View source for श्रेणी (गणित)

{{Short description|Mathematical object that generalizes the standard notions of sets and functions}}
{{Other uses|Category (disambiguation)#Mathematics}}

[[File:Category_SVG.svg|thumbकील | यह एक श्रेणी है जिसमें वस्तुओं ए, बी, सी का संग्रह होता है और एफ, जी, {{nowrap|g ∘ f}}, और लूप आइडेंटिटी एरो हैं। इस श्रेणी को आमतौर पर बोल्डफेस 3 द्वारा दर्शाया जाता है।]]

गणित में, एक श्रेणी (कभी-कभी इसे एक [[ ठोस श्रेणी | ठोस श्रेणी]] से अलग करने के लिए एक सार श्रेणी कहा जाता है)"वस्तुओं" का एक संग्रह होता है जो "तीर" से जुड़ा होता है। एक श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: साहचर्य रूप से तीरों की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए एक पहचान तीर का अस्तित्व। एक सरल उदाहरण [[ सेट की श्रेणी |समुच्चयों की श्रेणी]]है, जिनके ऑब्जेक्ट समुच्चय हैं और जिनके तीर कार्य हैं।

''[[ श्रेणी सिद्धांत | श्रेणी सिद्धांत]]''गणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्य बनाने का प्रयास करता है, जो उनकी वस्तुओं और तीरों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयंसिद्ध नींव स्थापित करने के लिए एक वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्य तौर पर, वस्तुएं और तीर किसी भी प्रकार की अमूर्त संस्थाएं हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और अमूर्त तरीका प्रदान करती है।

गणित को औपचारिक बनाने के अलावा, कंप्यूटर विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे[[ प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ |प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ]] ।

दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का एक ही संग्रह है, तीरों का एक ही संग्रह है, और तीरों के किसी भी जोड़े को बनाने की एक ही सहयोगी विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग-अलग श्रेणियों को [[ श्रेणियों की समानता |"समतुल्य"]]माना जा सकता है, भले ही उनकी संरचना बिल्कुल समान न हो।

सुप्रसिद्ध श्रेणियों को एक छोटे बड़े शब्द या संक्षिप्त रूप में बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में सेट, सेट की श्रेणी और सेट फ़ंक्शन शामिल हैं; वलय, वलय की श्रेणी और वलय समरूपता; और शीर्ष,[[ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी | टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]]और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी। पिछली सभी श्रेणियों में [[ पहचान समारोह |पहचान]] आइडेंटिटी एरो के रूप में है और [[ समारोह संरचना | समारोह संरचना]] एरो पर [[ संबद्धता | संबद्धता]] ऑपरेशन के रूप में है।

[[ सॉन्डर्स मैक लेन ]] द्वारा श्रेणी सिद्धांत पर क्लासिक और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ '' वर्किंग मैथमैटिशियन के लिए श्रेणियां '' है। अन्य संदर्भ नीचे #References में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएँ इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में समाहित हैं।
{{Group-like structures}}
किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक ऐसी वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी [[ पूर्व आदेश ]] कर सकता है।

== परिभाषा ==
एक श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं।<ref>{{harvnb|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}}</ref> एक आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। एक श्रेणी 'सी' के होते हैं
* गणितीय_वस्तुओं का एक [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) ]] ओबी (''सी''),
* [[ morphism ]]s, या तीर, या वस्तुओं के बीच नक्शे का एक वर्ग घर (''सी''),
*एक डोमेन, या स्रोत वस्तु वर्ग समारोह <math>\mathrm{dom}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
*एक कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग समारोह <math>\mathrm{cod}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
* हर तीन वस्तुओं ए, बी और सी के लिए, एक बाइनरी ऑपरेशन होम (ए, बी) × होम (बी, सी) → होम (ए, सी) को आकारिकी की रचना कहा जाता है; f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं, एफ; जी या एफजी लिखते हैं)।
नोट: यहाँ hom(a, b) hom(C) में morphisms f के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि <math>\mathrm{dom}(f) = a</math> तथा <math>\mathrm{cod}(f) = b</math>. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।

ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:
* (साहचर्य) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
* ([[ पहचान (गणित) ]]) प्रत्येक वस्तु x के लिए, एक आकृति 1 मौजूद है<sub>''x''</sub> : x → x (कुछ लेखक आईडी लिखते हैं<sub>''x''</sub>) x के लिए तत्समक आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x 1 को संतुष्ट करता है<sub>''x''</sub> ∘ f = f, और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, g ∘ 1 . को संतुष्ट करता है<sub>''x''</sub> = जी।

हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम होम (ए, बी) (या होम<sub>''C''</sub>(ए, बी) जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के होम (ए, बी) को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-क्लास' को ए से बी तक दर्शाता है।<ref>Some authors write Mor(''a'', ''b'') or simply ''C''(''a'', ''b'') instead.</ref> इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक पहचान रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित पहचान रूपवाद के साथ पहचाना जाता है।

==छोटी और बड़ी श्रेणियां==

एक श्रेणी सी को 'छोटा' कहा जाता है यदि दोनों ओबी (सी) और होम (सी) वास्तव में सेट (गणित) हैं और [[ उचित वर्ग ]] नहीं हैं, और अन्यथा 'बड़ा'। एक 'स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी' एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, होम-क्लास hom(a, b) एक सेट है, जिसे 'होमसेट' कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे सेट की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक सेट बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान [[ बीजगणितीय संरचना ]] के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन [[ क्लोजर (गणित) ]] गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की संरचना बनाने के लिए किया जा सकता है।

== उदाहरण ==
सभी सेटों (ऑब्जेक्ट्स के रूप में) का वर्ग (सेट सिद्धांत) उनके बीच (रूपवाद के रूप में) सभी फ़ंक्शन (गणित) के साथ होता है, जहां मोर्फिज्म की संरचना सामान्य फ़ंक्शन संरचना होती है, एक बड़ी श्रेणी, सेट की श्रेणी बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली श्रेणी है। [[ संबंधों की श्रेणी ]] श्रेणी में सभी सेट (गणित) (ऑब्जेक्ट्स के रूप में) होते हैं, जिनके बीच बाइनरी संबंध होते हैं (मोर्फिज्म के रूप में)। कार्यों के बजाय [[ संबंध (गणित) ]] से अमूर्त करने से [[ रूपक (श्रेणी सिद्धांत) ]], श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।

किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही पहचान आकारिकी है। ऐसी श्रेणियों को [[ असतत श्रेणी ]] कहा जाता है। किसी भी दिए गए सेट (गणित) ''I'' के लिए, ''I पर असतत श्रेणी'' छोटी श्रेणी है जिसमें ''I'' के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल पहचान morphisms morphisms के रूप में होते हैं। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।

कोई भी प्रीऑर्डर (''पी'', ≤) एक छोटी श्रेणी बनाता है, जहां वस्तुएं ''पी'' के सदस्य हैं, आकारिकी ''x'' से ''y'' की ओर इशारा करते हुए तीर हैं जब ''x '' ≤ ''य''। इसके अलावा, यदि ''≤'' असममित संबंध है, तो किसी भी दो वस्तुओं के बीच अधिकतम एक रूपवाद हो सकता है। पहचान morphisms का अस्तित्व और morphisms की संरचना की गारंटी [[ प्रतिवर्त संबंध ]] और प्रीऑर्डर के [[ सकर्मक संबंध ]] द्वारा दी जाती है। उसी तर्क से, [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट ]] और किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। [[ कुल आदेश ]] के रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रमिक संख्या को श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।

कोई भी मोनॉइड (एक एकल साहचर्य [[ द्विआधारी संबंध ]] और एक [[ पहचान तत्व ]] के साथ कोई भी बीजगणितीय संरचना) एक एकल वस्तु '' x '' के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, '' x '' कोई निश्चित सेट है।) '' x '' से '' x '' तक की आकृतियाँ ठीक मोनोइड के तत्व हैं, '' x '' की पहचान रूपवाद की पहचान है मोनॉइड, और मोर्फिज्म की श्रेणीबद्ध रचना मोनोइड ऑपरेशन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।

इसी तरह किसी भी [[ समूह (गणित) ]] को एक एकल वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें प्रत्येक आकारिकी ''उलटा'' है, अर्थात प्रत्येक आकारिकी ''f'' के लिए एक आकारिकी ''g'' है जो दोनों है आकृतिवाद # रचना के अंतर्गत ''f'' के लिए कुछ विशिष्ट आकारिकी। एक आकृतिवाद जो इस अर्थ में व्युत्क्रमणीय है, एक तुल्याकारिता कहलाती है।

