View source for चक्रीय चतुर्भुज

{{Use American English|date = February 2019}}

{{Short description|Quadrilateral whose vertices can all fall on a single circle}}

{{Use mdy dates|date = February 2019}}
[[Image:Cyclic quadrilateral.svg|thumb|right|चक्रीय चतुर्भुज के उदाहरण]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक चक्रीय चतुर्भुज या खुदा हुआ चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं। इस वृत्त को परिवृत्त या परिबद्ध वृत्त कहा जाता है, और शीर्षों को ''चक्रीय'' कहा जाता है। वृत्त के केंद्र और उसकी त्रिज्या को क्रमशः परिकेन्द्र और परिवृत्त कहते हैं। इन चतुर्भुजों के अन्य नाम चक्रीय चतुर्भुज और अनुजीवा चतुर्भुज हैं, बाद वाला चूंकि चतुर्भुज की भुजाएं परिवृत्त की जीवाएं हैं। सामान्यतः चतुर्भुज को [[उत्तल बहुभुज]] माना जाता है, लेकिन चक्रीय चतुर्भुज भी पार किए जाते हैं। नीचे दिए गए सूत्र और गुण उत्तल स्थिति में मान्य हैं।

चक्रीय शब्द प्राचीन ग्रीक {{lang|grc|[[wiktionary:κύκλος#Ancient Greek|κύκλος]]}} (कुक्लोस) से लिया गया है, जिसका अर्थ है चक्र या पहिया होता है।

सभी त्रिभुजों में एक परिवृत्त होता है, लेकिन सभी चतुर्भुजों में नहीं होता है। चतुर्भुज का एक उदाहरण जो चक्रीय नहीं हो सकता है, एक गैर-वर्ग समचतुर्भुज है। नीचे दिए गए खंड के लक्षण बताते हैं कि एक चतुर्भुज को एक परिवृत्त होने के लिए किन आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को पूरा करना चाहिए।

== विशेष स्थितिया ==
कोई भी [[वर्ग (ज्यामिति)]], [[आयत]], समद्विबाहु समलम्बाकार, या [[प्रतिसमांतर चतुर्भुज]] चक्रीय होता है। एक [[पतंग (ज्यामिति)]] चक्रीय होती है यदि और केवल यदि उसके दो समकोण हों। एक [[द्विकेंद्रित चतुर्भुज]] एक चक्रीय चतुर्भुज है जो [[स्पर्शरेखा चतुर्भुज]] भी है और एक पूर्व-द्विकेंद्री चतुर्भुज एक चक्रीय चतुर्भुज है जो [[Ex-tangential quadrilateral|पूर्व-स्पर्शरेखा]] भी है। एक [[हार्मोनिक चतुर्भुज]] एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्षों की लंबाई का उत्पाद बराबर होता है।

== लक्षण वर्णन ==
[[File:Sehnenviereck.svg|thumb|upright=1.0|एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD]]

=== परिकेंद्र ===
एक उत्तल चतुर्भुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि भुजाओं के चार लम्ब समद्विभाजक [[समवर्ती रेखाएँ]] हों। यह सामान्य बिंदु परिकेन्द्र है।<ref name=Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapter-url=https://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>


=== पूरक कोण ===
एक उत्तल चतुर्भुज ABCD चक्रीय है यदि और केवल यदि इसके विपरीत [[पूरक कोण|कोण संपूरक]] हैं, अर्थात<ref name=Usiskin/><ref name=Fraivert>{{citation
|last1=Fraivert|first1=David|last2=Sigler|first2=Avi|last3=Stupel|first3=Moshe
|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
|volume=51|issue=6|pages=913–938|title=Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral
|year=2020|doi=10.1080/0020739X.2019.1683772|s2cid=209930435}}</ref>
:<math>\alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi \ \text{radians}\ (= 180^{\circ}).</math>
[[यूक्लिड]] के तत्वों की पुस्तक 3 में प्रत्यक्ष प्रमेय प्रस्ताव 22 था।<ref>{{citation |date=June 1997 |last=Joyce |first=D. E. |chapter-url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html |title=Euclid's Elements |chapter=Book 3, Proposition 22 |publisher=Clark University|title-link=Euclid's Elements }}</ref> समान रूप से, एक उत्तल चतुर्भुज चक्रीय होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक [[बाहरी कोण]] विपरीत [[आंतरिक कोण]] के बराबर हो।

