View source for द्वैध जालक

{{Group theory sidebar |Discrete}}

[[जाली (समूह)|जालक (समूह)]] के सिद्धांत में, '''द्वैध जालक''' एक द्वैध सदिश स्थान के अनुरूप एक निर्माण है। कुछ स्तिथियों में, एक जालक की द्वैध जालक की ज्यामिति <math display="inline"> L </math> की ज्यामिति का व्युत्क्रम <math display="inline"> L </math> है, एक परिप्रेक्ष्य जो इसके कई उपयोगों को रेखांकित करता है।

द्वैध जालक में जालक सिद्धांत, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, कूटलेखन और गणित के अंदर व्यापक रूप से कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग [[पॉइसन योग सूत्र]] के कथन में किया जाता है, स्थानांतरण प्रमेय एक जालक की ज्यामिति और उसके द्वैध के बीच संबंध प्रदान करते हैं, और कई जालक एल्गोरिदम द्वैध जालक का लाभ उठाते हैं।

भौतिकी/रसायन विज्ञान अनुप्रयोगों पर जोर देने वाले लेख के लिए, [[पारस्परिक जाली|पारस्परिक जालक]] देखें। यह लेख द्वैध जालक की गणितीय धारणा पर केंद्रित है।

==परिभाषा==

मान लीजिये <math display = "inline"> L \subseteq \mathbb{R}^n </math> एक जालक है। वह, <math display = "inline"> L = B \mathbb{Z}^n </math> कुछ आव्यूह के लिए <math display = "inline"> B </math> है।

द्वैध जालक पर [[रैखिक रूप]] [[कार्यात्मक (गणित)]] का सम्मुच्चय है <math display = "inline"> L </math> जो प्रत्येक बिंदु पर पूर्णांक <math display = "inline"> L </math> मान लेता है:

:<math> L^* = \{ f \in (\text{span}(L))^* : \forall x \in L, f(x) \in \mathbb{Z} \}. </math>
अगर <math display = "inline"> (\mathbb{R}^n)^* </math> <math display = "inline"> \mathbb{R}^n </math> से पहचाना जाता है तो[[ डॉट उत्पाद ]]का उपयोग करके हम <math display="inline"> L^* = \{ v \in \text{span}(L) : \forall x \in L, v \cdot x \in \mathbb{Z} \} </math> लिख सकते हैं, <math display="inline"> L </math> के [[रैखिक विस्तार]] में [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश (गणित और भौतिकी)]] तक सीमित रहना महत्वपूर्ण है, अन्यथा परिणामी वस्तु एक जालक (समूह) नहीं है।

परिवेशी [[यूक्लिडियन स्थान]]ों की इस पहचान के बाद भी, इस बात पर दबाव दिया जाना चाहिए कि एक जालक और उसके द्वैध मूल रूप से विभिन्न प्रकार की वस्तुएं हैं; एक में यूक्लिडियन स्थल में सदिश होते हैं, और दूसरे में उस स्थान पर रैखिक कार्यात्मकताओं का एक सम्मुच्चय होता है। इन पंक्तियों के साथ, कोई इस प्रकार अधिक अमूर्त परिभाषा भी दे सकता है:

:<math> L^* = \{ f : L \to \mathbb{Z} : \text{f is a linear function} \} = \text{Hom}_{\text{Ab}}(L, \mathbb{Z}). </math>
हालाँकि, हम ध्यान दें कि द्वैध को केवल कार्यों के एक अमूर्त [[एबेलियन समूह]] के रूप में नहीं माना जाता है, बल्कि यह एक प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद: <math display="inline"> f \cdot g = \sum_i f(e_i) g(e_i) </math> के साथ आता है, जहाँ <math display="inline"> e_i </math> का एक अलंकारिकता आधार <math display="inline"> \text{span}(L)</math> है (समान रूप से, कोई इसे सामान्य आधार  <math display="inline"> e_i </math> के  <math display="inline"> \text{span}(L) </math> पर घोषित कर सकता है, द्वैध सदिश <math display="inline"> e^*_i </math>, द्वारा परिभाषित  <math display="inline"> e_i^*(e_j) = \delta_{ij} </math> एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार हैं।) जालक सिद्धांत में द्वंद्व के प्रमुख उपयोगों में से एक प्रारंभिक जालक की ज्यामिति का उसके द्वैध की ज्यामिति के साथ संबंध है, जिसके लिए हमें इस आंतरिक उत्पाद की आवश्यकता है। ऊपर दिए गए ठोस विवरण में, द्वैध पर आंतरिक उत्पाद सामान्यतः निहित है।

