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{{Short description|Measure of financial risk}}
'''अपेक्षित न्यूनता''' एक [[जोखिम माप|संकट माप]] है - यह वित्तीय संकट मापन के क्षेत्र में एक अवधारणा है जिसका उपयोग निवेश के बाजार संकट या मूल्य संकट का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। Q% स्तर पर अपेक्षित न्यूनता सबसे खराब <math>q\%</math> स्थिति में जानकारी संग्रह पर अपेक्षित मान होता है जो ईएस संकट मान का एक विकल्प है जो हानि वितरण के आकार के प्रति अधिक संवेदनशील होता है।

अपेक्षित न्यूनता को संकट पर सशर्त मूल्य (सीवीएआर) भी कहा जाता है,<ref>{{Cite journal|last1=Rockafellar|first1=R. Tyrrell|last2=Uryasev|first2=Stanislav|date=2000|title=जोखिम पर सशर्त मूल्य का अनुकूलन|url=https://sites.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr179-CVaR1.pdf|journal=Journal of Risk|volume=2|issue=3|pages=21–42|doi=10.21314/JOR.2000.038|s2cid=854622 }}</ref> संकट पर औसत मूल्य (एवीएआर), अपेक्षित हानि (ईटीएल), और सुपरक्वांटाइल भी कहा जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Rockafellar |first1=R. Tyrrell |last2=Royset |first2=Johannes|date=2010 |title=संरचनाओं के डिज़ाइन और अनुकूलन में बफ़र्ड विफलता की संभावना पर|journal=Reliability Engineering and System Safety |volume=95 |issue=5 |pages=499–510 |doi=10.1016/j.ress.2010.01.001 |s2cid=1653873 |url=https://sites.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr211-BufferedProb.pdf}}</ref>

अपेक्षित न्यूनता एक निवेश के संकट का सत्यापान्ती विधि से मूल्यांकन करता है, जिसमें न्यूनतम लाभदायक परिणामों पर ध्यान केंद्रित होता है। उच्च q मानों के लिए, यह सबसे लाभदायक परंतु असंभावित संभावनाओं को अनदेखा करता है, जबकि छोटे q मानों के लिए यह सबसे बड़े हानियों पर ध्यान केंद्रित होता है। दूसरी ओर, छोटे q मानों के लिए भी अपेक्षित न्यूनता केवल एक ही सबसे प्रलयांकारी परिणाम को ही नहीं ध्यान में लेता है, जिसमें अधिकतम छूट होती है। अधिकांश परिस्थितियों में प्रयुक्त q मान 5% होता है।

अपेक्षित न्यूनता को वीएआर की तुलना में एक अधिक उपयोगी संकट माप हो सकता हैं, क्योंकि यह वित्तीय जानकारी संग्रह संकट का एक सुसंगठित स्पेक्ट्रल माप है। इसे एक निर्धारित क्वांटाइल स्तर q के लिए गणना की जाती है और यह [[पोर्टफोलियो (वित्त)|जानकारी संग्रह मान]] की औसत हानि को परिभाषित करता है जब एक हानि <math>q</math>-मात्रा पर या उससे न्यूनतम हो रही होती हैं।.

==औपचारिक परिभाषा==
यदि <math>X \in L^p(\mathcal{F})</math> अनुमान के समय में एक <math>0 < \alpha < 1</math> जानकारी संग्रह का भुगतान होता है  तब हम अपेक्षित न्यूनता को इस प्रकार परिभाषित करते हैं

:<math> \operatorname{ES}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(X) \, d\gamma</math>
जहाँ <math>\operatorname{VaR}_\gamma</math> संकट का मान होता है. इसे समतुल्य रूप में लिखा जा सकता है

:<math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha} \left(\operatorname E[X \ 1_{\{X \leq x_{\alpha}\}}] + x_\alpha(\alpha - P[X \leq x_\alpha])\right)</math>
जहाँ <math>x_\alpha = \inf\{x \in \mathbb{R}: P(X \leq x) \geq \alpha\}</math> निम्नतम <math>\alpha</math>-क्वांटाइल और <math>1_A(x) = \begin{cases}1 &\text{if }x \in A\\ 0 &\text{else}\end{cases}</math> [[सूचक कार्य|सूचक]] फलन होता है.<ref name="AcerbiTasche">{{cite journal|
    author = Carlo Acerbi|
    author2= Dirk Tasche|
    title = Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk|
    journal = Economic Notes|
    year = 2002|
    volume = 31|
    issue= 2|
    pages = 379–388|
    url = http://www.bis.org/bcbs/ca/acertasc.pdf|
    access-date = April 25, 2012
|doi=10.1111/1468-0300.00091|
    arxiv= cond-mat/0105191|
 s2cid= 10772757}}</ref> और दोहरा प्रतिनिधित्व होता है

:<math> \operatorname {ES}_\alpha(X) = \inf_{Q \in \mathcal{Q}_\alpha} E^Q[X]</math>
जहाँ <math>\mathcal{Q}_\alpha</math> [[संभाव्यता माप|संभाव्यता मापों]] का समूह है जो भौतिक माप <math>P</math> के लिए [[बिल्कुल निरंतर|बिल्कुल]] सतत होती है  ऐसा है कि <math>\frac{dQ}{dP} \leq \alpha^{-1}</math> [[लगभग निश्चित रूप से]].निरन्तरता प्रदान करते हैं<ref>{{cite journal|last1=Föllmer|first1=H.|last2=Schied|first2=A.|year=2008|title=उत्तल और सुसंगत जोखिम उपाय|url=http://wws.mathematik.hu-berlin.de/~foellmer/papers/CCRM.pdf|access-date=October 4, 2011}}</ref> ध्यान दें कि <math>\frac{dQ}{dP}</math> रेडॉन-निकोडिम का <math>Q</math> इसके संबंध में <math>P</math>. व्युत्पन्न होता है।

