View source for अनंत बंदर प्रमेय

{{short description|Counterintuitive result in probability}}

[[File:Chimpanzee seated at typewriter.jpg|thumb|चिंपैंजी संभवतः हैमलेट टाइप नहीं कर रहे हैं]]'''अनंत [[बंदर]] प्रमेय''' में कहा गया है बंदर [[टाइपराइटर]] कीबोर्ड पर यादृच्छिकता रूप से असीमित समय के लिए कुंजियों को  [[लगभग निश्चित रूप से]] [[विलियम शेक्सपियर]] के पूर्ण कार्यों जैसे किसी दिए गए पाठ को टाइप करता हैं। वास्तविक में, बंदर निश्चित रूप से प्रत्येक संभव परिमित पाठ को अनंत बार टाइप करेगा। चूँकि, इस बात की [[संभावना]] है कि पूरे अवलोकनीय ब्रह्मांड को भरने वाले बंदर शेक्सपियर के '[[छोटा गांव|हेमलेट]]', जैसे पूर्ण कार्य को टाइप करेंगे, यह इतना छोटा है कि समय की अवधि के समय इसके होने की संभावना सैकड़ों-हजारों [[परिमाण के आदेश (संख्या)]] ) की उम्र से अधिक है। और [[ब्रह्मांड की आयु]] से ''बहुत'' कम है (किन्तु तकनीकी रूप से शून्य नहीं है)। प्रमेय को यह बताने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि घटनाओं का कोई भी क्रम जिसके घटित होने की गैर-शून्य संभावना है, पर्याप्त समय दिए जाने पर लगभग निश्चित रूप से अंततः घटित होगा।

इस संदर्भ में, लगभग निश्चित रूप से गणितीय शब्द है जिसका अर्थ है कि घटना प्रायिकता 1 के साथ होती है, और बंदर वास्तविक बंदर नहीं है, किन्तु [[सार और ठोस]] उपकरण के लिए [[रूपक]] है जो अक्षरों और प्रतीकों का अंतहीन [[यादृच्छिक अनुक्रम]] उत्पन्न करता है। बंदर रूपक के उपयोग के प्रारंभी उदाहरणों में से 1913 में फ्रांसीसी गणितज्ञ एमिल बोरेल का है,<ref name=":0" /> किन्तु पहला उदाहरण इससे भी पहले का हो सकता है।

प्रमेय के रूपों में कई और यहां तक कि असीम रूप से कई टाइपिस्ट सम्मिलित हैं, और लक्ष्य पाठ संपूर्ण पुस्तकालय और वाक्य के बीच भिन्न होता है। [[जॉर्ज लुइस बोर्गेस]] ने इस विचार के इतिहास को [[अरस्तू]] की [[पीढ़ी और भ्रष्टाचार पर]] और [[सिसरौ]] के डी नेचुरा देवरम (ऑन द नेचर ऑफ द गॉड्स) से, [[ब्लेस पास्कल]] और [[जोनाथन स्विफ़्ट]] के माध्यम से, अपने प्रतिष्ठित सिमियन और टाइपराइटर के साथ आधुनिक बयानों तक खोजा गया था। 20वीं शताब्दी की प्रारंभ में, बोरेल और [[आर्थर एडिंगटन]] ने [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] की नींव में निहित समयमानों को स्पष्ट करने के लिए प्रमेय का उपयोग किया गया था।

== समाधान ==

=== प्रत्यक्ष प्रमाण ===
इस प्रमेय का सीधा प्रमाण है। परिचय के रूप में, याद रखें कि यदि दो घटनाएँ [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] हैं, तो दोनों के घटित होने की प्रायिकता प्रत्येक के स्वतंत्र रूप से घटित होने की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, यदि भविष्य में किसी विशेष दिन [[मास्को]] में बारिश की संभावना 0.4 है और किसी विशेष दिन [[सैन फ्रांसिस्को]] में [[भूकंप]] आने की संभावना 0.00003 है, तो दोनों के ही दिन होने की संभावना {{nowrap|1=0.4 × 0.00003 = 0.000012}} है, और यह मानते हुए कि वे वास्तविक में स्वतंत्र हैं।

50 कुंजियों वाले टाइपराइटर पर केला शब्द टाइप करने की प्रायिकता पर विचार करें। मान लीजिए कि कुंजियों को बेतरतीब रूप से और स्वतंत्र रूप से दबाया जाता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक कुंजी को दबाए जाने की समान संभावना होती है, चाहे पहले कितनी कुंजियां दबाई गई हों। टाइप किए गए पहले अक्षर के 'b' होने की संभावना 1/50 है, और टाइप किए गए दूसरे अक्षर 'a' के टाइप होने की संभावना भी 1/50 है, और इसी प्रकार आगे भी होता है। इसलिए, केले की वर्तनी के पहले छह अक्षरों की प्रायिकता है
:(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)<sup>6</sup> = 1/15,625,000,000।
15 बिलियन में से कम, किन्तु शून्य नहीं।

उपरोक्त से, 6 अक्षरों के दिए गए ब्लॉक में केला टाइप न करने की संभावना 1 − (1/50)<sup>6 है। क्योंकि प्रत्येक ब्लॉक स्वतंत्र रूप से टाइप किया गया है, 6 अक्षरों के पहले n ब्लॉक में से किसी में केला टाइप न करने की संभावना Xn है

:<math>X_n=\left(1-\frac{1}{50^6}\right)^n.</math>
जैसे-जैसे n बढ़ता है, तो X<sub>''n''</sub> छोटा हो जाता है। n = 1 मिलियन के लिए, X<sub>''n''</sub> लगभग 0.9999 है, किन्तु n = 10 बिलियन के लिए X<sub>''n''</sub> सामान्यतः 0.53 है और n = 100 बिलियन के लिए यह सामान्यतः 0.0017 है। जैसे ही n अनंत तक पहुंचता है, प्रायिकता X<sub>''n''</sub> फ़ंक्शन शून्य की सीमा; अर्थात्, n को अधिक बड़ा करके, X<sub>''n''</sub> को इच्छानुसार छोटा बनाया जा सकता है,<ref name="Isaac1995">{{cite book |last=Isaac |first=Richard E. |title=The Pleasures of Probability |year=1995 |publisher=Springer |isbn = 0-387-94415-X |pages=48–50}} – Isaac generalizes this argument immediately to variable text and alphabet size; the common main conclusion is on page&nbsp;50.</ref> और केला टाइप करने की संभावना 100% तक पहुँच जाती है।{{efn|This shows that the probability of typing "banana" in one of the predefined non-overlapping blocks of six letters tends to 1. In addition the word may appear across two blocks, so the estimate given is conservative.}} इस प्रकार, केला शब्द के अनंत में किसी बिंदु पर प्रकट होने की संभावना कीस्ट्रोक्स का अनुक्रम के बराबर है।

एक ही तर्क प्रायुक्त होता है जब हम पाठ के लगातार n ब्लॉकों को टाइप करने वाले बंदर को n बंदरों से बदलते हैं, जिनमें से प्रत्येक ब्लॉक (एक साथ और स्वतंत्र रूप से) टाइप करता है। इस स्थिति में X<sub>''n''</sub> = (1 − (1/50)<sup>6</sup>)<sup>n</sup> की प्रायिकता है कि पहले n बंदरों में से कोई भी अपनी पहले प्रयास में केले को सही रूप से टाइप नहीं करता है। इसलिए, असीम रूप से कई बंदरों में से कम से कम (एक के बराबर प्रायिकता के साथ) पाठ को उतनी ही तेजी से प्रस्तुत करता है, जितना कि पूरी तरह से त्रुटिहीन मानव टाइपिस्ट द्वारा इसे मूल से कॉपी करके तैयार किया जाता है।

==== अनंत तार ====
यह [[स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)]] के संदर्भ में अधिक सामान्यतः और कॉम्पैक्ट रूप से कहा जा सकता है, जो कि कुछ परिमित वर्णमाला से चुने गए वर्णों के अनुक्रम हैं:
* अनंत स्ट्रिंग को देखते हुए जहां प्रत्येक वर्ण को [[समान वितरण (असतत)]] चुना जाता है, कोई भी परिमित स्ट्रिंग लगभग निश्चित रूप से किसी स्थान पर [[सबस्ट्रिंग]] के रूप में होती है।
* अनंत स्ट्रिंग्स के अनंत अनुक्रम को देखते हुए, जहां प्रत्येक स्ट्रिंग के प्रत्येक वर्ण को यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना जाता है, कोई भी परिमित स्ट्रिंग लगभग निश्चित रूप से इन स्ट्रिंग्स में से के उपसर्ग के रूप में होती है।

