View source for बोरेल योग

{{Use American English|date = March 2019}}
{{Short description|Summation method for divergent series}}
{{quote box
|align=right
|width=33%
|quote= [[Émile Borel|Borel]], then an unknown young man, discovered that his summation method gave the 'right' answer for many classical divergent series. He decided to make a pilgrimage to Stockholm to see [[Gösta Mittag-Leffler|Mittag-Leffler]], who was the recognized lord of complex analysis. Mittag-Leffler listened politely to what Borel had to say and then, placing his hand upon the complete works by [[Karl Weierstrass|Weierstrass]], his teacher, he said in Latin, 'The Master forbids it'. 
|source=[[Mark Kac]], quoted by {{harvtxt|Reed|Simon|1978|p=38}}
}}

गणित में, बोरेल योग [[अपसारी श्रृंखला]] के लिए एक [[योग विधि]] है, जिसे द्वारा प्रस्तुत किया गया है {{harvs|txt|first=Émile|last=Borel|year=1899|authorlink=Émile Borel}}. यह विशेष रूप से अपसारी असममित श्रृंखलाओं के योग के लिए उपयोगी है, और कुछ अर्थों में ऐसी श्रृंखला के लिए सर्वोत्तम संभव योग देता है। इस पद्धति के कई रूप हैं जिन्हें बोरेल योग भी कहा जाता है, और इसके सामान्यीकरण को मिट्टाग-लेफ़लर योग भी कहा जाता है।

==परिभाषा==

(कम से कम) तीन अलग-अलग विधियाँ हैं जिन्हें बोरेल योग कहा जाता है। वे इस बात में भिन्न हैं कि वे किस श्रृंखला का योग कर सकते हैं, लेकिन सुसंगत हैं, जिसका अर्थ है कि यदि दो विधियाँ एक ही श्रृंखला का योग करती हैं तो वे एक ही उत्तर देती हैं।

पूरे चलो {{math|''A''(''z'')}} एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] श्रृंखला को निरूपित करें

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k,</math>
और बोरेल रूपांतरण को परिभाषित करें {{math|''A''}} इसकी समतुल्य घातीय श्रृंखला होना

:<math>\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k.</math>


=== बोरेल की घातांकीय योग विधि===

होने देना {{math|''A''<sub>''n''</sub>(''z'')}} आंशिक योग निरूपित करें

:<math>A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k.</math>
बोरेल की योग विधि का एक कमजोर रूप बोरेल योग को परिभाषित करता है {{math|''A''}} होना

:<math> \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z). </math>
यदि यह अभिसरण होता है {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}} किसी फ़ंक्शन के लिए {{math|''a''(''z'')}}, हम कहते हैं कि कमजोर बोरेल योग {{math|''A''}} पर अभिसरण होता है {{math|''z''}}, और लिखा <math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>.

===बोरेल की अभिन्न योग विधि===

मान लीजिए कि बोरेल रूपांतरण सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए एक ऐसे फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है जो पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे बढ़ रहा है ताकि निम्नलिखित अभिन्न अंग अच्छी तरह से परिभाषित हो (एक अनुचित अभिन्न अंग के रूप में), बोरेल योग {{math|''A''}} द्वारा दिया गया है

:<math>\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt. </math>
यदि अभिन्न अभिसरण होता है {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}} कुछ करने के लिए {{math|''a''(''z'')}}, हम कहते हैं कि बोरेल योग का {{math|''A''}} पर अभिसरण होता है {{math|''z''}}, और लिखा <math> {\textstyle \sum}  a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B) </math>.

===विश्लेषणात्मक निरंतरता के साथ बोरेल की अभिन्न योग विधि===

यह बोरेल की अभिन्न योग विधि के समान है, सिवाय इसके कि बोरेल परिवर्तन को सभी के लिए अभिसरण की आवश्यकता नहीं है {{math|''t''}}, लेकिन एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] में परिवर्तित हो जाता है {{math|''t''}} 0 के पास जो [[सकारात्मक वास्तविक अक्ष]] के साथ [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] हो सकती है।

==बुनियादी गुण==

===नियमितता===
विधियों {{math|('''B''')}} और {{math|('''wB''')}}दोनों अपसारी श्रृंखला हैं#संक्षेपण विधियों के गुण संक्षेपण विधियां, जिसका अर्थ है कि जब भी {{math|''A''(''z'')}} अभिसरण (मानक अर्थ में), फिर बोरेल योग और कमजोर बोरेल योग भी अभिसरण करते हैं, और इसे समान मूल्य पर करते हैं। अर्थात।

