View source for गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण

{{Short description|Correspondence in functional analysis}}
[[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनात्मक विश्लेषण]] में, गणित के भीतर अनुशासन, जिसे [[सी*-बीजगणित]] ए दिया जाता है, 'गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण' ए के चक्रीय *-प्रतिनिधित्व और ए (जिसे राज्य कहा जाता है) पर कुछ [[रैखिक कार्यात्मक|रैखिक फलनात्मक]]ताओं के बीच पत्राचार स्थापित करता है। पत्राचार को राज्य की ओर से *-प्रतिनिधित्व के स्पष्ट निर्माण द्वारा दिखाया गया है। इसका नाम [[इज़राइल गेलफैंड]], [[ मार्क नमारिक ]] और [[इरविंग सेगल]] के नाम पर रखा गया है।

== राज्य और प्रतिनिधित्व ==

ए *-[[ हिल्बर्ट स्थान ]] ''एच'' पर सी*-बीजगणित ''ए'' का प्रतिनिधित्व नक्शा (गणित)पिंग है
π ''ए'' से ''एच'' पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित में इस प्रकार
* π [[वलय समरूपता]] है जो ''ए'' पर इनवोल्यूशन (गणित) को ऑपरेटरों पर इनवल्यूशन में ले जाता है
* π नॉनडीजेनरेट है, अर्थात सदिशों का स्थान π(''x'') ξ सघन है क्योंकि ''x'' की श्रेणी ''A'' से होती है और ξ की श्रेणी ''H'' से होती है। ध्यान दें कि यदि ''ए'' की पहचान है, तो नॉनडिजेनरेसी का मतलब है कि π इकाई-संरक्षण है, यानी π ''ए'' की पहचान को ''एच'' पर पहचान ऑपरेटर को मैप करता है।

सी*-बीजगणित ''ए'' पर स्थिति (फलनात्मक विश्लेषण) मानक 1 का [[सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक|सकारात्मक रैखिक फलनात्मक]] ''एफ'' है। यदि ''ए'' में गुणक इकाई तत्व है तो यह स्थिति ''एफ'' के बराबर है ''(1)=1.

हिल्बर्ट स्पेस ''एच'' पर सी*-बीजगणित ''ए'' के प्रतिनिधित्व π के लिए, तत्व ξ को चक्रीय वेक्टर कहा जाता है यदि वैक्टर का सेट
:<math>\{\pi(x)\xi:x\in A\}</math>
H में मानक सघनता है, इस स्थिति में π को 'चक्रीय प्रतिनिधित्व' कहा जाता है। [[अघुलनशील प्रतिनिधित्व]] का कोई भी गैर-शून्य वेक्टर चक्रीय है। हालाँकि, सामान्य चक्रीय प्रतिनिधित्व में गैर-शून्य वैक्टर चक्रीय होने में विफल हो सकते हैं।

===जीएनएस निर्माण===
मान लीजिए π हिल्बर्ट स्पेस H पर C*-बीजगणित A का *-प्रतिनिधित्व है और π के लिए इकाई मानक चक्रीय वेक्टर है। तब
<math display="block"> a \mapsto \langle \pi(a) \xi, \xi\rangle </math>
A की अवस्था है.

इसके विपरीत, ए के प्रत्येक राज्य को राज्य (फलनात्मक विश्लेषण) के रूप में देखा जा सकता है #वेक्टर उपयुक्त विहित प्रतिनिधित्व के तहत ऊपर बताए अनुसार बताता है।

{{math theorem
| name = Theorem.<ref>[[Kadison, R. V.]], Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}</ref>
| math_statement = Given a state ρ of ''A'', there is a *-representation π of ''A'' acting on a Hilbert space ''H'' with distinguished unit cyclic vector ξ such that <math>\rho(a)=\langle \pi(a) \xi, \xi \rangle</math> for every ''a'' in ''A''.
}}
{{math proof | proof =
{{ordered list
| 1 = '''Construction of the Hilbert space ''H'' '''