==गुण==

हम द्वैध जालक के कुछ प्राथमिक गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:
* अगर <math display = "inline"> B = [b_1, \ldots, b_n] </math> जालक के लिए आधार देने वाला एक आव्यूह <math display = "inline">  L </math> है, तब  <math display = "inline"> z \in \text{span}(L) </math> <math display = "inline"> z \in L^* \iff b^T_i z \in \mathbb{Z}, i = 1, \ldots, n \iff B^T z \in \mathbb{Z}^n</math> को संतुष्ट करता है।
* अगर <math display = "inline"> B </math> जालक के लिए आधार देने वाला एक आव्यूह <math display = "inline">  L </math> है, तब <math display = "inline"> B (B^T B)^{-1} </math> द्वैध जालक के लिए एक आधार देता है। अगर <math display = "inline">  L </math> पूर्ण रैंक <math display = "inline">  B^{-T} </math> है तो द्वैध जालक के लिए एक आधार देता है: <math display = "inline"> z \in L^* \iff B^T z \in \mathbb{Z}^n \iff z \in B^{-T} \mathbb{Z}^n </math>
*पिछला तथ्य तो यही दर्शाता है <math display = "inline"> (L^*)^* = L </math>। यह समानता एक सदिश स्थल की सामान्य पहचान के अंतर्गत उसके द्वैध के साथ, या उस व्यवस्थापन में होती है जहां आंतरिक उत्पाद की पहचान <math display="inline"> \mathbb{R}^n </math> इसके द्वैध के साथ की गई है।
* दो जालक <math display = "inline"> L,M </math> निर्धारित करें। तब <math display = "inline"> L \subseteq M </math> अगर और केवल अगर <math display = "inline"> L^* \supseteq M^* </math> होता है।
* किसी जालक का निर्धारक उसके द्वैध निर्धारक का व्युत्क्रम होता है: <math display = "inline"> \text{det}(L^*) = \frac{1}{\text{det}(L)} </math>
* अगर <math display = "inline"> q </math>  एक शून्येतर अदिश राशि है तो फिर, <math display = "inline"> (qL)^* = \frac{1}{q} L^* </math>.
* अगर <math display = "inline"> R </math> एक क्रमावर्तन आव्यूह है तो, <math display = "inline"> (RL)^* = R L^* </math>.
* एक जालक <math display="inline"> L </math> यदि <math display = "inline">  x \cdot y \in \mathbb{Z} </math> है तो वह सभी <math display="inline"> x,y \in L </math> के लिए अभिन्न कहा जाता है। मान लीजिए कि जालक <math display="inline"> L </math> पूर्ण रैंक है। यूक्लिडियन स्थल की इसके द्वैध के साथ पहचान के अंतर्गत,  अभिन्न जालक <math display="inline"> L </math> के लिए  हमारे पास <math display="inline"> L \subseteq L^* </math> है। उसे याद करें, यदि  <math display="inline"> L' \subseteq L </math> और  <math display="inline"> |L/L'| <\infty </math>, तब  <math display="inline"> \text{det}(L') = \text{det}(L) | L/L'|  </math>। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक अभिन्न जालक के लिए,  <math display="inline"> \text{det}(L)^2 = | L^* / L| </math> है।
* एक पूर्णांकी जालक को एकमापांकी कहा जाता है यदि  <math display="inline"> L = L^*</math>, जो, उपरोक्त के अनुसार, <math display="inline"> \text{det}(L) = 1 </math> के बराबर है। 


==उदाहरण==

ऊपर सूचीबद्ध गुणों का उपयोग करके, एक जालक के द्वैध की गणना हाथ या कंप्यूटर द्वारा कुशलतापूर्वक की जा सकती है। गणित और कंप्यूटर विज्ञान में महत्व रखने वाली कुछ जालक एक-दूसरे के लिए द्वैध हैं, और हम यहां कुछ को सूचीबद्ध करते हैं।

