View source for पार स्पेक्ट्रम

[[समय श्रृंखला विश्लेषण]] में, क्रॉस-स्पेक्ट्रम का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के बीच क्रॉस-सहसंबंध या [[क्रॉस-सहप्रसरण]] के [[आवृत्ति डोमेन]] विश्लेषण के हिस्से के रूप में किया जाता है।

== परिभाषा ==
होने देना <math>(X_t,Y_t)</math> स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करते हैं जो [[स्वत: सहप्रसरण]] फ़ंक्शंस के साथ संयुक्त रूप से [[व्यापक अर्थ स्थिर]] हैं <math>\gamma_{xx}</math> और <math>\gamma_{yy}</math> और क्रॉस-सहसंबंध#समय_श्रृंखला_विश्लेषण|क्रॉस-सहप्रसरण फ़ंक्शन <math>\gamma_{xy}</math>. फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम <math>\Gamma_{xy}</math> के [[फूरियर रूपांतरण]] के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\gamma_{xy}</math> <ref>{{Cite book
| publisher = Cambridge Univ Pr
| isbn = 0-521-01230-9
| last = von Storch
| first = H.
|author2=F. W Zwiers
| title = Statistical analysis in climate research
| year = 2001
}}</ref>
: <math>
\Gamma_{xy}(f)= \mathcal{F}\{\gamma_{xy}\}(f) = \sum_{\tau=-\infty}^\infty \,\gamma_{xy}(\tau) \,e^{-2\,\pi\,i\,\tau\,f} ,
</math>
कहाँ
: <math>\gamma_{xy}(\tau) = \operatorname{E}[(x_t - \mu_x)(y_{t+\tau} - \mu_y)]</math> .

क्रॉस-स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व (i) इसके वास्तविक भाग (सह-स्पेक्ट्रम) और (ii) इसके काल्पनिक भाग (चतुर्भुज स्पेक्ट्रम) में अपघटन के रूप में होता है।
: <math>
\Gamma_{xy}(f)= \Lambda_{xy}(f) - i \Psi_{xy}(f) ,
</math>
और (ii) ध्रुवीय निर्देशांक में
: <math>
\Gamma_{xy}(f)= A_{xy}(f)  \,e^{i \phi_{xy}(f) } .
</math>
यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम <math>A_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
: <math>A_{xy}(f)= (\Lambda_{xy}(f)^2 + \Psi_{xy}(f)^2)^\frac{1}{2} ,</math>
और चरण स्पेक्ट्रम <math>\Phi_{xy}</math> द्वारा दिया गया है
: <math>\begin{cases}
  \tan^{-1} (  \Psi_{xy}(f) / \Lambda_{xy}(f)  )     & \text{if } \Psi_{xy}(f) \ne 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) \ne 0 \\
  0     & \text{if } \Psi_{xy}(f) = 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) > 0 \\
  \pm \pi & \text{if } \Psi_{xy}(f) = 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) < 0 \\
  \pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) > 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\
  -\pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) < 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\
\end{cases}</math>


== वर्ग सुसंगतता स्पेक्ट्रम ==
वर्गाकार [[सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] द्वारा दी गई है
: <math>
\kappa_{xy}(f)= \frac{A_{xy}^2}{ \Gamma_{xx}(f) \Gamma_{yy}(f)} ,
</math>
जो आयामहीन इकाइयों में आयाम स्पेक्ट्रम को व्यक्त करता है।

==यह भी देखें==
* क्रॉस-सहसंबंध#समय_श्रृंखला_विश्लेषण|क्रॉस-सहसंबंध
*स्पेक्ट्रल_घनत्व#पावर_स्पेक्ट्रल_घनत्व
* [[स्केल्ड सहसंबंध]]

==संदर्भ==
<references/>
[[Category: फ़्रिक्वेंसी-डोमेन विश्लेषण]] [[Category: बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला]] 



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[[Category:Created On 26/07/2023]]