Define on ''A'' a semi-definite [[sesquilinear form]]
<math display="block"> \langle a, b \rangle =\rho(b^*a), \; a, b \in A.</math>
By the [[Positive linear functional#Cauchy-Schwarz inequality|Cauchy–Schwarz inequality]], the degenerate elements, ''a'' in ''A'' satisfying ρ(''a* a'')= 0, form a vector subspace ''I'' of ''A''. By a C*-algebraic argument, one can show that ''I'' is a [[left ideal]] of ''A'' (known as the left kernel of ρ). In fact, it is the largest left ideal in the null space of ρ. The [[quotient space (linear algebra)|quotient space]] of ''A'' by the vector subspace ''I'' is an inner product space with the inner product defined by<math>\langle a+I,b+I\rangle :=\rho(b^*a),\; a,b\in A</math>. The [[Cauchy completion]] of ''A''/''I'' in the norm induced by this inner product is a Hilbert space, which we denote by ''H''.

| 2 = '''Construction of the representation π '''
{{pb}}
Define the action π of ''A'' on ''A''/''I'' by π(''a'')(''b''+''I'') = ''ab''+''I'' of ''A'' on ''A''/''I''. The same argument showing ''I'' is a left ideal also implies that π(''a'') is a bounded operator on ''A''/''I'' and therefore can be extended uniquely to the completion. Unravelling the definition of the [[adjoint]] of an operator on a Hilbert space, π turns out to be *-preserving. This proves the existence of a  *-representation π.

| 3 = '''Identifying the unit norm cyclic vector ξ '''
{{pb}}
If ''A'' has a multiplicative identity 1, then it is immediate that the equivalence class ξ in the GNS Hilbert space ''H'' containing 1 is a cyclic vector for the above representation. If ''A'' is non-unital, take  an [[approximate identity]] {''e<sub>&lambda;</sub>''} for ''A''. Since positive linear functionals are bounded, the equivalence classes of the net {''e<sub>&lambda;</sub>''} converges to some vector ξ in ''H'', which is a cyclic vector for π.

It is clear from the definition of the inner product on the GNS Hilbert space ''H'' that the state ρ can be recovered as a vector state on ''H''. This proves the theorem.
}}
}}

उपरोक्त प्रमेय के प्रमाण में ए की स्थिति से *-निरूपण उत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को 'जीएनएस निर्माण' कहा जाता है।
सी*-बीजगणित ए की स्थिति के लिए, संबंधित जीएनएस प्रतिनिधित्व अनिवार्य रूप से स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, <math>\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle</math> जैसा कि नीचे प्रमेय में देखा गया है।
{{math theorem | name = Theorem.<ref>[[Kadison, R. V.]], Proposition 4.5.3, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}</ref> | math_statement = Given a state ρ of ''A'', let π, π' be *-representations of ''A'' on Hilbert spaces ''H'', ''H&apos;'' respectively each with unit norm cyclic vectors ξ ∈ ''H'', ξ' ∈ ''H&apos;'' such that <math>\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle = \langle \pi'(a) \xi ', \xi ' \rangle</math> for all <math>a \in A</math>. Then π, π' are unitarily equivalent *-representations i.e. there is a unitary operator ''U'' from ''H'' to ''H&apos;'' such that π'(''a'') = Uπ(''a'')U* for all ''a'' in ''A''. The operator ''U'' that  implements the unitary equivalence maps π(''a'')ξ to π'(''a'')ξ' for all ''a'' in ''A''.}}

===जीएनएस निर्माण का महत्व===
जीएनएस निर्माण गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय के प्रमाण के केंद्र में है जो सी*-बीजगणित को ऑपरेटरों के बीजगणित के रूप में दर्शाता है। एसी*-बीजगणित में पर्याप्त रूप से कई शुद्ध अवस्थाएं हैं (नीचे देखें) ताकि संबंधित अपरिवर्तनीय जीएनएस अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग [[ वफादार फनकार ]] हो।

सभी राज्यों के संगत जीएनएस अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग को ''ए'' का [[सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व (सी*-बीजगणित)]] कहा जाता है। ''ए'' के सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व में प्रत्येक चक्रीय प्रतिनिधित्व शामिल है। जैसा कि प्रत्येक *-प्रतिनिधित्व चक्रीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है, यह इस प्रकार है कि ''ए'' का प्रत्येक *-प्रतिनिधित्व सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व की प्रतियों के कुछ योग का प्रत्यक्ष योग है।