===प्रारंभिक उदाहरण===

* <math display="inline"> \mathbb{Z}^n </math> का द्वैत <math display="inline"> \mathbb{Z}^n </math> है।
* <math display="inline"> 2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} </math> का द्वैत <math display="inline"> \frac{1}{2} \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} </math> है।
* मान लीजिये <math display="inline"> L = \{ x \in \mathbb{Z}^n : \sum x_i = 0 \mod 2 \}</math> पूर्णांक सदिशों की जालक बनें जिनके निर्देशांकों का योग सम हो। तब  <math display="inline">  L^* = \mathbb{Z}^n + (\frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{2}) </math>, यानी, द्वैध सभी के साथ पूर्णांक सदिश द्वारा उत्पन्न जालक  <math display="inline"> 1/2 </math> s सदिश है।

===क्यू-एरी जालक===

उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण वर्ग, विशेष रूप से जालक कूटलेखन में, क्यू-एरी जालक द्वारा दिया जाता है। एक आव्यूह <math display="inline"> A \in \mathbb{F}_q^{m \times n}</math> के लिए हम परिभाषित करते हैं  <math display="inline"> \Delta_q(A) = \{ x \in \mathbb{Z}^n : x \mod q \in A^T \mathbb{F}_q^m \}, \Delta_q^{\perp}(A) = \{ x \in \mathbb{Z}^n : Ax = 0 \mod q \} </math>; इन्हें क्रमशः छवि और कर्नेल क्यू-एरी जालक <math display="inline"> A </math> कहा जाता है। फिर, यूक्लिडियन स्थल को उसके द्वैध के साथ पहचानने के बाद, हमारे पास एक आव्यूह की छवि और कर्नेल क्यू-एरी जालक है <math display="inline"> A </math> एक अदिश राशि तक द्वैध होते हैं। विशेष रूप से, <math display="inline"> \Delta_q(A)^* = \frac{1}{q} \Delta_q^{\perp}(A) </math> और  <math display="inline"> \Delta_q^{\perp}(A)^* = \frac{1}{q} \Delta_q(A) </math>। (प्रमाण एक अभ्यास के रूप में किया जा सकता है।)

==स्थानांतरण प्रमेय==

प्रत्येक <math display="inline"> f \in L^* \setminus \{0\} </math> विभाजन <math display="inline"> L </math> प्रत्येक पूर्णांक मान के अनुरूप स्तर सम्मुच्चय के अनुसार होता है। <math display="inline"> f </math> के छोटे विकल्प उनके बीच अधिक दूरी वाले स्तर सम्मुच्चय तैयार करें; विशेष रूप से, परतों के बीच की दूरी <math display="inline"> 1 / ||f|| </math> है। इस तरह से तर्क करते हुए, कोई यह दिखा सकता है कि <math display="inline"> L^* </math> में छोटे सदिश खोजने से गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों के सबसे बड़े आकार पर एक निचली सीमा मिलती है, जिसे <math display="inline"> L </math> बिंदुओं के आसपास रखा जा सकता है। सामान्यतः, एक जालक के गुणों को उसके द्वैध गुणों से संबंधित प्रमेयों को स्थानांतरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इस खंड में हम जटिलता सिद्धांत के कुछ परिणामों के साथ उनमें से कुछ की व्याख्या करेंगे।

हमें कुछ शब्दावली याद आती है: एक जालक <math display = "inline"> L</math> के लिए , मान लीजिये <math display = "inline"> \lambda_i(L) </math> सबसे छोटी त्रिज्या वाली गेंद को निरूपित करते हैं जिसमें एक सम्मुच्चय <math display="inline"> i </math> के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश <math display="inline"> L</math> होता है। उदाहरण के लिए,  <math display="inline"> \lambda_1(L) </math> के सबसे छोटे सदिश की लंबाई <math display="inline"> L</math> है। मान लीजिए कि <math display="inline"> \mu(L) = \text{max}_{x \in \mathbb{R}^n } d(x, L) </math>, <math display="inline"> L </math> की आवरण त्रिज्या को दर्शाता है। 

