View source for अर्धवृत्ताकार वक्र

{{short description|Algebraic curve}}
''एलिप्से से भ्रमित न हो''

''ये लेख गणितीय वक्र के बारे मे है। क्रिप्टोग्राफी तकनीक के लिए,दीर्घवृत्त-वक्र क्रिप्टोग्राफी देखें।'' 

''<nowiki>''अर्धवृत्ताकार समीकरण''</nowiki> यहाँ पुननिर्देश करता है। आंशिक अवकल समीकरण के प्रकार के लिए,अर्धवृत्ताकार आंशिक अवकल समीकरण देखें।'' [[Image:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|अर्धवृत्ताकार वक्रों की एक सूची। दिखाया गया क्षेत्र है {{math|''x'', ''y'' ∈ [−3,3]}}.<br>(के लिए {{math|1=(''a'', ''b'') = (0, 0)}} कार्य सुचारू नहीं है और इसलिए अर्धवृत्ताकार वक्र नहीं है।)]]
{{Group theory sidebar |Algebraic}}
गणित में, '''''अर्धवृत्ताकार वक्र'''''  एक सरल श्रेणी, प्रक्षेपीय,श्रेणी का एक बीजगणितीय वक्र होता है, जिस पर एक निर्दिष्ट बिंदु  {{mvar|O}} होता है। एक अर्धवृत्ताकार वक्र को एक [[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र]] K पर परिभाषित किया गया है और <math>K^2</math> बिंदुओं का वर्णन करता है ,स्वंय के साथ {{mvar|K}} का कार्तीय उत्पाद यदि क्षेत्र की [[ विशेषता (बीजगणित) | विशेषता]] 2 और 3 से भिन्न है, तो वक्र को एक [[ समतल बीजीय वक्र | समतल बीजगणितीय वक्र]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें समाधान होते हैं {{math|(''x'', ''y'')}} के लिये:

:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
कुछ गुणांक के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} में {{mvar|K}} वक्र को [[ वक्र का एकवचन बिंदु | वक्र का व्युत्क्रमणीय बिंदु]] होना आवश्यक है | व्युत्क्रमणीय, जिसका अर्थ है कि वक्र में कोई [[ पुच्छ (विलक्षण) | पुच्छ (विलक्षण)]] या स्व-प्रतिच्छेदन नहीं है। (यह स्थिति  के  {{math|4''a''<sup>3</sup> + 27''b''<sup>2</sup> ≠ 0}} के बराबर है, अर्थात {{mvar|x}} मे वर्ग-मुक्त होना।) यह सदैव समझा जाता है कि वक्र वास्तव में प्रक्षेप्य तल में बिंदु के साथ {{mvar|O}} अनंत पर अद्वितीय बिंदु है। कई स्रोत एक अर्धवृत्ताकार वक्र को इस रूप के समीकरण द्वारा दिए गए वक्र के रूप में परिभाषित करते हैं। (जब[[ गुणांक क्षेत्र ]]में 2 या 3 की विशेषता होती है, तो उपरोक्त समीकरण सभी व्युत्क्रमणीय घन वक्र को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है; {{section link|#नीचे सामान्य क्षेत्र पर अर्धवृत्ताकार वक्र देखें। }})

एक अर्धवृत्ताकार वक्र एक [[ अबेलियन किस्म |अबेलियन श्रेणी]] है - अर्थात, इसका एक समूह नियम है जिसे बीजगणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, जिसके संबंध में यह एक [[ एबेलियन समूह ]] है - और {{mvar|O}} पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है।

यदि {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''P''(''x'')}}, जहां पे {{mvar|P}} {{mvar|x}} मे तीन डिग्री का कोई बहुपद है जिसमे कोई मूल दोहराई नहीं जाती है, अर्धवृत्ताकार वक्र समाधान समूह वर्ग का एक व्युत्क्रमणीय समतल वक्र है। यदि {{mvar|P}} की डिग्री चार है और वर्ग-मुक्त बहुपद है, तो यह समीकरण फिर से वर्ग के एक समतल वक्र का वर्णन करता है; हालाँकि, इसमें पहचान तत्व का कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है। अधिक सामान्यता पर, श्रेणी का कोई बीजगणितीय वक्र, उदाहरण के लिए त्रि-आयामी प्रक्षेप्य स्थान में अन्तः स्थापित दो [[ क्वाड्रिक (बीजगणितीय ज्यामिति) |द्विघात सतहों]], को अर्धवृत्ताकार वक्र कहा जाता है, परंतु यह पहचान के रूप में कार्य करने के लिए एक चिह्नित बिंदु से सुसज्जित हो।

अर्धवृत्ताकार कार्यों के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि[[ जटिल संख्या | सम्मिश्र संख्या]]ओं पर परिभाषित अर्धवृत्ताकार वक्र सम्मिश्र प्रक्षेप्य तल में [[ टोरस्र्स |स्थूलक]] के अन्तःस्थापित के अनुरूप हैं। स्थूलक भी एक एबेलियन समूह है, और यह संगत भी एक [[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] है।

अर्धवृत्ताकार वक्र [[ संख्या सिद्धांत |संख्या सिद्धांत]] में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, और वर्तमान शोध के एक प्रमुख क्षेत्र का गठन करते हैं; उदाहरण के लिए, उनका उपयोग एंड्रयू विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। उनका[[ अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी | अर्धवृत्ताकार वक्र क्रिप्टोग्राफी]] (ईसीसी) और [[ पूर्णांक गुणनखंड | पूर्णांक गुणनखंड]] में भी विनियोग प्राप्त हैं।

एक अर्धवृत्ताकार वक्र एक प्रक्षेपी शंकु के अर्थ में एक अर्धवृत नहीं है, जिसमें वर्ग शून्य है: शब्द की उत्पत्ति के लिए [[ अण्डाकार अभिन्न |अर्धवृत्ताकार अभिन्न]] देखें। हालांकि, आकार अपरिवर्तनीय के साथ वास्तविक अर्धवृत्ताकार वक्रों का {{math|''j'' ≥ 1}}एक प्राकृतिक प्रतिनिधित्व है, अतिपरवलयिक तल में अर्धवृत्ताकार के रूप में <math>\mathbb{H}^2</math> विशेष रूप से, एक निश्चित स्थिर-कोण गुण की विशेषता वाले द्विघात सतहों के साथ मिंकोवस्की अतिपरवलयज के प्रतिच्छेदन में स्टीनर अर्धवृत्ताकार उत्पन्न होते हैं <math>\mathbb{H}^2</math> (अभिविन्यास-संरक्षण संयोजनों द्वारा उत्पन्न)। इसके अलावा, इन दीर्घवृत्तों के लंबकोणीय प्रक्षेप वक्र के साथ अर्धवृत्ताकार वक्र सम्मिलित होते हैं {{math|''j'' ≤ 1}}, और किसी भी दीर्घवृत्त में <math>\mathbb{H}^2</math> दो केंद्र के सापेक्ष एक स्थान के रूप में वर्णित विशिष्ट रूप से दो स्टीनर अर्धवृत्त का अर्धवृत्ताकार वक्र योग है, जो प्रत्येक लंबकोणीय प्रक्षेप वक्र पर प्रतिच्छेदन के जोड़े को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यहां, अतिवलयज का शीर्ष प्रत्येक प्रक्षेप वक्र पर पहचान के रूप में कार्य करता है।<ref>{{Cite journal |last=Sarli |first=J. |date=2012 |title=हाइपरबोलिक प्लेन में कॉनिक्स, कॉलिनेशन ग्रुप के लिए आंतरिक है|journal=J. Geom. |volume=103 |pages=131–148 |doi=10.1007/s00022-012-0115-5|s2cid=119588289 }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Sarli |first=John |date=2021-10-22 |title=वास्तविक अतिपरवलयिक तल में केंद्रीय शंकु का अण्डाकार वक्र अपघटन|url=https://www.researchsquare.com/article/rs-936116/v1 |doi=10.21203/rs.3.rs-936116/v1}}</ref>

[[ सांस्थितिकी | सांस्थितिकी]] रूप से, एक सम्मिश्र अर्धवृत्ताकार वक्र एक स्थूलक है, जबकि एक सम्मिश्र अर्ध[[ वृत्त |वृत्त]] एक वृत्त है।

== वास्तविक संख्याओं पर अर्धवृत्ताकार वक्र ==
[[Image:ECClines-3.svg|frame|right|वक्रों के रेखांकन {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x''}} तथा {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> − ''x'' + 1}}]]हालांकि एक अर्धवृत्ताकार वक्र की औपचारिक परिभाषा के लिए बीजगणितीय [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में कुछ पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, केवल प्रारंभिक [[ बीजगणित |बीजगणित]] और ज्यामिति का उपयोग करके [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]]ओं पर अर्धवृत्ताकार वक्र की कुछ विशेषताओं का वर्णन करना संभव है।