दोनों दूसरे बोरेल-कैंटेली लेम्मा से आसानी से अनुसरण करते हैं। दूसरे प्रमेय के लिए, E<sub>''k''</sub> घटना (संभाव्यता सिद्धांत) हो कि kवी स्ट्रिंग दिए गए पाठ से प्रारंभ होती है। क्योंकि इसमें घटित होने की कुछ निश्चित अशून्य प्रायिकता p है, और E<sub>''k''</sub> स्वतंत्र हैं, और निम्न योग विचलन करता है,
:<math>\sum_{k=1}^\infty P(E_k) = \sum_{k=1}^\infty p = \infty,</math>
संभावना है कि असीम रूप से कई E<sub>''k''</sub> घटित होता है 1। पहला प्रमेय इसी प्रकार दिखाया गया है; कोई यादृच्छिक स्ट्रिंग को वांछित पाठ के आकार से मेल खाने वाले गैर-अतिव्यापी ब्लॉकों में विभाजित कर सकता है, और E<sub>''k''</sub> बना सकता है वह घटना जहाँ kवी ब्लॉक वांछित स्ट्रिंग के बराबर है।{{efn|The first theorem is proven by a similar if more indirect route in Gut (2005).<ref>{{cite book |last=Gut |first=Allan |title=Probability: A Graduate Course |year=2005 |publisher=Springer |isbn=0-387-22833-0 |pages=97–100}}</ref>}}


=== संभावनाएं ===
चूंकि, शारीरिक रूप से सार्थक लंबाई के लिए टाइप करने वाले बंदरों की शारीरिक रूप से सार्थक संख्या के लिए परिणाम उलटे होते हैं। यदि देखने योग्य ब्रह्मांड में जितने भी परमाणु हैं, उतने ही बंदर ब्रह्मांड के जीवन के खरबों गुना तेजी से टाइपिंग कर रहे हैं, बंदरों द्वारा शेक्सपियर के पृष्ठ की भी नकल करने की संभावना अथाह रूप से छोटी है।

विराम चिह्न, रिक्ति और पूंजीकरण को अनदेखा करते हुए, बंदर यादृच्छिक रूप से अक्षरों को समान रूप से टाइप करता है, हेमलेट के पहले अक्षर को सही रूप से टाइप करने के 26 में से का मौका होता है। इसके पास पहले दो अक्षरों को टाइप करने का 676 (26 × 26) में से का मौका है। चूंकि प्रायिकता [[घातीय वृद्धि]] को कम कर देती है, इसलिए 20 अक्षरों में इसके पास पहले से ही 26<sup>20</sup> = 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376{{efn|Nearly 20 octillion}} (लगभग 2 × 10<sup>28</sup>) में केवल का अवसर है। हेमलेट के पूरे पाठ के स्थिति में, संभावनाएँ इतनी कम हैं कि उनकी कल्पना भी नहीं की जा सकती है। हेमलेट के पाठ में लगभग 130,000 अक्षर हैं।{{efn|Using the Hamlet text {{cite web |url=http://www.gutenberg.org/dirs/etext99/1ws2611.txt |title=from gutenberg.org}}, there are 132680&nbsp;alphabetical letters and 199749 characters overall}} इस प्रकार पहले परीक्षण में पाठ को सही करने के लिए 3.4 × 10<sup>183,946</sup> में होने की संभावना है। पहले परीक्षण में सही पाठ प्राप्त करने के लिए। टेक्स्ट दिखाई देने तक टाइप किए जाने वाले अक्षरों की औसत संख्या भी 3.4 × 10<sup>183,946</sup>,{{efn|For any required string of 130,000&nbsp;letters from the set 'a'-'z', the average number of letters that needs to be typed until the string appears is (rounded) 3.4&nbsp;×&nbsp;10<sup>183,946</sup>, except in the case that all letters of the required string are equal, in which case the value is about 4% more, 3.6&nbsp;×&nbsp;10<sup>183,946</sup>. In that case failure to have the correct string starting from a particular position reduces with about 4% the probability of a correct string starting from the next position (i.e., for overlapping positions the events of having the correct string are not independent; in this case there is a positive correlation between the two successes, so the chance of success after a failure is smaller than the chance of success in general). The figure 3.4&nbsp;×&nbsp;10<sup>183,946</sup> is derived from ''n'' {{=}}&nbsp;26<sup>130000</sup> by taking the logarithm of both sides: log<sub>10</sub>(''n'') {{=}} 1300000×log<sub>10</sub>(26) {{=}}&nbsp;183946.5352, therefore ''n'' {{=}}&nbsp;10<sup>0.5352</sup>&nbsp;×&nbsp;10<sup>183946</sup> {{=}}&nbsp;3.429&nbsp;×&nbsp;10<sup>183946</sup>.}} या विराम चिह्न सहित, 4.4 × 10<sup>360,783</sup> है।{{efn|26&nbsp;letters ×2 for capitalisation, 12 for punctuation characters {{=}} 64, 199749×log<sub>10</sub>(64) {{=}}&nbsp;4.4&nbsp;×&nbsp;10<sup>360,783</sup> (this is generous as it assumes capital letters are separate keys, as opposed to a key combination, which makes the problem vastly harder).}}

यहां तक कि अगर देखने योग्य ब्रह्मांड में प्रत्येक प्रोटॉन (जो लगभग 10 पर [[एडिंगटन संख्या]] है<sup>80</sup>) [[महा विस्फोट]] से ब्रह्मांड के अंत तक टाइपराइटर टाइप करने वाला   बंदर (जब प्रोटॉन [[प्रोटॉन क्षय]] होता है) था, तब भी उन्हें बहुत अधिक मात्रा में आवश्यकता होगी परिमाण के तीन लाख साठ हजार से अधिक का समय सफलता के - 10<sup>500</sup> में से1 भी होने की संभावना अधिक है। इसे दूसरे विधि से रखने के लिए, खरब में सफलता के अवसर के लिए, 10<sup>360,641</sup> देखने योग्य ब्रह्मांडों की आवश्यकता होगी।{{efn|There are ~10<sup>80</sup>&nbsp;protons in the observable universe. Assume the monkeys write for 10<sup>38</sup> years (10<sup>20</sup>&nbsp;years is when [[Future of an expanding universe#Stellar remnants escape galaxies or fall into black holes|all stellar remnants will have either been ejected from their galaxies or fallen into black holes]], 10<sup>38</sup> years is when all but 0.1% of [[Future of an expanding universe#All nucleons decay|protons have decayed]]). Assuming the monkeys type non-stop at a ridiculous 400&nbsp;[[words per minute]] (the world record is 216&nbsp;[[words per minute|WPM]] for a single minute), that's about 2,000&nbsp;characters per minute (Shakespeare's average word length is a bit under 5&nbsp;letters). There are about half a million minutes in a year, this means each monkey types half a billion characters per year. This gives a total of 10{{sup|80}}×10{{sup|38}}×10{{sup|9}} {{=}} 10{{sup|127}} letters typed – which is still zero in comparison to 10{{sup|360,783}}. For a one in a trillion chance, multiply the letters typed by a trillion: 10<sup>127</sup>×10<sup>15</sup> {{=}} 10<sup>145</sup>. 10<sup>360,783</sup>/10<sup>145</sup> {{=}} 10<sup>360,641</sup>.}} जैसा कि [[चार्ल्स किट्टल]] और [[हर्बर्ट क्रॉमर]] ने [[ऊष्मप्रवैगिकी]] पर अपनी पाठ्यपुस्तक में रखा था, वह क्षेत्र जिसकी सांख्यिकीय नींव ने टाइपिंग बंदरों के पहले ज्ञात प्रदर्शन को प्रेरित किया,<ref name="KK">{{cite book |author1-link=Charles Kittel |last1=Kittel |first1=Charles |author2-link=Herbert Kroemer |first2=Herbert |last2=Kroemer |title=Thermal Physics (2nd ed.) |publisher=W.H. Freeman Company |year=1980 |isbn=0-7167-1088-9 |page=53}}</ref> हैमलेट की संभावना इसलिए किसी घटना के किसी भी परिचालन अर्थ में शून्य है ... और यह कथन कि बंदरों को अंततः सफल होना चाहिए, बहुत, बहुत बड़ी संख्या के बारे में भ्रामक निष्कर्ष देता है।

वास्तविक में सफलता की खरब में से भी कम संभावना है कि बंदरों से बना ऐसा ब्रह्मांड किसी विशेष दस्तावेज़ को मात्र 79 वर्णों में टाइप कर सकता है।{{efn|As explained at {{cite web |url=http://www.nutters.org/docs/more-monkeys |title=More monkeys |access-date=2013-12-04 |url-status=dead |archive-url=http://arquivo.pt/wayback/20091016011846/http://www.nutters.org/docs/more-monkeys |archive-date=2009-10-16 |df=dmy-all}} the problem can be approximated further: 10<sup>145</sup>/log<sub>10</sub>(64) {{=}}&nbsp;78.9 characters.}}



