View source for चरण अंतरिक्ष क्रिस्टल

{{Short description|A state of a physical system in phase space}}
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'''प्रावस्था [[अंतरिक्ष|समष्‍टि]] क्रिस्टल''' भौतिक प्रणाली की स्थिति है जो वास्तविक समष्‍टि के अतिरिक्त [[चरण स्थान|प्रावस्था-समष्‍टि]] में असतत समरूपता प्रदर्शित करती है। एकल-कण प्रणाली के लिए, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल स्थिति संवृत [[क्वांटम प्रणाली]] के लिए हैमिल्टनियन की [[अपना राज्य|आइगेन-स्थिति]] अथवा विवृत क्वांटम प्रणाली के लिए [[लिउविलियन]] के [[eigenoperator|आइगेन-संकारक]] को संदर्भित करती है।<ref name="Guo2013prl">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Marthaler |first2=Michael |last3=Schön |first3=Gerd |title=Phase Space Crystals: A New Way to Create a Quasienergy Band Structure |journal=Physical Review Letters |date=13 November 2013 |volume=111 |issue=20|pages=205303 |doi=10.1103/PhysRevLett.111.205303 |pmid=24289695 |arxiv=1305.1800 |bibcode=2013PhRvL.111t5303G |s2cid=9337383 |url=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.111.205303}}</ref><ref name=Lang2021NJP>{{cite journal |last1=Lang |first1=Ben |last2=Armour |first2=Andrew D |title=जोसेफसन जंक्शन-गुहा सर्किट में मल्टी-फोटॉन अनुनाद|journal=New Journal of Physics |date=1 March 2021 |volume=23 |issue=3 |pages=033021 |doi=10.1088/1367-2630/abe483|arxiv=2012.10149 |bibcode=2021NJPh...23c3021L |s2cid=229332222 }}</ref> कई-निकाय प्रणालियों के लिए, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल प्रावस्था-समष्‍टि में ठोस जैसी क्रिस्टलीय अवस्था है।<ref name="Liang2018NJP">{{cite journal |last1=Liang |first1=Pengfei |last2=Marthaler |first2=Michael |last3=Guo |first3=Lingzhen |title=Floquet many-body engineering: topology and many-body physics in phase space lattices |journal=New Journal of Physics |date=3 April 2018 |volume=20 |issue=2 |pages=023043 |doi=10.1088/1367-2630/aaa7c3|arxiv=1710.09716 |bibcode=2018NJPh...20b3043L |s2cid=3275846 }}</ref><ref name=guo2022prb>{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Peano |first2=Vittorio |last3=Marquardt |first3=Florian |title=Phase space crystal vibrations: Chiral edge states with preserved time-reversal symmetry |journal=Physical Review B |date=3 March 2022 |volume=105 |issue=9 |pages=094301 |doi=10.1103/PhysRevB.105.094301|arxiv=2105.06989 |bibcode=2022PhRvB.105i4301G |s2cid=234680134 }}</ref> प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की सामान्य रूपरेखा ठोस अवस्था भौतिकी और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] के अध्ययन को गतिशील प्रणालियों की प्रावस्था-समष्‍टि में विस्तारित करना है।<ref name="Guo2021book">{{cite book |last1=Guo |first1=Lingzhen |title=Phase space crystals : condensed matter in dynamical systems |date=2021 |publisher=IOP Publishing Ltd |location=Bristol UK |isbn=978-0-7503-3563-8 |url=https://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-3563-8}}</ref> जबकि वास्तविक समष्‍टि में [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] है, प्रावस्था-समष्‍टि क्लासिकल सिंपलेक्टिक ज्यामिति अथवा क्वांटम [[गैर-अनुवांशिक ज्यामिति|अविनिमेय ज्यामिति]] के साथ अंतर्निहित है।

==प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस==

[[जॉन वॉन न्यूमैन]] ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक मैथमेटिकल फ़ाउंडेशन ऑफ़ क्वांटम मैकेनिक्स में,<ref>{{cite book |last1=von Neumann |first1=John |title=क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव|date=1955 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton NJ |page=406}}</ref> क्रमशः स्थिति और गति दिशाओं के साथ दो क्रमविनिमेय प्राथमिक विस्थापन संकारकों द्वारा प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस का निर्माण किया, जिसे वर्तमान में वॉन न्यूमैन लैटिस भी कहा जाता है। यदि प्रावस्था-समष्‍टि को आवृत्ति-समय तल से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वॉन न्यूमैन लैटिस को गैबोर लैटिस कहा जाता है <ref>{{cite journal |last1=Gabor |first1=D. |title=संचार का सिद्धांत|journal=J. Inst. Electr. Eng. |date=1946 |volume=93 |pages=429–457}}</ref> और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए इसका उपयोग व्यापक रूप से किया जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Daubechies |first1=I. |title=तरंगिका परिवर्तन, समय-आवृत्ति स्थानीयकरण और संकेत विश्लेषण|journal=IEEE Transactions on Information Theory |date=1990 |volume=36 |issue=5 |pages=961–1005 |doi=10.1109/18.57199|bibcode=1990ITIT...36..961D }}</ref>