1836 में [[डंकन ग्रेगरी]] ने इस परिणाम को इस प्रकार सामान्यीकृत किया: किसी भी उत्तल चक्रीय 2n-गॉन को देखते हुए, वैकल्पिक आंतरिक कोणों के दो योग प्रत्येक (n-1) <math>\pi</math> के बराबर होते हैं।<ref>{{citation|first=Duncan|last=Gregory|title=Geometrical Theorem|journal=Cambridge Mathematical Journal|volume=1|year=1836|pages=92}}.</ref>

प्रत्येक कोण के त्रिविम प्रक्षेपण (आधा कोण स्पर्शरेखा) को लेते हुए, इसे फिर से व्यक्त किया जा सकता है,

:<math>\frac
{ \tan{\frac{\alpha}{2}} + \tan{\frac{\gamma}{2}}  }
{ 1 - \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} }
= \frac
{ \tan{\frac{\beta}{2}} + \tan{\frac{\delta}{2}}  }
{ 1 - \tan{\frac{\beta}{2}} \tan{\frac{\delta}{2}} }
= \infty.</math>
जिसका तात्पर्य है<ref>{{citation
|last=Hajja |first=Mowaffaq
|journal=Forum Geometricorum
|pages=103–6
|title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|volume=8 |year=2008}}</ref>
:<math>\tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} = \tan{\frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\delta}{2}} = 1</math>


=== पक्षों और विकर्णों के बीच कोण ===
एक उत्तल चतुर्भुज {{math|''ABCD''}} चक्रीय है यदि और केवल यदि एक भुजा और एक [[विकर्ण]] के बीच का कोण विपरीत भुजा और दूसरी विकर्ण के बीच के कोण के बराबर है।<ref name=Andreescu>{{citation |first1=Titu |last1=Andreescu |first2=Bogdan |last2=Enescu |title=Mathematical Olympiad Treasures |chapter=2.3 Cyclic quads |chapter-url=https://books.google.com/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44 |year=2004 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4305-8 |pages=[https://archive.org/details/mathematicalolym0000andr_q5g0/page/44 44–46, 50] |mr=2025063 |url=https://archive.org/details/mathematicalolym0000andr_q5g0/page/44 }}</ref> अर्थात्, उदाहरण के लिए,
:<math>\angle ACB = \angle ADB.</math>


=== पास्कल अंक ===
[[File:Cyclic_quadrilateral_-_pascal_points.png|thumb|ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। E विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है और F भुजाओं BC और AD के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु है।  <math>\omega</math> एक वृत्त है जिसका व्यास खंड EF है। P और Q वृत्त द्वारा बनाए गए पास्कल बिंदु हैं <math>\omega</math>.
त्रिभुज FAB और FCD समरूप हैं।]]उत्तल चतुर्भुज ABCD के चक्रीय होने के लिए अन्य आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं:  {{math|''E''}} विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दे, मान लीजिए {{math|''F''}}  को  {{math|''AD''}} तथा {{math|''BC''}} के पक्षों के विस्तार का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दे, और <math>\omega</math> को एक वृत्त हो होने दे, जिसका व्यास खंड  {{math|''EF''}} है, और  {{math|''P''}} तथा {{math|''Q''}} को वृत <math>\omega</math> द्वारा बनाई गई भुजाओ  {{math|''AB''}} तथा {{math|''CD''}} पर पास्कल बिंदु होने दें। .
<br> (1)ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है यदि और केवल यदि बिंदु P और Q वृत्त <math>\omega</math> के केंद्र O के साथ संरेखी हैं।<br> (2)ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है यदि और केवल यदि बिंदु P और Q भुजाओं AB और CD के मध्य बिंदु हैं.<ref name=Fraivert/>