अपेक्षित न्यूनता को सुसंगत संकट उपायों <math>L^p</math> के एक सामान्य वर्ग में सामान्यीकृत किया जा सकता है  रिक्त स्थान संबंधित <math>L^q</math> दोहरे लक्षण डोमेन को अधिक सामान्य ऑर्लिक्ज़ हार्ट्स के लिए बढ़ाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|
    author = Patrick Cheridito|
    author2= Tianhui Li|
    title = Dual characterization of properties of risk measures on Orlicz hearts|
    journal = Mathematics and Financial Economics|
    year = 2008|
    volume = 2|
    pages = 2–29|
    doi= 10.1007/s11579-008-0013-7|
 s2cid= 121880657|
 author2-link= Tianhui Li}}</ref>

यदि अंतर्निहित वितरण के लिए <math>X</math> एक सतत वितरण है तो अपेक्षित न्यूनता परिभाषित [[पूंछ सशर्त अपेक्षा]] के <math>\operatorname{TCE}_{\alpha}(X) = E[-X\mid X \leq -\operatorname{VaR}_{\alpha}(X)]</math> समान होते है .<ref>{{cite web|url=https://statistik.ets.kit.edu/download/doc_secure1/7_StochModels.pdf|title=जोखिम पर औसत मूल्य|access-date=February 2, 2011|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110719222242/https://statistik.ets.kit.edu/download/doc_secure1/7_StochModels.pdf|archive-date=July 19, 2011}}</ref>

अनौपचारिक रूप से, और गैर-कठोरता से, यह समीकरण यह कहने जैसा है कि हानि इतना गंभीर है कि वे केवल अल्फा प्रतिशत समय में होते हैं, हमारा औसत हानि क्या है।

अपेक्षित न्यूनता को विरूपण फलन द्वारा दिए गए [[विरूपण जोखिम माप|विरूपण संकट माप]] के रूप में भी लिखा जा सकता है

: <math>g(x) = \begin{cases}\frac{x}{1-\alpha} & \text{if }0 \leq x < 1-\alpha,\\ 1 & \text{if }1-\alpha \leq x \leq 1.\end{cases} \quad</math><ref name="Wirch">{{cite web|title=Distortion Risk Measures: Coherence and Stochastic Dominance|author=Julia L. Wirch|author2=Mary R. Hardy|url=http://pascal.iseg.utl.pt/~cemapre/ime2002/main_page/papers/JuliaWirch.pdf|access-date=March 10, 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20160705041252/http://pascal.iseg.utl.pt/~cemapre/ime2002/main_page/papers/JuliaWirch.pdf|archive-date=July 5, 2016|url-status=dead}}</ref><ref name="PropertiesDRM">{{Cite journal | last1 = Balbás | first1 = A. | last2 = Garrido | first2 = J. | last3 = Mayoral | first3 = S. | doi = 10.1007/s11009-008-9089-z | title = विरूपण जोखिम उपायों के गुण| journal = Methodology and Computing in Applied Probability | volume = 11 | issue = 3 | pages = 385 | year = 2008 | hdl = 10016/14071 | s2cid = 53327887 | url = http://e-archivo.uc3m.es/bitstream/10016/14071/1/properties_balbas_MCAP_2009_ps.pdf | hdl-access = free }}</ref>


== उदाहरण ==

उदाहरण 1. यदि हम मानते हैं कि हमारे जानकारी संग्रह के संभावित परिणामों में से सबसे खराब 5% पर हमारा औसत हानि ईयूआर 1000 होता है, तो हम कह सकते हैं कि 5% पूंछ के लिए हमारी अपेक्षित न्यूनता ईयूआर 1000 होता है।

उदाहरण 2. एक जानकारी संग्रह पर विचार करें जिसमें अवधि के अंत में निम्नलिखित संभावित मान होंगे:

{| class="wikitable"
|-
! घटना की
संभावना
! जानकारी संग्रह का
अंतिम मूल्य
|-
| 10%
| 0
|-
| 30%
| 80
|-
| 40%
| 100
|-
| 20%
| 150
|}
अब मान लीजिए कि हमने इस जानकारी संग्रह के लिए अवधि की प्रारंभ में 100 का भुगतान किया था। पुनः प्रत्येक परिस्थिति में लाभ (अंतिम मान−100) होता है:

{| class="wikitable"
|-
! घटना की संभावना
!लाभ
|-
| 10%
| −100
|-
| 30%
| −20
|-
| 40%
| 0
|-
| 20%
| 50
|}
आइए इस तालिका से अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_q</math> के कुछ मानों के लिए <math>q</math> की गणना करते हैं

{| class="wikitable"
|-
!<math>q</math>
! अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_q</math>
|-
| 5%
| 100
|-
| 10%
| 100
|-
| 20%
| 60
|-
| 30%
| 46.<span style="text-decoration: overline;">6</span>
|-
| 40%
| 40
|-
| 50%
| 32
|-
| 60%
| 26.<span style="text-decoration: overline;">6</span>
|-
| 80%
| 20
|-
| 90%
| 12.<span style="text-decoration: overline;">2</span>
|-
| 100%
| 6
|}