प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस मूल रूप से वास्तविक समष्‍टि लैटिस से भिन्न होती है क्योंकि प्रावस्था-समष्‍टि के दो निर्देशांक [[क्वांटम यांत्रिकी]] में अविनिमेय होते हैं। परिणामस्वरूप, प्रावस्था-समष्‍टि में संवृत पथ के साथ गति करने वाली सुसंगत स्थिति अतिरिक्त प्रावस्था गुणक प्राप्त करती है, जो चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेश कण के अहरोनोव-बोहम प्रभाव के समान होती है।<ref name="Zak1992EPL">{{cite journal |last1=Zak |first1=J |title=लैंडौ लेवल ऑर्बिटल्स के लिए पहचान|journal=Europhysics Letters (EPL) |date=1 February 1992 |volume=17 |issue=5 |pages=443–448 |doi=10.1209/0295-5075/17/5/011 |bibcode=1992EL.....17..443Z |s2cid=250911987 |url=https://iopscience.iop.org/article/10.1209/0295-5075/17/5/011}}</ref><ref name="Liang2018NJP" /> प्रावस्था-समष्‍टि और चुंबकीय क्षेत्र के मध्य घनिष्ठ संबंध है। वास्तव में, गति के विहित समीकरण को लोरेन्ज़-बल के रूप में भी पुनः अंकित किया जा सकता है जो वास्तविक प्रावस्था-समष्‍टि की सिंपलेक्टिक ज्यामिति को दर्शाता है <ref name="Guo2021book" />

गतिशील प्रणालियों की प्रावस्था-समष्‍टि में, स्थिर बिंदु अपने प्रतिवेशी क्षेत्रों के साथ अराजक समुद्र में तथाकथित पोंकारे-बिरखॉफ द्वीप बनाते हैं जो प्रावस्था-समष्‍टि में श्रेणी या कुछ नियमित दो आयामी लैटिस संरचनाएं बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, किक्ड हार्मोनिक ऑसिलेटर (केएचओ) के प्रभावी हैमिल्टनियन <ref>{{cite book |last1=Zaslavsky |first1=G. M. |title=हैमिल्टनियन कैओस और फ्रैक्शनल डायनेमिक्स|date=2008 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |isbn=978-0199535484 |edition=1}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Zaslavsky |first1=George |title=ज़स्लावस्की वेब मानचित्र|journal=Scholarpedia |pages=3369 |language=en |doi=10.4249/scholarpedia.3369 |date=11 October 2007|volume=2 |issue=10 |bibcode=2007SchpJ...2.3369Z |doi-access=free }}</ref> में किकिंग संख्या के अनुपात के आधार पर प्रावस्था-समष्‍टि में वर्गाकार लैटिस, त्रिकोण लैटिस और अर्ध-क्रिस्टलीय संरचनाएं भी हो सकती हैं। वास्तव में, किसी भी आरबिटरेरी प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस को केएचओ के लिए उपयुक्त किकिंग अनुक्रम का चयन करके डिज़ाइन किया जा सकता है।<ref name="guo2022prb" />

== प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल (पीएससी) ==
प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की अवधारणा गुओ एट अल द्वारा प्रस्तावित की गई थी<ref name="Guo2013prl" /> और मूल रूप से समय-समय पर संचालित (फ्लोक्वेट) गतिशील प्रणाली के प्रभावी हैमिल्टन की आइगेन-स्थिति को संदर्भित करती है। इस पर निर्भर करते हुए कि संचरण प्रभाव सम्मिलित है या नहीं, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल को एकल-कण पीएससी और कई-निकाय पीएससी में वर्गीकृत किया जा सकता है।<ref name="Sach2022aapps">{{cite journal |last1=Hannaford |first1=Peter |last2=Sacha |first2=Krzysztof |title=बड़े असतत समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=AAPPS Bulletin |date=December 2022 |volume=32 |issue=1 |pages=12 |doi=10.1007/s43673-022-00041-8|arxiv=2202.05544 |bibcode=2022APPSB..32...12H |s2cid=246823338 }}</ref>