:<math> \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum} a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{wB}). </math>
की नियमितता {{math|('''B''')}} को एकीकरण के क्रम में बदलाव द्वारा आसानी से देखा जा सकता है, जो पूर्ण अभिसरण के कारण मान्य है: यदि {{math|''A''(''z'')}} पर अभिसरण है {{math|''z''}}, तब

:<math> A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a_k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt, </math>
जहां सबसे दाहिनी अभिव्यक्ति बिल्कुल बोरेल योग है {{math|''z''}}.

की नियमितता {{math|('''B''')}} और {{math|('''wB''')}} तात्पर्य यह है कि ये विधियाँ विश्लेषणात्मक विस्तार प्रदान करती हैं {{math|''A''(''z'')}}.

===बोरेल की कोई समानता नहीं और कमजोर बोरेल योग===
कोई भी श्रृंखला {{math|''A''(''z'')}} वह कमज़ोर बोरेल है जो संक्षेपण योग्य है {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;''C''}} बोरेल भी संक्षेपण योग्य है {{math|''z''}}. हालाँकि, कोई ऐसी श्रृंखला के #An_example_in_who_equivalence_fails का निर्माण कर सकता है जो कमजोर बोरेल योग के तहत भिन्न हैं, लेकिन जो बोरेल योग योग्य हैं। निम्नलिखित प्रमेय दो विधियों की तुल्यता को दर्शाता है।

:प्रमेय ({{harv|Hardy|1992|loc=8.5}}).
:होने देना {{math|''A''(''z'')}} एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला बनें, और ठीक करें {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;''C''}}, तब:
:# अगर <math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>, तब <math> {\textstyle \sum}a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B})</math>.
:# अगर <math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B}) </math>, और <math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0, </math> तब <math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) </math>.

===अन्य योग विधियों से संबंध===
* {{math|('''B''')}} मिट्टाग-लेफ़लर सारांश का विशेष मामला है {{math|1=α&nbsp;=&nbsp;1}}.
* {{math|('''wB''')}} को सामान्यीकृत [[यूलर योग]] के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है {{math|('''E''',''q'')}} इस अर्थ में कि जैसे {{math|''q''&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin;}} के अभिसरण का क्षेत्र {{math|('''E''',''q'')}} विधि अभिसरण के क्षेत्र तक अभिसरण करती है {{math|('''B''')}}.<ref name="Hardy1992">Hardy, G. H. (1992). ''Divergent Series''. AMS Chelsea, Rhode Island.</ref>


==अद्वितीयता प्रमेय==

किसी भी दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार के साथ हमेशा कई अलग-अलग कार्य होते हैं। हालाँकि, कभी-कभी सर्वोत्तम संभव कार्य होता है, इस अर्थ में कि किसी क्षेत्र में परिमित-आयामी सन्निकटन में त्रुटियाँ यथासंभव छोटी होती हैं। वॉटसन के प्रमेय और कार्लेमैन के प्रमेय से पता चलता है कि बोरेल योग श्रृंखला का इतना सर्वोत्तम संभव योग उत्पन्न करता है।

===वाटसन का प्रमेय===

वॉटसन का प्रमेय किसी फ़ंक्शन के लिए उसकी स्पर्शोन्मुख श्रृंखला का बोरेल योग होने की शर्तें देता है। लगता है कि {{math|''f''}} निम्नलिखित शर्तों को पूरा करने वाला एक फ़ंक्शन है:
*{{math|''f''}} कुछ क्षेत्र में होलोमोर्फिक है {{math|{{!}}''z''{{!}}&nbsp;<&nbsp;''R''}}, {{math|{{!}}arg(''z''){{!}} < {{pi}}/2 + ''ε''}} कुछ सकारात्मक के लिए {{math|''R''}} और{{math|''ε''}}.
*इस क्षेत्र में {{math|''f''}} में एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला है {{math|''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>1</sub>''z''&nbsp;+&nbsp;...}} संपत्ति के साथ कि त्रुटि
:<math>|f(z)-a_0 -a_1z -\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|</math> से घिरा हुआ है
:<math>C^{n+1}n!|z|^n</math>
सभी के लिए {{math|''z''}} क्षेत्र में (कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए {{math|''C''}}).