इन मानों को कैसे गणना किया गया था देखने के लिए, <math>\operatorname{ES}_{0.05}</math>, की गणना की जाती है, अर्थात 5% परिस्थितियों में सबसे खराब होने की अपेक्षा में सबसे अच्छी होती हैं। ये परिस्थितियों (लाभ टेबल के पंक्ति 1 के एक उपसमूह के हिस्से होते हैं, जिनमें निवेशित 100 का हानि का प्राप्ति है। इन परिस्थितियों के लिए अपेक्षित लाभ -100 होती है।

अब की गणना पर विचार करें <math>\operatorname{ES}_{0.20}</math>, 100 में से सबसे खराब 20 परिस्थितियों में उम्मीद देती है। ये परिस्थिति इस प्रकार हैं: पंक्ति एक से 10 घटना, और पंक्ति दो से 10 घटना होती है। पंक्ति 1 के लिए -100 का लाभ होता है, जबकि पंक्ति 2 के लिए -20 का लाभ होता है। अपेक्षित मूल्य सूत्र का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

:<math>\frac{ \frac{10}{100}(-100)+\frac{10}{100}(-20) }{ \frac{20}{100}} = -60.</math>
इसी प्रकार किसी भी मूल्य के लिए <math>q</math>. हम ऊपर से प्रारंभ करते हुए उतनी पंक्तियों का चयन करते हैं जितनी संचयी संभावना देने के लिए आवश्यक हैं <math>q</math> और फिर उन परिस्थितियों पर एक अपेक्षा की गणना करना चाहिए। सामान्यतः, चयनित अंतिम पंक्ति का पूरी तरह से उपयोग नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए गणना में <math>-\operatorname{ES}_{0.20}</math>  पंक्ति 2 द्वारा प्रदान किए गए प्रति 100 30 परिस्थितियों में से केवल 10 का उपयोग किया जाता हैं)।

अंतिम उदाहरण के रूप में, गणना <math>-\operatorname{ES}_1</math> करें .सभी परिस्थितियों में यही अपेक्षा होती है, या

:<math>0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50 = -6. \, </math>
संकट का मूल्य (VaR) तुलना के लिए निम्न  दिया गया है।

{| class="wikitable"
|-
!<math>q</math>
!<math>\operatorname{VaR}_q</math>
|-
| <math> 0\% \le q < 10\% </math>
| −100
|-
| <math> 10\% \le q < 40\% </math>
| −20
|-
| <math> 40\% \le q < 80\% </math>
| 0
|-
| <math> 80\% \le q \le 100\% </math>
| 50
|}

== गुण ==
अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_q</math> के रूप में बढ़ता और <math>q</math> के रूप में घट जाती है.

100%-मात्रात्मक अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_{1}</math> जानकारी संग्रह के [[अपेक्षित मूल्य]] के नकारात्मक के समान होती  है।

किसी दिए गए जानकारी संग्रह के लिए, अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_q</math> संकट वाले मान से <math>\operatorname{VaR}_q</math> में <math>q</math> स्तर अधिक या उसके समान होती है ।

== अपेक्षित न्यूनता का अनुकूलन ==
अपेक्षित न्यूनता, अपने मानक रूप में, सामान्यतः गैर-उत्तल अनुकूलन समस्या को जन्म देने के लिए जानी जाती है। यद्यपि, समस्या को [[रैखिक प्रोग्रामिंग]] में परिवर्तित करना और वैश्विक समाधान खोजना संभव होता है।<ref>{{Cite journal|last1=Rockafellar|first1=R. Tyrrell|last2=Uryasev|first2=Stanislav|date=2000|title=जोखिम पर सशर्त मूल्य का अनुकूलन|url=https://sites.math.washington.edu/~rtr/papers/rtr179-CVaR1.pdf|journal=Journal of Risk|volume=2|issue=3|pages=21–42|doi=10.21314/JOR.2000.038|s2cid=854622 }}</ref> यह विशेषताओ से अपेक्षित न्यूनता को [[आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत|आधुनिक जानकारी संग्रह सिद्धांत]] के मध्य-विचरण [[पोर्टफोलियो अनुकूलन|जानकारी संग्रह अनुकूलन]] के विकल्पों की आधारशिला बनाती है, जो वापसी वितरण के उच्च क्षणों (जैसे, तिरछापन और कर्टोसिस) के लिए जिम्मेदार होती है।

मान लीजिए कि हम किसी जानकारी संग्रह की अपेक्षित न्यूनता को न्यूनतम करना चाहते हैं। अपने 2000 के पेपर में रॉकफेलर और उरीसेव का मुख्य योगदान सहायक फलन <math>F_{\alpha}(w,\gamma)</math> का परिचय देता है,अपेक्षित न्यूनता के लिए<math display="block"> F_\alpha(w,\gamma) = \gamma + {1\over{1-\alpha}} \int_{\ell(w,x)\geq \gamma} \left[\ell(w,x)-\gamma\right] p(x) \, dx</math>होती हैं।
जहाँ <math>\gamma = \operatorname{VaR}_\alpha(X)</math> और <math>\ell(w,x)</math> जानकारी संग्रह भार <math>w\in\mathbb{R}^p</math> के एक सेट के लिए एक हानि फलन होती है और इसे वापसी पर प्रारंभ किया जाता हैं। रॉकफेलर/यूर्यासेव ने यह प्रमाणित <math>F_\alpha(w,\gamma)</math> किया कि संबंध में [[उत्तल कार्य|उत्तल]] फलन <math>\gamma</math> होती है और न्यूनतम बिंदु पर अपेक्षित न्यूनता के समान होती है। जानकारी संग्रह वापसी के एक सेट के लिए अपेक्षित न्यूनता की संख्यात्मक गणना करने के लिए, इसे उत्पन्न <math>J</math> करना आवश्यक है  जानकारी संग्रह घटकों का अनुकरण; यह प्रायः [[कोपुला (संभावना सिद्धांत)]] का उपयोग करके किया जाता है। हाथ में इन सिमुलेशन के सापेक्ष, सहायक फलन का अनुमान लगाया जा सकता है:<math display="block">\widetilde{F}_\alpha(w,\gamma) = \gamma + {1\over{(1-\alpha)J}}\sum_{j=1}^J [\ell(w,x_j) - \gamma]_{+}</math>यह सूत्रीकरण के समान होता है:<math display="block">\min_{\gamma,z,w} \; \gamma + {1\over{(1-\alpha)J}} \sum_{j=1}^J z_j, \quad \text{s.t. } z_j \geq \ell(w,x_j)-\gamma,\; z_j \geq 0</math> अंत में, एक रैखिक हानि फलन <math>\ell(w,x_{j}) = -w^T x_j</math> का चयन करना और अनुकूलन समस्या को एक रैखिक कार्यक्रम में परिवर्तित कर देता है। मानक विधियों का उपयोग करके, उस जानकारी संग्रह को ढूंढना आसान होता है जो अपेक्षित न्यूनता को न्यूनतम करता है।