एक समूह एक ऐसी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। ग्रुपोइड्स समूहों, [[ समूह क्रिया (गणित) ]] और समकक्ष संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से Groupoid और Group के बीच एकमात्र अंतर यह है कि Groupoid में एक से अधिक ऑब्जेक्ट हो सकते हैं लेकिन समूह में केवल एक ही होना चाहिए। एक सामयिक स्थान 'एक्स' पर विचार करें और एक आधार बिंदु तय करें <math>x_0</math> एक्स का, फिर <math>\pi_1(X,x_0)</math> टोपोलॉजिकल स्पेस X और बेस पॉइंट का मूलभूत समूह है <math>x_0</math>, और एक समुच्चय के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है; यदि है तो आधार बिंदु दें <math>x_0</math> एक्स के सभी बिंदुओं पर दौड़ता है, और सभी का मिलन करता है <math>\pi_1(X,x_0)</math>, तो हमें जो सेट मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे एक्स का [[ मौलिक समूह ]] कहा जाता है): दो लूप (होमोटोपी के समतुल्य संबंध के तहत) में एक ही आधार बिंदु नहीं हो सकता है, इसलिए वे एक दूसरे के साथ गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी आकारिकी के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे साथ रचना नहीं कर सकते एक दूसरे।

[[File:Directed.svg|125px|thumb|निर्देशित ग्राफ।]]कोई भी [[ निर्देशित ग्राफ ]]़ [[ जनरेटिंग सेट ]] छोटी श्रेणी सेट करता है: ऑब्जेक्ट ग्राफ़ के वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, और morphisms ग्राफ़ में पथ हैं (लूप (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँ morphisms की रचना का संयोजन है पथ। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न [[ मुक्त श्रेणी ]] कहा जाता है।

मोर्फिज्म के रूप में मोनोटोनिक कार्यों के साथ सभी पूर्ववर्ती सेटों का वर्ग एक श्रेणी बनाता है, 'पूर्ववर्ती सेटों की श्रेणी'। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी 'सेट' पर किसी प्रकार की संरचना को जोड़कर प्राप्त की जाने वाली श्रेणी, और यह आवश्यक है कि morphisms ऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।

आकारिकी के रूप में [[ समूह समरूपता ]] वाले सभी समूहों का वर्ग और रचना संक्रिया के रूप में कार्य संयोजन एक बड़ी श्रेणी, '[[ समूहों की श्रेणी ]]' बनाता है। 'ऑर्ड' की तरह, 'जीआरपी' एक ठोस श्रेणी है। श्रेणी '[[ [[ एबेलियन समूह ]]ों की श्रेणी ]]', जिसमें सभी एबेलियन समूह और उनके समूह समरूपता शामिल हैं, 'जीआरपी' की एक [[ पूर्ण उपश्रेणी ]] है, और एक [[ एबेलियन श्रेणी ]] का प्रोटोटाइप है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।

{| class="wikitable"
!Category
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!Morphisms
|-
|'''[[category of groups|Grp]]'''
|[[Group (mathematics)|group]]s
|[[group homomorphism]]s
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|[[Magma (algebra)#Morphism of magmas|magma homomorphisms]]
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|[[topological space]]s
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|[[uniform space]]s
|[[uniformly continuous function]]s
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|[[K-Vect|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]]
|[[vector space]]s over the [[field (mathematics)|field]] ''K''
|''K''-[[linear map]]s
|}
उनके बीच [[ बंडल नक्शा ]] वाले [[ फाइबर बंडल ]] एक ठोस श्रेणी बनाते हैं।

[[ छोटी श्रेणियों की श्रेणी ]] श्रेणी में सभी छोटी श्रेणियां होती हैं, उनके बीच के फंक्शनलर्स मॉर्फिज्म के रूप में होते हैं।

== नई श्रेणियों का निर्माण ==

=== दोहरी श्रेणी ===
किसी भी श्रेणी सी को एक अलग तरीके से एक नई श्रेणी के रूप में माना जा सकता है: वस्तुएं मूल श्रेणी में समान हैं लेकिन तीर मूल श्रेणी के विपरीत हैं। इसे विपरीत श्रेणी कहा जाता है और इसे C से निरूपित किया जाता है<sup>ऊपर</sup>.