इस संदर्भ में, एक अर्धवृत्ताकार वक्र जिसे [[ समतल वक्र |समतल वक्र]] के रूप मे समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है

:<math>y^2 = x^3 + ax + b</math>
चर के रैखिक परिवर्तन के बाद ({{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} वास्तविक संख्याएँ हैं)। इस प्रकार के समीकरण को वीयरस्ट्रास समीकरण कहा जाता है, और वीयरस्ट्रास रूप में, या वीयरस्ट्रास सामान्य रूप में होता है।

अर्धवृत्ताकार वक्र की परिभाषा के लिए यह भी आवश्यक है कि वक्र व्युत्क्रमणीय हो। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि ग्राफ में कोई शीर्ष, स्व-प्रतिच्छेदन या [[ पृथक बिंदु |पृथक बिंदु]] नहीं है। बीजगणितीय रूप से, यह केवल तभी मान्य होता है जब विवेचक

: <math>\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right)</math>
शून्य के बराबर नहीं है। (यद्यपि कारक -16 वक्र इस बात से अप्रासंगिक है, कि वक्र व्युत्क्रमणीय है या नहीं है, विवेचक की यह परिभाषा अर्धवृत्ताकार वक्रों के अधिक विकसित अध्ययन में उपयोगी है।)<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=III.1 Weierstrass Equations (p.45)}}</ref>

एक व्युत्क्रमणीय वक्र के वास्तविक ग्राफ में दो घटक होते हैं यदि इसका विवेचक धनात्मक है, और एक घटक यदि ऋणात्मक है। उदाहरण के लिए, चित्र में दाईं ओर दिखाए गए ग्राफ़ में, पहली स्थिति में विवेचक 64 है, और दूसरी स्थिति में −368 है।

==समूह नियम==
प्रक्षेपीय समतल में काम करते समय, हम किसी भी सरल घन वक्र पर एक समूह संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। वीयरस्ट्रास सामान्य रूप में, ऐसे वक्र का एक अतिरिक्त बिंदु होगा {{mvar|O}} अनंत पर ([[ सजातीय निर्देशांक ]] {{math|[0:1:0]}}), जो समूह की पहचान के रूप में कार्य करता है।

चूंकि वक्र {{mvar|x}}-अक्ष के बारे मे सममित है,किसी भी बिंदु {{mvar|P}} को देखते हुए, {{math|−''P''}} इसके विपरीत बिंदु ले सकते है। <math> -O = O</math>, क्योंकि यह पहचान तत्व है।

यदि {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} वक्र पर दो बिंदु हैं, तो हम विशिष्ट रूप से तीसरे बिंदु का वर्णन कर सकते हैं {{math|''P'' + ''Q''}} इस अनुसार सबसे पहले, वह रेखा खींचें जो {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} पर प्रतिच्छेद करती है। यह सामान्यतः घन को तीसरे बिंदु {{mvar|R}} पर काटती है, फिर हम {{math|''P'' + ''Q''}} को {{math|−''R''}},{{mvar|R}} के विपरीत बिंदु लेते है। 

जोड़ के लिए यह परिभाषा अनंत और प्रतिच्छेदन बहुलता पर बिंदु से संबंधित कुछ विशेष स्थितियो को छोड़कर काम करती है। पहला तब होता है जब बिंदुओं में से एक ओ होता है। यहां, {{math|1=''P'' + ''O'' = ''P'' = ''O'' + ''P''}}, जिससे O की पहचान बन जाती है। अगर {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} एक दूसरे के विपरीत हैं, हम परिभाषित करते हैं {{math|1=''P'' + ''Q'' = ''O''}}. अंत में, अगर {{math|1=''P'' = ''Q''}} हमारे पास केवल एक बिंदु है, इस प्रकार हम उनके बीच की रेखा को परिभाषित नहीं कर सकते। इस स्थिति में, हम इस बिंदु पर वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा का उपयोग अपनी रेखा के रूप में करते हैं। अधिकतम स्थिति में, स्पर्शरेखा दूसरे बिंदु {{mvar|R}} को काटेगी और हम इसके विपरीत ले सकते हैं। हालांकि, यदि {{mvar|P}} एक विभक्ति बिंदु होता है (एक बिंदु जहां वक्र की समतलता बदल जाती है), हम {{mvar|R}} पर {{mvar|P}} स्वयं लेते है और {{math|''P'' + ''P''}} स्वयं के विपरीत बिन्दु है।

<div वर्ग = केंद्र >
[[Image:ECClines.svg]]</div>{{mvar|K}} एक ऐसा क्षेत्र हो जिस पर वक्र परिभाषित किया गया हो (अर्थात, परिभाषित करने वाले समीकरण के गुणांक या वक्र के समीकरणों {{mvar|K}} मे है) और {{mvar|E}} द्वारा वक्र को निरूपित करते है।  फिर {{mvar|K}}-[[ तर्कसंगत बिंदु | तर्कसंगत बिंदु]] {{mvar|E}} बिंदु हैं {{mvar|E}} जिसके सभी निर्देशांक {{mvar|K}} मे स्थित है, जिसमे अनंत बिन्दु भी सम्मिलित है। {{mvar|K}}-तर्कसंगत बिंदुओं को  {{math|''E''(''K'')}} द्वारा निरूपित किया जाता है। {{math|''E''(''K'')}} एक समूह है, क्योंकि बहुपद समीकरणों के गुण दर्शाते हैं कि यदि {{mvar|P}} {{math|''E''(''K'')}} मे है तो  {{math|−''P''}} भी {{math|''E''(''K'')}} मे है  और यदि दो {{mvar|P}}, {{mvar|Q}}, {{mvar|R}} में हैं {{math|''E''(''K'')}}, तो तीसरा है। इसके अतिरिक्त, यदि {{mvar|K}} का एक उपक्षेत्र है {{mvar|L}}, फिर {{math|''E''(''K'')}} {{math|''E''(''L'')}} का एक [[ उपसमूह |उपसमूह]] है। 

=== बीजगणितीय व्याख्या ===
उपरोक्त समूहों को बीजगणितीय और साथ ही ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। वक्र को देखते हुए {{math|1=''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b''}} क्षेत्र {{mvar|K}} पर वक्र (जिसका [[ प्राइम सबफील्ड |विशेषता]] हम न तो 2 और न ही 3 मानते हैं), और बिन्दु {{math|1=''P'' = (''x<sub>P</sub>'', ''y<sub>P</sub>'')}} तथा {{math|1=''Q'' = (''x<sub>Q</sub>'', ''y<sub>Q</sub>'')}} वक्र पर, पहले मान लें कि {{math|''x<sub>P</sub>'' ≠ ''x<sub>Q</sub>''}} (1 स्थिति) {{math|1=''y'' = ''sx'' + ''d''}} प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का समीकरण हो {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}}, जिसमें निम्नलिखित झुकाव है:

:<math>s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}</math>
रेखा समीकरण और वक्र समीकरण बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं {{mvar|x<sub>P</sub>}}, {{mvar|x<sub>Q</sub>}}, तथा {{mvar|x<sub>R</sub>}}, इसलिए समीकरणो मे इन मानो पर समान y मान लेते है। 

:<math>\left(s x + d\right)^2 = x^3 + ax + b</math>
जो बराबर है

:<math>x^3 - s^2 x^2 - 2sdx + ax + b - d^2 = 0</math>
चूंकि {{mvar|x<sub>P</sub>}}, {{mvar|x<sub>Q</sub>}},तथा {{mvar|x<sub>R</sub>}} हल है, इस समीकरण के आधार  बिल्कुल एक जैसी हैं {{mvar|x}} मानो पर है जैसे 

:<math>(x - x_P) (x - x_Q) (x - x_R) = x^3 + x^2 (-x_P - x_Q - x_R) + x (x_P x_Q + x_P x_R + x_Q x_R) - x_P x_Q x_R </math>
फिर दोनों समीकरणों मे <math>x^2</math>के गुणांक के बराबर और हल करें {{mvar|x<sub>R</sub>}}. 

:<math>x_R = s^2 - x_P - x_Q</math>

{{mvar|y<sub>R</sub>}} रेखा समीकरण से निम्नानुसार है

:<math>y_R = y_P + s(x_R - x_P)</math>
और यह {{mvar|K}} का एक तत्व है,  इसलिए यह परिभाषित करता है {{math|1=''R'' = (''x<sub>R</sub>'', ''y<sub>R</sub>'') = −(''P'' + ''Q'')}}.