इस चिन्हांकन में, इस खंड के परिचय में उल्लिखित निचली सीमा यह बताती है कि <math display = "inline">  \mu(L) \geq \frac{1}{2 \lambda_1(L^*)} </math> होता है।

{{math theorem 
|'''प्रमेय (बनास्ज़्ज़िक)'''<ref name="Banaszczyk 1993 pp. 625–635">{{cite journal | last=Banaszczyk | first=W. | title=New bounds in some transference theorems in the geometry of numbers | journal=Mathematische Annalen | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=296 | issue=1 | year=1993 | issn=0025-5831 | doi=10.1007/bf01445125 | pages=625–635| s2cid=13921988 }}</ref> 
|For a lattice <math display = "inline"> L</math>:
*:<math> 1 \leq 2 \lambda_1(L) \mu(L^*) \leq n </math>
*:<math> 1 \leq \lambda_i(L) \lambda_{n - i + 1}(L^*) \leq n </math>
}}

इस दावे के लिए हमेशा एक कुशलतापूर्वक जांचने योग्य प्रमाण पत्र होता है कि एक जालक में एक छोटा गैर-शून्य सदिश होता है, अर्थात् सदिश ही होता है। बनास्ज़सीक के स्थानांतरण प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम <math display="inline"> \lambda_1(L) \geq \frac{1}{\lambda_n(L^*)} </math> है, जिसका तात्पर्य यह सिद्ध करने के लिए है कि एक जालक में कोई छोटा सदिश नहीं है, कोई छोटे सदिश से युक्त द्वैध जालक के लिए एक आधार दिखा सकता है। इन विचारों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी जालक के सबसे छोटे सदिश को n के एक कारक ( <math display="inline"> \text{GAPSVP}_n </math> समस्या) <math display="inline"> \text{NP} \cap \text{coNP} </math> में अनुमानित किया जा सकता है।

अन्य स्थानांतरण प्रमेय:
* <math display="inline"> \lambda_1(L) \lambda_1(L^*) \leq n </math> का संबंध मिन्कोव्स्की के प्रमेय से अनुसरण करता है; वह, <math display="inline"> \lambda_1(L) \leq \sqrt{n} (\text{det}(L)^{1/n}) </math>, और <math display = "inline"> \lambda_1(L^*) \leq \sqrt{n} (\text{det}(L^*)^{1/n}) </math> है, जिसके बाद से <math display = "inline"> \text{det}(L) = \frac{1}{\text{det}(L^*)} </math> दावा अनुसरण करता है।

==पॉइसन योग सूत्र==

द्वैध जालक का उपयोग सामान्य पॉइसन योग सूत्र के कथन में किया जाता है।
{{math theorem|
'''प्रमेय (पॉइसन सारांश)'''<ref name="Cohn Kumar Reiher Schürmann 2013">{{cite book | last1=Cohn | first1=Henry | last2=Kumar | first2=Abhinav | last3=Reiher | first3=Christian | last4=Schürmann | first4=Achill | title=Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics | chapter=Formal duality and generalizations of the Poisson summation formula | series=Contemporary Mathematics | year=2014 | volume=625 | pages=123–140 | doi=10.1090/conm/625/12495 | isbn=9781470409050 | s2cid=117741906 | arxiv=1306.6796v2 }}</ref>
Let <math display = "inline"> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} </math> be a [[Pathological (mathematics)|well-behaved]] function, such as a Schwartz function, and let <math display = "inline"> \hat{f} </math> denote its [[Fourier transform]]. Let <math display = "inline"> L \subseteq \mathbb{R}^n </math> be a full rank lattice. Then:

:<math> \sum_{x \in L} f(x) = \frac{1}{\det(L)} \sum_{y \in L^*} \hat{f}(y) </math>.
}}




==अग्रिम पठन==

* {{cite book | last=Ebeling | first=Wolfgang | title=Advanced Lectures in Mathematics | chapter=Lattices and Codes | publisher=Springer Fachmedien Wiesbaden | location=Wiesbaden | year=2013 | isbn=978-3-658-00359-3 | issn=0932-7134 | doi=10.1007/978-3-658-00360-9}}
<!--- {{sfn | Ebeling | 2013 | p=}} --->


==संदर्भ==
{{reflist}}
[[Category: जाली सिद्धांत]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 29/11/2023]]