=== लगभग निश्चित रूप से ===
{{Main|लगभग निश्चित रूप से}}

संभावना है कि पाठ की अनंत बेतरतीब रूप से उत्पन्न स्ट्रिंग में विशेष परिमित सबस्ट्रिंग होगा। चूंकि, इसका अर्थ यह नहीं है कि सबस्ट्रिंग की अनुपस्थिति 0 की पूर्व संभावना होने के अतिरिक्त सबस्ट्रिंग की अनुपस्थिति असंभव है। उदाहरण के लिए, अमर बंदर यादृच्छिक रूप से टाइप कर सकता है G इसके पहले अक्षर के रूप में, G इसके दूसरे अक्षर के रूप में, और G इसके बाद प्रत्येक अक्षर के रूप में, Gs की अनंत स्ट्रिंग का उत्पादन करता है; बंदर को किसी भी समय कुछ और टाइप करने के लिए विवश नहीं किया जाना चाहिए। (अन्यथा मान लेना जुआरी के भ्रम को दर्शाता है।) चूंकि बेतरतीब रूप से उत्पन्न परिमित स्ट्रिंग है, छोटा किन्तु गैर-शून्य मौका है कि यह ही चरित्र को बार-बार दोहराए जाने के लिए निकलेगा; यह मौका शून्य के निकट पहुंच जाता है क्योंकि स्ट्रिंग की लंबाई अनंत तक पहुंच जाती है। इस प्रकार के नीरस अनुक्रम के बारे में कुछ खास नहीं है अतिरिक्त इसके कि इसका वर्णन करना आसान है; यही तथ्य किसी भी नाम योग्य विशिष्ट अनुक्रम पर प्रायुक्त होता है, जैसे कि आरजीआरजीआरजी बार-बार हमेशा के लिए, या a-b-aa-bb-aaa-bbb-... , या तीन, छह, नौ, बारह…।

यदि काल्पनिक बंदर के पास टाइपराइटर है जिसमें 90 समान रूप से संभावित कुंजियाँ हैं जिनमें अंक और विराम चिह्न सम्मिलित हैं, तो पहली टाइप की गई कुंजियाँ 3.14 (पाई के पहले तीन अंक) हो सकती हैं (1/90)<sup>4</sup> की संभावना के साथ, जो 1/65,610,000 है। टाइपराइटर द्वारा अनुमत चार वर्णों की कोई अन्य स्ट्रिंग समान रूप से संभावित है, जैसे जीजीजीजी, गणित, या q%8e । संभावना है कि 100 यादृच्छिक रूप से टाइप की गई कुंजियों में पीआई के पहले 99 अंक (विभाजक कुंजी सहित), या उस लंबाई के किसी अन्य विशेष अनुक्रम सम्मिलित होंगे, बहुत कम: (1/90)<sup>100</sup> है। यदि बंदर द्वारा आवंटित पाठ की लंबाई अनंत है, तो पाई के केवल अंकों को टाइप करने की संभावना 0 है, जो कि जितना संभव हो उतना संभव है (गणितीय रूप से संभावित) Gs के अतिरिक्त कुछ भी नहीं टाइप करना (प्रायिकता 0 भी) हैं।

हेमलेट के विशेष संस्करण को टाइप करने की घटना पर भी प्रायुक्त होता है, जिसके बाद स्वयं की अंतहीन प्रतियां होती हैं; या हेमलेट के तुरंत बाद पाई के सभी अंक; ये विशिष्ट तार लंबाई में [[अनंत सेट]] हैं, वे विचार समस्या की शर्तों से निषिद्ध नहीं हैं, और उनमें से प्रत्येक की 0 की पूर्व संभावना है। वास्तविक में, अमर बंदर प्रकार के किसी भी विशेष अनंत अनुक्रम में 0 की पूर्व संभावना होगी चाहे बंदर को कुछ टाइप करना चाहिए।

यह सिद्धांत का विस्तार है कि यादृच्छिक पाठ की परिमित स्ट्रिंग में विशेष स्ट्रिंग होने की संभावना कम और कम होती है (चूंकि सभी विशिष्ट स्ट्रिंग्स समान रूप से असंभव हैं)। यह प्रायिकता 0 तक पहुँचती है क्योंकि स्ट्रिंग अनंत तक पहुँचती है। इस प्रकार, 90-कुंजी कीबोर्ड पर, बंदर की अंतहीन लंबी स्ट्रिंग टाइप करने की संभावना, जैसे कि पीआई के सभी अंक (1/90)<sup>∞</sup> क्रम में हैं, जो (1/∞) के बराबर है जो अनिवार्य रूप से 0 है। साथ ही, संभावना है कि अनुक्रम में विशेष अनुक्रम सम्मिलित (जैसे कि बंदर शब्द, या 12 वीं से लेकर 999 तक पाई, या संस्करण किंग जेम्स बाइबिल का) कुल स्ट्रिंग बढ़ने के साथ बढ़ता है। यह संभावना 1 तक पहुंचती है क्योंकि कुल स्ट्रिंग अनंत तक पहुंचती है, और इस प्रकार मूल प्रमेय सही है।

=== तार और संख्या के बीच पत्राचार ===
सोचा प्रयोग के सरलीकरण में, बंदर के पास केवल दो कुंजियों के साथ टाइपराइटर हो सकता है: 1 और 0. इस प्रकार उत्पन्न असीमित लंबी स्ट्रिंग 0 और 1 के बीच विशेष [[वास्तविक संख्या]] के बाइनरी अंक प्रणाली अंकों के अनुरूप होगी। संभावित स्ट्रिंग्स का सेट अनंत दोहराव में समाप्त होता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित वास्तविक संख्या परिमेय संख्या है। उदाहरणों में एक -तिहाई (010101...), पांच-छठे (11010101...) और पांच-आठवें (1010000...) से संबंधित तार सम्मिलित हैं। इस प्रकार के वास्तविक संख्या स्ट्रिंग्स के केवल उपसमुच्चय (यद्यपि अनगिनत अनंत उपसमुच्चय) में हैमलेट की संपूर्णता सम्मिलित है (यह मानते हुए कि पाठ संख्यात्मक एन्कोडिंग के अधीन है, जैसे कि [[ASCII|एएससीआईआई]])।

इस बीच, स्ट्रिंग्स का [[बेशुमार|अनेक]] अनंत सेट है जो इस प्रकार की पुनरावृत्ति में समाप्त नहीं होता है; ये [[अपरिमेय संख्या]]ओं के अनुरूप हैं। इन्हें दो बेशुमार अनंत उपसमुच्चय में क्रमबद्ध किया जा सकता है: जिनमें हेमलेट सम्मिलित हैं और जो नहीं हैं। चूंकि, सभी वास्तविक संख्याओं का सबसे बड़ा उपसमुच्चय वे हैं जिनमें न केवल हैमलेट सम्मिलित है, किन्तु जिसमें किसी भी लम्बाई के प्रत्येक दूसरे संभावित तार सम्मिलित हैं, और ऐसे तारों के समान वितरण के साथ। इन अपरिमेय संख्याओं को [[सामान्य संख्या]] कहते हैं। क्योंकि लगभग सभी संख्याएँ सामान्य हैं, लगभग सभी संभावित स्ट्रिंग्स में सभी संभव परिमित सबस्ट्रिंग होते हैं। इसलिए, बंदर द्वारा सामान्य संख्या टाइप करने की प्रायिकता 1 है। वही सिद्धांत उन कुंजियों की संख्या पर ध्यान दिए बिना प्रायुक्त होते हैं जिनमें से बंदर चुन सकता है; 90-कुंजी कीबोर्ड को आधार 90 में लिखी गई संख्याओं के जनरेटर के रूप में देखा जा सकता है।

== इतिहास ==

=== सांख्यिकीय यांत्रिकी ===
एमिल बोरेल के 1913 के लेख "डैक्टाइलोग्राफिक" [अर्थात्, टाइपराइटिंग] बंदरों ({{lang-fr|डैक्टिलोग्राफी चिन्ह है}}; फ्रांसीसी शब्द सिंग में बंदर और वानर दोनों सम्मिलित हैं), के साथ अब इस प्रमेय के रूप में जाना जाता है। मेकानिक स्टेटिस्टिक एट इरेवर्सिबिलिटे (सांख्यिकीय यांत्रिकी और अपरिवर्तनीयता),<ref name=":0">{{cite journal | author=Émile Borel | title=Mécanique Statistique et Irréversibilité | journal=J. Phys. (Paris) | series=Series 5 | volume=3 | year=1913 | pages=189–196 | url=https://citations.webescence.com/citations/Emile-Borel/Concevons-ait-dresse-million-singes-frapper-hasard-sur-les-touches-une-machine-2819 | archive-url=https://web.archive.org/web/20151130132642/https://citations.webescence.com/citations/Emile-Borel/Concevons-ait-dresse-million-singes-frapper-hasard-sur-les-touches-une-machine-2819 | archive-date=2015-11-30 | access-date=2019-03-23 | url-status=live }} (The journal appears to not be archived back to 1913)</ref> और 1914 में उनकी पुस्तक ले हसर्ड में दिखाई दिया।<ref name="Borel1914">{{cite book|author=Émile Borel|title=La hasard|url=https://books.google.com/books?id=Kmm4vgEACAAJ&q=frapper|year=1914|publisher=F. Alcan|page=164}} (available in full at [https://archive.org/details/lehasard00boreuoft/page/164 Internet Archive]</ref> उसके बंदर वास्तविक बंदर नहीं हैं; किन्तु, वे अक्षरों के बड़े, यादृच्छिक क्रम को उत्पन्न करने के काल्पनिक विधि के लिए रूपक हैं। बोरेल ने कहा कि यदि दस लाख बंदर दिन में दस घंटे टाइप करते हैं, तो यह बहुत कम संभावना है कि उनका उत्पादन संसार के सबसे अमीर पुस्तकालयों की सभी पुस्तकों के बराबर होगा; और फिर भी इसकी तुलना में यह और भी अधिक संभावना नहीं थी कि सांख्यिकीय यांत्रिकी के नियमों का कभी भी संक्षिप्त रूप से उल्लंघन किया जाएगा।