यदि {{math|1=''x<sub>P</sub>'' = ''x<sub>Q</sub>''}}, तो दो विकल्प हैं: if {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = −''y<sub>Q</sub>''}} (स्थिति 3), उस स्थिति सहित जहां {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' = 0}} (स्थिति 4), तो योग को 0 के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार, वक्र के प्रत्येक बिंदु का व्युत्क्रम  {{mvar|x}}-अक्ष के पर परिवर्तित करके पाया जाता है। 

यदि {{math|1=''y<sub>P</sub>'' = ''y<sub>Q</sub>'' ≠ 0}}, फिर {{math|1=''Q'' = ''P''}} तथा {{math|1=''R'' = (''x''<sub>''R''</sub>, ''y''<sub>''R''</sub>) = −(''P'' + ''P'') = −2''P'' = −2''Q''}} (स्थिति 2 का उपयोग कर {{mvar|P}} जैसा {{mvar|R}}) वक्र पर स्पर्शरेखा द्वारा ढलान (x<sub>''P''</sub>, y<sub>''P''</sub>) पर वक्र की स्पर्श रेखा दी गई है। 

:<math>\begin{align}
    s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\
  x_R &= s^2 - 2x_P\\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}</math>

=== गैर-वीयरस्ट्रास वक्र ===
एक घन वक्र के लिए जो वीयरस्ट्रैस सामान्य रूप में नहीं है, हम अभी भी एक समूह संरचना को उसके नौ विभक्ति बिंदुओं में से एक को पहचान के रूप में निर्दिष्ट करके परिभाषित कर सकते हैं {{mvar|O}}. प्रक्षेप्य तल में, बहुलता के लिए लेखांकन करते समय प्रत्येक रेखा एक घन को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी। एक बिंदु के लिए {{mvar|P}}, {{math|−''P''}} से गुजरने वाली रेखा पर अद्वितीय तीसरे बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|O}} तथा {{mvar|P}}. फिर, किसी के लिए {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} के लिए,  {{math|''P'' + ''Q''}} को {{math|−''R''}} के रूप मे परिभाषित किया जाता है, जहां  {{mvar|R}}, {{mvar|P}} तथा {{mvar|Q}} को समाहित करने वाली रेखा पर अद्वितीय तीसरा बिन्दु है। 

== परिमेय संख्याओं पर अर्धवृत्ताकार वक्र ==
परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित एक वक्र E को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में भी परिभाषित किया गया है। इसलिए, स्पर्शरेखा और छेदक विधि द्वारा योग के नियम (वास्तविक निर्देशांक वाले बिंदुओं के) को ई पर लागू किया जा सकता है। स्पष्ट सूत्र बताते हैं कि तर्कसंगत निर्देशांक वाले दो बिंदुओं पी और क्यू के योग में फिर से तर्कसंगत निर्देशांक होते हैं, क्योंकि P और Q को मिलने वाली रेखा में परिमेय गुणांक होते हैं। इस तरह, कोई यह दर्शाता है कि E के परिमेय बिंदुओं का समुच्चय E के वास्तविक बिंदुओं के समूह का एक उपसमूह बनाता है। इस समूह के रूप में, यह एक आबेलियन समूह है, अर्थात P + Q = Q + P।

=== अभिन्न अंक ===
यह खंड E के बिंदु P = (x, y) से इस प्रकार संबंधित है कि x एक पूर्णांक है।

उदाहरण के लिए, समीकरण y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> + 17 में y > 0 के साथ आठ अभिन्न समाधान हैं:<ref>T. Nagell, ''L'analyse indéterminée de degré supérieur'', Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.</ref><ref>OEIS: https://oeis.org/A029728</ref>
:(x, y) = (-2, 3), (-1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375) , ({{val|5234}}, {{val|378661}})

एक अन्य उदाहरण के रूप में, लजुंगग्रेन का समीकरण, एक वक्र जिसका वीयरस्ट्रैस रूप y<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> − 2x है, y ≥ 0 के साथ केवल चार हल हैं:<ref>{{citation |hdl=10871/8323 |first=Samir |last=Siksek |type=Ph.D. thesis |publisher=University of Exeter |year=1995 |title=Descents on Curves of Genus 1 |pages=16–17 |postscript=. }}</ref>
:(x, y) = (0, 0), (-1, 1), (2, 2), (338, {{val|6214}}).

=== परिमेय बिंदुओं की संरचना ===
परिमेय बिंदुओं की परिमित संख्या से प्रारंभ करते हुए, ऊपर वर्णित स्पर्शरेखा और छेदक की विधि द्वारा परिमेय बिन्दुओ का निर्माण किया जा सकता है।<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 4.1}}</ref> अधिक सटीक रूप से मोर्डेल-वील प्रमेय बताता है कि समूह ई ('क्यू') एक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है।[[ अंतिम रूप से उत्पन्न समूह ]] (एबेलियन) समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा यह 'Z' और परिमित चक्रीय समूहों की प्रतियों का एक सीमित प्रत्यक्ष योग है।

प्रमेय का प्रमाण<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=pp. 199–205}}</ref> दो भागों को सम्मिलित करता है। पहला भाग दर्शाता है कि किसी भी पूर्णांक m > 1 के लिए, [[ भागफल समूह ]] E('Q')/mE('Q') परिमित है (यह कमजोर मोर्डेल-वेल प्रमेय है)। दूसरा, h(P .) द्वारा परिभाषित परिमेय बिंदुओं E('Q') पर ऊंचाई फलन h का प्रस्तुत करता है।  p <sub>0</sub> = 0 और {{math|''h''(''P'') {{=}} log max({{pipe}}''p''{{pipe}}, {{pipe}}''q''{{pipe}})}} यदि P (अनंत P पर स्थित बिंदु के असमान हो)<sub>0</sub>) भुज के रूप में परिमेय संख्या x = p/q (सहअभाज्य p और q के साथ) है। इस ऊँचाई कार्य h में यह गुण होता है कि h(mP) लगभग m के वर्ग की तरह बढ़ता है। इसके अलावा, किसी भी स्थिरांक से छोटी ऊंचाई वाले केवल बहुत से परिमेय बिंदु E पर सम्मिलित हैं।

इस प्रकार प्रमेय का प्रमाण [[ अनंत वंश | अनंत क्रम]] की विधि का एक प्रकार है<ref>See also J. W. S. Cassels, [[Mordell]]'s Finite Basis Theorem Revisited, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'' 100, 3–41 and the comment of A. Weil on the genesis of his work: A. Weil, ''Collected Papers'', vol. 1, 520–521.</ref> और ई पर [[ यूक्लिडियन एल्गोरिथम |यूक्लिडियन एल्गोरिथम]] के दोहराए गए विनियोग पर निर्भर करता है: पी ∈ ई ('क्यू') को वक्र पर एक तर्कसंगत बिंदु होने दें, पी को योग 2 पी के रूप में लिखें Q<sub>1</sub> + क्यू<sub>1</sub> जहां क्यू<sub>1</sub> E('Q')/2E('Q'), P की ऊंचाई में P का एक निश्चित प्रतिनिधि है<sub>1</sub> के बारे में है {{sfrac|1|4}} P में से एक का (अधिक सामान्यतः, 2 को किसी m > 1 से प्रतिस्थापित करना, और {{sfrac|1|4}} द्वारा {{sfrac|1|''m''<sup>2</sup>}}) P . के साथ भी ऐसा ही करना<sub>1</sub>, यानी P<sub>1</sub> = 2पी<sub>2</sub> + क्यू<sub>2</sub>, फिर पी<sub>2</sub> = 2पी<sub>3</sub> + क्यू<sub>3</sub>, आदि अंत में P को बिंदुओं Q . के एक अभिन्न रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं<sub>i</sub>और उन बिंदुओं की जिनकी ऊंचाई पहले से चुने गए एक निश्चित स्थिरांक से घिरी हुई है: कमजोर मोर्डेल-वील प्रमेय द्वारा और ऊंचाई फलन पी की दूसरा गुण इस प्रकार निश्चित बिंदुओं की एक सीमित संख्या के अभिन्न रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त की जाती है।

हालांकि प्रमेय E('Q')/mE('Q') के किसी भी प्रतिनिधि को निर्धारित करने के लिए कोई विधि प्रदान नहीं करता है।

