हैं, प्रत्यक्ष अभिन्न दृष्टिकोण अधिक विहित है। सबसे पहले, वह स्थित जिस पर प्रत्यक्ष अभिन्न  होता है (संचालिका का स्पेक्ट्रम) विहित है। दूसरा, जिस कार्य से हम गुणा कर रहे हैं वह प्रत्यक्ष-अभिन्न दृष्टिकोण में कैननिकल है: बस कार्य <math>\lambda\mapsto\lambda</math>  है।

=== चक्रीय वैक्टर और सरल स्पेक्ट्रम ===
एक सदिश <math>\varphi</math> को <math>A</math>  के लिए चक्रीय सदिश कहलाता है  यदि वैक्टर <math>\varphi,A\varphi,A^2\varphi,\ldots</math> हिल्बर्ट स्थान के घने उप-क्षेत्र में फैला हुआ है। मान लीजिए <math>A</math> परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है जिसके लिए चक्रीय वेक्टर उपस्थित है। उस स्थिति में, वर्णक्रमीय प्रमेय के प्रत्यक्ष-अभिन्न और गुणन-संचालक योगों के बीच कोई अंतर नहीं है। चूँकि , उस स्थिति में उपाय है <math>\mu</math> स्पेक्ट्रम पर <math>\sigma(A)</math> का <math>A</math> ऐसा है कि <math>A</math> एकात्मक रूप से गुणन के समान है <math>\lambda</math>संचालिका <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Lemma 8.11</ref> यह परिणाम दर्शाता है <math>A</math> साथ गुणन संचालिका के रूप में और प्रत्यक्ष अभिन्न के रूप में, चूंकि <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math> केवल सीधा अभिन्न अंग है जिसमें प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान <math>H_{\lambda}</math> सिर्फ <math>\mathbb{C}</math>. है 

.

प्रत्येक परिबद्ध स्व-संलग्न संकारक चक्रीय सदिश को स्वीकार नहीं करता; वास्तव में, प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन में अद्वितीयता से, यह तभी हो सकता है जब सभी <math>H_{\lambda}</math>का आयाम है। जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं <math>A</math> स्व-आसन्न_संचालक या स्पेक्ट्रल_बहुलता_सिद्धांत के अर्थ में सरल स्पेक्ट्रम है। यही है, चक्रीय सदिश को स्वीकार करने वाले बाध्य स्व-आसन्न संचालिका को अलग-अलग आइजनमान के साथ स्व-संलग्न आव्यूह के अनंत-आयामी सामान्यीकरण के रूप में माना जाना चाहिए (जिससे , प्रत्येक आइजनमान  में बहुलता है)।

चूँकि हर नहीं <math>A</math> चक्रीय सदिश को स्वीकार करता है, यह देखना आसान है कि हम हिल्बर्ट स्थान को अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित कर सकते हैं <math>A</math> चक्रीय वेक्टर है। यह अवलोकन वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष-अभिन्न रूपों के प्रमाणों की कुंजी है।

===कार्यात्मक कलन===
स्पेक्ट्रल प्रमेय (किसी भी रूप में) का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग कार्यात्मक पथरी को परिभाषित करने का विचार है। अर्थात्, <math>A</math> के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित एक फलन <math>f</math> दिया गया है, हम एक संकारक <math>f(A)</math> को परिभाषित करना चाहते हैं। यदि <math>f</math> केवल एक सकारात्मक शक्ति है,<math>f(x)=x^n</math>, तो <math>f(A)</math> <math>n\mathrm{th}</math> की केवल <math>A</math> <math>A^n</math> शक्ति है। रोचक स्थिति हैं जहां <math>f</math> एक गैर-बहुपद कार्य है जैसे कि वर्गमूल या एक घातीय। स्पेक्ट्रल प्रमेय का कोई भी संस्करण इस तरह की एक कार्यात्मक कलन प्रदान करता है। प्रत्यक्ष अभिन्न  संस्करण में, उदाहरण के लिए, <math>f(A)</math> डायरेक्ट इंटीग्रल में "गुणा द्वारा <math>f</math>" संचालिका के रूप में कार्य करता है:<ref>E.g., {{harvnb|Hall|2013}} Definition 7.13</ref>
:<math>[f(A)s](\lambda)=f(\lambda)s(\lambda)</math>.
कहने का तात्पर्य यह है कि प्रत्यक्ष समाकल में प्रत्येक स्थान <math>H_{\lambda}</math> <math>f(A)</math> के लिए आइगेनमान <math>f(\lambda)</math>के साथ एक (सामान्यीकृत) आइगेनस्थान है।