भौतिक विज्ञानी आर्थर एडिंगटन ने द नेचर ऑफ द फिजिकल वर्ल्ड (1928) में बोरेल की छवि को और आगे बढ़ाया, लिखते हुए:

{{blockquote|यदि मैं अपनी उँगलियों को टाइपराइटर की चाबियों पर आलस्य से भटकने देता हूँ तो हो सकता है कि मेरे पेंच ने एक समझदार वाक्य बना दिया हो। यदि बंदरों की सेना टाइपराइटरों पर झपट रही होती तो वे ब्रिटिश संग्रहालय की सभी पुस्तकें लिख सकते थे। उनके ऐसा करने की संभावना निश्चित रूप से आधे बर्तन में अणुओं के लौटने की संभावना से अधिक अनुकूल है।<ref name="Arthur1928">{{उद्धृत पुस्तक | लेखक=आर्थर एडिंगटन | शीर्षक=द नेचर ऑफ द फिजिकल वर्ल्ड: द गिफोर्ड लेक्चर्स | url=https://archive.org/details/natureofphysical00eddi | प्रकाशक = मैकमिलन | स्थान=न्यूयॉर्क | वर्ष = 1928 | पेज=[https://archive.org/details/natureofphysical00eddi/page/72 72] | isbn=0-8414-3885-4}}</ref><ref name='Arthur1927'>{{साइट वेब | url = http://www.giffordlectures.org/Browse.asp?PubID=TPNOPW&Volume=0&Issue=0&ArticleID=6 | शीर्षक = अध्याय IV: द रनिंग-डाउन ऑफ़ द यूनिवर्स | एक्सेस-डेट = 2012-01-22 | अंतिम = एडिंगटन | प्रथम = आर्थर | काम = भौतिक दुनिया की प्रकृति 1926-1927: [[गिफ्फोर्ड व्याख्यान]] | यूआरएल-स्थिति = मृत | संग्रह-url = https://web.archive.org/web/20090308150708/http://www.giffordlectures.org/Browse.asp?PubID=TPNOPW&Volume=0&Issue=0&ArticleID=6 | संग्रह-तिथि = 2009-03-08 }}</ref>}}
ये छवियां पाठक को बड़ी किन्तु परिमित संख्या में बंदरों की अविश्वसनीय असंभवता पर विचार करने के लिए आमंत्रित करती हैं, जो महत्वपूर्ण काम का उत्पादन करने के लिए बड़ी किन्तु सीमित समय के लिए काम करती हैं, और इसकी तुलना कुछ भौतिक घटनाओं की और भी अधिक असंभवता से करती हैं। कोई भी भौतिक प्रक्रिया जिसकी संभावना ऐसे बंदरों की सफलता से भी कम है प्रभावी रूप से असंभव है, और सुरक्षित रूप से यह कहा जा सकता है कि ऐसी प्रक्रिया कभी नहीं होती है।<ref name="KK" />  इस संदर्भ से यह स्पष्ट है कि एडिंगटन यह सुझाव नहीं दे रहे हैं कि ऐसा होने की संभावना गंभीर विचार के योग्य है। इसके विपरीत, यह इस तथ्य का आलंकारिक चित्रण था कि संभाव्यता के कुछ स्तरों के नीचे, असंभव शब्द कार्यात्मक रूप से असंभव के बराबर है।

=== मूल और कुल पुस्तकालय ===
1939 में द टोटल लाइब्रेरी नामक निबंध में, अर्जेंटीना के लेखक जॉर्ज लुइस बोर्गेस ने अनंत-बंदर अवधारणा को अरस्तू के तत्वमीमांसा में वापस खोज लिया था। [[ल्यूसिपस]] के विचारों की व्याख्या करते हुए, जिन्होंने माना कि संसार परमाणुओं के यादृच्छिक संयोजन के माध्यम से उत्पन्न हुई, अरस्तू ने नोट किया कि परमाणु स्वयं सजातीय हैं और उनकी संभावित व्यवस्था केवल आकार, स्थिति और क्रम में भिन्न होती है। ऑन जेनरेशन एंड करप्शन में, ग्रीक दार्शनिक इसकी तुलना इस तरह से करते हैं कि त्राशताब्दी और कॉमेडी में ही परमाणु, अर्थात, वर्णानुक्रमिक वर्ण होते हैं।<ref>Aristotle, ''Περὶ γενέσεως καὶ φθορᾶς'' (''On Generation and Corruption''), 315b14.</ref> तीन शताब्दियों के बाद, सिसरो के डे नेचुरा डोरम (देवताओं की प्रकृति पर) ने परमाणुवादी विश्वदृष्टि के विरुद्ध तर्क दिया था:

{{blockquote|जो इस पर विश्वास करता है वह यह भी मान सकता है कि यदि सोने या किसी अन्य पदार्थ से बने एक-बीस अक्षरों की एक बड़ी मात्रा को जमीन पर फेंका जाता है, तो वे इस तरह के क्रम में पड़ जाएंगे कि सुपाठ्य रूप से '' एनाल्स ऑफ एननियस। मुझे संदेह है कि क्या भाग्य उनमें से एक भी कविता बना सकता है। सिसरो के टस्कुलन विवाद से अनुवाद; इसके अलावा, द नेचर ऑफ द गॉड्स, एंड ऑन द कॉमनवेल्थ '' पर ग्रंथ, सीडी योंग, प्रमुख अनुवादक, न्यूयॉर्क, हार्पर एंड ब्रदर्स पब्लिशर्स, फ्रैंकलिन स्क्वायर। (1877)। [https://www.gutenberg.org/ebooks/14988 डाउनलोड करने योग्य टेक्स्ट]।</ref>}}
बोर्गेस ब्लेज़ पास्कल और जोनाथन स्विफ्ट के माध्यम से इस तर्क के इतिहास का अनुसरण करते हैं,<ref>The English translation of "The Total Library" lists the title of Swift's essay as "Trivial Essay on the Faculties of the Soul."  The appropriate reference is, instead: Swift, Jonathan, Temple Scott et al. "A Tritical Essay upon the Faculties of the Mind." The Prose Works of Jonathan Swift, Volume 1. London: G. Bell, 1897, pp. 291-296. [https://archive.org/details/proseworksjonat01berngoog <!-- quote=The Prose Works of Jonathan Swift. --> Internet Archive]</ref> फिर देखता है कि अपने समय में, शब्दावली बदल गई थी। 1939 तक, मुहावरा यह था कि आधा दर्जन बंदरों को टाइपराइटर प्रदान किए जाते थे, कुछ अनंत काल में, ब्रिटिश संग्रहालय में सभी पुस्तकों का उत्पादन करते थे। (जिस पर बोर्गेस कहते हैं, सख्ती से बोलते हुए, अमर बंदर पर्याप्त होगा।) बोर्गेस तब कुल पुस्तकालय की सामग्री की कल्पना करता है, जिसे यह उद्यम अपने पूर्ण चरम पर ले जाने पर उत्पन्न करेगा:

{{blockquote|सब कुछ अपने अंधी मात्रा में होगा। सब कुछ: भविष्य का विस्तृत इतिहास, [[एशेकिलस]]' ''द इजिप्शियन्स'', त्रुटिहीन संख्या में कि गंगा के पानी ने कितनी बार बाज़ की उड़ान को प्रतिबिंबित किया है, रोम का गुप्त और वास्तविक स्वरूप, एनसाइक्लोपीडिया नोवेलिस ने 14 अगस्त, 1934 को भोर में मेरे सपनों और आधे सपनों का निर्माण किया होगा, [[पियरे फर्मेट]] के [[फर्मेट की अंतिम प्रमेय|प्रमेय]] का प्रमाण, ''[[एडविन] के अलिखित अध्याय ड्रूड]]'', उन्हीं अध्यायों का अनुवाद [[गैरामांटेस]] द्वारा बोली जाने वाली भाषा में किया गया, विरोधाभासों बर्कले ने समय के संबंध में आविष्कार किया लेकिन प्रकाशित नहीं किया, उरीज़ेन की लोहे की किताबें, [[स्टीफन डेडालस]] की समय से पहले की बातें, जो एक हजार साल के चक्र से पहले अर्थहीन होगा, ग्नोस्टिक [[बेसिलाइड्स का सुसमाचार]], सायरन द्वारा गाया जाने वाला गीत, पुस्तकालय की पूरी सूची, उस सूची की अशुद्धि का प्रमाण। सब कुछ: लेकिन हर समझदार पंक्ति या सटीक तथ्य के लिए लाखों अर्थहीन कोलाहल, मौखिक फर्रागो और बड़बड़ाहट होगी। सब कुछ: लेकिन मानव जाति की सभी पीढ़ियां चक्करदार अलमारियों से पहले गुजर सकती हैं - अलमारियों जो दिन को मिटा देती हैं और जिस पर अराजकता होती है - कभी भी उन्हें एक सहनीय पृष्ठ के साथ पुरस्कृत करें।<ref>{{cite journal |author-link=Jorge Luis Borges | last=बोर्गेस |फर्स्ट=जॉर्ज लुइस |टाइटल=ला बिब्लियोटेका टोटल |ट्रांस-टाइटल=द टोटल लाइब्रेरी |magazine=Sur |issue=59 |date=August 1939}} {{cite book |translator-link=Eliot Weinberger में पुनर्प्रकाशित |translator-first=Eliot |translator-last=Weinberger |title=चयनित गैर-फिक्शन |publisher=पेंगुइन |वर्ष=1999 |isbn=0-670-84947-2}}</ref>}}
बोर्गेस की कुल पुस्तकालय अवधारणा उनकी व्यापक रूप से पढ़ी गई 1941 की लघु कहानी [[बाबेल की लाइब्रेरी]] का मुख्य विषय थी, जिसमें अकल्पनीय रूप से विशाल पुस्तकालय का वर्णन किया गया है जिसमें इंटरलॉकिंग हेक्सागोनल कक्ष सम्मिलित हैं, जिसमें एक साथ प्रत्येक संभव मात्रा सम्मिलित है जिसे वर्णमाला के अक्षरों और कुछ विराम चिह्नों से बनाया जा सकता है।