ई ('क्यू') के एक [[ एबेलियन समूह की रैंक ]], जो कि ई ('क्यू') में 'जेड' की प्रतियों की संख्या है या इसके बराबर, अनंत क्रम के स्वतंत्र बिंदुओं की संख्या को ई की पद कहा जाता है। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान पद निर्धारित करने से संबंधित है। एक अनुमान है कि यह मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है, भले ही अपेक्षाकृत छोटे रैंक वाले उदाहरण ही ज्ञात हों। वर्तमान में सबसे बड़ी ज्ञात पद वाला अर्धवृत्ताकार वक्र है
:y<sup>2</sup> + xy + y = x<sup>3</sup> x<sup>2</sup> − {{gaps|244|537|673|336|319|601|463|803|487|168|961|769|270|757|573|821|859|853|707}}एक्स + {{gaps|961|710|182|053|183|034|546|222|979|258|806|817|743|270|682|028|964|434|238|957|830|989|898|438|151|121|499|931}}
इसकी रैंक 20 है, जिसे 2020 में [[ नोआम एल्किज़ ]] और ज़ेव क्लाग्सब्रन ने पाया है। 20 से अधिक पद के वक्र 1994 से ज्ञात हैं, उनकी रैंकों की निचली सीमा 21 से 28 तक है, लेकिन उनकी सटीक पद  ज्ञात नहीं है और विशेष रूप से यह यह साबित नहीं होता है कि उनमें से किसके पास दूसरों की तुलना में उच्च पद  है या कौन सा वास्तविक वर्तमान समर्थक है।<ref>{{cite web|url=http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/tors/rankhist.html|title=अण्डाकार वक्रों का इतिहास रैंक रिकॉर्ड|last=Dujella|first=Andrej|author-link=Andrej Dujella|publisher = University of Zagreb}}</ref>

E('Q') के [[ मरोड़ उपसमूह | विघटन उपसमूह]] को बनाने वाले समूहों के लिए, निम्नलिखित ज्ञात है:<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Theorem 7.5}}</ref> E('Q') का मुड़ा हुआ उपसमूह निम्नलिखित 15 समूहों में से एक है ([[ बैरी मजुरू | बैरी मजुरू]] के कारण एक प्रमेय): N = 1, 2, ..., 10, या 12 के लिए 'Z'/N'Z' , या 'Z'/2'Z' × 'Z'/2N'Z' N = 1, 2, 3, 4 के साथ प्रत्येक स्थिति के उदाहरण ज्ञात हैं। इसके अलावा, अर्धवृत्ताकार वक्र जिनके मोर्डेल-वील समूह 'क्यू' के ऊपर समान मुड़ा हुआ समूह हैं, एक प्राचलिक श्रेणी से संबंधित हैं।<ref>{{Harvard citations|author=Silverman|year=1986|nb=yes|loc=Remark 7.8 in Ch. VIII}}</ref>



=== बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान ===
{{Main|बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान  }}

बिर्च और  स्विनर्टन-डायर अनुमान (बीएसडी) [[ क्ले गणित संस्थान ]] की [[ मिलेनियम समस्या | मिलेनियम समस्या]]ओं में से एक है। अनुमान प्रश्न में अर्धवृत्ताकार वक्र द्वारा परिभाषित विश्लेषणात्मक और अंकगणितीय वस्तुओं पर निर्भर करता है।

विश्लेषणात्मक पक्ष में, एक महत्वपूर्ण घटक एक सम्मिश्र चर, एल का एक कार्य है, जो 'क्यू' के ऊपर ई का हस्से-वील जेटा फलन है। यह फलन [[ रीमैन जीटा फंक्शन | रीमैन जीटा फलन]] और [[ डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन | डिरिचलेट एल-फलन]] का एक प्रकार है। इसे [[ यूलर उत्पाद |यूलर उत्पाद]] के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें प्रत्येक [[ अभाज्य संख्या |अभाज्य संख्या]] p के लिए एक कारक है।

एक न्यूनतम समीकरण द्वारा दिए गए 'Q' के ऊपर एक वक्र E के लिए
:<math>y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6</math>
अभिन्न गुणांक के साथ <math>a_i</math>, गुणांक को कम करने के लिए  [[ मॉड्यूलर अंकगणित |प्रमापीय अंकगणित]] p [[ परिमित क्षेत्र ]] 'F<sub>''p''</sub> ' पर एक अर्धवृत्ताकार वक्र को परिभाषित करता है(अभाज्य संख्या p की एक सीमित संख्या को छोड़कर, जहां घटे हुए वक्र में [[ गणितीय विलक्षणता ]] होती है और इस प्रकार अर्धवृत्ताकार होने में विफल रहता है, इस स्थिति में E को p पर [[ खराब कमी |खराब कमी]] कहा जाता है)।

एक परिमित क्षेत्र 'F<sub>''p''</sub>' पर अर्धवृत्ताकार वक्र का जीटा फलन कुछ अर्थों में, F<sub>''p''</sub>परिमित क्षेत्र विस्तार 'F<sub>''p<sup>n</sup>''</sub>' में मानों के साथ E के बिंदुओं की संख्या की जानकारी को एकत्रित करने वाला एक उत्पन्न कार्य है। यह द्वारा दिया गया है<ref>The definition is formal, the exponential of this [[power series]] without constant term denotes the usual development.</ref>
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp\left(\sum \# \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)</math>
घातांक का आंतरिक योग लघुगणक के विकास जैसा दिखता है और वास्तव में, तथाकथित ज़ेटा फलन एक [[ तर्कसंगत कार्य ]] है:
:<math>Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)},</math>
जहां 'फ्रोबेनियस का निशान' शब्द<ref>see for example {{cite web |title=An Introduction to the Theory of Elliptic Curves |first=Joseph H. |last=Silverman |date=2006 |work=Summer School on Computational Number Theory and Applications to Cryptography |publisher=University of Wyoming |url=https://www.math.brown.edu/~jhs/Presentations/WyomingEllipticCurve.pdf }}</ref> <math>a_p</math> 'अपेक्षित' संख्या के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है,  <math>p+1</math> और अर्धवृत्ताकार वक्र पर बिंदुओं की संख्या <math>E</math> ऊपर <math>\mathbb{F}_p</math>, अर्थात
:<math>
a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)
</math>
या समकक्ष,

:<math>
\#E(\mathbb{F}_p) = 1 - a_p + p 
</math>.

हम विशेषता के एकपक्षीय परिमित क्षेत्र पर समान मात्रा और फलन  <math>p</math>, साथ <math>q = p^n</math> के स्थान पर  <math>p</math> प्रत्येक जगह को परिभाषित कर सकते हैं। 

सभी अभाज्य संख्या p के लिए, इस जानकारी को इस जानकारी को एक साथ एकत्रित करके Q के ऊपर E के L-फलक को परिभाषित किया जाता है,
:<math>L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}</math>
जहां N, E का संचालक है, अर्थात खराब कमी वाले अभाज्यों का गुणनफल, जिस स्थिति में a<sub>p</sub>ऊपर दी गई विधि से भिन्न रूप से परिभाषित किया गया है: नीचे सिल्वरमैन (1986) देखें।

यह उत्पाद केवल Re(s) > 3/2 के लिए [[ पूर्ण अभिसरण | पूर्ण अभिसरण]] करता है। हासे का अनुमान पुष्टि करता है कि एल-फलन पूरे सम्मिश्र समतल में एक [[ विश्लेषणात्मक निरंतरता | विश्लेषणात्मक निरंतरता]] को स्वीकार करता है और किसी भी एस, एल (ई, एस) से एल (ई, 2 - एस) से संबंधित एक [[ कार्यात्मक समीकरण | कार्यात्मक समीकरण]] को संतुष्ट करता है। 1999 में यह शिमुरा-तानियामा-वेइल अनुमान के प्रमाण के परिणाम के रूप में दिखाया गया था, जो दावा करता है कि क्यू पर प्रत्येक अर्धवृत्ताकार वक्र एक [[ मॉड्यूलर वक्र | प्रमापीय  वक्र]] है, जिसका अर्थ है कि इसका एल-फलन [[ मॉड्यूलर फॉर्म |प्रमापीय रूप]] का एल-फलन है। जिसका विश्लेषणात्मक निरंतरता ज्ञात है। इसलिए कोई भी किसी भी सम्मिश्र संख्या s पर L(E, s) के मानों के बारे में क्रिया कर सकता है।

s=1 पर (परिमित होने पर संचालक उत्पाद को त्याग दिया जा सकता है), एल-फलन बन जाता है

:<math>L(E(\mathbf{Q}), 1) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-1} + p^{-1}\right)^{-1} = \prod_{p\not\mid N} \frac{p}{p - a_p + 1} = \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}</math>
बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान वक्र के अंकगणित को इस एल-फ़लन के व्यवहार के लिए एस = 1 से संबंधित करता है। यह पुष्टि करता है कि एल-फ़लन का लुप्त क्रम एस = 1 पर ई के रैंक के बराबर है अर्धवृत्ताकार वक्र से जुड़ी कई भविष्यवाणी करता है एल (ई, एस) की लॉरेंट श्रृंखला की अवधि उस बिंदु पर अर्धवृत्ताकार वक्र से जुड़ी कई मात्राओं के संदर्भ में है। 