=== विकर्णों का प्रतिच्छेदन ===
यदि दो रेखाएँ, जिनमें से एक में खंड AC है और दूसरी में खंड BD है, E पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार बिंदु A, B, C, D चक्रीय हैं यदि और केवल यदि<ref>{{citation |last=Bradley |first=Christopher J. |title=The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates |publisher=Highperception |year=2007 |isbn=978-1906338008 |page=179 |oclc=213434422}}</ref>
:<math>\displaystyle AE\cdot EC = BE\cdot ED.</math>
प्रतिच्छेदन {{math|''E''}} वृत के आंतरिक या बाहरी हो सकते हैं। पहले स्थिति में, चक्रीय चतुर्भुज  {{math|''ABCD''}} है, और बाद के स्थिति में, चक्रीय चतुर्भुज  {{math|''ABDC''}} है. जब प्रतिच्छेदन आंतरिक होता है, तो समानता बताती है कि खंड की लंबाई का उत्पाद जिसमें E एक विकर्ण को दूसरे विकर्ण के बराबर विभाजित करता है इसे प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के रूप में जाना जाता है क्योंकि चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण परिवृत्त के जीवा होते हैं।

=== टॉलेमी का प्रमेय ===
टॉलेमी का प्रमेय एक चक्रीय चतुर्भुज के दो विकर्णों e और f की लंबाई के गुणनफल को विपरीत भुजाओं के गुणनफल के योग के बराबर व्यक्त करता है:<ref name=Durell/>{{rp|p.25}}<ref name=Fraivert/>:<math>\displaystyle ef = ac + bd,</math>   

जहाँ a, b, c, d क्रम में भुजाओं की लंबाई हैं। इसका उलटा भी सच है। अर्थात्, यदि यह समीकरण एक उत्तल चतुर्भुज में संतुष्ट होता है, तो एक चक्रीय चतुर्भुज बनता है

=== विकर्ण त्रिभुज ===
[[File:Nine-point circle of diagonal triangle.png|thumb|ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। EFG, ABCD का विकर्ण त्रिभुज है। एबीसीडी के द्विमाध्यकों के चौराहे का बिंदु टी ईएफजी के नौ-बिंदु चक्र से संबंधित है।]]एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, EFG को ABCD का विकर्ण त्रिभुज होने दें और <math>\omega</math> को EFG का नौ-बिंदु वाला वृत्त होने दें। 

ABCD चक्रीय है यदि और केवल यदि ABCD के द्विमाध्यकों का प्रतिच्छेदन बिंदु नौ-बिंदु वाले वृत्त <math>\omega</math> से संबंधित है.<ref>{{Cite journal|last=Fraivert|first=David|date=July 2019|title=नए बिंदु जो नौ-बिंदु वाले वृत्त से संबंधित हैं|journal=The Mathematical Gazette|volume=103|issue=557|pages=222–232|doi=10.1017/mag.2019.53}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fraivert|first=David|date=2018|title=चक्रीय चतुर्भुजों की ज्यामिति में सम्मिश्र संख्याओं की विधि के नए अनुप्रयोग|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/5-16.pdf|journal=International Journal of Geometry|volume=7|issue=1|pages=5–16}}</ref><ref name=Fraivert/> 
 



== [[क्षेत्र]] ==
भुजाओं  {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} वाले चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल {{math|''K''}} ब्रह्मगुप्त के सूत्र द्वारा दिया गया है<ref name=Durell/>{{rp|p.24}}
:<math>K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,</math>
जहाँ  {{math|''s''}}, अर्धपरिधि, है {{math|''s'' {{=}} {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'')}}. यह सामान्य चतुर्भुज के लिए ब्रेत्श्नाइडर के सूत्र का [[परिणाम]] है, क्योंकि चक्रीय स्थिति में विपरीत कोण पूरक होते हैं। यदि भी {{math|''d'' {{=}} 0}}, चक्रीय चतुर्भुज एक त्रिभुज बन जाता है और सूत्र को हीरोन के सूत्र में घटा दिया जाता है।

चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल समान भुजाओं वाले सभी चतुर्भुजों में [[मैक्सिमा और मिनिमा|अधिकतम और न्यूनतम]] होता है (अनुक्रम की परवाह किए बिना)। यह  ब्रेत्श्नाइडर के सूत्र का एक और परिणाम है। इसे कलन विधि द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।<ref>{{citation |last=Peter |first=Thomas |title=Maximizing the area of a quadrilateral |journal=The College Mathematics Journal |volume=34 |issue=4 |date=September 2003 |pages=315–6 |jstor=3595770|doi=10.2307/3595770 }}</ref>