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[[Category:सोचा प्रयोग|Infinite Monkey Theorem]]

== वास्तविक बंदर ==
2002 में,<ref name=vivariaNotesShakespeare/> [[प्लायमाउथ विश्वविद्यालय]] मीडियालैब आर्ट्स कोर्स के व्याख्याताओं और छात्रों ने वास्तविक बंदरों के साहित्यिक उत्पादन का अध्ययन करने के लिए [[कला परिषद इंग्लैंड]] से £2,000 अनुदान का उपयोग किया। उन्होंने महीने के लिए इंग्लैंड के डेवोन में पैग्नटन चिड़ियाघर में छह [[सेलेब्स क्रेस्टेड मकाक]] के बाड़े में कंप्यूटर कीबोर्ड छोड़ दिया, जिसमें वेबसाइट पर परिणामों को प्रसारित करने के लिए रेडियो लिंक था।<ref name="BBC News">{{cite news |title=No words to describe monkeys' play |date=2003-05-09 |website=BBC News |url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/3013959.stm |access-date=2009-07-25}}</ref>

न केवल बंदरों ने कुछ भी नहीं बनाया, किन्तु पांच कुल पृष्ठ<ref>{{cite web |url=http://www.vivaria.net/experiments/notes/publication/NOTES_EN.pdf |title=Notes Towards the Complete Works of Shakespeare|archive-url=https://web.archive.org/web/20090318143423/http://www.vivaria.net/experiments/notes/publication/NOTES_EN.pdf|archive-date=2009-03-18}}</ref> बड़े पैमाने पर "एस" <ref name="vivariaNotesShakespeare" /> अक्षर से बने थे, प्रमुख पुरुष ने कीबोर्ड को पत्थर से मारना प्रारंभ कर दिया, और अन्य बंदरों ने इसे गंदा कर दिया। यूनिवर्सिटी के इंस्टीट्यूट ऑफ डिजिटल आर्ट्स एंड टेक्नोलॉजी (i-DAT) के निदेशक माइक फिलिप्स ने कहा कि कलाकार-वित्त पोषित परियोजना मुख्य रूप से [[प्रदर्शन कला]] थी, और उन्होंने इससे बहुत कुछ सीखा है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि बंदर यादृच्छिक जनरेटर नहीं हैं। वे उससे कहीं अधिक जटिल हैं। ... उन्हें स्क्रीन अधिक पसंद थी, और उन्होंने देखा कि जब उन्होंने पत्र टाइप किया, तो कुछ हुआ। वहां विचार का स्तर था।<ref name="BBC News" /><ref name="Associated2003">{{cite magazine|url=https://www.wired.com/news/culture/0,1284,58790,00.html |title=Monkeys don't write Shakespeare |agency=Associated Press |magazine=Wired News |date=2003-05-09 |access-date=2007-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20040201230858/http://www.wired.com/news/culture/0%2C1284%2C58790%2C00.html |archive-date=2004-02-01 |url-status=dead}}</ref>



== अनुप्रयोग और आलोचनाएँ ==

=== विकास ===
[[Image:Thomas Henry Huxley - Project Gutenberg eText 16935.jpg|thumb|upright|[[सैमुअल विल्बरफोर्स]] के साथ अपनी बहस में [[थॉमस हक्सले]] को कभी-कभी सिद्धांत के संस्करण का प्रस्ताव देने के लिए गलत विधि से प्रस्तुत किया जाता है।]]अपनी 1931 की पुस्तक द मिस्टीरियस यूनिवर्स में, एडिंगटन के प्रतिद्वंद्वी [[जेम्स हॉपवुड जीन्स]] ने बंदर के दृष्टांत को हक्सले के लिए जिम्मेदार ठहराया, जिसका अर्थ संभवतः [[थॉमस हेनरी हक्सले]] था। यह श्रेय गलत है।<ref name="Padmanabhan2005">{{cite journal |first=Thanu |last=Padmanabhan |title=The dark side of astronomy |journal=Nature |volume=435 |pages=20–21 |year=2005 |doi=10.1038/435020a |issue=7038|bibcode=2005Natur.435...20P |doi-access=free }} {{cite book |author=Platt, Suzy |title=Respectfully quoted: a dictionary of quotations |year=1993 |publisher=Barnes & Noble |isbn=0-88029-768-9 |pages=[https://archive.org/details/respectfullyquot00suzy/page/388 388–389] |url-access=registration |url=https://archive.org/details/respectfullyquot00suzy/page/388 }}</ref> आज, कभी-कभी आगे यह रिपोर्ट दी जाती है कि हक्सले ने 1860 के ऑक्सफोर्ड विकास बहस में उदाहरण प्रायुक्त किया था। [[चार्ल्स डार्विन]] की ऑन द ओरिजिन ऑफ स्पीशीज़ पर अब-पौराणिक बहस, ऑक्सफोर्ड के एंग्लिकन बिशप, सैमुअल विल्बरफोर्स के साथ, ब्रिटिश एसोसिएशन फॉर फॉर की बैठक में हुई। 30 जून 1860 को ऑक्सफोर्ड में विज्ञान की उन्नति हुई । यह कहानी न केवल प्रमाण की कमी से ग्रस्त है, किन्तु तथ्य यह भी है कि 1860 में स्वयं टाइपराइटर का उदय होना बाकी था।<ref name="Rescher2006">{{cite book |first=Nicholas |last=Rescher |title=Studies in the Philosophy of Science |year=2006 |publisher=ontos verlag |isbn=3-938793-20-1 |page=103}}</ref>
मूल मिश्रण-अप के अतिरिक्त, बंदर और टाइपराइटर के तर्क अब विकासवाद के तर्कों में आम हैं। [[ईसाई क्षमाप्रार्थी]] के उदाहरण के रूप में डौग पॉवेल ने तर्क दिया कि चाहे बंदर गलती से हैमलेट के अक्षरों को टाइप कर दे, किन्तु वह हेमलेट का उत्पादन करने में विफल रहा है क्योंकि इसमें संवाद करने का विचार नहीं था। उनका समानांतर निहितार्थ यह है कि प्राकृतिक नियम [[डीएनए]] में सूचना सामग्री का उत्पादन नहीं कर सके।<ref name="Powell2006">{{cite book |last=Powell |first=Doug |title=Holman Quicksource Guide to Christian Apologetics |year=2006 |publisher=Broadman & Holman | isbn = 0-8054-9460-X |pages=60, 63}}</ref> रेवरेंड जॉन एफ. मैकआर्थर द्वारा अधिक सामान्य तर्क का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिन्होंने प्रमाणित किया कि अमीबा से टेपवर्म उत्पन्न करने के लिए आवश्यक आनुवंशिक परिवर्तन उतना ही असंभव है जितना कि बंदर टाइपिंग हैमलेट की सोलिलॉकी, और इसलिए सभी जीवन के विकास के विरुद्ध बाधाएं असंभव हैं नियंत्रण पाना।<ref name="MacArthur2003">{{cite book |first=John |last=MacArthur |title=Think Biblically!: Recovering a Christian Worldview |year=2003 |publisher=Crossway Books |isbn=1-58134-412-0 |pages=78–79}}</ref>