तब वाटसन का प्रमेय कहता है कि इस क्षेत्र में {{math|''f''}} इसकी स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के बोरेल योग द्वारा दिया गया है। अधिक सटीक रूप से, बोरेल परिवर्तन की श्रृंखला मूल के पड़ोस में परिवर्तित होती है, और विश्लेषणात्मक रूप से सकारात्मक वास्तविक अक्ष पर जारी रखी जा सकती है, और बोरेल योग को परिभाषित करने वाला अभिन्न अंग परिवर्तित होता है {{math|''f''(''z'')}} के लिए {{math|''z''}} उपरोक्त क्षेत्र में।

===कार्लमैन का प्रमेय===

कार्लेमैन के प्रमेय से पता चलता है कि एक फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से एक सेक्टर में एक एसिम्प्टोटिक श्रृंखला द्वारा निर्धारित किया जाता है, बशर्ते कि परिमित क्रम सन्निकटन में त्रुटियां बहुत तेजी से न बढ़ें। अधिक सटीक रूप से यह बताता है कि यदि {{math|''f''}} सेक्टर के इंटीरियर में विश्लेषणात्मक है {{math|{{!}}''z''{{!}}&nbsp;<&nbsp;''C''}}, {{math|Re(''z'')&nbsp;>&nbsp;0}} और {{math|{{!}}''f''(''z''){{!}}&nbsp;<&nbsp;{{!}}''b''<sub>''n''</sub>''z''{{!}}<sup>''n''</sup>}}इस क्षेत्र में सभी के लिए {{math|''n''}}, तब {{math|''f''}}शून्य है बशर्ते कि श्रृंखला {{math|1/''b''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;1/''b''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;...}} विचलन करता है।

कार्लेमैन का प्रमेय किसी भी एसिम्प्टोटिक श्रृंखला के लिए एक योग विधि देता है, जिसके पद बहुत तेजी से नहीं बढ़ते हैं, क्योंकि योग को एक उपयुक्त क्षेत्र में इस एसिम्प्टोटिक श्रृंखला के साथ अद्वितीय फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि यह मौजूद है। बोरेल योग इस समय के विशेष मामले की तुलना में थोड़ा कमजोर है {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> =''cn''}} कुछ स्थिरांक के लिए {{math|''c''}}. अधिक आम तौर पर कोई संख्याओं को लेकर बोरेल की तुलना में थोड़ा अधिक मजबूत योग विधियों को परिभाषित कर सकता है {{math|''b''<sub>''n''</sub>}} थोड़ा बड़ा होना, उदाहरण के लिए {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> =&nbsp;''cn''log&nbsp;''n''}} या {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> =''cn''log ''n''&nbsp;log&nbsp;log&nbsp;''n''}}. व्यवहार में इस सामान्यीकरण का बहुत कम उपयोग होता है, क्योंकि इस विधि द्वारा संक्षेपित श्रृंखला के लगभग कोई प्राकृतिक उदाहरण नहीं हैं जिन्हें बोरेल की विधि द्वारा भी सारांशित नहीं किया जा सकता है।

===उदाहरण===

कार्यक्रम {{math|1=''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;exp(–1/''z'')}} में स्पर्शोन्मुख श्रृंखला है {{math|1=0&nbsp;+&nbsp;0''z''&nbsp;+&nbsp;...}} क्षेत्र में ऊपर दिए गए फॉर्म में एक त्रुटि आबद्ध है {{math|{{!}}arg(''z''){{!}}&nbsp;<&nbsp;''θ''}} किसी के लिए {{math|1=''θ''&nbsp;<&nbsp;{{pi}}/2}}, लेकिन इसकी स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के बोरेल योग द्वारा नहीं दिया गया है। इससे पता चलता है कि संख्या {{math|{{pi}}/2}वॉटसन के प्रमेय में } को किसी भी छोटी संख्या से प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता (जब तक कि त्रुटि पर सीमा छोटी नहीं की जाती)।

==उदाहरण==

===ज्यामितीय श्रृंखला===
ज्यामितीय श्रृंखला पर विचार करें

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k,</math>
जो (मानक अर्थ में) अभिसरण करता है {{math|1=1/(1&nbsp;&minus;&nbsp;''z'')}} के लिए {{math|{{!}}''z''{{!}}&nbsp;<&nbsp;1}}. बोरेल परिवर्तन है