'''एकल-कण प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल'''

प्रावस्था-समष्‍टि में समरूपता के आधार पर, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल, प्रावस्था-समष्‍टि में <math>n</math>-फोल्ड घूर्णी समरूपता के साथ 1 आयामी (1डी) स्थिति हो सकता है या पूर्ण प्रावस्था-समष्‍टि में विस्तारित दो-आयामी (2डी) लैटिस स्थिति हो सकती है। संवृत प्रणाली के लिए प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की अवधारणा को विवृत क्वांटम प्रणाली में विस्तारित किया गया है और इसे क्षणिक प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल का नाम दिया गया है।<ref name="Lang2021NJP" />

'''Z<sub>n</sub> पीएससी'''

प्रावस्था-समष्‍टि मूल रूप से वास्तविक समष्‍टि से भिन्न है क्योंकि प्रावस्था-समष्‍टि के दो निर्देशांक आवागमन नहीं करते हैं, अर्थात, <math>[\hat{x},\hat{p}]=i\lambda </math>, जहाँ <math>\lambda</math> आयामहीन [[प्लैंक स्थिरांक]] है। लैडर ऑपरेटर को <math> \hat{a}=(\hat{x}+i\hat{p})/\sqrt{2\lambda} </math> के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि <math>[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1</math> है। भौतिक प्रणाली के हैमिल्टनियन <math>\hat{H}=H(\hat{x},\hat{p})</math> को लैडर ऑपरेटरों के फलन <math>\hat{H}=H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है। प्रावस्था-समष्‍टि में घूर्णी संकारक को परिभाषित करके <ref name="Guo2013prl" /><ref>{{cite journal |last1=Grimsmo |first1=Arne L. |last2=Combes |first2=Joshua |last3=Baragiola |first3=Ben Q. |title=रोटेशन-सममित बोसोनिक कोड के साथ क्वांटम कंप्यूटिंग|journal=Physical Review X |date=6 March 2020 |volume=10 |issue=1 |pages=011058 |doi=10.1103/PhysRevX.10.011058|arxiv=1901.08071 |bibcode=2020PhRvX..10a1058G |s2cid=119383352 }}</ref> द्वारा <math>\hat{T}_\tau=e^{-i\tau \hat{a}^\dagger \hat{a}}</math> जहाँ <math>\tau={2\pi}/{n}</math> साथ <math>n</math> सिस्टम के पास धनात्मक पूर्णांक है <math>n</math>-गुना घूर्णी समरूपता या <math>Z_n</math> समरूपता यदि हैमिल्टनियन घूर्णी ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है <math>[\hat{H},\hat{T}_\tau]=0</math>, अर्थात।,
<math display="block">\hat{H}=\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{T}_\tau \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{T}^\dagger_\tau\hat{a}\hat{T}_\tau,\hat{T}^\dagger_\tau\hat{H}\hat{a}^\dagger_\tau)=H(\hat{a}e^{-i\tau},\hat{a}^\dagger e^{i\tau}).</math>इस मामले में, कोई [[बलोच प्रमेय]] को लागू कर सकता है <math>n</math>-सममित हैमिल्टनियन को मोड़ें और [[बैंड संरचना]] की गणना करें।<ref name="Guo2013prl" /><ref name="guo2016njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Marthaler |first2=Michael |title=चरण स्थान में जाली संरचनाओं का संश्लेषण|journal=New Journal of Physics |date=1 February 2016 |volume=18 |issue=2 |pages=023006 |doi=10.1088/1367-2630/18/2/023006|bibcode=2016NJPh...18b3006G |s2cid=117684029 |doi-access=free }}</ref> हैमिल्टनियन की असतत घूर्णी सममित संरचना को कहा जाता है<math>Z_n</math> प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस <ref name="Guo2020njp">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liang |first2=Pengfei |title=समय क्रिस्टल में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=New Journal of Physics |date=1 July 2020 |volume=22 |issue=7 |pages=075003 |doi=10.1088/1367-2630/ab9d54|arxiv=2005.03138 |bibcode=2020NJPh...22g5003G |s2cid=218538401 }}</ref> और संबंधित स्वदेशी राज्यों को कहा जाता है<math>Z_n</math> प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल.
====लैटिस पीएससी====