[[विकासवादी जीव विज्ञान]] [[रिचर्ड डॉकिन्स]] ने यादृच्छिक [[उत्परिवर्तन]] से जैविक [[जटिलता]] उत्पन्न करने के लिए [[प्राकृतिक चयन]] की क्षमता का प्रदर्शन करने के लिए अपनी पुस्तक [[द ब्लाइंड वॉचमेकर]] में टाइपिंग बंदर अवधारणा को नियोजित किया है। अनुकार प्रयोग में डॉकिन्स ने अपना [[नेवला कार्यक्रम]] हैमलेट वाक्यांश मुझे लगता है कि यह   नेवला जैसा है का निर्माण किया है, जो यादृच्छिक रूप से टाइप किए गए माता-पिता से प्रारंभ होता है, बाद की पीढ़ियों का प्रजनन करके और हमेशा यादृच्छिक उत्परिवर्तन के साथ माता-पिता की प्रतियों से निकटतम मैच का चयन करता है। लक्ष्य वाक्यांश के ही चरण में प्रकट होने की संभावना बहुत कम है, फिर भी डॉकिन्स ने दिखाया कि वाक्यांशों के संचयी चयन का उपयोग करके इसे तेजी से (लगभग 40 पीढ़ियों में) बनाया जा सकता है। यादृच्छिक विकल्प कच्चा माल प्रस्तुत करते हैं, चूंकि संचयी चयन सूचना प्रदान करता है। जैसा कि डॉकिंस स्वीकार करते हैं, चूंकि, नेवला कार्यक्रम विकास के लिए अपूर्ण सादृश्य है, क्योंकि वंश वाक्यांशों को दूर के आदर्श लक्ष्य के समानता के मानदंड के अनुसार चुना गया था। इसके विपरीत, डॉकिंस पुष्टि करते हैं, विकास की कोई दीर्घकालिक योजना नहीं है और यह किसी दूर के लक्ष्य (जैसे मनुष्य) की ओर नहीं बढ़ता है। नेवला कार्यक्रम इसके अतिरिक्त गैर-यादृच्छिक संचयी चयन और यादृच्छिक एकल-चरण चयन के बीच अंतर को स्पष्ट करने के लिए है।<ref name="Dawkins1996">{{cite book |last=Dawkins |first=Richard |year=1996 |title=The Blind Watchmaker |publisher=W.W. Norton & Co. |isbn=0-393-31570-3 |pages=[https://archive.org/details/blindwatchmaker0000dawk/page/46 46–50] |url=https://archive.org/details/blindwatchmaker0000dawk/page/46 }}</ref> टाइपिंग बंदर सादृश्य के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि रोमियो और जूलियट को अपेक्षाकृत तेज़ी से उत्पादित किया जा सकता है यदि गैर-यादृच्छिक, डार्विनियन-प्रकार का चयन क्योंकि फिटनेस फ़ंक्शन टाइपिंग बंदरों की प्रत्येक क्रमिक पीढ़ी को बेहतर बनाने वाले लक्ष्य पाठ से मेल खाने वाले किसी भी अक्षर को संरक्षित करने की प्रवृत्ति रखता है।।

विकास और अनियंत्रित बंदर के बीच समानता की खोज के लिए अलग अवसर समस्या में निहित है कि बंदर समय में केवल अक्षर टाइप करता है, अन्य अक्षरों से स्वतंत्र। ह्यूग पेट्री का तर्क है कि जैविक विकास के लिए नहीं किन्तु विचारों के विकास के लिए अधिक परिष्कृत सेटअप की आवश्यकता है:

{{blockquote|उचित सादृश्य प्राप्त करने के लिए, हमें बंदर को एक अधिक जटिल टाइपराइटर से लैस करना होगा। इसमें पूरे अलिज़बेटन वाक्यों और विचारों को सम्मिलित करना होगा। इसे मानव क्रिया पैटर्न और कारणों, अलिज़बेटन नैतिकता और विज्ञान, और इन्हें व्यक्त करने के लिए भाषाई पैटर्न के बारे में अलिज़बेटन मान्यताओं को सम्मिलित करना होगा। इसमें संभवतः उन अनुभवों का विवरण भी सम्मिलित करना होगा जिन्होंने शेक्सपियर की विश्वास संरचना को अलिज़बेटन के एक विशेष उदाहरण के रूप में आकार दिया। फिर, संभवतः, हम बंदर को ऐसे टाइपराइटर के साथ खेलने और वेरिएंट बनाने की अनुमति दे सकते हैं, लेकिन शेक्सपियर का नाटक प्राप्त करने की असंभवता अब स्पष्ट नहीं है। जो विविधता है वह वास्तव में पहले से प्राप्त ज्ञान का एक बड़ा हिस्सा समाहित करती है। }}
जेम्स डब्ल्यू वेलेंटाइन, यह स्वीकार करते हुए कि क्लासिक बंदर का कार्य असंभव है, पाता है कि लिखित अंग्रेजी और [[मेटाज़ोआ]] जीनोम के बीच   सार्थक सादृश्य है, इस अर्थ में दोनों में दहनशील पदानुक्रमित संरचनाएं हैं जो वर्णमाला स्तर पर संयोजनों की विशाल संख्या को बहुत सीमित करती हैं।<ref name="Valentine2004">{{cite book |first=James |last=Valentine |title=On the Origin of Phyla |year=2004 |publisher=University of Chicago Press |isbn=0-226-84548-6 |pages=77–80}}</ref>


=== साहित्यिक सिद्धांत ===
आरजी कॉलिंगवुड ने 1938 में तर्क दिया कि कला दुर्घटना से उत्पन्न नहीं हो सकती है, और अपने आलोचकों के लिए व्यंग्यात्मक के रूप में लिखा,

{{blockquote|...&nbsp;कुछ ... ने इस प्रस्ताव का खंडन किया है, यह इंगित करते हुए कि यदि एक बंदर एक टाइपराइटर के साथ खेलता है ... तो वह ... शेक्सपियर का पूरा पाठ प्रस्तुत करेगा। कोई भी पाठक जिसके पास करने के लिए कुछ नहीं है, यह गणना करके खुद को खुश कर सकता है कि संभावना को दांव लगाने में कितना समय लगेगा। लेकिन सुझाव की रुचि उस व्यक्ति की मानसिक स्थिति के रहस्योद्घाटन में निहित है जो शेक्सपियर के 'कार्यों' की पहचान एक पुस्तक के पृष्ठों पर छपे अक्षरों की श्रृंखला से कर सकता है&nbsp;...<ref name="Sclafani1975"> पृष्ठ&nbsp;'द प्रिंसिपल्स ऑफ आर्ट'' का 126, जैसा कि {{साइट जर्नल |फर्स्ट=रिचर्ड जे. |लास्ट=स्कलाफनी |टाइटल=कला के काम की अवधारणा की तार्किक प्रधानता |जर्नल द्वारा सारांशित और उद्धृत किया गया है =ब्रिटिश जर्नल ऑफ एस्थेटिक्स |वर्ष=1975 |वॉल्यूम=15 |अंक=1 |doi=10.1093/bjaesthetics/15.1.14 |पेज=14}}</ref>}}
[[नेल्सन गुडमैन]] ने विपरीत स्थिति ली, बोर्गेस के पियरे मेनार्ड, क्विक्सोट के लेखक, कैथरीन एल्गिन के साथ अपनी बात को चित्रित करते हुए,

{{blockquote|1=मेनार्ड ने जो लिखा वह पाठ का एक और शिलालेख है। हममें से कोई भी ऐसा ही कर सकता है, जैसा कि प्रिंटिंग प्रेस और फोटोकॉपियर कर सकते हैं। वास्तव में, हमें बताया गया है, यदि अपरिमित रूप से कई बंदर... कोई अंततः पाठ की प्रतिकृति तैयार करेगा। वह प्रतिकृति, हम बनाए रखते हैं, काम का एक उदाहरण होगा, '' डॉन क्विक्सोट '', जैसा कि सर्वेन्ट्स की पांडुलिपि, मेनार्ड की पांडुलिपि, और पुस्तक की प्रत्येक प्रति जो कभी छपी है या छपी होगी। <रेफरी नाम = "जॉन2004">{{उद्धरण पुस्तक |editor1=जॉन, एलीन |editor2=डोमिनिक लोप्स |शीर्षक=द फिलॉसफी ऑफ लिटरेचर: कंटेम्पररी एंड क्लासिक रीडिंग्स: एन एंथोलॉजी |वर्ष=2004 |प्रकाशक=ब्लैकवेल |आईएसबीएन=1-4051-1208 -5 |पेज=96}}</ref>}}
अन्य लेखन में, गुडमैन विस्तार से बताते हैं, कि हो सकता है कि बंदर ने अपनी प्रति बेतरतीब रूप से बनाई हो, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। यह ही पाठ है, और यह सभी समान व्याख्याओं के लिए खुला है। ... जेरार्ड जेनेट ने गुडमैन के तर्क को भीख मांगते हुए खारिज कर दिया।<ref name="Genette1997">{{cite book |first=Gérard |last= Genette |title=The Work of Art: Immanence and Transcendence |url=https://archive.org/details/workofart00gene |url-access=registration |year=1997 |publisher=Cornell UP |isbn=0-8014-8272-0}}</ref>

जॉर्ज जेई ग्रासिया के लिए, ग्रंथों की पहचान का प्रश्न लेखक के अलग प्रश्न की ओर ले जाता है। यदि बंदर हेमलेट टाइप करने में सक्षम है, अर्थ का कोई विचार न होने के अतिरिक्त और इसलिए खुद को लेखक के रूप में अयोग्य घोषित कर रहा है, तो ऐसा प्रतीत होता है कि ग्रंथों को लेखकों की आवश्यकता नहीं है। संभावित समाधानों में यह कहना सम्मिलित है कि जो कोई भी पाठ को ढूंढता है और उसे हेमलेट के रूप में पहचानता है वह लेखक है; या कि शेक्सपियर लेखक है, बंदर उसका एजेंट है, और खोजकर्ता केवल पाठ का उपयोगकर्ता है। इन समाधानों की अपनी कठिनाइयाँ हैं, जिसमें पाठ का अर्थ अन्य एजेंटों से अलग प्रतीत होता है: क्या होगा यदि शेक्सपियर के जन्म से पहले बंदर संचालित होता है, या यदि शेक्सपियर कभी उत्पन्न नहीं होता है, या यदि कोई बंदर का टाइपस्क्रिप्ट कभी नहीं पाता है?<ref name="Gracia1996">{{cite book |last=Gracia |first=Jorge |title=Texts: Ontological Status, Identity, Author, Audience |year=1996 |publisher=SUNY Press |isbn=0-7914-2901-6 |pages=1–2, 122–125}}</ref>