== सतत संभाव्यता वितरण के लिए सूत्र ==
किसी जानकारी संग्रह <math>X</math> के भुगतान के समय अपेक्षित न्यूनता की गणना के लिए बंद-फ़ॉर्म सूत्र उपस्थित होता हैं या तदनुरूप हानि <math>L = -X</math> एक विशिष्ट सतत वितरण का अनुसरण करता है। पहले परिस्थिति में, अपेक्षित न्यूनता निम्न  बाईं-पूंछ सशर्त अपेक्षा की  विपरीत संख्या <math>-\operatorname{VaR}_\alpha (X)</math> से <math>\operatorname {ES}_\alpha(X) = E[-X\mid X \leq -\operatorname{VaR}_\alpha(X)] = -\frac{1}{\alpha}\int_0^\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(X) \, d\gamma = -\frac{1}{\alpha} \int_{-\infty}^{-\operatorname{VaR}_\alpha(X)} xf(x) \, dx.</math>

मेल खाती है :

के विशिष्ट मूल्य <math display="inline">\alpha</math> इस परिस्थिति में 5% और 1% होती हैं।

अभियांत्रिकी  या बीमांकिक अनुप्रयोगों के लिए घाटे के वितरण <math>L = -X</math> पर विचार करना अधिक सामान्य होती है , इस परिस्थिति में अपेक्षित न्यूनता उपरोक्त दाएँ-पूंछ सशर्त अपेक्षा <math>\operatorname{VaR}_\alpha (L)</math> से मेल खाती है  और के विशिष्ट मूल्य <math>\alpha</math> 95% और 99%

<math>\operatorname {ES}_\alpha(L)
= \operatorname E[L\mid L \geq \operatorname{VaR}_\alpha(L)]
= \frac{1}{1-\alpha} \int^1_\alpha \operatorname{VaR}_\gamma(L)d\gamma
= \frac{1}{1-\alpha} \int^{+\infty}_{\operatorname{VaR}_\alpha(L)} yf(y) \, dy.</math> 



हैं:

क्योंकी निम्न  दिए गए कुछ सूत्र बाएँ-पूंछ वाले परिस्थिति के लिए और कुछ दाएँ-पूंछ वाले परिस्थिति के लिए निकाले गए थे, इसलिए निम्नलिखित समाधान <math> \operatorname {ES}_\alpha(X)
= -\frac{1}{\alpha} \operatorname E[X] + \frac{1-\alpha}{\alpha} \operatorname {ES}_\alpha(L) \text{ and } \operatorname{ES}_\alpha(L)
= \frac{1}{1-\alpha} \operatorname E[L]+\frac{\alpha}{1-\alpha} \operatorname {ES}_\alpha(X).</math>

उपयोगी हो सकते हैं।
=== सामान्य वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> के सापेक्ष [[सामान्य वितरण]] (गाऊसी) का अनुसरण करता है।  तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu+\sigma\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{\alpha}</math> समान होती है , जहाँ <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}</math> मानक सामान्य पीडीएफ <math>\Phi(x)</math> होती है, और मानक सामान्य सी.डी.एफ. है, इसलिए <math>\Phi^{-1}(\alpha)</math> मानक सामान्य मात्रा होती है.<ref name=":0">{{Cite journal|last=Khokhlov|first=Valentyn|date=2016|title=अण्डाकार वितरण के लिए जोखिम पर सशर्त मूल्य|journal=Evropský časopis Ekonomiky a Managementu|volume=2|issue=6|pages=70–79}}</ref>

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu+\sigma\frac{\varphi(\Phi^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}</math> समान होती है .<ref name=":1">{{cite arXiv|last1=Norton|first1=Matthew|last2=Khokhlov|first2=Valentyn|last3=Uryasev|first3=Stan|date=2018-11-27|title=पोर्टफोलियो अनुकूलन और घनत्व अनुमान के अनुप्रयोग के साथ सामान्य संभाव्यता वितरण के लिए सीवीएआर और बीपीओई की गणना|eprint=1811.11301|class=q-fin.RM}}</ref>