=== उत्पाद श्रेणियां ===
यदि सी और डी श्रेणियां हैं, तो कोई उत्पाद श्रेणी सी × डी बना सकता है: ऑब्जेक्ट जोड़े हैं जिसमें सी से एक ऑब्जेक्ट और डी से एक ऑब्जेक्ट शामिल है, और मोर्फिज्म भी जोड़े हैं, जिसमें सी में एक मोर्फिज्म और डी में एक शामिल है। ऐसी जोड़ियों की रचना [[ N-tuple ]] की जा सकती है।

== आकारिकी के प्रकार ==
एक आकारिकी f : a → b कहलाती है
* एक [[ एकरूपता ]] (या मोनिक) अगर यह वाम-रद्द करने योग्य है, यानी एफजी<sub>1</sub>= एफजी<sub>2</sub>मतलब जी<sub>1</sub>= जी<sub>2</sub>सभी रूपों के लिए जी<sub>1</sub>, जी<sub>2</sub>: एक्स → ए।
* एक [[ अधिरूपता ]] (या महाकाव्य) अगर यह सही-रद्द करने योग्य है, यानी जी<sub>1</sub>च = जी<sub>2</sub>च का अर्थ है जी<sub>1</sub>= जी<sub>2</sub>सभी रूपों के लिए जी<sub>1</sub>, जी<sub>2</sub>: बी → एक्स।
* एक [[ द्विरूपता ]] यदि यह एक मोनोमोर्फिज्म और एक एपिमॉर्फिज्म दोनों है।
* एक [[ वापस लेना (श्रेणी सिद्धांत) ]] यदि इसका एक सही उलटा है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a fg = 1 के साथ<sub>''b''</sub>.
* एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) यदि इसमें एक वाम प्रतिलोम है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a gf = 1 के साथ<sub>''a''</sub>.
* एक समरूपता यदि इसका व्युत्क्रम है, अर्थात यदि कोई रूपवाद मौजूद है g : b → a fg = 1 के साथ<sub>''b''</sub> और जीएफ = 1<sub>''a''</sub>.
* एक [[ एंडोमोर्फिज्म ]] अगर ए = बी। ए के एंडोमोर्फिज्म के वर्ग को निरूपित अंत (ए) है।
* एक [[ ऑटोमोर्फिज्म ]] अगर एफ एंडोमोर्फिज्म और आइसोमोर्फिज्म दोनों है। a के automorphisms के वर्ग को at(a) निरूपित किया जाता है।

प्रत्येक प्रत्यावर्तन एक एपिमोर्फिज्म है। प्रत्येक खंड एक मोनोमोर्फिज्म है। निम्नलिखित तीन बयान समकक्ष हैं:
* f एक एकरूपता और एक प्रत्यावर्तन है;
* एफ एक एपिमोर्फिज्म और एक खंड है;
* f एक तुल्याकारिता है।

morphisms (जैसे fg = h) के बीच संबंधों को सबसे आसानी से [[ क्रमविनिमेय आरेख ]]ों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, जहाँ वस्तुओं को बिंदुओं के रूप में और morphisms को तीरों के रूप में दर्शाया जाता है।