===रैंडम दस्तावेज़ जनरेशन===
प्रमेय विचार प्रयोग से संबंधित है जो व्यवहार में पूरी तरह से नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह भविष्यवाणी की जाती है कि निषेधात्मक मात्रा में समय और संसाधनों की आवश्यकता होती है। किन्तु, इसने सीमित यादृच्छिक पाठ निर्माण के प्रयासों को प्रेरित किया है।

[[न्यू यॉर्क वाला|द न्यू यॉर्कर]] में लेख के अनुसार, एरिज़ोना के स्कॉट्सडेल के डैन ओलिवर द्वारा चलाया गया कंप्यूटर प्रोग्राम, 4 अगस्त 2004 को परिणाम के साथ आया: समूह ने 42,162,500,000 अरब बंदर-वर्षों तक काम करने के बाद, बंदरों में से एक ने टाइप किया था,  "वेलेंटाइन सीज़ टू आइडोर:eFLP0FRjWK78aXzVowm)-';8.t" इस क्रम के पहले 19 अक्षर "द टू जेंटलमेन ऑफ वेरोना" में पाए जा सकते हैं। अन्य टीमों ने एथेंस के टिमोन से 18, ट्रॉयलस और क्रेसिडा से 17 और रिचर्ड II से 16 वर्णों को पुन: प्रस्तुत किया है।<ref name="ja">{{cite magazine |url=http://www.newyorker.com/arts/critics/books/2007/04/09/070409crbo_books_acocella?currentPage=all |last=Acocella |first=Joan |title=The typing life: How writers used to write |magazine=[[The New Yorker]] |date=9 April 2007}} – a review of {{cite book |title=The Iron Whim: A fragmented history of typewriting |publisher=Cornell University Press |year=2007 |first=Darren |last=Wershler-Henry}}</ref>

1 जुलाई 2003 को प्रारंभ की गई द मंकी शेक्सपियर सिम्युलेटर नाम की वेबसाइट में [[जावा एप्लेट]] सम्मिलित था, जो बेतरतीब रूप से टाइप करने वाले बंदरों की बड़ी आबादी का अनुकरण करता था, यह देखने के कथित विचार के साथ कि वर्चुअल बंदरों को प्रारंभ से लेकर अंत तक शेक्सपियर का पूरा नाटक तैयार करने में कितना समय लगता है। उदाहरण के लिए, इसने हेनरी IV, भाग 2 से यह आंशिक रेखा तैयार की, जिसमें बताया गया कि 24 मेल खाने वाले वर्णों तक पहुँचने में 2,737,850 मिलियन बिलियन बिलियन मंकी-वर्ष लगे:<syntaxhighlight lang="d">
RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d
</syntaxhighlight>प्रसंस्करण शक्ति सीमाओं के कारण, कार्यक्रम ने वास्तविक में यादृच्छिक पाठ उत्पन्न करने और शेक्सपियर से इसकी तुलना करने के अतिरिक्त संभाव्य मॉडल (  यादृच्छिक संख्या जनरेटर या आरएनजी का उपयोग करके) का उपयोग किया। जब सिम्युलेटर ने मैच का पता लगाया (अर्थात, RNG ने निश्चित मान या निश्चित सीमा के अन्दर मान उत्पन्न किया), तो सिम्युलेटर ने मिलान किए गए पाठ को उत्पन्न करके मैच का अनुकरण किया।<ref>{{cite web |url=http://io9.gizmodo.com/5809583/the-story-of-the-monkey-shakespeare-simulator-project |title=The story of the Monkey Shakespeare Simulator Project |last1=Inglis-Arkell |first1=Esther |date=June 9, 2011 |website=io9 |publisher=gizmodo |access-date=24 February 2016}}</ref>

[[प्राकृतिक भाषा पीढ़ी]] के अभ्यास में अधिक परिष्कृत विधियों का उपयोग किया जाता है। यदि केवल यादृच्छिक वर्णों को उत्पन्न करने के अतिरिक्त कोई जनरेटर को अर्थपूर्ण शब्दावली और रूढ़िवादी रूप से व्याकरण के नियमों का पालन करने के लिए प्रतिबंधित करता है, जैसे संदर्भ-मुक्त व्याकरण का उपयोग करना, तो इस प्रकार से उत्पन्न यादृच्छिक दस्तावेज़ कुछ मनुष्यों को भी मूर्ख बना सकता है (कम से कम सरसरी तौर पर पढ़ने पर) जैसा कि [[SCIgen|एससीजेन]], [[snarXiv|स्नार्क्सiv]], और उत्तर आधुनिकतावाद जेनरेटर के प्रयोगों में दिखाया गया है।

फरवरी 2019 में, [[OpenAI|ओपनएआई]] समूह ने [[GitHub|गिटहब]] को जनरेटिव प्री-ट्रेन ट्रांसफॉर्मर 2 (GPT-2) [[कृत्रिम होशियारी]] प्रकाशित किया, जो मानव हाथ से दो वाक्य इनपुट दिए जाने पर पूरी तरह से विश्वसनीय समाचार लेख तैयार करने में सक्षम है। एआई इतना प्रभावी था कि पूरे कोड को प्रकाशित करने के अतिरिक्त, समूह ने स्केल-बैक संस्करण प्रकाशित करना चुना और बड़े पैमाने पर भ्रामक, पक्षपाती, या अपमानजनक भाषा उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जा रहे बड़े भाषा मॉडल के बारे में चिंताओं के बारे में बयान जारी किया।<ref>{{cite web|url=https://arstechnica.com/information-technology/2019/02/researchers-scared-by-their-own-work-hold-back-deepfakes-for-text-ai/|title=Researchers, scared by their own work, hold back "deepfakes for text" AI|author=Sean Gallagher|website=Ars Technica|date=15 February 2019|access-date=18 February 2019}}</ref>



=== यादृच्छिक-संख्या जनरेटर का परीक्षण ===
{{main|कठोर परीक्षण}}
आँकड़ों के बारे में प्रश्न यह वर्णन करते हैं कि आदर्श बंदर को कितनी बार कुछ तार टाइप करने के लिए [[अपेक्षित मूल्य]] [[यादृच्छिकता परीक्षण]]ों में अनुवादित होता है। यादृच्छिक-संख्या जनरेटर के लिए व्यावहारिक परीक्षण; ये सरल से लेकर अधिक परिष्कृत तक हैं। कंप्यूटर-विज्ञान के प्रोफेसर [[जॉर्ज मार्सग्लिया]] और [[आरिफ ज़मान]] की रिपोर्ट है कि वे व्याख्यान में एम-[[टपल]] परीक्षणों को ओवरलैप करने वाले परीक्षणों की ऐसी श्रेणी का उपयोग करते थे, क्योंकि वे यादृच्छिक क्रम में क्रमिक तत्वों के एम-टुपल्स को ओवरलैप करने की चिंता करते हैं। किन्तु उन्होंने पाया कि उन्हें मंकी टेस्ट कहने से छात्रों में इस विचार को प्रेरित करने में सहायता मिली थी। उन्होंने 1993 में विभिन्न आरएनजी के लिए परीक्षणों की श्रेणी और उनके परिणामों पर रिपोर्ट प्रकाशित किया था।<ref name="Marsaglia1993">
{{Cite journal | title = Monkey tests for random number generators
| journal = Computers & Mathematics with Applications
| issn = 0898-1221 | year = 1993 | volume = 26
| pages = 1–10 | publisher = Elsevier, Oxford
|author1=Marsaglia G. |author2=Zaman A. | doi = 10.1016/0898-1221(93)90001-C
| postscript = [http://stat.fsu.edu/pub/diehard/cdrom/pscript/monkey.ps PostScript version]
| issue = 9
| doi-access = free
}}
</ref>


== लोकप्रिय संस्कृति में ==
{{Main|लोकप्रिय संस्कृति में अनंत बंदर प्रमेय}}
अनंत बंदर प्रमेय और उससे जुड़ी कल्पना को संभाव्यता के गणित का लोकप्रिय और लौकिक उदाहरण माना जाता है, जो औपचारिक शिक्षा के अतिरिक्त लोकप्रिय संस्कृति के माध्यम से इसके प्रसारण के कारण आम जनता के लिए व्यापक रूप से जाना जाता है।{{efn|Examples of the theorem being referred to as proverbial include: {{cite journal |title=Why creativity is not like the proverbial typing monkey |first1=Jonathan W. |last1=Schooler |first2=Sonya |last2=Dougal |journal=Psychological Inquiry |volume=10 |issue=4 |year=1999}}; and {{cite book |title=The Case of the Midwife Toad |author-link=Arthur Koestler |first=Arthur |last=Koestler |place=New York |year=1972 |page=30 |quote=Neo-Darwinism does indeed carry the nineteenth-century brand of materialism to its extreme limits{{spaced endash}}to the proverbial monkey at the typewriter, hitting by pure chance on the proper keys to produce a Shakespeare sonnet.}} The latter is sourced from {{cite web |url=http://www.angelfire.com/in/hypnosonic/Parable_of_the_Monkeys.html |title=Parable of the Monkeys}}, a collection of historical references to the theorem in various formats.}} टाइपराइटर के सेट पर शाब्दिक बंदरों की खड़खड़ाहट की छवि से उपजी जन्मजात हास्य से इसकी सहायता मिलती है, और यह लोकप्रिय दृश्य गैग है।