असतत घूर्णी समरूपता को पूरे प्रावस्था-समष्‍टि में असतत अनुवादात्मक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है। ऐसे उद्देश्य के लिए, प्रावस्था-समष्‍टि में विस्थापन ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है <math>\hat{D}(\xi)=\exp[(\xi\hat{a}^\dagger-\xi^*\hat{a})/\sqrt{2\lambda}]</math> जिसके पास संपत्ति है <math>\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi)=\hat{a}+\xi</math>, जहाँ <math>\xi</math> प्रावस्था-समष्‍टि में विस्थापन वेक्टर के अनुरूप [[जटिल संख्या]] है। यदि हैमिल्टनियन ट्रांसलेशनल ऑपरेटर के साथ कम्यूट करता है तो सिस्टम में असतत ट्रांसलेशनल समरूपता होती है <math>[\hat{H},\hat{D}^\dagger(\xi)]=0</math>, अर्थात।,<math display="block"> \hat{H}=\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{H}\hat{D}(\xi) \rightarrow H(\hat{a},\hat{a}^\dagger)=H(\hat{D}^\dagger(\xi)\hat{a}\hat{D}(\xi),\hat{D}^\dagger\hat{a}^\dagger\hat{D}(\xi))=H(\hat{a}+\xi,\hat{a}^\dagger+\xi^*).</math>यदि दो प्राथमिक विस्थापन मौजूद हैं <math>\hat{D}(\xi_1)</math> और <math>\hat{D}(\xi_2)</math> जो उपरोक्त शर्त को साथ पूरा करते हैं, प्रावस्था-समष्‍टि हैमिल्टनियन के पास प्रावस्था-समष्‍टि में 2डी लैटिस समरूपता है। हालाँकि, दो विस्थापन ऑपरेटर सामान्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं हैं <math>[\hat{D}(\xi_1),\hat{D}(\xi_2)]\neq 0</math>. गैर-क्रमविनिमेय प्रावस्था-समष्‍टि में, बिंदु की अवधारणा अर्थहीन है। इसके अतिरिक्त, सुसंगत स्थिति <math>|\alpha\rangle</math> के माध्यम से कम करने वाले ऑपरेटर के eigenstate के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle</math>. विस्थापन ऑपरेटर सुसंगत स्थिति को अतिरिक्त चरण के साथ विस्थापित करता है, अर्थात, <math>\hat{D}(\xi)|\alpha\rangle=e^{i\mathrm{Im}(\xi\alpha^*)}|\alpha+\xi\rangle</math>. सुसंगत अवस्था जो संवृत रास्ते पर चलती है, उदाहरण के लिए, तीन किनारों वाला त्रिकोण <math>(\xi_1,\xi_2,-\xi_1-\xi_2)</math> प्रावस्था-समष्‍टि में, [[ज्यामितीय चरण]] कारक प्राप्त करता है <ref>{{cite journal |last1=Pechal |first1=M. |last2=Berger |first2=S. |last3=Abdumalikov |first3=A. A. |last4=Fink |first4=J. M. |last5=Mlynek |first5=J. A. |last6=Steffen |first6=L. |last7=Wallraff |first7=A. |last8=Filipp |first8=S. |title=एक इलेक्ट्रॉनिक हार्मोनिक ऑसिलेटर में ज्यामितीय चरण और नॉनडायबेटिक प्रभाव|journal=Physical Review Letters |date=23 April 2012 |volume=108 |issue=17 |pages=170401 |doi=10.1103/PhysRevLett.108.170401|pmid=22680840 |arxiv=1109.1157 |bibcode=2012PhRvL.108q0401P |s2cid=22269801 }}</ref><ref name="Liang2018NJP" /> 
<math>\hat{D}[-\xi_1-\xi_2]\hat{D}(\xi_2)\hat{D}(\xi_1)|\alpha\rangle=e^{i\frac{S}{\lambda}}|\alpha\rangle,</math>
जहाँ <math>S=\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\xi_2\xi^*_1)</math> संलग्न क्षेत्र है. यह ज्यामितीय चरण चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के अहरोनोव-बोहम चरण के अनुरूप है। यदि चुंबकीय इकाई सेल और लैटिस इकाई सेल तुलनीय हैं, अर्थात्, दो पूर्णांक मौजूद हैं <math>r</math> और <math>s</math> ऐसा है कि <math>[\hat{D}^r(\xi_1),\hat{D}^s(\xi_2)]=0</math>, कोई 2डी ब्रिलॉइन में परिभाषित बैंड संरचना की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गाकार प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस हैमिल्टनियन का स्पेक्ट्रम <math>\hat{H}=\cos\hat{x}+\cos\hat{p}</math> हॉफस्टैटर की तितली बैंड संरचना प्रदर्शित करता है <ref name="Liang2018NJP" /><ref>{{cite journal |last1=Billam |first1=T. P. |last2=Gardiner |first2=S. A. |title=Quantum resonances in an atom-optical δ -kicked harmonic oscillator |journal=Physical Review A |date=20 August 2009 |volume=80 |issue=2 |pages=023414 |doi=10.1103/PhysRevA.80.023414|arxiv=0809.4373 |bibcode=2009PhRvA..80b3414B |s2cid=118574456 |url=http://dro.dur.ac.uk/7054/1/7054.pdf }}</ref> जो चुंबकीय क्षेत्र में कसकर बांधने वाली लैटिस साइटों के मध्य आवेशित कणों के उछलने का वर्णन करता है।<ref name="Hofstadter1976prb">{{cite journal |last1=Hofstadter |first1=Douglas R. |title=तर्कसंगत और अपरिमेय चुंबकीय क्षेत्रों में बलोच इलेक्ट्रॉनों का ऊर्जा स्तर और तरंग कार्य|journal=Physical Review B |date=15 September 1976 |volume=14 |issue=6 |pages=2239–2249 |doi=10.1103/PhysRevB.14.2239|bibcode=1976PhRvB..14.2239H }}</ref> इस मामले में, ईजेनस्टेट्स को 2डी लैटिस प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल कहा जाता है।

