View source for ऑप्टिक समीकरण

[[File:optic_equation_integer_solutions.svg|thumb|300px|लिंक ={{filepath:optic_equation_integer_solutions.svg}}| ऑप्टिक समीकरण के पूर्णांक समाधान {{sfrac|''a''}} + {{sfrac|''b''}} = {{sfrac|''c''}} के लिये {{nowrap|1 &le; ''a,b'' &le; 99}}. वृत्त में संख्या c है। में [{{filepath:optic_equation_integer_solutions.svg}} एसवीजी फ़ाइल,] इसका समाधान देखने के लिए एक वृत्त पर होवर करें।]]
{{Confuse|Octic equation}}
[[संख्या सिद्धांत]] में, ऑप्टिक समीकरण एक समीकरण है जिसके लिए दो धनात्मक [[पूर्णांक]] ''a'' और ''b'' के गुणक व्युत्क्रम के योग की आवश्यकता होती है, जो तीसरे धनात्मक पूर्णांक ''c'' के व्युत्क्रम के बराबर होता है:<ref name=Dickson>Dickson, L. E., ''History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis'', Chelsea Publ. Co., 1952, pp. 688–691.</ref>
:<math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.</math>
एबीसी द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करने से पता चलता है कि ऑप्टिक समीकरण एक डायोफैंटिन समीकरण (एकाधिक पूर्णांक चर में एक [[बहुपद समीकरण]]) के बराबर है।

== समाधान ==

पूर्णांक ए, बी, सी में सभी समाधान सकारात्मक पूर्णांक पैरामीटर एम, एन, के द्वारा दिए गए हैं<ref name=Dickson/>

:<math>a=km(m+n) , \quad  b=kn(m+n), \quad c=kmn</math>
जहाँ m और n सह अभाज्य पूर्णांक हैं।

== ज्यामिति में प्रकटन ==
[[File:inverse_pythagorean_theorem.svg|thumb|व्युत्क्रम पायथागॉरियन प्रमेय (लाल) में वर्गों के साथ ऑप्टिक समीकरण प्रकट होता है]]ऑप्टिक समीकरण, अनुमति देता है लेकिन पूर्णांक समाधानों की आवश्यकता नहीं है, [[ज्यामिति]] में कई संदर्भों में प्रकट होता है।

एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज में अंतःत्रिज्या r, परित्रिज्या R, और अंत:केन्द्र और परिकेन्द्र के बीच की दूरी x, फुस्स प्रमेय के अनुसार संबंधित हैं

:<math>\frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},</math>
और शीर्ष A, B, C, D से केंद्र I की दूरी अंतःत्रिज्या से संबंधित है

:<math>\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IC^2}=\frac{1}{IB^2}+\frac{1}{ID^2}=\frac{1}{r^2}.</math>

[[File:CrossedLadders.svg|thumb|right|पार की हुई सीढ़ियाँ। <math>\tfrac{1}{h}=\tfrac{1}{A}+\tfrac{1}{B}.</math> ]]पार सीढ़ी समस्या में,<ref>Gardner, M. ''Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments from Scientific American''. New York: Knopf, 1979, pp. 62&ndash;64.</ref> ऊर्ध्वाधर दीवारों के तल पर बंधी हुई दो सीढ़ियाँ ऊँचाई h पर पार करती हैं और A और B की ऊँचाई पर विपरीत दीवारों के विरुद्ध झुकती हैं। हमारे पास है <math>\tfrac{1}{h}=\tfrac{1}{A}+\tfrac{1}{B}.</math> इसके अलावा, यदि दीवारें झुकी हुई हैं और तीनों माप दीवारों के समानांतर बनाए गए हैं, तो सूत्र धारण करना जारी रखता है।

