View source for अपरिवर्तनीय मापन

गणित में, अपरिवर्तनीय उपाय एक मापक है जो किसी फलन द्वारा परिरक्षित होता है। फलन एक [[ज्यामितीय परिवर्तन|ज्यामितीय रूपांतरण]] हो सकता है। उदाहरण के लिए, घूर्णन के अंतर्गत [[कोण]] अपरिवर्तनीय है, निष्पीडन मानचित्रण के अंतर्गत अतिपरवलयिक कोण अपरिवर्तनीय है, और [[ढलान|अपरूपण]] मानचित्रण के अंतर्गत ढलानों का अंतर अपरिवर्तनीय है।<ref>{{wikibooks-inline|Geometry/Unified Angles}}</ref>

[[एर्गोडिक सिद्धांत]] गतिशील प्रणालियों में अपरिवर्तनीय उपायों का अध्ययन है। क्रायलोव-बोगोलीबॉव प्रमेय विचाराधीन फलन और समष्टि पर कुछ प्रतिबंध के अंतर्गत अपरिवर्तनीय उपायों के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

== परिभाषा ==

अनुमान <math>(X, \Sigma)</math> एक मापने योग्य समष्टि हो और <math>f : X \to X</math> को <math>X</math> से स्वयं के लिए एक मापने योग्य फलन होने दें। <math>(X, \Sigma)</math> पर एक माप <math>\mu</math> को <math>f</math> के अंतर्गत अपरिवर्तनीय कहा जाता है, यदि प्रत्येक मापने योग्य समुच्चय <math>A</math> के लिए <math>\Sigma</math> में, <math display=block>\mu\left(f^{-1}(A)\right) = \mu(A).</math><br />पुशफॉरवर्ड मापक के संदर्भ में, यह बताता है कि <math>f_*(\mu) = \mu</math><math>X</math> पर मापकों का संग्रह (सामान्यतः प्रायिकता मापक) जो <math>f</math> के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, कभी-कभी <math>M_f(X)</math> को निरूपित किया जाता है। ऊर्जापंथी मापकों का संग्रह, <math>E_f(X),</math> <math>M_f(X)</math> का उपसमुच्चय है। इसके अतिरिक्त, दो अपरिवर्तनीय उपायों का कोई भी [[उत्तल संयोजन|अवमुखसंयोजन]] भी अपरिवर्तनीय है, इसलिए <math>M_f(X)</math> एक [[उत्तल सेट|अवमुख समुच्चय]] है; <math>E_f(X)</math> में <math>M_f(X)</math> के चरम बिंदु सम्मिलित है। 

[[गतिशील प्रणाली (परिभाषा)|गतिशील प्रणाली]] <math>(X, T, \varphi)</math> के प्रकरण में, जहाँ <math>(X, \Sigma)</math> पहले की तरह मापने योग्य समष्टि है, <math>T</math> एक [[मोनोइड|एकाभ]] है और <math>\varphi : T \times X \to X</math> प्रवाह मानचित्र है, एक मापक <math>\mu</math> है <math>(X, \Sigma)</math> को एक अपरिवर्तनीय मापक कहा जाता है यदि यह प्रत्येक मानचित्र <math>\varphi_t : X \to X</math> के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है। स्पष्ट रूप से, <math>\mu</math> अपरिवर्तनीय है [[अगर और केवल अगर]]<math display="block">\mu\left(\varphi_{t}^{-1}(A)\right) = \mu(A) \qquad \text{ for all }  t \in T, A \in \Sigma.</math><br />दूसरे प्रकार से रखें, <math>\mu</math> यादृच्छिक चर <math>\left(Z_t\right)_{t \geq 0}</math> (संभवतः एक [[मार्कोव श्रृंखला]] या एक प्रसंभाव्य अंतर समीकरण के समाधान) के अनुक्रम के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है, अगर, जब भी प्रारंभिक स्थिति <math>Z_0</math>को <math>\mu</math> के अनुसार वितरित किया जाता है, तो <math>Z_t</math> किसी भी बाद के समय <math>t</math> के लिए होता है।

जब गतिकीय प्रणाली को स्थानान्तरण प्रचालक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो अपरिवर्तनीय उपाय प्रचालक का एक अभिलक्षणिक सदिश होता है, जो <math>1</math> के अभिलक्षणिक मान के अनुरूप होता है, यह [[फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय]] द्वारा दिया गया सबसे बड़ा अभिलक्षणिक मान है।

== उदाहरण ==

[[File:Hyperbolic sector squeeze mapping.svg|250px|right|thumb|अधिसंकुचन मानचित्रण अतिपरवलीय कोण को अपरिवर्तित छोड़ देता है क्योंकि यह [[ अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र |अतिपरवलीय क्षेत्र]] (बैंगनी) को उसी क्षेत्र में से एक में ले जाता है। नीले और हरे आयत भी समान क्षेत्रफल रखते हैं]]

* इसके सामान्य बोरेल σ-बीजगणित के साथ वास्तविक रेखा <math>\R</math> पर विचार करें; <math>a \in \R</math> को निर्धारित करें और अनुवाद मानचित्र <math>T_a : \R \to \R</math> पर विचार करें:<math display="block">T_a(x) = x + a.</math>फिर एक आयामी लेबेस्गु मापक <math>\lambda</math> <math>T_a</math> के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है।  

* अधिक सामान्यतः पर, <math>n</math>-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] <math>\R^n</math> पर अपने सामान्य बोरेल σ-बीजगणित के साथ, <math>n</math>-आयामी लेबेस्गु मापक <math>\lambda^n</math> यूक्लिडियन समष्टि के किसी भी [[आइसोमेट्री|सममिति]] के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है, जो कि एक मानचित्र <math>T : \R^n \to \R^n</math> जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है। <math display="block">T(x) = A x + b</math> कुछ <math>n \times n</math> के लिए [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] <math>A \in O(n)</math> और एक सदिश <math>b \in \R^n</math> के लिए है।
* पहले उदाहरण में अपरिवर्तनीय उपाय एक स्थिर कारक के साथ साधारण पुनर्संरचना तक अद्वितीय है। यह आवश्यक रूप से प्रकरण नहीं है: केवल दो बिंदु <math>\mathbf{S} = \{A,B\}</math> और सर्वसमिका मानचित्र <math>T = \operatorname{Id}</math> से मिलकर एक समुच्चय पर विचार करें जो प्रत्येक बिंदु को स्थिर छोड़ देता है। तब कोई प्रायिकता माप<math>\mu : \mathbf{S} \to \R</math> अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि <math>\mathbf{S}</math> तुच्छ रूप से <math>T</math>-अपरिवर्तनीय घटकों <math>\{A\}</math> और <math>\{B\}</math> में अपघटन है।
* यूक्लिडियन समतल में [[क्षेत्र]] मापक निर्धारक <math>1</math> के <math>2 \times 2</math> [[वास्तविक मैट्रिक्स|वास्तविक आव्यूहों]] के विशेष रैखिक समूह <math>\operatorname{SL}(2, \R)</math> के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।  
* प्रत्येक स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह में एक हार मापक होता है जो समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|अर्ध-अपरिवर्तनीय उपाय}}

==संदर्भ==
{{reflist}}

* John von Neumann (1999) ''Invariant measures'', [[American Mathematical Society]] {{ISBN|978-0-8218-0912-9}}

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