:<math>\mathcal{B}A(tz) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}t^k = e^{zt},</math>
जिससे हमें बोरेल योग प्राप्त होता है

:<math>\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}A(tz)  \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}</math>
जो बड़े क्षेत्र में एकत्रित होता है {{math|Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1}}, मूल श्रृंखला की विश्लेषणात्मक निरंतरता दे रहा है।

इसके बजाय कमजोर बोरेल परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए, आंशिक रकम दी गई है {{math|1=''A''<sub>''N''</sub>(''z'') = (1&nbsp;−&nbsp;z<sup>''N''+1</sup>)/(1&nbsp;−&nbsp;''z'')}}, और इसलिए कमजोर बोरेल योग है

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty  \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}, </math>
जहां, फिर से, अभिसरण चालू है {{math|Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1}}. वैकल्पिक रूप से इसे तुल्यता प्रमेय के भाग 2 की अपील करके देखा जा सकता है, क्योंकि {{math|Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1}},

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0. </math>


===एक वैकल्पिक भाज्य श्रृंखला===
श्रृंखला पर विचार करें

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!(-1)^k \cdot z^k,</math>
तब {{math|''A''(''z'')}} किसी भी गैरशून्य के लिए अभिसरण नहीं होता है {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}}. बोरेल परिवर्तन है

:<math>\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-t\right)^k = \frac{1}{1+t} </math>
के लिए {{math|{{!}}''t''{{!}}&nbsp;<&nbsp;1}}, जिसे विश्लेषणात्मक रूप से सभी के लिए जारी रखा जा सकता है{{math|&nbsp;''t''&nbsp;≥&nbsp;0}}. तो बोरेल योग है

:<math>\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}A(tz) \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^{1/z} \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)</math>
(कहाँ {{math|Γ}} अधूरा गामा फ़ंक्शन है)।

यह अभिन्नता सभी के लिए अभिसरित होती है {{math|''z''&nbsp;≥&nbsp;0}}, इसलिए मूल अपसारी श्रृंखला ऐसे सभी के लिए बोरेल योग्‍य है{{math|&nbsp;''z''}}. इस फ़ंक्शन का एक [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]] है {{math|''z''}} 0 की ओर प्रवृत्त होता है जो मूल अपसारी श्रृंखला द्वारा दिया गया है। यह इस तथ्य का एक विशिष्ट उदाहरण है कि बोरेल योग कभी-कभी भिन्न स्पर्शोन्मुख विस्तारों का सही योग करेगा।

फिर से, तब से
: <math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal B A)(zt) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1 + zt} = 0, </math>
सभी के लिए {{math|''z''}}, तुल्यता प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि कमजोर बोरेल योग में अभिसरण का समान डोमेन है, {{math|''z''&nbsp;≥&nbsp;0}}.

===एक उदाहरण जिसमें तुल्यता विफल हो जाती है===

निम्नलिखित उदाहरण उसमें दिए गए उदाहरण पर आधारित है {{harv|Hardy|1992|loc=8.5}}. विचार करना

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty  \left( \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell(2\ell + 2)^k}{(2\ell+1)!} \right) z^k. </math>
योग के क्रम को बदलने के बाद, बोरेल परिवर्तन द्वारा दिया जाता है

:<math> 
\begin{align}
\mathcal B A(t)&= \sum_{\ell = 0}^\infty 
\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2\ell+2) t\big)^k}{k!} \right) \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\
&= \sum_{\ell=0}^\infty e^{(2\ell+2)t}\frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\
&= e^t \sum_{\ell=0}^\infty \big(e^t\big)^{2\ell+1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} \\
& = e^t \sin(e^t).
\end{align}
 </math>
पर {{math|1=''z''&nbsp;=&nbsp;2}} बोरेल योग द्वारा दिया जाता है

:<math> \int_0^\infty e^t \sin(e^{2t}) \, dt = \int_1^\infty \sin(u^2) \, du = \sqrt{\frac{\pi}{8}} - S(1) < \infty,
</math>
कहाँ {{math|''S''(''x'')}} [[फ़्रेज़नेल इंटीग्रल]] है। कॉर्ड के साथ #Convergence_Properties के माध्यम से, बोरेल इंटीग्रल सभी के लिए अभिसरण करता है {{math|''z''&nbsp;&le;&nbsp;2}} (अभिन्न के लिए विचलन होता है {{math|''z''&nbsp;>&nbsp;2}}).