== सामान्य स्व-आसन्न संकारक ==
[[गणितीय विश्लेषण]] में पाए जाने वाले कई महत्वपूर्ण रेखीय संकारक, जैसे अवकल संकारक, अबाधित होते हैं। स्व-संलग्न संचालकों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय भी है जो इन स्थिति  में प्रयुक्त होता है। उदाहरण देने के लिए, प्रत्येक स्थिर-गुणांक अंतर संकारक गुणन संकारक के समतुल्य है। वास्तव में, एकात्मक संकारक जो इस तुल्यता को प्रयुक्त करता है, [[फूरियर रूपांतरण]] है; गुणा संचालिका प्रकार का [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)]] है।

सामान्यतः , स्व-संलग्न संचालिका के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय कई समकक्ष रूप ले सकता है।<ref>See Section 10.1 of {{harvnb|Hall|2013}}</ref> विशेष रूप से, पिछले अनुभाग में दिए गए सभी सूत्रों सीमित स्व-आसन्न संचालिका के लिए दिए गए हैं - प्रक्षेपण  -मान माप संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन है ।

'''संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।'''

== यह भी देखें ==
* {{annotated link|हैन-हेलिंगर प्रमेय}}
* [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत|कॉम्पैक्ट संचालिका का वर्णक्रमीय सिद्धांत]]
* सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत
* बोरेल कार्यात्मक पथरी
* वर्णक्रमीय सिद्धांत
* [[मैट्रिक्स अपघटन|आव्यूह अपघटन]]
* कानूनी फॉर्म
* [[जॉर्डन सामान्य रूप]], जिसमें वर्णक्रमीय अपघटन विशेष स्थति  है।
* विलक्षण मान अपघटन, मनमाना मैट्रिसेस के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का सामान्यीकरण।
* आव्यूह का आइगेनडीकम्पोज़िशन
* वीनर-खिनचिन प्रमेय

== टिप्पणियाँ ==
{{reflist}}


==संदर्भ==
* [[Sheldon Axler]], ''Linear Algebra Done Right'', Springer Verlag, 1997
* {{citation | last = Hall |first = B.C. |title = Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267 | year = 2013 |publisher = Springer|isbn=978-1461471158}}
* [[Paul Halmos]], [https://www.jstor.org/stable/2313117 "What Does the Spectral Theorem Say?"], ''American Mathematical Monthly'', volume 70, number 3 (1963), pages 241–247 [http://www.math.wsu.edu/faculty/watkins/Math502/pdfiles/spectral.pdf Other link]
* [[Michael C. Reed|M. Reed]] and [[Barry Simon|B. Simon]], ''Methods of Mathematical Physics'', vols I–IV, Academic Press 1972.
* [[Gerald Teschl|G. Teschl]], ''Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators'', https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
* {{Cite book |title=Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation 2nd Edition |author= Valter Moretti |author-link= Valter Moretti |publisher= Springer |year=2018 |url=https://www.springer.com/it/book/9783319707051|isbn=978-3-319-70705-1 }}

{{Functional analysis}}
{{Spectral theory}}
[[Category: स्पेक्ट्रल सिद्धांत|*]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: मैट्रिक्स सिद्धांत]] [[Category: विलक्षण मान अपघटन]] [[Category: कार्यात्मक विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: रैखिक बीजगणित में प्रमेय]] 



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