View source for अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह

{{refimprove|date=फरवरी 2014}}
रैखिक बीजगणित में, एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूह[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों के साथ एक गैर-[[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग]] [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] है जहां: यदि स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो पंक्तियां [[ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर]] हैं; लेकिन यदि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है, तो स्तंभ ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर हैं।

समान रूप से, एक गैर-वर्ग आव्यूह ''A'' अर्ध-ऑर्थोगोनल है यदि दोनों में से एक है

:<math>A^{\operatorname{T}} A = I \text{ or } A A^{\operatorname{T}} = I. \,</math><ref>Abadir, K.M., Magnus, J.R. (2005). Matrix Algebra. Cambridge University Press.</ref><ref>Zhang, Xian-Da. (2017). Matrix analysis and applications. Cambridge University Press.</ref><ref>Povey, Daniel, et al. (2018). [http://dx.doi.org/10.21437/Interspeech.2018-1417 "Semi-Orthogonal Low-Rank Matrix Factorization for Deep Neural Networks."] Interspeech.</ref>
निम्नलिखित में, उस घटना पर विचार करें जहां A, m > n के लिए एक m × n आव्यूह है, तो

:<math>A^{\operatorname{T}} A = I_n, \text{ and}</math>
:<math>A A^{\operatorname{T}} = \text{the matrix of the orthogonal projection onto the column space of } A.</math>
यह तथ्य कि <math display=inline>A^{\operatorname{T}} A = I_n</math> [[आइसोमेट्री]] गुण का तात्पर्य है

:<math>\|A x\|_2 = \|x\|_2 \,</math> 'R<sup>n</sup>' में सभी x के लिए.

उदाहरण के लिए, <math>\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}</math> एक अर्ध-ऑर्थोगोनलआव्यूहहै।

एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह A [[अर्ध-एकात्मक]] है (या तो A<sup>†</sup>A = I या AA<sup>†</sup> = I) और या तो बाएँ-उलटा या दाएँ-उलटा (बाएँ-उलटा यदि इसमें स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियाँ हैं, अन्यथा दाएँ-उलटा)। बाईं ओर से प्रयुक्त एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में, स्तंभों की तुलना में अधिक पंक्तियों वाला एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह वैक्टर के [[डॉट उत्पाद|बिंदु उत्पाद]] को संरक्षित करता है, और इसलिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक आइसोमेट्री के रूप में कार्य करता है, जैसे कि रोटेशन (गणित) या [[प्रतिबिंब (गणित)]]।

==संदर्भ==
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