कमजोर बोरेल योग के लिए हम इसे नोट करते हैं

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin(e^{zt}) = 0 </math>
केवल के लिए धारण करता है {{math|''z''&nbsp;<&nbsp;1}}, और इसलिए कमजोर बोरेल योग इस छोटे डोमेन पर एकत्रित होता है।

==अस्तित्व परिणाम और अभिसरण का क्षेत्र==

===कोर्ड्स पर योग्‍यता===
यदि एक औपचारिक श्रृंखला {{math|''A''(''z'')}} बोरेल संक्षेपण योग्य है {{math|''z''<sub>0</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}}, तो यह कॉर्ड के सभी बिंदुओं पर बोरेल योग्‍य भी है {{math|O''z''<sub>0</sub>}} कनेक्ट करना {{math|''z''<sub>0</sub>}} मूल की ओर. इसके अलावा, एक फ़ंक्शन मौजूद है {{math|''a''(''z'')}} त्रिज्या के साथ संपूर्ण डिस्क का विश्लेषणात्मक {{math|O''z''<sub>0</sub>}} ऐसा है कि

: <math> {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol B), </math>
सभी के लिए {{math|1=''z''&nbsp;=&nbsp;θ''z''<sub>0</sub>, θ&nbsp;&isin;&nbsp;[0,1]}}.

इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि बोरेल योग के अभिसरण का क्षेत्र एक [[स्टार डोमेन]] है {{math|'''C'''}}. बोरेल योग के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में इससे अधिक कहा जा सकता है कि यह एक सितारा डोमेन है, जिसे बोरेल बहुभुज के रूप में जाना जाता है, और श्रृंखला की विलक्षणताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है {{math|''A''(''z'')}}.

===बोरेल बहुभुज===
लगता है कि {{math|''A''(''z'')}} में अभिसरण की सख्ती से सकारात्मक त्रिज्या है, ताकि यह मूल वाले गैर-तुच्छ क्षेत्र में विश्लेषणात्मक हो, और चलो {{math|''S''<sub>''A''</sub>}} की विलक्षणताओं के समुच्चय को निरूपित करें {{math|''A''}}. इस का मतलब है कि {{math|''P''&nbsp;&isin;&nbsp;''S''<sub>''A''</sub>}} अगर और केवल अगर {{math|''A''}} को 0 से लेकर ओपन कॉर्ड के साथ विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है {{math|''P''}}, लेकिन नहीं {{math|''P''}} अपने आप। के लिए {{math|''P''&nbsp;&isin;&nbsp;''S<sub>A</sub>''}}, होने देना {{math|''L<sub>P</sub>''}} गुजरने वाली रेखा को निरूपित करें {{math|''P''}} जो जीवा के लंबवत है {{math|''OP''}}. सेट को परिभाषित करें

:<math> \Pi_P = \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, Oz \cap L_P = \varnothing \}, </math>
बिंदुओं का वह समूह जो एक ही तरफ स्थित है {{math|''L<sub>P</sub>''}} मूल के रूप में. का बोरेल बहुभुज {{math|''A''}} सेट है

:<math> \Pi_A = \operatorname{cl}\left( \bigcap_{P \in S_A} \Pi_P \right). </math>
बोरेल और फ्राग्मेन द्वारा एक वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग किया गया था {{harv|Sansone|Gerretsen|1960|loc=8.3}}. होने देना <math> S \subset \mathbb{C} </math> सबसे बड़े स्टार डोमेन को निरूपित करें जिस पर विश्लेषणात्मक विस्तार है {{math|''A''}}, तब <math> \Pi_A </math> का सबसे बड़ा उपसमूह है <math> S </math> ऐसा कि सभी के लिए <math> P \in \Pi_A </math> ओपी व्यास वाले वृत्त का आंतरिक भाग समाहित है <math>S </math>. सेट का जिक्र करते हुए <math> \Pi_A </math> चूँकि बहुभुज कुछ हद तक एक मिथ्या नाम है, चूँकि समुच्चय का बहुभुज होना आवश्यक नहीं है; जो कुछ भी हो, {{math|''A''(''z'')}} में तब केवल सीमित संख्या में विलक्षणताएँ होती हैं <math> \Pi_A </math> वास्तव में एक बहुभुज होगा.