[[ रीमैन परिकल्पना | रीमैन परिकल्पना]] की तरह, बीएसडी अनुमान की सच्चाई के कई परिणाम होंगे, जिनमें निम्नलिखित दो सम्मिलित हैं:
* एक [[ सर्वांगसम संख्या |सर्वांगसम संख्या]]  को एक विषम [[ वर्ग-मुक्त पूर्णांक |वर्ग-मुक्त पूर्णांक]]  n के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो परिमेय भुजाओं की लंबाई वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है। यह ज्ञात है कि n एक सर्वांगसम संख्या है यदि केवल अर्धवृत्ताकार वक्र <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> अनंत क्रम का एक तर्कसंगत बिंदु है; बीएसडी मानते हुए, यह इसके एल-फलन के बराबर है जिसमें एस = 1 पर शून्य है। टनल के प्रमेय ने एक संबंधित परिणाम दिखाया है: बीएसडी मानते हुए, एन एक सर्वांगसम संख्या है यदि केवल पूर्णांक के त्रिगुणों की संख्या (x, y, z) समाधान <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> त्रिगुणों की संख्या का दोगुना <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math> है।  इस कथन में सुविधा यह है कि स्थिति की जांच करना आसान है।<ref>{{Harvard citations|author=Koblitz|year=1993|nb=yes}}</ref>
*एक अलग दिशा में, कुछ विश्लेषणात्मक तरीके कुछ एल-फलन के लिए [[ महत्वपूर्ण पट्टी | महत्वपूर्ण भाग]] के केंद्र में शून्य के क्रम के अनुमान के लिए अनुमति देते हैं। बीएसडी को स्वीकार करते हुए, ये अनुमान संबंधित अर्धवृत्ताकार वक्रों के श्रेणी के पद के बारे में जानकारी के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए [[ सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना |सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना]] और बीएसडी को मानते हुए, वक्रों की औसत पद  <math>y^2=x^3+ax+b</math> 2 से छोटी है।<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |title=अण्डाकार वक्रों की औसत विश्लेषणात्मक रैंक|journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 |arxiv=math/0305114 |s2cid=15216987 }}</ref>


== सीमित क्षेत्रों पर अर्धवृत्ताकार वक्र ==
{{Further|एबेलियन प्रकार का अंकगणित }}

[[File:Elliptic curve on Z61.svg|thumb|right|upright=1.2|अर्धवृत्ताकार वक्र y . के समकोण बिंदुओं का समुच्चय<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> - x परिमित क्षेत्र 'F' पर<sub>61</sub>.]]मान लें कि K = 'F'<sub>''q''</sub> q तत्वों के साथ सीमित क्षेत्र है और E एक अर्धवृत्ताकार वक्र है जिसे K से परिभाषित किया गया है। जबकि एक अर्धवृत्ताकार वक्र E के परिमेय बिन्दुओ की सटीक संख्या K पर सामान्य रूप से गणना करना कठिन है, अर्धवृत्ताकार वक्रों पर हैस का प्रमेय निम्नलिखित असमानता देता है:
:<math>|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}</math>
(जिसमें अनंत पर बिंदु सम्मिलित है)।

दूसरे शब्दों में, वक्र पर बिंदुओं की संख्या क्षेत्र में तत्वों की संख्या के अनुपात में बढ़ती है। इस तथ्य को कुछ सामान्य सिद्धांत की सहायता से समझा और सिद्ध किया जा सकता है; उदाहरण के लिए स्थानीय जीटा फलन और एटेल कोहोमोलॉजी देखें।

[[File:Elliptic curve on Z89.svg|thumb|upright=1.2|अर्धवृत्ताकार वक्र y . के समकोण बिंदुओं का समुच्चय<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> - x परिमित क्षेत्र 'F' पर<sub>89</sub>.]]बिंदुओं का समुच्चय E('F'<sub>''q''</sub>) एक परिमित आबेलियन समूह है। यह हमेशा चक्रीय होता है या दो चक्रीय समूहों का गुणनफल होता है, यह निर्भर करता है कि q सम है या विषम। उदाहरण के लिए,<ref>See {{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 158}}</ref> वक्र द्वारा परिभाषित
:<math>y^2 = x^3 - x</math>
इस क्षेत्र पर F<sub>71</sub>  के 72 अंक (71 एफ़िन निर्देशांक (0,0) और अनंत पर एक बिंदु सम्मिलित है) हैं, जिनकी समूह संरचना Z/2Z × Z/36Z द्वारा दी गई है। एक विशिष्ट वक्र पर अंकों की संख्या की गणना शूफ के कलन विधि से की जा सकती है।

F<sub>''q''</sub>  के क्षेत्र विस्तार पर वक्र का अध्ययन 'F<sub>''q''</sub>,' पर ई के स्थानीय जेटा फलन के प्रारंभ से सुगम होता है, जिसे एक उत्पादक श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है (ऊपर भी देखें)
:<math>Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)</math>
जहां क्षेत्र K<sub>n</sub> डिग्री n K= 'F<sub>''q''</sub>' का (समरूपता तक अद्वितीय) विस्तार (अर्थात 'F')<sub>''q<sup>n</sup>''</sub>) है। 

जीटा फलन टी में एक परिमेय फलन है। इसे देखने के लिए एक पूर्णांक है <math>a_n</math> जैसे कि

:<math>\#E_q = 1 - a_n + q^n = 1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n</math>
सम्मिश्र संख्या के साथ <math>\alpha</math> और जहां सम्मिश्र संयुग्म है, हम चुन सकते हैं <math>\alpha</math> ताकि इसका निरपेक्ष मान हो <math>\sqrt{q}</math>, वह है <math>\alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta}</math>, और कि <math>\cos\theta=\frac{a_n}{2\sqrt q}</math>. दूसरे शब्दों मे,

<math>\alpha</math> को तब स्थानीय जेट फलन मे इस्तेमाल किया जा सकता है क्योंकि इसके मान जब n की विभिन्न प्रभाव तक बढ़ाए जाते है, तो उपयोग हस्से के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, जैसा कि <math>2\sqrt{q}</math> का न्यूनतम मान है <math>q^n+q^{1-n}</math>.

स्थानीय जीटा फलन बन जाता है,

:<math>Z_E(T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  \left(1 - \alpha^n - \bar\alpha^n + q^n\right){T^n\over n} \right)</math>
:<math>Z_E(T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty}  {T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\alpha^n{T^n\over n} - \sum_{n=1}^{\infty}\bar\alpha^n{T^n\over n} + \sum_{n=1}^{\infty}q^n{T^n\over n} \right)</math>
:<math>Z_E(T) = \exp \left(-\ln(1-T) + \ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T) - \ln(1-qT) \right)</math>
:<math>Z_E(T) = \exp \left(\ln\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)} \right)</math>
:<math>Z_E(T) =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)}</math>
फिर <math>(1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T)  = 1 - aT + qT^2</math>, तो अंत में

:<math>Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}</math>
उदाहरण के लिए,<ref>{{Harvard citations|last=Koblitz|year=1994|nb=yes|loc=p. 160}}</ref> E का जीटा फलन : y<sup>2</sup> + y = x<sup>3</sup> के क्षेत्र पर F<sub>2</sub> द्वारा दिया गया है
:<math>\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}</math>
जो इस प्रकार है:
:<math> \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{विषम} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ सम} \end{cases} </math>
कार्यात्मक समीकरण है

:<math>Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = \frac{1 - a\frac{1}{qT} + q\left(\frac{1}{qT}\right)^2}{(1 - q\frac{1}{qT})(1 - \frac{1}{qT})}= \frac{q^2T^2 - aqT + q}{(qT - q)(qT - 1)} = Z(E(K), T)</math>

[[File:Elliptic curve on Z71.svg|thumb|right|upright=1.5|अर्धवृत्ताकार वक्र y . के समकोण बिंदुओं का समुच्चय<sup>2</sup> = x<sup>3</sup> - x परिमित क्षेत्र 'F' पर<sub>71</sub>.]]सेटों-टेटअनुमान इस बारे में एक कथन है कि त्रुटि पद  <math>2\sqrt{q}</math> हासे के प्रमेय में अलग-अलग अभाज्य q के साथ कैसे भिन्न होता है, यदि 'Q' के ऊपर एक अर्धवृत्ताकार वक्र E घटाया जाता है सापेक्ष q है। 2006 में टेलर, हैरिस और शेफर्ड-बैरोन के परिणामों के कारण यह (लगभग सभी वक्रों के लिए) सिद्ध हो गया था,<ref>{{cite journal |first1=M. |last1=Harris |first2=N. |last2=Shepherd-Barron |first3=R. |last3=Taylor |title=कैलाबी-याउ किस्मों और संभावित ऑटोमॉर्फी का एक परिवार|journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=171 |issue=2 |pages=779–813|year=2010 |doi=10.4007/annals.2010.171.779 |doi-access=free }}</ref> और त्रुटि शर्तें को समान रूप से वितरित किया जाता हैं।