== श्रेणियों के प्रकार ==
* कई श्रेणियों में, उदा. एबेलियन समूहों की श्रेणी या के-वेक्ट|वेक्ट<sub>''K''</sub>, होम-सेट होम (ए, बी) केवल सेट नहीं हैं बल्कि वास्तव में एबेलियन समूह हैं, और मॉर्फिज्म की संरचना इन समूह संरचनाओं के साथ संगत है; यानी [[ द्विरेखीय रूप ]] है। ऐसी श्रेणी को [[ पूर्वगामी श्रेणी ]] कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, श्रेणी में सभी परिमित [[ उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) ]] और सह-उत्पाद हैं, तो इसे [[ योगात्मक श्रेणी ]] कहा जाता है। यदि सभी morphisms में एक कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) और एक [[ cokernel ]] होता है, और सभी epimorphisms cokernel होते हैं और सभी monomorphism कर्नेल होते हैं, तो हम abelian category की बात करते हैं। एबेलियन श्रेणी का एक विशिष्ट उदाहरण एबेलियन समूहों की श्रेणी है।
* एक श्रेणी पूर्ण श्रेणी कहलाती है यदि उसमें सभी छोटी [[ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) ]] मौजूद हों। सेट, एबेलियन समूह और टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणियां पूरी हो गई हैं।
* एक श्रेणी को [[ कार्तीय बंद श्रेणी ]] कहा जाता है यदि उसके पास परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद हैं और एक परिमित उत्पाद पर परिभाषित एक रूपवाद को हमेशा कारकों में से एक पर परिभाषित एक रूपवाद द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरणों में शामिल हैं 'सेट की श्रेणी' और 'सीपीओ', [[ स्कॉट निरंतरता ]] के साथ पूर्ण आंशिक ऑर्डर की श्रेणी|स्कॉट-निरंतर कार्य।
* एक [[ टोपोस ]] एक निश्चित प्रकार की कार्टेशियन बंद श्रेणी है जिसमें सभी गणित तैयार किए जा सकते हैं (जैसे शास्त्रीय रूप से सभी गणित सेट की श्रेणी में तैयार किए जाते हैं)। एक तार्किक सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक टोपोस का भी उपयोग किया जा सकता है।

== यह भी देखें ==
{{Portal|Mathematics}}
*[[ समृद्ध श्रेणी ]]
*[[ उच्च श्रेणी सिद्धांत ]]
* [[ क्वांटालॉइड ]]
*[[ गणितीय प्रतीकों की तालिका ]]

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}



*
==संदर्भ==
* {{Citation| last1=Adámek |first1=Jiří |last2=Herrlich |first2=Horst |last3=Strecker |first3=George E. |year=1990 |title=Abstract and Concrete Categories |publisher=Wiley  |isbn=0-471-60922-6|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf}} (now free on-line edition, [[GNU Free Documentation License|GNU FDL]]).
* {{Citation| last1=Asperti| first1=Andrea| last2=Longo| first2=Giuseppe| year=1991| title=Categories, Types and Structures| publisher=MIT Press| url=https://archive.org/details/categoriestypess00aspe_0| isbn=0-262-01125-5| url-access=registration}}.
* {{Citation| last1=Awodey | first1=Steve | year=2006| title=Category theory| volume=49| series=Oxford logic guides| publisher=Oxford University Press| isbn = 978-0-19-856861-2}}.
*{{citation
 | last1 = Barr | first1 = Michael | author1-link = Michael Barr (mathematician)
 | last2 = Wells | first2 = Charles | author2-link = Charles Wells (mathematician)
 | edition = revised
 | series = Reprints in Theory and Applications of Categories
 | mr = 2178101
 | title = Toposes, Triples and Theories
 | url = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html
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 | year = 2005}}. 
* {{Citation| last=Borceux| first=Francis| year=1994| chapter=Handbook of Categorical Algebra| title=Encyclopedia of Mathematics and its Applications| location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press| volume=50–52| isbn=0-521-06119-9}}.
* {{springer|title=Category|id=p/c020740}}
* {{Citation| last1= Herrlich |first1= Horst |last2=Strecker |first2=George E. |year=2007 |title=Category Theory |publisher= Heldermann Verlag |isbn = 978-3-88538-001-6}}.
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47187-7}}.
* {{Citation| last1=Lawvere| first1=William| author1-link=William Lawvere| last2=Schanuel| first2=Steve| year=1997| title=Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories | publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-47249-0}}.
* {{Citation| last=Mac Lane| first=Saunders| author-link=Saunders Mac Lane| year=1998| title=[[Categories for the Working Mathematician]]| edition=2nd| series=Graduate Texts in Mathematics |volume=5| publisher=Springer-Verlag| isbn = 0-387-98403-8}}.
* {{Citation| last=Marquis| first=Jean-Pierre| contribution=Category Theory| editor-last=Zalta| editor-first=Edward N.| title=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]| year=2006| contribution-url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/}}.
* {{Citation| last1=Sica| first1=Giandomenico | year=2006| title=What is category theory?| volume=3| series=Advanced studies in mathematics and logic| publisher=Polimetrica| isbn = 978-88-7699-031-1}}.
*{{nlab|id=category}}

{{Category theory}}
{{Authority control}}
[[Category:Category सिद्धांत|*]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 14/11/2022]]