निम्नलिखित प्रमेय, बोरेल और लार्स एडवर्ड फ्रैग्मेन के कारण | फ्रैग्मेन बोरेल योग के लिए अभिसरण मानदंड प्रदान करता है।

:प्रमेय {{harv|Hardy|1992|loc=8.8}}.
:श्रृंखला {{math|''A''(''z'')}} है {{math|('''B''')}} बिल्कुल संक्षेपणीय <math>z \in \operatorname{int}(\Pi_A)</math>, और है {{math|('''B''')}} बिल्कुल भिन्न <math>z \in \mathbb{C}\setminus \Pi_A</math>.

ध्यान दें कि {{math|('''B''')}} के लिए संक्षेपण <math> z \in \partial \Pi_A</math> बिंदु की प्रकृति पर निर्भर करता है.

====उदाहरण 1====
होने देना {{math|ω<sub>i</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}} निरूपित करें {{math|''m''}}-एकता की जड़ें, {{math|1=''i''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;''m''}}, और विचार करें

: <math>\begin{align}
 A(z) & = \sum_{k=0}^\infty (\omega_1^k + \cdots + \omega_m^k)z^k \\
& = \sum_{i=1}^m \frac{1}{1-\omega_iz},
\end{align} </math>
जो एकत्रित हो जाता है {{math|''B''(0,1)&nbsp;&sub;&nbsp;'''C'''}}. पर एक समारोह के रूप में देखा गया {{math|'''C'''}}, {{math|''A''(''z'')}} में विलक्षणताएं हैं {{math|1=''S<sub>A</sub>''&nbsp;=&nbsp;{{mset|1=''ω''<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;''i''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;''m''}}}}, और परिणामस्वरूप बोरेल बहुभुज <math> \Pi_A</math> नियमित नियमित बहुभुज द्वारा दिया गया है|{{math|''m''}}-गॉन मूल पर केंद्रित है, और ऐसा है {{math|1&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}} एक किनारे का मध्यबिंदु है।

====उदाहरण 2====
औपचारिक शृंखला

:<math> A(z) = \sum_{k=0}^\infty z^{2^k}, </math>
सभी के लिए जुटता है <math> |z| < 1 </math> (उदाहरण के लिए, ज्यामितीय श्रृंखला के साथ [[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] द्वारा)। हालाँकि इसे दिखाया जा सकता है<ref>{{Cite web | title=प्राकृतिक सीमा| url=http://mathworld.wolfram.com/NaturalBoundary.html | work=MathWorld | access-date=19 October 2016}}</ref> वह {{math|''A''}} किसी भी बिंदु के लिए अभिसरण नहीं होता है {{math|''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}} ऐसा है कि {{math|1=''z''<sup>2<sup>''n''</sup></sup>&nbsp;=&nbsp;1}} कुछ के लिए {{math|''n''}}. ऐसे के सेट के बाद से {{math|''z''}} इकाई वृत्त में सघन है, इसका कोई विश्लेषणात्मक विस्तार नहीं हो सकता {{math|''A''}} के बाहर {{math|''B''(0,1)}}. जिसके बाद सबसे बड़ा स्टार डोमेन {{math|''A''}} को विश्लेषणात्मक रूप से बढ़ाया जा सकता है {{math|1=''S''&nbsp;=&nbsp;''B''(0,1)}} जिससे (दूसरी परिभाषा के माध्यम से) कोई प्राप्त करता है <math> \Pi_A = B(0,1) </math>. विशेष रूप से कोई यह देखता है कि बोरेल बहुभुज बहुभुज नहीं है।

===एक ताउबेरियन प्रमेय===
एबेलियन और टबेरियन प्रमेय # टबेरियन प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करते हैं जिनके तहत एक योग विधि का अभिसरण किसी अन्य विधि के तहत अभिसरण का तात्पर्य है। प्रमुख टूबेरियन प्रमेय<ref name="Hardy1992" />बोरेल योग के लिए ऐसी स्थितियाँ प्रदान की जाती हैं जिनके तहत कमजोर बोरेल विधि श्रृंखला के अभिसरण का तात्पर्य करती है।

:प्रमेय {{harv|Hardy|1992|loc=9.13}}. अगर {{math|''A''}} है {{math|('''wB''')}} संक्षेपण योग्य {{math|''z''<sub>0</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''}}, <math>{\textstyle \sum}a_kz_0^k = a(z_0) \, (\boldsymbol{wB}) </math>, और

:: <math> a_kz_0^k = O(k^{-1/2}), \qquad \forall k \geq 0, </math>
:तब <math> \sum_{k=0}^\infty a_kz_0^k = a(z_0) </math>, और श्रृंखला सभी के लिए एकत्रित होती है {{math|{{!}}''z''{{!}}&nbsp;<&nbsp;{{!}}''z''<sub>0</sub>{{!}}}}.