परिमित क्षेत्रों पर अर्धवृत्ताकार वक्र विशेष रूप से[[ क्रिप्टोग्राफी ]]में और बड़े पूर्णांकों के [[ गुणन ]] के लिए लागू होते हैं। ये एल्गोरिदम प्रायः ई के बिंदुओं पर समूह संरचना का उपयोग करते हैं। एल्गोरिदम जो सामान्य समूहों पर लागू होते हैं, उदाहरण के लिए परिमित क्षेत्रों में उलटा तत्वों का समूह, 'एफ' *<sub>''q''</sub>, इस प्रकार एक अर्धवृत्ताकार वक्र पर बिंदुओं के समूह पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ असतत लघुगणक ]] एक ऐसा एल्गोरिथम है। इसमें रुचि यह है कि अर्धवृत्ताकार वक्र चुनने से q (और इस प्रकार 'F<sub>''q''</sub>' में इकाइयों का समूह) चुनने की तुलना में अधिक लचीलेपन की अनुमति देता है) इसके अलावा, अर्धवृत्ताकार वक्रों की समूह संरचना सामान्यतः अधिक जटिल होती है।



==एक सामान्य क्षेत्र पर अर्धवृत्ताकार वक्र ==
अर्धवृत्ताकार वक्रों को किसी भी क्षेत्र K पर परिभाषित किया जा सकता है; अर्धवृत्ताकार वक्र की औपचारिक परिभाषा K पर श्रेणी 1 के साथ एक व्युत्क्रमणीय प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्र है और K पर परिभाषित एक विशिष्ट बिंदु के साथ संपन्न है।

यदि K की विशेषता न तो 2 और न ही 3 है, तो K पर प्रत्येक अर्धवृत्ताकार वक्र को रूप में लिखा जा सकता है
:<math>y^2 = x^3 - px - q</math>
चर के रैखिक परिवर्तन के बाद, यहाँ p और q, K के ऐसे अवयव हैं जैसे कि दायीं ओर बहुपद x<sup>3</sup> − px − q का कोई दोहरा मूल नहीं है। यदि विशेषता 2 या 3 है, तो अधिक पदों को रखने की आवश्यकता है: विशेषता 3 में, सबसे सामान्य रूप का समीकरण है
:<math>y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6</math>
मध्यस्थ स्थिरांक b <sub>2</sub>, बी<sub>4</sub>, बी<sub>6</sub> जैसे कि दायीं ओर बहुपद की अलग मूल हों (ऐतिहासिक कारणों से संकेतन चुना जाता है)। विशेषता 2 में, इतना भी संभव नहीं है, और सबसे सामान्य समीकरण है

:<math>y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6</math>
लेकिन यह जिस विविधता को परिभाषित करता है वह व्युत्क्रमणीय है। यदि विशेषता एक रुकावट नहीं थी, तो प्रत्येक समीकरण चर के उपयुक्त रैखिक परिवर्तन से पूर्ववर्ती [[ तक |तक]] कम हो जाएगा।

सामान्यतः वक्र को उन सभी बिंदुओं (x, y) का समूह माना जाता है जो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करते हैं और जैसे कि x और y दोनों K के बीजगणितीय समापन के तत्व हैं। वक्र के बिंदु जिनके निर्देशांक दोनों K से संबंधित हैं, उन्हे K-तर्कसंगत बिन्दु कहा जाता है। 

पूर्ववर्ती परिणामो मे से कई तब मान्य होते हैं जब E की परिभाषा का क्षेत्र एक [[ संख्या क्षेत्र ]] K होता है, अर्थात 'Q' का एक परिमित क्षेत्र विस्तार विशेष रूप से, K पर परिभाषित अर्धवृत्ताकार वक्र E के K-तर्कसंगत बिंदुओं का समूह E(K) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, जो ऊपर दिए गए मोर्डेल-वेइल प्रमेय को सामान्य करता है। लॉइक मेरेल के कारण एक प्रमेय से पता चलता है कि किसी दिए गए पूर्णांक d के लिए, (समरूपता तक) केवल सूक्ष्म रूप से कई समूह होते हैं जो E(K) के विघटन समूहों के रूप में एक अर्धवृत्ताकार वक्र के लिए हो सकते हैं, जो एक संख्या क्षेत्र K की डिग्री d पर परिभाषित होता है। अधिक सटीक रूप से,<ref>{{cite journal |first=L. |last=Merel | author-link=Loïc Merel | title=संख्या क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों के मरोड़ के लिए सीमा| language=fr | journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=124 |year=1996 |issue=1–3 |pages=437–449 | zbl=0936.11037 | doi=10.1007/s002220050059 |bibcode=1996InMat.124..437M |s2cid=3590991 }}</ref> एक संख्या बी (डी) है जैसे कि किसी भी अर्धवृत्ताकार वक्र ई के लिए डिग्री डी के संख्या क्षेत्र के पर परिभाषित किया गया है, ई (के) का कोई भी विघटन बिंदु क्रम (समूह सिद्धांत) बी (डी) से कम है। प्रमेय प्रभावी है: d > 1 के लिए, यदि एक विघटन बिंदु क्रम p का है, p अभाज्य के साथ, तो
:<math>p < d^{3d^2}</math>
अभिन्न बिंदुओं के लिए, सीगल का प्रमेय निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत करती है: मान लीजिए ई को एक अर्धवृत्ताकार वक्र है जो एक संख्या क्षेत्र K, x और y वीयरस्ट्रैस निर्देशांक पर परिभाषित है। तब E(K) के केवल सीमित रूप से बहुत से बिंदु हैं जिनका x-निर्देशांक पूर्णांक O<sub>''K''</sub>. .के वलय में है। 

हस्से-वील जेटा फलन और बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान के गुणों को भी इस अधिक सामान्य स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है।

== सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धवृत्ताकार वक्र ==
{{Further| सम्मिश्र गुणन }}
[[Image:Lattice torsion points.svg|right|thumb|upright=1.2|सम्मिश्र संख्याओं पर एक अर्धवृत्ताकार वक्र एक जालक द्वारा सम्मिश्र तल के भागफल के रूप में प्राप्त होता है {{math|Λ}}, यहाँ दो मूलभूत अवधियों द्वारा फैला हुआ है {{math|''ω''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''ω''<sub>2</sub>}}. जाली के अनुरूप चार-मरोड़ भी दिखाया गया है {{math|{{sfrac|1|4}}Λ}} युक्त {{math|Λ}}.]]जटिल प्रक्षेपी तल में स्थूलक के अन्तːस्थापन के रूप में अर्धवृत्ताकार वक्रों का निर्माण स्वाभाविक रूप से वीयरस्ट्रैस के अर्धवृत्ताकार कार्यों के एक असामान्य गुण से होता है। ये फलन उनके पहले  व्युत्पन्न सूत्र द्वारा संबंधित हैं

:<math>\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3</math>
यहां, {{math|''g''<sub>2</sub>}} तथा {{math|''g''<sub>3</sub>}} स्थिरांक हैं; {{math|℘(''z'')}} वीयरस्ट्रैस अर्धवृत्ताकार फलन है और इसका व्युत्पन्न   {{math|℘'(''z'')}} है। यह स्पष्ट होना चाहिए कि यह संबंध एक अर्धवृत्ताकार वक्र (जटिल संख्याओं पर) के रूप में है। वीयरस्ट्रास फलन दोगुने आवधिक होते हैं  अर्थात्, वे एक जाली(समूह) के संबंध में आवधिक हैं {{math|Λ}}; संक्षेप में, वीयरस्ट्रास फलन को स्वाभाविक रूप से एक स्थूलक {{math|1=''T'' = '''C'''/Λ}}. पर परिभाषित किया जाता है। इस स्थूलक को मानचित्र के माध्यम से जटिल प्रक्षेप्य तल में अंतःस्थापित किया जा सकता है