रॉबर्ट विलेंस्की के 1996 के भाषण के लिए<ref>{{cite web |first=Robert |last=Wilensky |title=speech at a 1996 conference |url=http://www.quotationspage.com/quote/27695.html |quote=We've heard that a million monkeys at a million keyboards could produce the complete works of Shakespeare; now, thanks to the Internet, we know that is not true. |publisher=The Quotations Page |access-date=2012-01-18}}</ref><ref>{{Citation|url=https://books.google.com/books?id=-DsEAAAAMBAJ&pg=PA84|pages=84|journal=InfoWorld|date=2 June 1997|author=Bob Lewis|title=Is Survival Guide|access-date=26 July 2022}}</ref><ref>{{Citation|url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780191826719.001.0001/q-oro-ed4-00011578|title=Robert Wilensky 1951–American academic|work=Oxford Essential Quotations|editor=Susan Ratcliffe|publisher=Oxford University Press|year=2016|quotation=in Mail on Sunday 16 February 1997 ‘Quotes of the Week’}}</ref> के लिए जिम्मेदार उद्धरण ने कहा, हमने सुना है कि लाख कीबोर्ड पर लाख बंदर शेक्सपियर के संपूर्ण कार्यों का निर्माण कर सकते हैं; अब, इंटरनेट के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि यह सच नहीं है।

प्रमेय की स्थायी, व्यापक लोकप्रियता को 2001 के पेपर, मंकीज, टाइपराइटर एंड नेटवर्क्स: द इंटरनेट इन द लाइट ऑफ द थ्योरी ऑफ एक्सीडेंटल एक्सीलेंस के परिचय में नोट किया गया था।<ref>{{cite web |url=http://skylla.wz-berlin.de/pdf/2002/ii02-101.pdf |title=Monkeys, Typewriters and Networks |archive-url=https://web.archive.org/web/20080513012236/http://skylla.wz-berlin.de/pdf/2002/ii02-101.pdf |archive-date=2008-05-13 |first1=Ute |last1=Hoffmann |first2=Jeanette |last2=Hofmann |publisher=Wissenschaftszentrum Berlin für Sozialforschung gGmbH (WZB) |year=2001}}</ref> 2002 में, द [[वाशिंगटन पोस्ट]] के लेख में कहा गया था, बहुत से लोगों ने इस प्रसिद्ध धारणा का मज़ा लिया है कि असीमित संख्या में टाइपराइटर और अनंत समय के साथ बंदरों की अनंत संख्या अंततः शेक्सपियर के कार्यों को लिख सकती है।<ref>{{cite news |first=Ken |last=Ringle |url=https://www.washingtonpost.com/ac2/wp-dyn/A28521-2002Oct27?language=printer |archive-url=https://web.archive.org/web/20021115230959/http://www.washingtonpost.com/ac2/wp-dyn/A28521-2002Oct27?language=printer |url-status=dead |archive-date=15 November 2002 |title=Hello? This is Bob |newspaper=[[The Washington Post]] |date=28 October 2002 |page=C01}}</ref> 2003 में, पहले उल्लिखित कला परिषद इंग्लैंड ने वास्तविक बंदरों और कंप्यूटर कीबोर्ड से जुड़े प्रयोग को व्यापक प्रेस कवरेज प्राप्त किया।<ref name=vivariaNotesShakespeare>{{cite web |url=http://www.vivaria.net/experiments/notes/documentation/press/ |title=Notes towards the complete works of Shakespeare |year=2002 |website=vivaria.net |archive-url=https://web.archive.org/web/20070716153346/http://www.vivaria.net/experiments/notes/documentation/press/ |archive-date=2007-07-16 }} – some press clippings.</ref> 2007 में, प्रमेय को आठ क्लासिक विचार प्रयोगों की सूची में [[वायर्ड (पत्रिका)]] पत्रिका द्वारा सूचीबद्ध किया गया था।<ref>{{cite magazine |first=Greta |last=Lorge |url=https://www.wired.com/science/discoveries/magazine/15-06/st_best |title=The best thought experiments: Schrödinger's cat, Borel's monkeys |magazine=Wired |volume=15 |issue=6 |date=May 2007}}</ref>

अमेरिकी नाटककार [[डेविड इवेस]] का लघु [[एक-अभिनय नाटक]] शब्द, शब्द, शब्द संग्रह से [[सभी समय में]], अनंत बंदर प्रमेय की अवधारणा का मज़ाक उड़ाते हैं।

2015 में बैलेंस्ड सॉफ्टवेयर ने माइक्रोसॉफ्ट स्टोर पर मंकी टाइपराइटर जारी किया।<ref>{{Cite web|title=Get Monkey Typewriter|url=https://www.microsoft.com/en-us/p/monkey-typewriter/9nblggh69fc8|access-date=2022-02-14|website=Microsoft Store|language=en-us}}</ref> सॉफ्टवेयर अनंत बंदर प्रमेय स्ट्रिंग सूत्र का उपयोग करके यादृच्छिक पाठ उत्पन्न करता है। सॉफ्टवेयर उपयोगकर्ता द्वारा इनपुट किए गए वाक्यांशों के लिए उत्पन्न पाठ को पूछता है। चूंकि सॉफ्टवेयर को सिद्धांत के जीवन प्रतिनिधित्व के लिए सही नहीं माना जाना चाहिए। यह अव्यवस्थित रूप से पाठ कैसे उत्पन्न किया जाए, इस पर वैज्ञानिक मॉडल के अतिरिक्त सिद्धांत की व्यावहारिक प्रस्तुति है।

== यह भी देखें ==
* {{annotated link|बोरेल-कैंटेली लेम्मा#विपरीत परिणाम|दूसरा बोरेल-कैंटेली लेम्मा}}
* {{annotated link|सामान्य संख्या}}
* {{annotated link|ग्रैंड होटल का हिल्बर्ट का विरोधाभास}}, अन्य विचार प्रयोग जिसमें अनंतता सम्मिलित है
* {{annotated link|वास्तविक में बड़ी संख्या का नियम}}
* {{annotated link|मर्फी का नियम}}
* {{annotated link|टेक्सास शार्पशूटर भ्रम}}
* {{annotated link|द हिडन रियलिटी: पैरेलल यूनिवर्स एंड द डीप लॉज़ ऑफ़ द कॉसमॉस|''द हिडन रियलिटी: पैरेलल यूनिवर्स एंड द डीप लॉज़ ऑफ़ द कॉसमॉस''}}, मल्टीवर्स की व्याख्या करता है जिसमें प्रत्येक संभव घटना कई बार असीम रूप से घटित होगी
* {{annotated link|बाबेल की लाइब्रेरी}}
* {{annotated link|इंजन}}
* {{annotated link|बोल्ट्जमैन मस्तिष्क}}
* {{annotated link|अनंत बंदर पिंजरा|'अनंत बंदर पिंजरा''}}


==टिप्पणियाँ==
{{notelist|1}}


==संदर्भ==
{{reflist|25em}}


==बाहरी कड़ियाँ==
* {{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/55871.html |title=Ask Dr. Math |id=article 55871 |date=August 1998 |first=Adam |last=Bridge |website=mathforum.org}}
* {{cite web |url=http://www.angelfire.com/in/hypnosonic/Parable_of_the_Monkeys.html |title=The Parable of the Monkeys |website=angelfire}} – a bibliography with quotations
* {{cite web |url=http://azureworld.blogspot.com/2007/04/planck-monkeys.html |title=Planck Monkeys|date=12 April 2007}} – on populating the cosmos with monkey particles
* {{cite web |url=http://www.pixelmonkeys.org/ |title=PixelMonkeys.org}} – Matt Kane's application of the ''Infinite Monkey Theorem'' on pixels to create images.
* {{cite journal |url=http://tools.ietf.org/html/rfc2795 |title=RFC 2795|year=2000 |doi=10.17487/RFC2795 |last1=Christey |first1=S. }} – [[April Fools' Day Request for Comments|April Fools' Day RFC]] on the implementation of the ''Infinite Monkey Theorem''.
{{Portal bar|Mathematics|North America}}

{{DEFAULTSORT:Infinite Monkey Theorem}}

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[[Category:रूपक बंदरों का जिक्र करते हैं|Infinite Monkey Theorem]]
[[Category:संभाव्यता प्रमेय|Infinite Monkey Theorem]]
[[Category:सांख्यिकीय यादृच्छिकता|Infinite Monkey Theorem]]
[[Category:साहित्यिक सिद्धांत|Infinite Monkey Theorem]]
[[Category:सोचा प्रयोग|Infinite Monkey Theorem]]