====विघटनकारी पीएससी====

संवृत क्वांटम प्रणाली के लिए प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की अवधारणा को खुले क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित किया गया है।<ref name="Lang2021NJP" />[[सर्किट QED]] सिस्टम में, माइक्रोवेव रेज़ोनेटर [[जोसेफसन जंक्शन]]ों और [[वोल्टेज पूर्वाग्रह]] के साथ संयुक्त होता है <math>n</math>-फोटॉन अनुनाद को [[घूर्णन तरंग सन्निकटन]] (आरडब्ल्यूए) हैमिल्टनियन द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math>\hat{H}_{RWA}</math> साथ <math>Z_n</math> ऊपर वर्णित प्रावस्था-समष्‍टि समरूपता। जब ल-फोटॉन हानि प्रमुख होती है, तो अनुनादक की विघटनकारी गतिशीलता को निम्नलिखित [[मास्टर समीकरण]] (लिंडब्लैड समीकरण) द्वारा वर्णित किया जाता है।
<math display="block"> \frac{d\rho}{dt}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{H}_{RWA},\rho]+\frac{\gamma}{2}(2\hat{a}\rho\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\rho-\rho\hat{a}^{\dagger}\hat{a})=\mathcal{L}(\rho),</math>जहाँ <math>\gamma</math> हानि दर और [[सुपरऑपरेटर]] है <math>\mathcal{L}</math> लिउविलियन कहा जाता है। कोई सिस्टम के लिउविलियन के [[eigenspectrum]] और संबंधित ईजेनऑपरेटर की गणना कर सकता है <math>\mathcal{L}\hat{\rho}_m=\lambda_m\hat{\rho}_m</math>.
ध्यान दें कि न केवल हैमिल्टनियन बल्कि लिउविलियन भी इसके अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं <math>n</math>-फोल्ड रोटेशनल ऑपरेशन, यानी, <math>[\mathcal{L},\mathcal{T}_\tau]=0</math> साथ <math>\mathcal{T}_\tau\hat{O}=\hat{T}^\dagger_\tau\hat{O}\hat{T}_\tau</math> और <math>\tau={2\pi}/{n}</math>. यह समरूपता प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की अवधारणा को खुली क्वांटम प्रणाली तक विस्तारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। परिणामस्वरूप, लिउविलियन ईजेनऑपरेटर्स <math>\hat{\rho}_m</math> प्रावस्था-समष्‍टि में बलोच मोड संरचना होती है, जिसे विघटनकारी प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल कहा जाता है।<ref name="Lang2021NJP" />

'''अनेक-निकाय प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल'''