मान लीजिए P एक समबाहु त्रिभुज ABC के [[परिवृत्त]] पर, [[चाप (ज्यामिति)]] AB पर एक बिंदु है। मान लीजिए a, P से A की दूरी है और b, P से B की दूरी है। P और दूर शीर्ष C से गुजरने वाली रेखा पर, मान लीजिए कि P से त्रिभुज की भुजा AB की दूरी है। फिर<ref name=Posamentier>Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publ., 1996.</ref>{{rp|p. 172}} <math>\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=\tfrac{1}{c}.</math>
एक [[समलम्ब]] में, दो समानांतर भुजाओं के समानांतर एक खंड बनाएं, जो विकर्णों के चौराहे से होकर गुजरे और गैर-समानांतर पक्षों पर अंत बिंदु हों। फिर अगर हम समानांतर भुजाओं की लंबाई को a और b के रूप में निरूपित करते हैं और विकर्ण चौराहे के माध्यम से खंड की आधी लंबाई को c के रूप में निरूपित करते हैं, तो a और b के व्युत्क्रम का योग c के व्युत्क्रम के बराबर होता है।<ref>''GoGeometry'', [http://www.gogeometry.com/problem/p747-trapezoid-diagonal-parallel-similarity-harmonic-mean-high-school-college.htm], Accessed 2012-07-08.</ref>
विशेष स्थिति जिसमें वे पूर्णांक जिनके व्युत्क्रमों को लिया गया है, [[वर्ग संख्या]]एँ होनी चाहिए, समकोण त्रिभुजों के संदर्भ में दो तरह से प्रकट होती हैं। सबसे पहले, पैरों से ऊँचाई के वर्गों के व्युत्क्रम का योग (समरूप रूप से, स्वयं पैरों के वर्गों का) कर्ण से ऊँचाई के वर्ग के व्युत्क्रम के बराबर होता है। यह मानता है कि संख्याएँ पूर्णांक हैं या नहीं; एक सूत्र है (कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ पूर्णांक त्रिकोण # पायथागॉरियन त्रिकोण देखें) जो सभी पूर्णांक मामलों को उत्पन्न करता है।<ref>{{citation
 | last = Voles | first = Roger
 | date = July 1999
 | doi = 10.2307/3619056
 | issue = 497
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | jstor = 3619056
 | pages = 269–271
 | title = 83.27 Integer solutions of <math>a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}</math>
 | volume = 83}}</ref><ref name="Richinik">{{citation
 | last = Richinick | first = Jennifer
 | date = July 2008
 | doi = 10.1017/s0025557200183275
 | issue = 524
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | jstor = 27821792
 | pages = 313–316
 | title = 92.48 The upside-down Pythagorean theorem
 | volume = 92}}</ref> दूसरा, एक समकोण त्रिभुज में भी दो खुदे हुए वर्गों में से एक की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग का योग और कर्ण के वर्ग के व्युत्क्रम का योग दूसरे खुदे हुए वर्ग की भुजा के व्युत्क्रम के वर्ग के बराबर होता है।

एक [[सातकोणक]]ल त्रिभुज के पक्ष, जो नियमित हेप्टागोन के साथ अपने शिखर साझा करते हैं, ऑप्टिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

== अन्य दिखावे ==

=== पतला लेंस समीकरण ===
[[File:Lens3.svg|thumb|पतले लेंस समीकरण में दूरियाँ]]नगण्य मोटाई और फोकल लंबाई f के लेंस के लिए, लेंस से किसी वस्तु की दूरी, S<sub>1</sub>, और लेंस से इसकी छवि तक, एस<sub>2</sub>, लेंस_(ऑप्टिक्स)#इमेजिंग गुणों से संबंधित हैं:
:<math>\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}=\frac{1}{f} </math> .

=== इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग ===
{{resistors_inductors_capacitors_in_series_and_parallel.svg}}
विद्युत परिपथ या इलेक्ट्रॉनिक परिपथ के घटकों को एक श्रृंखला और समानांतर परिपथ विन्यास कहा जाता है, जिसमें जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कुल विद्युत प्रतिरोध मान R<sub>t</sub>प्रतिरोध R वाले दो प्रतिरोधों के<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub> समानांतर में जुड़ा हुआ ऑप्टिक समीकरण का अनुसरण करता है:
:<math>\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_t} </math> .