चार असमान लंबाई, प्रत्येक अन्य तीन के योग से कम, तीन गैर-सर्वांगसम चक्रीय चतुर्भुजों में से प्रत्येक की भुजाएँ हैं,<ref name="Coxeter" /> जिसका ब्रह्मगुप्त के सूत्र से सभी का क्षेत्रफल समान है। विशेष रूप से, पक्षों के लिए {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, तथा {{math|''d''}}, पक्ष {{math|''a''}} किसी भी पक्ष के विपरीत हो सकता है {{math|''b''}}, पक्ष {{math|''c''}}, या पक्ष {{math|''d''}}.

क्रमिक भुजाओं {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}, भुजाओं {{math|''a''}} तथा {{math|''d''}}, के बीच कोण {{math|''A''}}, और भुजाओं {{math|''a''}} तथा {{math|''b''}} के बीच कोण {{math|''B''}} के साथ एक चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है<ref name="Durell" />{{rp|p.25}}
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}</math>
या
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}</math>
या<ref name=Durell/>{{rp|p.26}}
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}</math>
जहाँ  {{math|''θ''}} या तो विकर्णों के बीच का कोण है। बशर्ते {{math|''A''}} समकोण नहीं है, क्षेत्रफल को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Durell/>{{rp|p.26}}
:<math>K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.</math>
एक और सूत्र है<ref>{{citation|last=Prasolov|first=Viktor|title=Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry|url=http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf|access-date=November 6, 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20180921105112/http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf|archive-date=September 21, 2018|url-status=dead}}</ref>{{rp|p.83}}
:<math>\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}</math>
जहाँ  {{math|''R''}} परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है। प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में,<ref name=Alsina>{{citation |first1=Claudi |last1=Alsina |first2=Roger |last2=Nelsen |title=When Less is More: Visualizing Basic Inequalities |chapter=4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals |chapter-url=https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC&pg=PA64 |url=https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC |year=2009 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-342-9 |page=64}}</ref>
:<math>K\le 2R^2</math>
जहाँ समता है यदि और केवल यदि चतुर्भुज एक वर्ग है।

== विकर्ण ==
क्रमिक शीर्षों वाले चक्रीय चतुर्भुज में {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}} और पक्ष {{math|''a'' {{=}} ''AB''}}, {{math|''b'' {{=}} ''BC''}}, {{math|''c'' {{=}} ''CD''}}, तथा {{math|''d'' {{=}} ''DA''}}, विकर्णों की लंबाई {{math|''p'' {{=}} ''AC''}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''BD''}} पक्षों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Durell/>{{rp|p.25,}}<ref name=Alsina2>{{citation
|last1=Alsina |first1=Claudi |last2=Nelsen |first2=Roger B.
|journal=Forum Geometricorum
|pages=147–9
|title=On the diagonals of a cyclic quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf |volume=7
|year=2007}}</ref><ref name=Johnson>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|p. 84}}
:<math>p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}</math> तथा <math>q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}</math>
तो टॉलेमी के प्रमेय दिखा रहा है
:<math>pq = ac+bd.</math>
टॉलेमी की दूसरी प्रमेय के अनुसार,<ref name=Durell/>{{rp|p.25,}}<ref name=Alsina2/>:<math>\frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}</math>

उपरोक्त के समान अंकन का उपयोग करना।

विकर्णों के योग के लिए हमारे पास असमानता है<ref name=Crux>''Inequalities proposed in "[[Crux Mathematicorum]]"'', 2007,  [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.123,#2975}}
:<math>p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.</math>
समानता तब और केवल तब होती है जब विकर्णों की लंबाई समान होती है, जिसे AM-GM असमानता का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त,<ref name=Crux/>{{rp|p.64,#1639}}
:<math>(p+q)^2 \leq (a+c)^2+(b+d)^2.</math>
किसी भी उत्तल चतुर्भुज में, दो विकर्ण मिलकर चतुर्भुज को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं; एक चक्रीय चतुर्भुज में, इन चारों त्रिभुजों के विपरीत युग्म एक दूसरे से [[समानता (ज्यामिति)]] होते हैं।