==अनुप्रयोग==
बोरेल योग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में [[गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)]] में आवेदन पाता है। विशेष रूप से 2-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र सिद्धांत में श्विंगर कार्यों को अक्सर बोरेल योग का उपयोग करके उनकी गड़बड़ी श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है {{harv|Glimm|Jaffe|1987|p=461}}. बोरेल परिवर्तन की कुछ विलक्षणताएं क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में [[ एक पल ]] और रेननॉर्मलन से संबंधित हैं {{harv|Weinberg|2005|loc=20.7}}.

==सामान्यीकरण==

बोरेल योग के लिए आवश्यक है कि गुणांक बहुत तेजी से न बढ़ें: अधिक सटीक रूप से, {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} से घिरा होना चाहिए {{math|''n''!''C''<sup>''n''+1</sup>}} कुछ के लिए {{math|''C''}}. बोरेल योग की एक भिन्नता है जो [[ कारख़ाने का ]] को प्रतिस्थापित करती है {{math|''n''!}} साथ {{math|(''kn'')!}} किसी धनात्मक [[पूर्णांक]] के लिए {{math|''k''}}, जो कुछ श्रृंखलाओं के योग की अनुमति देता है {{math|''a''<sub>''n''</sub>}}  से घिरा {{math|(''kn'')!''C''<sup>''n''+1</sup>}} कुछ के लिए {{math|''C''}}. यह सामान्यीकरण मिट्टाग-लेफ़लर सारांश द्वारा दिया गया है।

सबसे सामान्य मामले में, बोरेल योग को नचबिन पुनर्संयोजन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जिसका उपयोग तब किया जा सकता है जब बाउंडिंग फ़ंक्शन [[घातीय प्रकार]] के बजाय कुछ सामान्य प्रकार (पीएसआई-प्रकार) का होता है।

==यह भी देखें==
*हाबिल योग
* हाबिल का प्रमेय
* हाबिल-सादा सूत्र
* यूलर योग
* सीज़र का सारांश
* लैंबर्ट सारांश
* नचबिन सारांश
* [[एबेलियन और टूबेरियन प्रमेय]]
* [[वैन विजनगार्डन परिवर्तन]]

==टिप्पणियाँ==
<references/>


==संदर्भ==
*{{citation |last=Borel |first=E. |title=Mémoire sur les séries divergentes |journal=Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. |series=Series 3 |volume=16 |year=1899 |pages=9–131 |url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1899_3_16__9_0 |doi=10.24033/asens.463|doi-access=free }}
*{{Citation |last1=Glimm |first1=James |last2=Jaffe |first2=Arthur |title=Quantum physics |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, New York |edition=2nd |isbn=978-0-387-96476-8 |mr=887102 |year=1987 |doi=10.1007/978-1-4612-4728-9}}
*{{Citation |last=Hardy |first=Godfrey Harold |author-link=G. H. Hardy |title=Divergent Series |orig-year=1949 | url=https://books.google.com/books?isbn=0821826492 |publisher=Chelsea |location=New York |isbn=978-0-8218-2649-2 | mr=0030620 |year=1992}}
*{{Citation |last1=Reed |first1=Michael |last2=Simon |first2=Barry |author-link2=Barry Simon |title=Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators |publisher=Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] |location=New York |isbn=978-0-12-585004-9 |mr=0493421 |year=1978}}
*{{Citation |last1=Sansone |first1=Giovanni |last2=Gerretsen |first2=Johan |title=Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions |publisher=P. Noordhoff, Groningen |mr=0113988 |year=1960}}
*{{Citation |last=Weinberg |first=Steven |author-link=Steven Weinberg |title=The quantum theory of fields. |volume=II |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-55002-4 |mr=2148467 |year=2005 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev }}
*{{eom |id=B/b017170 |first=A. A. |last=Zakharov |title=Borel summation method}}
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