इसी प्रकार, कुल [[अधिष्ठापन]] एल<sub>t</sub>अधिष्ठापन एल के साथ दो प्रेरकों की<sub>1</sub> और मैं<sub>2</sub> समानांतर में जुड़ा हुआ है:
:<math>\frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} = \frac{1}{L_t} </math>
और कुल धारिता C<sub>t</sub>धारिता वाले दो [[संधारित्र]]ों की C<sub>1</sub> और सी<sub>2</sub> श्रृंखला में जुड़ा इस प्रकार है:
:<math>\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_t} </math> .

===कागज मोड़ना===
[[File:Folding_paper_into_thirds.svg|thumb|क्रास्ड लैडर प्रॉब्लम का उपयोग करके कागज की एक आयताकार शीट को तीन भागों में मोड़ना]]क्रास्ड लैडर प्रॉब्लम के ऑप्टिक समीकरण को आयताकार कागज को तीन बराबर भागों में मोड़ने पर लागू किया जा सकता है। एक तरफ (यहाँ दिखाया गया बायाँ हिस्सा) आंशिक रूप से आधे में मुड़ा हुआ है और एक निशान छोड़ने के लिए पिंच किया गया है। इस निशान से एक विकर्ण के साथ एक विपरीत कोने तक एक रेखा का चौराहा नीचे के किनारे से ठीक एक तिहाई है। शीर्ष किनारे को फिर चौराहे से मिलने के लिए मोड़ा जा सकता है।<ref>{{citation
 | last1 = Meyer | first1 = Daniel
 | last2 = Meyer | first2 = Jeanine
 | last3 = Meyer | first3 = Aviva
 | date = March 2000
 | doi = 10.37514/awr-j.2000.1.9.41
 | issue = 9
 | journal = Academic.Writing: Interdisciplinary Perspectives on Communication Across the Curriculum
 | title = Teaching mathematical thinking through origami
 | volume = 1}}; see in particular section "[https://wac.colostate.edu/aw/papers/meyers/orithir.htm Dividing into thirds]"</ref>


=== [[अनुकूल माध्य]] ===
ए और बी का हार्मोनिक माध्य है <math>\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}</math> या 2सी। दूसरे शब्दों में, c, a और b का आधा हार्मोनिक माध्य है।

== फर्मेट के अंतिम प्रमेय से संबंध ==

फर्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि दो पूर्णांकों का योग एक ही पूर्णांक शक्ति n के बराबर नहीं हो सकता है, यदि n > 2 है तो शक्ति n तक बढ़ाए गए पूर्णांक के बराबर नहीं हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि ऑप्टिक समीकरण के किसी भी समाधान में सभी तीन पूर्णांक [[पूर्ण शक्ति]]यों के बराबर नहीं हैं समान शक्ति n > 2. यदि के लिए <math>\tfrac{1}{x^n}+\tfrac{1}{y^n}=\tfrac{1}{z^n},</math> फिर से गुणा करना <math>(xyz)^n</math> देना होगा <math>(yz)^n+(xz)^n=(xy)^n, </math> जो Fermat's Last Theorem द्वारा असंभव है।

== यह भी देखें ==
* एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान, एक अलग डायोफैंटाइन समीकरण जिसमें पूर्णांकों के व्युत्क्रमों का योग शामिल है
* [[व्युत्क्रम का योग]]


==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==

*गुणात्मक प्रतिलोम
*डायोफैंटाइन समीकरण
*कोप्राइम पूर्णांक
*इसके विपरीत पाइथागोरस प्रमेय
*से कम
*द्विकेंद्रित चतुर्भुज
*केंद्र में
*सीढ़ी पार करने की समस्या
*समभुज त्रिकोण
*सही त्रिकोण
*सप्तकोणीय त्रिकोण
*विद्युतीय प्रतिरोध
*श्रृंखला और समानांतर सर्किट
*अवरोध
*प्रारंभ करनेवाला
*समाई
==संदर्भ==
{{reflist}}
[[Category:डायोफैंटाइन समीकरण]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 15/12/2022]]