यदि Φ C*-बीजगणित ''ए'' का सार्वभौमिक प्रतिनिधित्व है, तो [[कमजोर ऑपरेटर टोपोलॉजी]] में Φ(''ए'') को बंद करने को ''ए'' का आवरण वॉन न्यूमैन बीजगणित कहा जाता है। इसे डबल डुअल ''ए**'' से पहचाना जा सकता है।

== इरेड्यूसिबिलिटी ==

अघुलनशील प्रतिनिधित्व *-प्रतिनिधित्व और राज्यों के उत्तल सेट के चरम बिंदुओं के बीच का संबंध भी महत्वपूर्ण है। H पर प्रतिनिधित्व π अपरिवर्तनीय है यदि और केवल तभी जब H का कोई बंद उप-स्थान न हो जो H और तुच्छ उप-स्थान {0} के अलावा सभी ऑपरेटरों π (x) के तहत अपरिवर्तनीय हो।

{{math theorem | math_statement = The set of states of a C*-algebra ''A'' with a unit element is a compact [[convex set]] under the weak-* topology.  In general, (regardless of whether or not ''A'' has a unit element) the set of positive functionals of norm ≤ 1 is a compact convex set.}}

ये दोनों परिणाम बानाच-अलाओग्लू प्रमेय का तुरंत अनुसरण करते हैं।

इकाई क्रमविनिमेय मामले में, कुछ सघन द्रव्यमान ≤ 1. क्रेइन-मिलमैन प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि चरम अवस्थाएं डायराक बिंदु-द्रव्यमान माप हैं।

दूसरी ओर, C(X) का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि यह एक-आयामी है। इसलिए, माप μ के अनुरूप C(X) का GNS प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है यदि और केवल यदि μ चरम अवस्था है। यह वास्तव में सामान्यतः C*-बीजगणित के लिए सत्य है।

{{math theorem | math_statement = Let ''A'' be a C*-algebra.  If π is a *-representation of ''A''  on the Hilbert space ''H'' with unit norm cyclic vector ξ, then π is irreducible if and only if the corresponding state ''f'' is an [[extreme point]] of the convex set of positive linear functionals on ''A'' of norm ≤ 1.}}

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले यह नोट करें कि प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि π(ए) के [[ वे आदान-प्रदान करते हैं ]], जिसे π(ए)' द्वारा निरूपित किया जाता है, में पहचान के अदिश गुणक शामिल होते हैं।

ए पर एफ द्वारा प्रभुत्व वाले किसी भी सकारात्मक रैखिक फलनात्मक जी के रूप का है
<math display="block"> g(x^*x) = \langle \pi(x) \xi,  \pi(x) T_g \, \xi \rangle </math>
कुछ सकारात्मक ऑपरेटर टी के लिए<sub>g</sub>ऑपरेटर क्रम में 0 ≤ T ≤ 1 के साथ π(A)' में। यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का संस्करण है।

ऐसे g के लिए, कोई f को सकारात्मक रैखिक फलनात्मकताओं के योग के रूप में लिख सकता है: f = g + g' । तो π इकाई रूप से π के उप-प्रतिनिधित्व के बराबर है<sub>''g''</sub> ⊕ पी<sub>''g' ''</sub>. इससे पता चलता है कि π अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि ऐसा कोई π है<sub>''g''</sub> इकाई रूप से π के समतुल्य है, अर्थात g, f का अदिश गुणज है, जो प्रमेय को सिद्ध करता है।

चरम अवस्थाओं को आमतौर पर राज्य (फलनात्मक विश्लेषण)#शुद्ध अवस्थाएँ कहा जाता है। ध्यान दें कि राज्य शुद्ध राज्य है यदि और केवल यदि वह राज्यों के उत्तल सेट में चरम है।

C*-बीजगणित के लिए उपरोक्त प्रमेय अनुमानित पहचान के साथ B-स्टार बीजगणित|B*-बीजगणित के संदर्भ में अधिक सामान्यतः मान्य हैं।

== सामान्यीकरण ==

[[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र]]ों को दर्शाने वाला [[स्टाइनस्प्रिंग फैक्टराइजेशन प्रमेय]] जीएनएस निर्माण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है।