प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल की अवधारणा को परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रणालियों तक बढ़ाया जा सकता है जहां यह प्रावस्था-समष्‍टि में ठोस जैसी क्रिस्टलीय संरचना वाले कई-शरीर वाले राज्य को संदर्भित करता है।<ref name="Liang2018NJP" /><ref name="guo2022prb" /><ref name="Sach2022aapps" />इस मामले में, कणों की परस्पर क्रिया महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। वास्तविक समष्‍टि में, कई शरीर वाले हैमिल्टनियन परेशान आवधिक ड्राइव (अवधि के साथ) के अधीन थे <math>T</math>) द्वारा दिया गया है
<math display="block">\mathcal{H}=\sum_iH(x_i,p_i,t)+\sum_{i<j}V(x_i-x_j).</math>आमतौर पर, बातचीत की क्षमता <math>V(x_i-x_j)</math> वास्तविक समष्‍टि में दो कणों की दूरी का फलन है। ड्राइविंग आवृत्ति के साथ घूर्णन फ्रेम में परिवर्तन करके और घूर्णन तरंग सन्निकटन (आरडब्ल्यूए) को अपनाकर, कोई प्रभावी हैमिल्टनियन प्राप्त कर सकता है <ref name="Guo2020njp" /><ref name="Guo2021book" /><math display="block">\mathcal{H}_{RWA}=\sum_iH_{RWA}(X_i,P_i,t)+\sum_{i<j}U(X_i,P_i;X_j,P_j).</math>यहाँ, <math>X_i, P_i</math> की स्ट्रोबोस्कोपिक स्थिति और गति हैं <math>i</math>-वें कण, अर्थात्, वे का मान लेते हैं <math>x_i(t), p_i(t)</math> ड्राइविंग अवधि के पूर्णांक गुणज पर <math>t=nT</math>. प्रावस्था-समष्‍टि में क्रिस्टल संरचना रखने के लिए, प्रावस्था-समष्‍टि में प्रभावी अंतःक्रिया को प्रावस्था-समष्‍टि में अलग-अलग घूर्णी या अनुवादात्मक संचालन के तहत अपरिवर्तनीय होना आवश्यक है।

====प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन====

शास्त्रीय गतिकी में, अग्रणी क्रम में, प्रावस्था-समष्‍टि में प्रभावी अंतःक्रिया क्षमता ड्राइविंग अवधि में समय-औसत वास्तविक समष्‍टि अंतःक्रिया है
<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0V[x_i(t)-x_j(t)].</math>यहाँ, <math>x_i(t)</math> के प्रक्षेप पथ का प्रतिनिधित्व करता है <math>i</math>ड्राइविंग क्षेत्र की अनुपस्थिति में -वाँ कण। मॉडल [[बिजली कानून]] इंटरैक्शन क्षमता के लिए <math>V(x_i-x_j)=\epsilon^{2n}/|x_i-x_j|^{2n}</math> पूर्णांकों और अर्ध-पूर्णांकों के साथ <math>n\geq 1/2</math>, उपरोक्त समय-औसत सूत्र द्वारा दिया गया प्रत्यक्ष अभिन्न अंग अपसारी है, अर्थात, <math>U_{ij}=\infty.</math> विचलन को दूर करने के लिए पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया शुरू की गई थी <ref name="guo2016pra">{{cite journal |last1=Guo |first1=Lingzhen |last2=Liu |first2=Modan |last3=Marthaler |first3=Michael |title=समय-समय पर संचालित एक-आयामी शास्त्रीय प्रणाली में कम दूरी की बातचीत से प्रभावी लंबी दूरी की बातचीत|journal=Physical Review A |date=20 May 2016 |volume=93 |issue=5 |pages=053616 |doi=10.1103/PhysRevA.93.053616|arxiv=1503.03096 |bibcode=2016PhRvA..93e3616G |s2cid=19442809 |url=https://research.chalmers.se/en/publication/237876 }}</ref> और सही प्रावस्था-समष्‍टि अंतःक्रिया प्रावस्था-समष्‍टि दूरी का कार्य है <math> R_{ij}</math> में <math>(X_i,P_i)</math> विमान। कूलम्ब विभव के लिए <math>n=1/2</math>, परिणाम <math>U(R_{ij})=2\pi^{-1}\tilde{\epsilon}/R_{ij}</math> अभी भी कूलम्ब के नियम का स्वरूप लघुगणकीय पुनर्सामान्यीकृत आवेश तक बना हुआ है <math>\tilde{\epsilon}=\epsilon\ln (\epsilon^{-1}e^2 R^3_{ij}/2)</math>, जहाँ <math>e=2.71828\cdots</math> यूलर की संख्या है. के लिए <math>n=1,3/2,2,5/2,\cdots</math>, पुनर्सामान्यीकृत प्रावस्था-समष्‍टि अंतःक्रिया क्षमता है <ref name="guo2016pra" /><math>U_{ij}=U(R_{ij})=\frac{2\epsilon\gamma^{2n-1}4^{\frac{1}{2n}-1}}{\pi(2n-1)}R^{1-\frac{1}{n}}_{ij}, </math> जहाँ <math>\gamma=(4n-1)^{\frac{1}{2n-1}}</math> टकराव कारक है. के विशेष मामले के लिए <math>n=1</math>, तब से प्रावस्था-समष्‍टि में कोई प्रभावी अंतःक्रिया नहीं हुई है <math>U(R_{ij})=\sqrt{3}\epsilon\pi^{-1}</math> प्रावस्था-समष्‍टि दूरी के संबंध में स्थिरांक है। सामान्य तौर पर के मामले के लिए <math>n>1</math>, प्रावस्था-समष्‍टि अंतःक्रिया <math>{U}(R_{ij})</math> प्रावस्था-समष्‍टि दूरी के साथ बढ़ता है <math>R_{ij}</math>. हार्ड-स्फीयर इंटरैक्शन के लिए (<math>n\rightarrow\infty</math>), प्रावस्था-समष्‍टि अंतःक्रिया <math>U(R_{ij})=\epsilon\pi^{-1}R_{ij}</math> [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी) में [[क्वार्क]]ों के मध्य कारावास की बातचीत की तरह व्यवहार करता है। उपरोक्त प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन वास्तव में प्रावस्था-समष्‍टि में अलग-अलग घूर्णी या अनुवाद संबंधी संचालन के तहत अपरिवर्तनीय है। ड्राइविंग से प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस क्षमता के साथ संयुक्त, स्थिर शासन मौजूद है जहां कण समय-समय पर प्रावस्था-समष्‍टि में खुद को व्यवस्थित करते हैं जिससे कई-शरीर प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल को जन्म मिलता है।<ref name="Liang2018NJP" /><ref name="guo2022prb" /><ref name="Sach2022aapps" />