=== सामान्यीकृत विद्यार्थी का टी-वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पीडीएफ <math>f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu} \sigma} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}</math> के सापेक्ष सामान्यीकृत छात्र के टी-वितरण का अनुसरण करता है। तो अपेक्षित न्यूनता के  समान होता है , जहाँ <math>\tau(x)=\frac{\Gamma\bigl(\frac{\nu+1}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{\nu}{2}\bigr)\sqrt{\pi\nu}}\Bigl(1+\frac{x^2}{\nu}\Bigr)^{-\frac{\nu+1}{2}}</math> मानक टी-वितरण पीडीएफ है, और <math>\Tau(x)</math> मानक टी-वितरण सी.डी.एफ होता है, इसलिए <math>\Tau^{-1}(\alpha)</math> मानक टी-वितरण मात्रा है।<ref name=":0" />

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> सामान्यीकृत छात्र के टी-वितरण का अनुसरण करता है, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu+\sigma\frac{\nu+(\Tau^{-1}(\alpha))^2}{\nu-1}\frac{\tau(\Tau^{-1}(\alpha))}{1-\alpha}</math> समान होती है।<ref name=":1" />
=== लाप्लास वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \frac{1}{2b}e^{-|x-\mu|/b}</math> के सापेक्ष [[लाप्लास वितरण]] का अनुसरण करता है।

:
और सी.डी.एफ.

: <math>F(x) = \begin{cases}
1 - \frac{1}{2} e^{-(x-\mu)/b} & \text{if }x \geq \mu,\\[4pt]
\frac{1}{2} e^{(x-\mu)/b} & \text{if }x < \mu.
\end{cases}</math>
तो अपेक्षित न्यूनता  <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu + b(1 - \ln 2\alpha)</math> के लिए <math>\alpha \le 0.5</math> समान होती है.<ref name=":0" />

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> लाप्लास वितरण का अनुसरण करते हुए, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \begin{cases}
\mu + b \frac{\alpha}{1-\alpha} (1-\ln2\alpha) & \text{if }\alpha < 0.5,\\[4pt]
\mu + b[1 - \ln(2(1-\alpha))] & \text{if }\alpha \ge 0.5.
\end{cases}</math> समान होती है।<ref name=":1" />

:


=== लॉजिस्टिक वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \frac{1}{s} e^{-\frac{x-\mu}{s}}\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-2}</math> के सापेक्ष लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है।  और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-1}</math> तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = -\mu + s \ln\frac{(1-\alpha)^{1-\frac{1}{\alpha}}}{\alpha}</math> समान होती है .<ref name=":0" />

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो और <math>L</math> लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करते हुए, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \mu + s\frac{-\alpha\ln\alpha-(1-\alpha)\ln(1-\alpha)}{1-\alpha}</math> समान होती है .<ref name=":1" />


=== घातीय वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0.\end{cases}</math> के सापेक्ष घातांकीय वितरण का अनुसरण करता है।  और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \begin{cases}1 - e^{-\lambda x} & \text{if }x \geq 0,\\ 0 & \text{if }x < 0.\end{cases}</math> तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{-\ln(1-\alpha)+1}{\lambda}</math> समान होता है .<ref name=":1" />


=== पेरेटो वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{a x_m^a}{x^{a+1}} & \text{if }x \geq x_m,\\
0 & \text{if }x < x_m.
\end{cases}</math> के सापेक्ष [[पेरेटो वितरण]] का अनुसरण करता है।  और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \begin{cases}
1 - (x_m/x)^a & \text{if }x \geq x_m,\\
0 & \text{if }x < x_m.
\end{cases}</math> तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{x_m a}{(1-\alpha)^{1/a}(a-1)}</math> समान  होती है।.<ref name=":1" />


=== सामान्यीकृत पेरेटो वितरण (जीपीडी) ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> पी.डी.एफ <math>f(x) = \frac{1}{s} \left( 1+\frac{\xi (x-\mu)}{s} \right)^{\left(-\frac{1}{\xi}-1\right)}</math>. के सापेक्ष [[सामान्यीकृत पेरेटो वितरण]] का अनुसरण करता है।और सी.डी.एफ<math>F(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+\frac{\xi(x-\mu)}{s}\right)^{-1 /\xi} & \text{if }\xi \ne 0,\\
1-\exp \left( -\frac{x-\mu}{s} \right) & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math>

तो अपेक्षित न्यूनता के

: <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \begin{cases}
\mu + s \left[ \frac{(1-\alpha)^{-\xi}}{1-\xi}+\frac{(1-\alpha)^{-\xi}-1}{\xi} \right] & \text{if }\xi \ne 0,\\
\mu + s \left[1 - \ln(1-\alpha) \right] & \text{if }\xi = 0,
\end{cases}</math>समान होती है
और VaR के <math> \operatorname{VaR}_\alpha(L) = \begin{cases}
\mu + s \frac{(1-\alpha)^{-\xi}-1}{\xi}  & \text{if }\xi \ne 0,\\
\mu - s \ln(1-\alpha) & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math> समान होती है<ref name=":1" />

:


=== वेइबुल वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> पीडीएफ <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} & \text{if }x \geq 0,\\
0 & \text{if }x < 0.
\end{cases}</math> के सापेक्ष [[वेइबुल वितरण]] का अनुसरण करता है, और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \begin{cases}
1 - e^{-(x/\lambda)^k} & \text{if }x \geq 0,\\
0 & \text{if }x < 0.
\end{cases}</math> तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) = \frac{\lambda}{1-\alpha} \Gamma\left(1+\frac{1}{k},-\ln(1-\alpha)\right)</math> समान होती है , जहाँ <math>\Gamma(s,x)</math> ऊपरी अधूरा गामा फलन होती है।<ref name=":1" />


=== सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण (जीईवी) ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पीडीएफ <math>f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{\sigma} \left( 1+\xi \frac{ x-\mu}{\sigma} \right)^{-\frac{1}{\xi}-1} \exp\left[-\left( 1 + \xi \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^{-{1}/{\xi}}\right] & \text{if } \xi \ne 0,\\
\frac{1}{\sigma}e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}} & \text{if } \xi = 0.
\end{cases}</math> के सापेक्ष [[सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण]] का अनुसरण करता है। और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \begin{cases}
\exp\left(-\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-{1}/{\xi}}\right) & \text{if }\xi \ne 0,\\
\exp\left(-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}\right) & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math> अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases}
-\mu - \frac{\sigma}{\alpha \xi} \big[ \Gamma(1-\xi,-\ln\alpha)-\alpha \big] & \text{if }\xi \ne 0,\\
-\mu - \frac{\sigma}{\alpha} \big[ \text{li}(\alpha) - \alpha \ln(-\ln \alpha) \big] & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math> समान होती है  और वीएआर के <math>\operatorname{VaR}_\alpha(X) = \begin{cases}
-\mu - \frac{\sigma}{\xi} \left[(-\ln \alpha)^{-\xi}-1 \right]  & \text{if }\xi \ne 0,\\
-\mu + \sigma \ln(-\ln\alpha) & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math> समान होता है , जहाँ <math>\Gamma(s,x)</math> ऊपरी अधूरा गामा फलन, <math>\mathrm{li}(x) = \int \frac{dx}{\ln x}</math> लघुगणकीय अभिन्न फलन होता है.<ref name=":3">{{Cite journal|ssrn=3200629|title=असामान्य वितरण के लिए जोखिम पर सशर्त मूल्य|last=Khokhlov|first=Valentyn|date=2018-06-21|doi=10.2139/ssrn.3200629 |s2cid=219371851 }}</ref>

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का अनुसरण करता है, तो अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases}
\mu + \frac{\sigma}{(1-\alpha) \xi} \bigl[ \gamma(1-\xi,-\ln\alpha)-(1-\alpha) \bigr] & \text{if }\xi \ne 0,\\
\mu + \frac{\sigma}{1-\alpha} \bigl[y - \text{li}(\alpha) + \alpha \ln(-\ln \alpha) \bigr] & \text{if }\xi = 0.
\end{cases}</math> समान होती है , जहाँ <math>\gamma(s,x)</math> निम्न अपूर्ण गामा फलन है, और <math>y</math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक होती है।<ref name=":1" />



=== सामान्यीकृत हाइपरबोलिक सेकेंट (जीएचएस) वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पी.डी.एफ. <math>f(x) = \frac{1}{2 \sigma} \operatorname{sech}\left(\frac{\pi}{2} \frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math> के सापेक्ष हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण का अनुसरण करता है। और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \frac{2}{\pi}\arctan\left[\exp\left(\frac{\pi}{2}\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]</math> तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) =
- \mu - \frac{2\sigma}{\pi} \ln\left( \tan \frac{\pi\alpha}{2} \right)
- \frac{2\sigma}{\pi^2\alpha}i\left[\operatorname{Li}_2\left(-i\tan\frac{\pi\alpha}{2}\right)-\operatorname{Li}_2\left(i\tan\frac{\pi\alpha}{2}\right)\right]</math> समान होता है , जहाँ <math>\operatorname{Li}_2</math> स्पेंस का कार्य एक, <math>i=\sqrt{-1}</math> काल्पनिक इकाई होती है।.<ref name=":3" />


=== जॉनसन का एसयू-वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> सी.डी.एफ. के सापेक्ष <math>F(x) = \Phi\left[\gamma+\delta\sinh^{-1}\left(\frac{x-\xi}{\lambda}\right)\right]</math> जॉनसन के एसयू-वितरण का अनुसरण करता है।  तो अपेक्षित न्यूनता <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) =
-\xi - \frac{\lambda}{2\alpha}
\left[
  \exp\left(\frac{1-2\gamma\delta}{2\delta^2}\right) \;
  \Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)-\frac{1}{\delta}\right)
  - \exp\left(\frac{1+2\gamma\delta}{2\delta^2}\right) \;
  \Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)+\frac{1}{\delta}\right)
\right]</math> समान होती है , जहाँ <math>\Phi</math> मानक सामान्य वितरण का सी.डी.एफ होता.है।  .<ref>{{Cite journal|ssrn=1855986|title=Moment-Based CVaR Estimation: Quasi-Closed Formulas|last=Stucchi|first=Patrizia|date=2011-05-31|doi=10.2139/ssrn.1855986 |s2cid=124145569 }}</ref>


=== बर टाइप XII वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> बर्र टाइप XII वितरण का अनुसरण करता है तो पी.डी.एफ. <math>f(x) = \frac{ck}{\beta}
\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{c-1}
\left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta} \right)^c\right]^{-k-1}</math> और सी.डी.एफ. <math>F(x) = 1-\left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta} \right)^c \right]^{-k}</math>, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) =
- \gamma
- \frac{\beta}{\alpha}
  \left( (1-\alpha)^{-1/k}-1 \right)^{1/c}
  \left[ \alpha -1+{_2F_1}\left(\frac{1}{c},k;1+\frac{1}{c};1-(1-\alpha)^{-1/k}\right) \right]</math> समान होता है , जहाँ <math>_2F_1</math>  वैकल्पिक रूप से [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|हाइपरजियोमेट्रिक फलन]]  होता है। .<ref name=":3" />