यदि {{math|''M''}} तथा {{math|''N''}} विकर्णों  {{math|''AC''}} तथा {{math|''BD''}} के मध्य बिंदु हैं, तो<ref>{{cite web |title='एबीसीडी' एक चक्रीय चतुर्भुज है। मान लें कि ''M'', ''N'' क्रमशः विकर्ण ''AC'', ''BD'' के मध्यबिंदु हैं...|date=2010 |work=Art of Problem Solving |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=350179}}</ref>
:<math>\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}\left |\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|</math>
जहाँ {{math|''E''}} तथा {{math|''F''}} विपरीत पक्षों के विस्तार के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

यदि {{math|''ABCD''}} एक चक्रीय चतुर्भुज है जहाँ {{math|''AC''}},  {{math|''BD''}}  पर {{math|''E''}} पर मिलता है, तो<ref>[[A. Bogomolny]], An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'',
[http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/SinesInQuadrilateral.shtml], Accessed 18 March 2014.</ref>
:<math> \frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}.</math>
पक्षों का एक समूह जो एक चक्रीय चतुर्भुज का निर्माण कर सकता है, को तीन अलग-अलग अनुक्रमों में से किसी एक में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक ही परिधि में एक ही क्षेत्र के चक्रीय चतुर्भुज का निर्माण कर सकता है (ब्रह्मगुप्त के क्षेत्र सूत्र के अनुसार क्षेत्र समान हैं)। इनमें से किन्हीं दो चक्रीय चतुर्भुजों की एक विकर्ण लंबाई उभयनिष्ठ है।<ref name=Johnson/>{{rp|p. 84}}


== कोण सूत्र ==
क्रमिक भुजाओं {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}, अर्धपरिमाप {{math|''s''}}, और भुजाओ  {{math|''a''}} तथा {{math|''d''}}, कोण {{math|''A''}} के साथ एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए,  {{math|''A''}} के त्रिकोणमितीय फलन इस प्रकार दिए गए हैं<ref>{{citation |last1=Siddons |first1=A. W. |first2=R. T. |last2=Hughes |title=Trigonometry |publisher=Cambridge University Press |year=1929 |page=202 |oclc=429528983}}</ref>
:<math>\cos A = \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(ad+bc)},</math>
:<math>\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},</math>
:<math>\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.</math>
विकर्णों के बीच का कोण {{math|''θ''}}  जो विपरीत भुजाएँ हैं {{math|''a''}} तथा {{math|''c''}} को संतुष्ट करता है<ref name=Durell/>{{rp|p.26}}
:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.</math>
यदि विपरीत भुजाओं {{math|''a''}} तथा {{math|''c''}} के विस्तार कोण {{math|''φ''}} पर प्रतिच्छेद करें , फिर
:<math>\cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}</math>
जहाँ {{math|''s''}} अर्द्धपरिधि है।<ref name=Durell>{{citation |first1=C. V. |last1=Durell |first2=A. |last2=Robson |title=Advanced Trigonometry |url=https://books.google.com/books?id=3iYbExAsepEC |year=2003 |publisher=Courier Dover |isbn=978-0-486-43229-8 |orig-year=1930}}</ref>{{rp|p.31}}


==परमेश्वर का परिधि सूत्र==
क्रमिक भुजाओं {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} और अर्धपरिधि {{math|''s''}} साथ एक चक्रीय चतुर्भुज में परिवृत्त (वृत्ताकार वृत्त की त्रिज्या) द्वारा दिया गया है<ref name=Alsina2/><ref>{{citation |last=Hoehn |first=Larry |title=Circumradius of a cyclic quadrilateral |journal=Mathematical Gazette |volume=84 |issue=499 |date=March 2000 |pages=69–70  |jstor=3621477|doi=10.2307/3621477 }}</ref>
:<math>R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.</math>
यह 15वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वातस्सेरी [[परमेश्वर]] द्वारा प्राप्त किया गया था।

ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग करते हुए, परमेश्वर के सूत्र को इस रूप में लिखा जा सकता है
:<math>4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>
जहाँ {{math|''K''}} चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