क्वांटम यांत्रिकी में, बिंदु कण को क्वांटम तरंग पैकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और विचलन समस्या से स्वाभाविक रूप से बचा जाता है। फ़्लोक्वेट प्रणाली के लिए निम्नतम क्रम के [[मैग्नस विस्तार]] के लिए, दो कणों का क्वांटम प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन आवधिक दो-शरीर क्वांटम स्थिति पर समय-औसत वास्तविक समष्‍टि इंटरैक्शन है <math>\Phi(x_i,x_j,t)</math> निम्नलिखित नुसार।<ref name="sacha2015sr">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |title=टाइम डोमेन में एंडरसन स्थानीयकरण और मॉट इंसुलेटर चरण|journal=Scientific Reports |date=1 September 2015 |volume=5 |issue=1 |pages=10787 |doi=10.1038/srep10787|pmid=26074169 |pmc=4466589 |arxiv=1502.02507 |bibcode=2015NatSR...510787S }}</ref><ref name="Liang2018NJP" />
<math display="block">U_{ij}=\frac{1}{T}\int^T_0\langle \Phi(x_i,x_j,t) |V(x_i-x_j)|\Phi(x_i,x_j,t)\rangle.</math>सुसंगत राज्य प्रतिनिधित्व में, क्वांटम प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन लंबी दूरी की सीमा में शास्त्रीय प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन तक पहुंचता है।<ref name="Liang2018NJP" />के लिए <math>N</math> प्रतिकारक संपर्क अंतःक्रिया के साथ बोसोनिक [[अल्ट्राकोल्ड परमाणु]] दोलनशील दर्पण पर उछलते हुए, [[मॉट इन्सुलेटर]] जैसी स्थिति बनाना संभव है <math>Z_n</math> प्रावस्था-समष्‍टि लैटिस.<ref name="sacha2015sr" /><ref name="Guo2020njp" />इस मामले में, प्रत्येक संभावित साइट में कणों की अच्छी तरह से परिभाषित संख्या होती है जिसे 1डी कई-बॉडी चरण स्पेस क्रिस्टल के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।

यदि दो अविभाज्य कणों में [[स्पिन]] होती है, तो कुल प्रावस्था-समष्‍टि इंटरैक्शन को प्रत्यक्ष इंटरैक्शन और विनिमय इंटरैक्शन के योग में लिखा जा सकता है।<ref name="Liang2018NJP" />इसका मतलब यह है कि दो कणों की टक्कर के दौरान विनिमय प्रभाव प्रभावी स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन को प्रेरित कर सकता है <ref name="Guo2021book" />

'''प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल कंपन'''