=== सुई वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> पीडीएफ के सापेक्ष <math>f(x) =
\frac{ck}{\beta}
\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{ck-1}
\left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^c\right]^{-k-1}</math> डैगम वितरण का अनुसरण करता है।  और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \left[1+\left(\frac{x-\gamma}{\beta}\right)^{-c}\right]^{-k}</math>, अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) =
- \gamma
- \frac{\beta}{\alpha}
  \frac{ck}{ck+1}
  \left( \alpha^{-1/k}-1 \right)^{-k-\frac{1}{c}}
  {_2F_1}\left(k+1,k+\frac{1}{c};k+1+\frac{1}{c};-\frac{1}{\alpha^{-1/k}-1}\right) </math> समान है , जहाँ <math>_2F_1</math> हाइपरजियोमेट्रिक फलन होता है.।<ref name=":3" />


=== लॉगनॉर्मल वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> [[लॉग-सामान्य वितरण]], अर्थात यादृच्छिक चर <math>\ln(1+X)</math> का अनुसरण करता है  पी.डी.एफ. के सापेक्ष <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math> सामान्य वितरण का अनुसरण करता है। तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1 - \exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right) \frac{\Phi\left(\Phi^{-1}(\alpha)-\sigma\right)}{\alpha}</math> समान है , जहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य सी.डी.एफ होती है, इसलिए <math>\Phi^{-1}(\alpha)</math> मानक सामान्य मात्रा होती है।.<ref name=":2">{{Cite ssrn|ssrn=3197929|title=लॉग-वितरण के लिए जोखिम पर सशर्त मूल्य|last=Khokhlov|first=Valentyn|date=2018-06-17}}</ref>


=== लॉग-लॉजिस्टिक वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> [[लॉग-लॉजिस्टिक वितरण]], अर्थात यादृच्छिक चर <math>\ln(1+X)</math> का अनुसरण करता है  पी.डी.एफ. के सापेक्ष लॉजिस्टिक वितरण का <math>f(x) = \frac{1}{s} e^{-\frac{x-\mu}{s}} \left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^{-2}</math> अनुसरण करता है। , तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1-\frac{e^\mu}{\alpha}I_\alpha(1+s,1-s)\frac{\pi s}{\sin\pi s}</math> समान होता है , जहाँ <math>I_\alpha</math> [[अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन|अपूर्ण बीटा फलन]] <math>I_\alpha(a,b)=\frac{\Beta_\alpha(a,b)}{\Beta(a,b)}</math> होती है, .

क्योंकी अपूर्ण बीटा फलन को केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, अधिक सामान्य परिस्थिति के लिए अपेक्षित न्यूनता को हाइपरजियोमेट्रिक फलन के सापेक्ष <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1-\frac{e^\mu \alpha^s}{s+1} {_2F_1}(s,s+1;s+2;\alpha)</math> व्यक्त किया जा सकता है: .<ref name=":2" />

यदि किसी जानकारी संग्रह का हानि हो <math>L</math> पीडीएफ के सापेक्ष लॉग-लॉजिस्टिक वितरण का अनुसरण करता है। <math>f(x) = \frac{\frac{b}{a}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^b)^2}</math> और सी.डी.एफ. <math>F(x) = \frac{1}{1+(x/a)^{-b}}</math>, तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(L) =
\frac{a}{1-\alpha}
\left[
  \frac{\pi}{b} \csc\left(\frac{\pi}{b}\right)
  - \Beta_\alpha \left(\frac{1}{b}+1,1-\frac{1}{b}\right)
\right]</math> समान होता है , जहाँ <math>B_\alpha</math> अधूरा बीटा फलन होता है.<ref name=":1" />


=== लॉग-लाप्लास वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> [[लॉग-लाप्लास वितरण]], अर्थात यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है <math>\ln(1+X)</math> पी.डी.एफ. लाप्लास वितरण का <math>f(x) = \frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}</math> अनुसरण करता है। , तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = \begin{cases}
1 - \frac{e^\mu (2\alpha)^b}{b+1} & \text{if }\alpha \le 0.5,\\
1 - \frac{e^\mu 2^{-b}}{\alpha(b-1)} \left[(1-\alpha)^{(1-b)}-1\right] & \text{if } \alpha > 0.5.
\end{cases}</math> समान होता है। .<ref name=":2" />


=== लॉग-सामान्यीकृत हाइपरबोलिक सेकेंट (लॉग-जीएचएस) वितरण ===
यदि किसी जानकारी संग्रह का भुगतान <math>X</math> लॉग-जीएचएस वितरण, अर्थात यादृच्छिक चर का अनुसरण करता है <math>\ln(1+X)</math> पी.डी.एफ. के सापेक्ष <math>f(x) = \frac{1}{2 \sigma} \operatorname{sech} \left(\frac{\pi}{2}\frac{x-\mu}{\sigma}\right)</math> हाइपरबोलिक सेकेंट वितरण का अनुसरण करता है। , तो अपेक्षित न्यूनता के <math>\operatorname{ES}_\alpha(X) = 1 - \frac{1}{\alpha(\sigma+{\pi/2})} \left(\tan\frac{\pi \alpha}{2}\exp\frac{\pi \mu}{2\sigma}\right)^{2\sigma/\pi} \tan\frac{\pi \alpha}{2} {_2F_1}\left(1,\frac{1}{2}+\frac{\sigma}{\pi};\frac{3}{2}+\frac{\sigma}{\pi};-\tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right)^2\right)</math> समान है , जहाँ <math>_2F_1</math> हाइपरजियोमेट्रिक फलन है।.<ref name=":2" />


== गतिशील अपेक्षित न्यूनता ==
समय t पर अपेक्षित न्यूनता का सशर्त संकट माप संस्करण द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>\operatorname{ES}_\alpha^t(X) = \operatorname{ess\sup}_{Q \in \mathcal{Q}_{\alpha}^t} E^Q[-X \mid \mathcal{F}_t]</math>
जहाँ