== प्रतिकेंद्र और संरेख ==
चार रेखा खंड, चक्रीय चतुर्भुज के एक तरफ लंबवत और विपरीत दिशा के [[मध्य]] बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले समवर्ती रेखाएं हैं।<ref name=Altshiller-Court>{{citation |first=Nathan |last=Altshiller-Court |title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle |year=2007 |publisher=Courier Dover |isbn=978-0-486-45805-2 |edition=2nd |orig-year=1952 |oclc=78063045 |pages=131, 137–8}}</ref>{{rp|p.131;}}<ref name=Honsberger/> इन रेखाखंडों को मल्टिट्यूड कहा जाता है,<ref>{{mathworld|title=Maltitude|urlname=Maltitude}}</ref> जो मध्यबिंदु ऊंचाई के लिए एक संक्षिप्त नाम है। उनके सामान्य बिंदु को प्रतिकेंद्र कहा जाता है। इसमें चतुर्भुज में परिकेन्द्र का प्रतिबिम्ब होने का गुण होता है उत्तल चतुर्भुज में उल्लेखनीय बिंदु और रेखाएँ| वर्टेक्स सेंट्रोइड। इस प्रकार एक चक्रीय चतुर्भुज में, परिकेन्द्र, शीर्ष केन्द्रक, और प्रतिकेन्द्र [[संरेख बिंदु]] होते हैं।<ref name=Honsberger>{{citation |first=Ross |last=Honsberger |title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |chapter-url=https://books.google.com/books?id=6oduPgvOAhwC&pg=PA35 |year=1995 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-88385-639-0 |pages=35–39 |chapter=4.2 Cyclic quadrilaterals |series=New Mathematical Library |volume=37}}</ref>

यदि चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण {{math|''P''}} पर प्रतिच्छेद करते हैं, और विकर्णों के मध्य बिंदु {{math|''M''}} तथा {{math|''N''}} हैं, तो चतुर्भुज का प्रतिकेन्द्र त्रिभुज {{math|''MNP''}} का [[orthocenter|लंबकेन्द्र]] है .

एक चक्रीय चतुर्भुज का प्रतिकेन्द्र इसके शीर्षों का पॉन्सलेट बिंदु होता है।

== अन्य गुण ==
[[Image:Japanese theorem 2.svg|thumb|right|जापानी प्रमेय]]*चक्रीय चतुर्भुज में {{math|''ABCD''}} में, त्रिभुजों में {{math|''DAB''}}, {{math|''ABC''}}, {{math|''BCD''}}, तथा {{math|''CDA''}} में त्रिभुजों के अंतःकेंद्र  M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub>, M<sub>4</sub> (दाईं ओर की आकृति देखें) एक आयत के शीर्ष हैं। यह [[चक्रीय चतुर्भुजों के लिए जापानी प्रमेय]] के रूप में जाने जाने वाले प्रमेयों में से एक है। उन्ही चार त्रिभुजों के लंबकेन्द्र {{math|''ABCD''}} एक चतुर्भुज [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] के शीर्ष हैं, और उन चार त्रिभुजों में [[केन्द्रक]] एक अन्य चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हैं।<ref name=Andreescu/>

<nowiki>*</nowiki>  परिकेन्द्र {{math|''O''}}, वाले एक चक्रीय चतुर्भुज {{math|''ABCD''}} में, मान लीजिये कि {{math|''P''}} वह बिंदु हो जहां विकर्ण  {{math|''AC''}} तथा {{math|''BD''}} प्रतिच्छेद करते हैं। फिर कोण {{math|''APB''}}  कोणों  {{math|''AOB''}} तथा {{math|''COD''}}. यह खुदा हुआ कोण प्रमेय और [[बाहरी कोण प्रमेय]] का सीधा परिणाम है।
*[[अंकगणितीय प्रगति]] या ज्यामितीय प्रगति में परिमेय क्षेत्र के साथ और अपरिमेय पक्षों के साथ कोई चक्रीय चतुर्भुज नहीं हैं।<ref name="Buchholz">{{citation
 | last1 = Buchholz | first1 = R. H.
 | last2 = MacDougall | first2 = J. A.
 | doi = 10.1017/S0004972700032883
 | issue = 2
 | journal = Bulletin of the Australian Mathematical Society
 | mr = 1680787
 | pages = 263–9
 | title = Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression
 | volume = 59
 | year = 1999| doi-access = free
 }}</ref>
*यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की पार्श्व लंबाई होती है जो अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करती है तो चतुर्भुज पूर्व-द्विकेंद्री भी होता है।
*यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं  {{math|''E''}} तथा {{math|''F''}} को मिलने के लिए बढ़ाया जाए, तो {{math|''E''}} तथा {{math|''F''}} पर बने कोणों के आंतरिक कोण समद्विभाजक लंबवत होते हैं।<ref name="Coxeter">{{citation |first1=Harold Scott MacDonald |last1=Coxeter |first2=Samuel L. |last2=Greitzer |title=Geometry Revisited |chapter=3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula |chapter-url=https://books.google.com/books?id=VdAM58ksvcIC&pg=PA57 |year=1967 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-619-2 |pages=57, 60}}</ref>


==ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज==
एक ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज<ref>{{cite journal |last=Sastry |first=K.R.S. |title=ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज|journal=Forum Geometricorum |volume=2 |pages=167–173 |year=2002 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200221.pdf }}</ref> पूर्णांक भुजाओं, पूर्णांक विकर्णों और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला एक चक्रीय चतुर्भुज है।  {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}, विकर्ण {{math|''e''}},  {{math|''f''}}, क्षेत्र {{math|''K''}}, और परिधि {{math|''R''}} के साथ सभी ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज परिमेय पैरामीटरों  {{math|''t''}}, {{math|''u''}}, तथा {{math|''v''}} को सम्मिलित करने वाले निम्नलिखित अभिव्यक्तियों से समाशोधन करके प्राप्त किए जा सकते हैं:

:<math>a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]</math>
:<math>b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)</math>
:<math>c=t(1+u^2)(1+v^2)</math>
:<math>d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)</math>
:<math>e=u(1+t^2)(1+v^2)</math>
:<math>f=v(1+t^2)(1+u^2)</math>
:<math>K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]</math>
:<math>4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).</math>


== लंब अक्ष विकर्ण स्थिति ==

===परिधि और क्षेत्रफल===
एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए जो [[ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज|लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज]] भी है (लंबवत विकर्ण हैं), मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन एक विकर्ण को लंबाई  {{math|''p''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''p''<sub>2</sub>}} के खंडों में विभाजित करता है और दूसरे विकर्ण को लम्बाई  {{math|''q''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''q''<sub>2</sub>}} के खंडों में विभाजित करता है. फिर<ref>{{citation
 |first1=Alfred S.
 |last1=Posamentier
 |first2=Charles T.
 |last2=Salkind
 |title=Challenging Problems in Geometry
 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=ld-_Puq62mcC&pg=PA104
 |year=1970
 |publisher=Courier Dover
 |isbn=978-0-486-69154-1
 |pages=[https://archive.org/details/challengingprobl0000posa/page/104 104–5]
 |chapter=Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.
 |edition=2nd
 |url=https://archive.org/details/challengingprobl0000posa/page/104
 }}</ref> (पहली समानता [[आर्किमिडीज]] की लेम्मास की पुस्तक में प्रस्ताव 11 है)
:<math> D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2 </math>
जहाँ {{math|''D''}} [[परिवृत्त]] का [[व्यास]] है। यह धारण करता है क्योंकि विकर्ण लम्बवत वृत्त  जीवा हैं। इन समीकरणों का अर्थ है कि परित्रिज्या {{math|''R''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
:<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2} </math>
या, चतुर्भुज की भुजाओं के संदर्भ में, जैसे<ref name=Altshiller-Court/>:<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}. </math>

इसका अनुसरण भी करता है<ref name="Altshiller-Court" />:<math> a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2. </math>

इस प्रकार, यूलर के चतुर्भुज प्रमेय के अनुसार, परित्रिज्या को विकर्णों  {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, के रूप में व्यक्त किया जाता है, और विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी {{math|''x''}} के रूप में व्यक्त की जा सकती है
:<math> R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}. </math>
टॉलेमी के प्रमेय और लम्ब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के क्षेत्र के सूत्र के संयोजन से चार भुजाओं के संदर्भ में एक चक्रीय लम्ब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज के क्षेत्र {{math|''K''}} के लिए एक सूत्र सीधे प्राप्त होता है। परिणाम है<ref>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | pages = 213–224
 | title = Properties of Pythagorean quadrilaterals
 | volume = 100
 | issue = July
 | year = 2016| doi = 10.1017/mag.2016.57
 }}.</ref>{{rp|p.222}}
:<math> K=\tfrac{1}{2}(ac+bd). </math>