ठोस क्रिस्टल को वास्तविक समष्‍टि में परमाणुओं की आवधिक व्यवस्था द्वारा परिभाषित किया जाता है, समय-आवधिक ड्राइव के अधीन परमाणु प्रावस्था-समष्‍टि में भी क्रिस्टल बना सकते हैं।<ref name="Liang2018NJP" />इन परमाणुओं के मध्य परस्पर क्रिया ठोस क्रिस्टल में [[फोनन]] के समान सामूहिक कंपन मोड को जन्म देती है। [[ मधुकोश |मधुकोश]] चरण स्पेस क्रिस्टल विशेष रूप से दिलचस्प है क्योंकि कंपन बैंड संरचना में दो उप-लैटिस बैंड होते हैं जिनमें गैर-तुच्छ टोपोलॉजिकल भौतिकी हो सकती है।<ref name="guo2022prb" />किन्हीं दो परमाणुओं के कंपन को आंतरिक रूप से जटिल युग्मन के साथ युग्मन अंतःक्रिया के माध्यम से जोड़ा जाता है। उनके जटिल चरणों की सरल ज्यामितीय व्याख्या होती है और इसे [[गेज परिवर्तन]] द्वारा समाप्त नहीं किया जा सकता है, जिससे प्रावस्था-समष्‍टि में गैर-तुच्छ [[चेर्न संख्या]]ओं और चिरल किनारे वाले राज्यों के साथ कंपन बैंड संरचना बनती है। वास्तविक समष्‍टि में सभी टोपोलॉजिकल परिवहन परिदृश्यों के विपरीत, प्रावस्था-समष्‍टि फ़ोनों के लिए चिरल परिवहन भौतिक [[समय-उलट समरूपता]] को तोड़ने के बिना उत्पन्न हो सकता है।

==[[समय क्रिस्टल]] से संबंध==

समय क्रिस्टल और प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल निकट से संबंधित हैं लेकिन अलग-अलग अवधारणाएँ हैं।<ref name="Guo2021book" />वे दोनों समय-समय पर संचालित प्रणालियों में उभरने वाले सबहार्मोनिक मोड का अध्ययन करते हैं। टाइम क्रिस्टल असतत [[ समय अनुवादात्मक समरूपता |समय अनुवादात्मक समरूपता]] (डीटीटीएस) की सहज समरूपता तोड़ने की प्रक्रिया और क्वांटम कई-बॉडी सिस्टम में सबहार्मोनिक मोड के सुरक्षा तंत्र पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इसके विपरीत, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल का अध्ययन प्रावस्था-समष्‍टि में असतत समरूपता पर केंद्रित है। प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल का निर्माण करने वाले बुनियादी तरीके आवश्यक रूप से कई-निकाय वाले राज्य नहीं हैं, और ल-कण प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल के लिए डीटीटीएस को तोड़ने की आवश्यकता नहीं है। कई-निकाय प्रणालियों के लिए, प्रावस्था-समष्‍टि क्रिस्टल संभावित सबहार्मोनिक मोड के परस्पर क्रिया का अध्ययन करते हैं जो समय-समय पर प्रावस्था-समष्‍टि में व्यवस्थित होते हैं। अनेक समय के क्रिस्टलों की परस्पर क्रिया का अध्ययन करने का चलन है <ref name="autti2021nm">{{cite journal |last1=Autti |first1=S. |last2=Heikkinen |first2=P. J. |last3=Mäkinen |first3=J. T. |last4=Volovik |first4=G. E. |last5=Zavjalov |first5=V. V. |last6=Eltsov |first6=V. B. |title=दो सुपरफ्लुइड समय क्रिस्टल के बीच एसी जोसेफसन प्रभाव|journal=Nature Materials |date=February 2021 |volume=20 |issue=2 |pages=171–174 |doi=10.1038/s41563-020-0780-y|pmid=32807922 |arxiv=2003.06313 |bibcode=2021NatMa..20..171A |s2cid=212717702 |url=https://eprints.lancs.ac.uk/id/eprint/147170/1/TimeCrystalJosephson.pdf }}</ref> जिसे [[समय के क्रिस्टल]] में संघनित पदार्थ भौतिकी के रूप में गढ़ा गया है <ref name="sacha2018rpp">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |last2=Zakrzewski |first2=Jakub |title=Time crystals: a review |journal=Reports on Progress in Physics |date=1 January 2018 |volume=81 |issue=1 |pages=016401 |doi=10.1088/1361-6633/aa8b38|pmid=28885193 |arxiv=1704.03735 |bibcode=2018RPPh...81a6401S |s2cid=28224975 }}</ref><ref name="Guo2020njp" /><ref name="sacha2020tc">{{cite journal |last1=Sacha |first1=Krzysztof |title=समय आयाम में संघनित पदार्थ भौतिकी|journal=Time Crystals |series=Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics |date=2020 |volume=114 |pages=173–235 |doi=10.1007/978-3-030-52523-1_5|isbn=978-3-030-52522-4 |s2cid=226488734 }}</ref>

== संदर्भ ==
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[[Category: भौतिकी में अवधारणाएँ]] [[Category: हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] [[Category: आयामी विश्लेषण]] [[Category: गतिशील प्रणालियाँ]] [[Category: क्वांटम यांत्रिकी]] 



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