== इतिहास ==
गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय पर गेलफैंड और नैमार्क का पेपर प्रकाशित हुआ था<ref>{{cite journal |author=[[I. M. Gelfand]], [[M. A. Naimark]] |title=हिल्बर्ट स्थान पर ऑपरेटरों की रिंग में मानक रिंगों को शामिल करने पर|journal=[[Matematicheskii Sbornik]] |volume=12 |issue=2 |year=1943 |pages=197–217 |url=http://mi.mathnet.ru/eng/msb6155}} (also [https://books.google.com/books?id=DYCUp0JYU6sC&pg=PA3 Google Books], see pp.&nbsp;3–20)</ref> सेगल ने इस कार्य में निहित निर्माण को पहचाना और इसे धारदार रूप में प्रस्तुत किया।<ref>[[Richard V. Kadison]]: ''Notes on the Gelfand–Neimark theorem''. In: Robert C. Doran (ed.): ''C*-Algebras: 1943–1993. A Fifty Year Celebration'', AMS special session commemorating the first fifty years of C*-algebra theory, January 13–14, 1993, San Antonio, Texas, American Mathematical Society, pp.&nbsp;21–54, {{ISBN|0-8218-5175-6}} ([https://books.google.com/books?id=DYCUp0JYU6sC&pg=PA3 available from Google Books], see pp.&nbsp;21 ff.)</ref>
1947 के अपने पेपर में सेगल ने दिखाया कि यह किसी भी भौतिक प्रणाली के लिए, जिसे हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के बीजगणित द्वारा वर्णित किया जा सकता है, C*-बीजगणित के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। क्वांटम सिद्धांत में इसका अर्थ यह है कि C*-बीजगणित वेधशालाओं द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि सेगल ने बताया, यह पहले [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा केवल गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर-हाइजेनबर्ग सिद्धांत के विशिष्ट मामले के लिए दिखाया गया था।<ref>{{cite journal |author=[[I. E. Segal]]|title=संचालिका बीजगणित का अघुलनशील निरूपण|journal=Bull. Am. Math. Soc. |volume=53 |year=1947 |issue=2 |pages=73–88 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1947-53-02/S0002-9904-1947-08742-5/S0002-9904-1947-08742-5.pdf |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08742-5|doi-access=free }}</ref>
== यह भी देखें ==
*[[चक्रीय और पृथक्कारी सदिश]]
*[[केएसजीएनएस निर्माण]]

==संदर्भ==
{{refbegin}}
* [[William Arveson]], ''An Invitation to C*-Algebra'', Springer-Verlag, 1981
*[[Kadison, Richard]], ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory'', American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}.
* [[Jacques Dixmier]], ''Les C*-algèbres et leurs Représentations'', Gauthier-Villars, 1969.<br/>English translation: {{cite book
  | last =Dixmier
  | first =Jacques
  | title = C*-algebras
  | publisher =North-Holland
  | year = 1982
  | isbn = 0-444-86391-5}}
* Thomas Timmermann, ''An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond'', European Mathematical Society, 2008, {{ISBN|978-3-03719-043-2}} – [https://books.google.com/books?id=S8sZiieo-04C&pg=PA371 Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)]
* Stefan Waldmann: ''On the representation theory of [[deformation quantization]]'', In: ''Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) '', Gruyter, 2002, {{ISBN|978-3-11-017247-8}}, p.&nbsp;107–134 – [https://books.google.com/books?id=xuq8CHNEFKoC&pg=PA113 section 4. The GNS construction (p. 113)]
*{{cite book
 | author = G. Giachetta, L. Mangiarotti, [[Gennadi Sardanashvily|G. Sardanashvily]]
 | year = 2005
 | title = Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics
 | publisher = World Scientific
 | isbn = 981-256-129-3
}}
{{refend}}

=== इनलाइन संदर्भ ===
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Gelfand-Naimark-Segal construction}}

श्रेणी:फलनात्मक विश्लेषण
श्रेणी:सी*-बीजगणित
श्रेणी:स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

आरयू:बीजगणितीय क्वांटम सिद्धांत


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 13/10/2023]]