:<math>z \mapsto \left[1 : \wp(z) : \tfrac12\wp'(z)\right]</math>
यह नक्शा स्थूलक का एक समूह समरूपता है (इसकी प्राकृतिक समूह संरचना के साथ माना जाता है) घन वक्र पर तार और स्पर्शरेखा समूह नियम के साथ जो इस मानचित्र की छवि है। यह स्थूलक से घनीय वक्र तक [[ रीमैन सतह |रीमैन सतहो]] का एक समरूप भी है, इसलिए स्थलीय रूप से, एक अर्धवृत्ताकार वक्र एक स्थूलक है। अगर जाली {{math|Λ}} एक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या {{mvar|c}} से गुण करके जाली  {{math|''c''Λ}} से संबंधित है, तो संगत वक्र समरूपी होते हैं। अर्धवृत्ताकार वक्रों की समरूपता कक्षाए j-अपरिवर्तनीय द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। 

समरूपता वर्गों को सरल तरीके से भी समझा जा सकता है। स्थिरांक {{math|''g''<sub>2</sub>}} तथा {{math|''g''<sub>3</sub>}}, जिसे [[ जे-अपरिवर्तनीय |प्रतिरूपकीय अपरिवर्तनीय]] कहा जाता है, विशिष्ट रूप से जाली द्वारा, अर्थात स्थूलक की संरचना द्वारा निर्धारित किया जाता है। हालांकि, सभी वास्तविक बहुपद सम्मिश्र संख्याओं पर रैखिक कारकों में पूरी तरह से गुणनखंडित होते हैं, क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र वास्तविको का बीजगणितीय समापन होता है। अतः अर्धवृत्ताकार वक्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है

:<math>y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)</math>
एक खोज है,
:<math>\begin{align}
g_2' &= \frac{\sqrt[3]4}{3} \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right) \\[4pt]
g_3' &= \frac{1}{27} (\lambda + 1)\left(2\lambda^2 - 5\lambda + 2\right)
\end{align}</math>
तथा

:<math>j(\tau) = 1728\frac{{g_2'}^3}{{g_2'}^3 - 27{g_3'}^2} = 256\frac{ \left(\lambda^2 - \lambda + 1\right)^3}{\lambda^2\left(\lambda - 1\right)^2}</math>
{{mvar|j}}-अपरिवर्तनीय {{math|''j''(''τ'')}} तथा {{math|''λ''(''τ'')}} के साथ  कभी-कभी [[ मॉड्यूलर लैम्ब्डा फ़ंक्शन | प्रतिरूपकीय लैम्ब्डा फलन]] कहा जाता है। उदाहरण के लिए, माना  {{math|1=''τ'' = 2''i''}}, फिर {{math|1=''λ''(2''i'') = (−1 + {{sqrt|2}})<sup>4</sup>}} जो ये दर्शाता है ''g''′<sub>2</sub>, ''g''′<sub>3</sub>, और इसीलिए ''g''′<sub>2</sub>3− 27''g''′<sub>3</sub>2 उपरोक्त सभी सूत्र[[ बीजीय संख्या | बीजीयगणितीय संख्या]]एं हैं यदि {{mvar|τ}} एक [[ काल्पनिक द्विघात क्षेत्र ]]सम्मिलित है। वास्तव में, यह पूर्णांक  {{math|1=''j''(2''i'') = 66<sup>3</sup> = {{val|287496}}}} उत्पन्न करता है। 

इसके विपरीत, प्रतिरूपकीय विवेचक
:<math>\Delta(\tau) = g_2(\tau)^3 - 27g_3(\tau)^2 = (2\pi)^{12}\,\eta^{24}(\tau)</math>
आम तौर पर एक [[ पारलौकिक संख्या |पारलौकिक संख्या]] है। विशेष रूप से, डेडेकिन्ड एटा फलन {{math|''η''(2''i'')}} मान है। 

:<math>\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac14\right)}{2^\frac{11}{8} \pi^\frac34}</math>
ध्यान दें कि [[ एकरूपता प्रमेय ]] का तात्पर्य है कि श्रेणी की प्रत्येक [[ कॉम्पैक्ट स्पेस |संक्षिप्त]] रीमैन सतह को टोरस के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह एक अर्धवृत्ताकार वक्र पर विमोटन बिन्दुओ को आसानी से समझने की अनुमति देता है: यदि जाली {{math|Λ}} मुख्य आवर्त द्वारा फैलाया गया है {{math|''ω''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''ω''<sub>2</sub>}}, फिर {{mvar|n}}-विमोटन बिन्दु रूप के अंक (समतुल्यता वर्ग) हैं
:<math> \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2</math>
पूर्णांकों के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} सीमा में {{math|0 ≤ (''a'', ''b'') < ''n''}}.

यदि

:<math>E : y^2=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>
सम्मिश्र संख्याओं पर एक अर्धवृत्ताकार वक्र है और

:<math>a_0=\sqrt{e_1-e_3}, \qquad b_0=\sqrt{e_1-e_2}, \qquad c_0=\sqrt{e_2-e_3},</math>
फिर मुख्य आवर्त की एक जोड़ी {{mvar|E}} द्वारा बहुत तेजी से गणना की जा सकती है

:<math>\omega_1=\frac{\pi}{\operatorname{M}(a_0,b_0)}, \qquad \omega_2=\frac{\pi}{\operatorname{M}(c_0,ib_0)}</math>

{{math|M(''w'', ''z'')}} का अंकगणित-ज्यामितीय माध्य है {{mvar|w}} तथा {{mvar|z}}. अंकगणित-ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्ति के प्रत्येक चरण पर, के चिह्न {{mvar|z<sub>n</sub>}} ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्तियों की अस्पष्टता से उत्पन्न होने वाले को इस प्रकार चुना जाता है कि {{math|{{abs|''w<sub>n</sub>'' − ''z<sub>n</sub>''}} ≤ {{abs|''w<sub>n</sub>'' + ''z<sub>n</sub>''}}}} जहां {{mvar|w<sub>n</sub>}} तथा {{mvar|z<sub>n</sub>}} क्रमशः {{mvar|w}} तथा {{mvar|z}} के अलग अलग अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य पुनरावृत्तियो को दर्शाते है, जब {{math|1={{abs|''w<sub>n</sub>'' − ''z<sub>n</sub>''}} = {{abs|''w<sub>n</sub>'' + ''z<sub>n</sub>''}}}}, एक अतिरिक्त शर्त है कि {{math|Im<big>(</big>{{sfrac|''z<sub>n</sub>''|''w<sub>n</sub>''}}<big>)</big> > 0}}.<ref>{{Cite web|url=http://etheses.whiterose.ac.uk/20887/1/Final.pdf|title=अंकगणित-ज्यामितीय माध्य और जीनस 1 और 2 के वक्रों की अवधि|last=Wing Tat Chow|first=Rudolf|date=2018|website=White Rose eTheses Online|page=12}}</ref>

सम्मिश्र संख्याओं के पर, प्रत्येक अर्धवृत्ताकार में नौ विभक्ति बिंदु होते हैं। इनमें से दो बिंदुओं से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा भी एक तीसरे विभक्ति बिंदु से होकर गुजरती है; इस तरह से बने नौ बिंदु और 12 रेखाएं हेस्से के विन्यास का बोध कराती हैं।

==एल्गोरिदम जो अर्धवृत्ताकार वक्रों का उपयोग करते हैं ==
परिमित क्षेत्रों पर अर्धवृत्ताकार वक्रों का उपयोग कुछ प्रच्छन्नालेखी अनुप्रयोगों के साथ-साथ पूर्णांक गुणनखंड के लिए भी किया जाता है। विशिष्ट रूप से, इन अनुप्रयोगों में सामान्य विचार यह है कि एक ज्ञात एल्गोरिदम जो कुछ सीमित समूहों का उपयोग करता है,उसे अर्धवृत्ताकार वक्रों के तर्कसंगत बिंदुओं के समूहों का उपयोग करने के लिए फिर से लिखा जाता है। अधिक के लिए यह भी देखें:
* अर्धवृत्ताकार वक्र क्रिप्टोग्राफी
* अर्धवृत्ताकार-वक्र डिफी-हेलमैन कुंजी विनिमय
* [[ सुपरसिंगुलर आइसोजेनी कुंजी एक्सचेंज |सुपरसिंगुलर आइसोजेनी कुंजी विनिमय]]
*अर्धवृत्ताकार वक्र डिजिटल हस्ताक्षर [[ कलन विधि ]]
* [[ EdDSA ]] डिजिटल हस्ताक्षर एल्गोरिथम
* [[ दोहरी ईसी डीआरबीजी ]] यादृच्छिक संख्या जनक 
* [[ लेनस्ट्रा अण्डाकार-वक्र गुणनखंड | लेनस्ट्रा अर्धवृत्ताकार-वक्र गुणनखंड]]
* अर्धवृत्ताकार वक्र प्रारंभिकता सिद्ध करना