=== अन्य गुण ===
*चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज में, चक्रीय चतुर्भुज प्रतिकेंद्र और संरेखता उस बिंदु के साथ समान हैं जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।<ref name=Altshiller-Court/>
*ब्रह्मगुप्त की प्रमेय में कहा गया है कि एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए जो लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज भी है, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से किसी भी ओर से लंबवत विपरीत दिशा को समद्विभाजित करता है।<ref name="Altshiller-Court" />
*यदि एक चक्रीय चतुर्भुज भी लंब अक्ष विकर्ण है, तो परिधि से किसी भी तरफ की दूरी विपरीत दिशा की आधी लंबाई के बराबर होती है।<ref name="Altshiller-Court" />
*एक चक्रीय लंब अक्ष विकर्ण चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी परिकेन्द्र और उस बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।<ref name="Altshiller-Court" />


== चक्रीय गोलाकार चतुर्भुज ==
गोलीय त्रिकोणमिति में, एक गोलाकार चतुर्भुज चार अन्तर्विभाजक बड़े वृत्तों से बना चक्रीय होता है यदि और केवल यदि विपरीत कोणों का योग बराबर हो, अर्थात, चतुर्भुज के लगातार कोणों α, β, γ, δ के लिए α + γ = β + δ .<ref>{{Cite journal|last=Wimmer|first=Lienhard|date=2011|title=गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में चक्रीय बहुभुज|journal=Elemente der Mathematik|volume=66|issue=2|pages=74–82|doi=10.4171/EM/173|doi-access=free}}</ref> इस प्रमेय की एक दिशा आई ए लेक्सेल द्वारा 1786 में सिद्ध की गई थी। आई ए लेक्सेल<ref>{{Cite journal|last=Lexell|first=A. J.|date=1786|title=गोलाकार सतह पर वर्णित वृत्तों के गुणों पर|journal=Acta Acad. Sci. Petropol.|volume=6|issue=1|pages=58–103}}</ref> ने दिखाया गया है कि एक गोलाकार चतुर्भुज में एक गोले के एक छोटे वृत्त में खुदा हुआ है, विपरीत कोणों का योग समान है, और परिचालित चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं का योग समान है। इन प्रमेयों में से पहला एक समतल प्रमेय का गोलाकार अनुरूप है, और दूसरा प्रमेय इसका दोहरा है, जो बड़े वृत्तों और उनके ध्रुवों को आपस में बदलने का परिणाम है।<ref>{{Cite book|title=गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का इतिहास - स्प्रिंगर|volume = 12|last=Rosenfeld|first=B. A.|doi=10.1007/978-1-4419-8680-1|series = Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|year = 1988|isbn = 978-1-4612-6449-1}}</ref> काइपर एट अल<ref>{{Cite journal|last1=Kiper|first1=Gökhan|last2=Söylemez|first2=Eres|date=2012-05-01|title=होमोथेटिक जिटरबग-जैसे लिंकेज|journal=Mechanism and Machine Theory|volume=51|pages=145–158|doi=10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014}}</ref> प्रमेय का विलोम सिद्ध हुआ: यदि एक गोलीय चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है, तो इस चतुर्भुज के लिए एक उत्कीर्ण वृत्त होता है।

== यह भी देखें ==
* [[तितली प्रमेय]]
*परिक्रमा
* [[एक बिंदु की शक्ति]]
* टॉलेमी की जीवाओं की तालिका
* [[रॉबिन्स पेंटागन]]

==संदर्भ==
{{reflist}}


== अग्रिम पठन ==
*D. Fraivert: [https://doi.org/10.1017/mag.2019.54 ''Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral'']



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==बाहरी संबंध==
*[https://web.archive.org/web/20110621021620/http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-formulas/derivation-formula-area-cyclic-quadrilateral Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral]
*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml Incenters in Cyclic Quadrilateral] at [[cut-the-knot]]
*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brahmagupta2.shtml Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral] at [[cut-the-knot]]
*{{MathWorld |urlname=CyclicQuadrilateral |title=Cyclic quadrilateral}}

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