<math>\mathcal{Q}_{\alpha}^t = \left\{Q = P\,\vert_{\mathcal{F}_t}: \frac{dQ}{dP} \leq \alpha_t^{-1} \text{ a.s.}\right\} </math>.<ref>{{cite journal|title=सशर्त और गतिशील उत्तल जोखिम उपाय|first1=Kai|last1=Detlefsen|first2=Giacomo|last2=Scandolo|journal=Finance Stoch.|volume=9|issue=4|pages=539–561|year=2005|url=http://www.dmd.unifi.it/scandolo/pdf/Scandolo-Detlefsen-05.pdf|access-date=October 11, 2011|doi=10.1007/s00780-005-0159-6|citeseerx=10.1.1.453.4944|s2cid=10579202}}{{Dead link|date=January 2012}}</ref><ref>{{cite journal|title=गतिशील उत्तल जोखिम उपाय|first1=Beatrice |last1=Acciaio |first2=Irina |last2=Penner |year=2011 |url=http://wws.mathematik.hu-berlin.de/~penner/Acciaio_Penner.pdf |access-date=October 11, 2011 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110902182345/http://wws.mathematik.hu-berlin.de/~penner/Acciaio_Penner.pdf |archive-date=September 2, 2011 }}</ref>

यह समय-संगत संकट का हल नहीं है। समय-संगत संस्करण द्वारा दिया गया है
:<math>\rho_{\alpha}^t(X) = \operatorname{ess\sup}_{Q \in \tilde{\mathcal{Q}}_{\alpha}^t} E^Q[-X\mid\mathcal{F}_t]</math>
इस प्रकार कि<ref>{{cite journal|first1=Patrick|last1=Cheridito|first2=Michael|last2=Kupper|title=अलग-अलग समय में समय-संगत गतिशील मौद्रिक जोखिम उपायों की संरचना|journal=International Journal of Theoretical and Applied Finance|date=May 2010|url=http://wws.mathematik.hu-berlin.de/~kupper/papers/comp2010.pdf|access-date=February 4, 2011|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110719042954/http://wws.mathematik.hu-berlin.de/~kupper/papers/comp2010.pdf|archive-date=July 19, 2011}}</ref>
:<math>\tilde{\mathcal{Q}}_{\alpha}^t = \left\{Q \ll P: \operatorname{E}\left[\frac{dQ}{dP} \mid \mathcal{F}_{\tau+1} \right] \leq \alpha_t^{-1} \operatorname{E}\left[\frac{dQ}{dP} \mid \mathcal{F}_{\tau}\right] \; \forall \tau \geq t \text{ a.s.}\right\}.</math>

होता है।
== यह भी देखें ==
*सुसंगत संकट उपाय
* स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग के लिए विस्तारित गणितीय प्रोग्रामिंग (ईएमपी) #ईएमपी - ईएस और वीएआर से जुड़ी अनुकूलन समस्याओं के लिए समाधान प्रौद्योगिकी
* [[एन्ट्रोपिक मूल्य खतरे में है]]
* किसी चुनौती के आधार पर उसकी कीमत

वैश्विक आंकड़े, ईंटेग्रेशन एवं योगदान को लेकर भांसली एट एल. <ref name="Embrechts et al">Embrechts P., Kluppelberg C. and Mikosch T., Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer (1997).</ref> और नोवाक <ref name="Novak">Novak S.Y., Extreme value methods with applications to finance. Chapman & Hall/CRC Press (2011). {{ISBN|978-1-4398-3574-6}}.</ref> में वैर और ईएस के आंकड़े का सांख्यिकीय अनुमान करने के विधि मिलते हैं। वैर और ईएस के पूर्वानुमान करते समय, या जानकारी संग्रहं को पूंछ की संकट को न्यूनतम करने के लिए अनुकूलित करते समय, स्टॉक वापसी की वितरण में असममिति और गैर-सामान्यताओं को समान्यताओं की आकस्मिकता, असममिति, और विकेंद्रता जैसे गैर-साधारण प्रभावों को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण होता है।<ref>{{cite journal|last1=Low|first1=R.K.Y.|last2=Alcock|first2=J.|last3=Faff|first3=R.|last4=Brailsford|first4=T.|title=Canonical vine copulas in the context of modern portfolio management: Are they worth it?|journal=Journal of Banking & Finance|date=2013|volume=37|issue=8|pages=3085–3099|doi=10.1016/j.jbankfin.2013.02.036|s2cid=154138333|url=https://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:297895/EC15UQ297895.pdf}}</ref>


==संदर्भ==
{{Reflist}}


==बाहरी संबंध==
* [http://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/CVaR1_JOR.pdf Rockafellar, Uryasev: Optimization of conditional Value-at-Risk, 2000.]
* [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0104295 C. Acerbi and D. Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, 2002.]
* [http://www.ise.ufl.edu/uryasev/files/2011/11/cvar2_jbf.pdf Rockafellar, Uryasev: Conditional Value-at-Risk for general loss distributions, 2002.]
* [https://web.archive.org/web/20070721133000/http://www.finance-and-physics.org/susinno/acerbi1.pdf Acerbi: Spectral measures of risk, 2005]
* [https://editorialexpress.com/cgi-bin/conference/download.cgi?db_name=QMF2004&paper_id=142: Phi-Alpha optimal portfolios and extreme risk management, Best of Wilmott, 2003]
* "[https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/1467-9965.00068 Coherent measures of Risk]", Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, and David Heath

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[[Category:वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके]]
[[Category:वित्तीय जोखिम मॉडलिंग]]
[[Category:वित्तीय मॉडल]]