==अर्धवृत्ताकार वक्रों का वैकल्पिक निरूपण ==
* [[ अंडाकार वक्र का हेसियन रूप |अर्धवृत्ताकार वक्र का हेसियन रूप]]
* [[ एडवर्ड्स वक्र ]]
* मुड़ा हुआ वक्र 
* [[ ट्विस्टेड हेसियन कर्व्स | मुड़ा हुआ हेसियन वक्र]]
* [[ मुड़ एडवर्ड्स वक्र | मुडा हुआ एडवर्ड्स वक्र]]
* दोहरीकरण-उन्मुख डोचे-इकार्ट-कोहेल वक्र
* तिहरा-उन्मुख  डोचे-इकार्ट-कोहेल कर्व
* [[ जैकोबियन वक्र ]]
* [[ मांटगोमेरी वक्र ]]

==यह भी देखें==
* [[ अंकगणितीय गतिकी ]]
* [[ अण्डाकार बीजगणित | अर्धवृत्ताकार बीजगणित]]
*[[ अण्डाकार सतह | अर्धवृत्ताकार सतह]]
* [[ कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों की तुलना ]]
* [[ आइसोजेनी ]]
* [[ जम्मू-लाइन ]]
* [[ स्तर संरचना (बीजगणितीय ज्यामिति) ]]
* [[ मॉड्यूलरिटी प्रमेय ]]
* अर्धवृत्ताकार वक्रों का मोडुली ढेर
* नागेल-लुत्ज़ प्रमेय
* रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला
* फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist|30em}}


==संदर्भ==
[[Serge Lang]], in the introduction to the book cited below, stated that "It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)" The following short list is thus at best a guide to the vast expository literature available on the theoretical, algorithmic, and cryptographic aspects of elliptic curves.
* {{cite book
 | author = I. Blake |author2=G. Seroussi |author3=N. Smart
 | year = 2000
 | title = Elliptic Curves in Cryptography
 | series=LMS Lecture Notes
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn=0-521-65374-6
 }}
* {{citation |title=Three Fermat Trails to Elliptic Curves |first=Ezra |last=Brown |s2cid=5591395 |journal=The College Mathematics Journal |volume=31 |issue=3 |year=2000 |pages=162–172 |doi=10.1080/07468342.2000.11974137 }}, winner of the MAA writing prize the [[George Pólya Award]]
* {{cite book
 | author = Richard Crandall
 |author2=Carl Pomerance 
 | year = 2001
 | title = Prime Numbers: A Computational Perspective
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 1st
 | isbn=0-387-94777-9
 | chapter = Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic
 | pages = 285–352
 |author2-link=Carl Pomerance 
 |author-link=Richard Crandall 
 }}
* {{cite book
 | first=John | last=Cremona  | author-link = John Cremona
 | year = 1997 | edition=2nd
 | title = Algorithms for Modular Elliptic Curves
 | publisher = Cambridge University Press
 | url = http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona//book/fulltext/index.html
 | isbn=0-521-59820-6
 }}
*{{cite book
 |    author = Darrel Hankerson, [[Alfred Menezes]] and [[Scott Vanstone]]
 |      year = 2004
 |     title = Guide to Elliptic Curve Cryptography
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
 |        isbn = 0-387-95273-X
 |       url = http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/ecc/
 }}
* {{Hardy and Wright}}  Chapter XXV
* {{Cite book | last1=Hellegouarch | first1=Yves | title=Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles | publisher=Dunod | location=Paris | isbn=978-2-10-005508-1 | year=2001 }}
* {{cite book
 | first=Dale | last=Husemöller
 | author-link=Dale Husemöller
 | year = 2004
 | title = Elliptic Curves
 | edition = 2nd
 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | volume=111
 | publisher = Springer
 | isbn=0-387-95490-2
 }}
* {{cite book
 | author = Kenneth Ireland | author-link = Kenneth Ireland
 |author2=Michael I. Rosen 
 | year = 1998
 | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory
 | volume=84 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | publisher = Springer
 | edition = 2nd revised
 | chapter = Chapters 18 and 19
 | isbn=0-387-97329-X
 | author2-link = Michael I. Rosen
 }}
* {{cite book
 | first = Anthony W. |last=Knapp | author-link = Anthony W. Knapp
 | orig-year = 1992 |year=2018 |url=https://books.google.com/books?id=Xf9ZDwAAQBAJ
 | title = Elliptic Curves
 | series = Mathematical Notes | volume=40
 | publisher = Princeton University Press |isbn=9780691186900
 }}
* {{Cite book
 | last = Koblitz |first=Neal | author-link = Neal Koblitz
 | year = 1993 | edition=2nd
 | title = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=97
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97966-2
 }}
* {{Cite book
 | last = Koblitz |first = Neal | author-link = Neal Koblitz
 | year = 1994
 | title = A Course in Number Theory and Cryptography
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=114
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-387-94293-9
 | chapter = Chapter 6
 }}
* {{cite book | author=Serge Lang | author-link=Serge Lang | title=Elliptic curves: Diophantine analysis | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=231 | publisher=Springer-Verlag | year=1978 | isbn=3-540-08489-4 }}
* {{cite book|author=Henry McKean |author2=Victor Moll|author-link2=Victor Hugo Moll
 |title=Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic
 |publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-65817-9|year=1999}}
* {{cite book | author1=Ivan Niven | author2=Herbert S. Zuckerman | author3=Hugh Montgomery | author-link3=Hugh Montgomery (mathematician) | title=An introduction to the theory of numbers | chapter-url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive | chapter-url-access=registration | edition=5th | publisher=John Wiley | year=1991 | isbn=0-471-54600-3 | chapter=Section 5.7}}
* {{Cite book
 | last = Silverman | first=Joseph H. | author-link=Joseph H. Silverman
 | year = 1986
 | title = The Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=106
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-96203-4
 }}
* {{cite book
 | author = Joseph H. Silverman | author-link=Joseph H. Silverman
 | year = 1994
 | title = Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=151
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-94328-5
 }}
* {{cite book
 | author = Joseph H. Silverman | author-link=Joseph H. Silverman
 |author2=John Tate 
 | year = 1992
 | title = Rational Points on Elliptic Curves
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97825-9
 | author2-link=John Tate (mathematician)
 }}
* {{cite journal | author=John Tate | author-link=John Tate (mathematician) | title=The arithmetic of elliptic curves | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=23 | pages=179–206 | year=1974 | doi=10.1007/BF01389745 | issue=3–4 | bibcode=1974InMat..23..179T | s2cid=120008651 }}
* {{cite book
 | author = Lawrence Washington | year = 2003
 | title = Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography
 | url = https://archive.org/details/ellipticcurvesnu0000wash | url-access = registration | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | isbn=1-58488-365-0
 }}


==बाहरी संबंध==
{{commons|Elliptic curve|Elliptic curve}}
{{wikiquote}}
* [http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/ LMFDB: Database of Elliptic Curves over Q]
* {{springer|title=Elliptic curve|id=p/e035450}}
* {{MathWorld | title = Elliptic Curves | urlname = EllipticCurve }}
* [https://planetmath.org/thearithmeticofellipticcurves The Arithmetic of elliptic curves] from PlanetMath
* [http://danher6.100webspace.net/ecc#ER_interactivo Interactive elliptic curve over R] and [http://danher6.100webspace.net/ecc#EFp_interactivo over Zp] – web application that requires HTML5 capable browser.

{{Algebraic curves navbox}}

{{PlanetMath attribution|id=3206|title=Isogeny}}

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Elliptic Curve}}

[[Category:AC with 0 elements|Elliptic Curve]]
[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Elliptic Curve]]
[[Category:Articles with short description|Elliptic Curve]]
[[Category:CS1 errors]]
[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
[[Category:Collapse templates|Elliptic Curve]]
[[Category:Created On 10/11/2022|Elliptic Curve]]
[[Category:Machine Translated Page|Elliptic Curve]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Elliptic Curve]]
[[Category:Pages with script errors|Elliptic Curve]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Elliptic Curve]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Elliptic Curve]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates generating microformats|Elliptic Curve]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly|Elliptic Curve]]
[[Category:Templates using TemplateData|Elliptic Curve]]
[[Category:Wikipedia articles incorporating text from PlanetMath|अर्धवृत्ताकार वक्र]]
[[Category:Wikipedia metatemplates|Elliptic Curve]]
[[Category:अण्डाकार वक्र| ]]
[[Category:विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत|Elliptic Curve]]
[[Category:समूह सिद्धांत|Elliptic Curve]]