View source for अर्ध-घातांकीय फलन

गणित में, '''अर्ध-घातांकीय फलन''' किसी घातांकीय फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] होता है। अर्थात [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f</math> ऐसा है कि <math>f</math> स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:<math display=block>f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,</math>कुछ स्थिरांक के लिए {{nowrap|<math>a</math> and <math>b</math>.}} है:{{r|sqrtexp|miltersen}}

==संवृत-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता==
यदि कोई फलन<math>f</math> को मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर <math>f\bigl(f(x)\bigr)</math> या तो उप घातीय

या सुपर घातीय है।{{r|transseries}} इस प्रकार, हार्डी {{mvar|L}}-फलन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता है।

==निर्माण==
किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है <math>f(f(x))</math> के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए <math>f</math> विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए <math>A</math> विवृत अंतराल में <math>(0,1)</math> और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते [[विशेषण फलन|फलन]] के लिए <math>g</math> से <math>[0,A]</math> पर <math>[A,1]</math> इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर <math>f</math> जैसे कि {{nowrap|<math>f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x</math>.{{r|croneu}}}}प्रोग्राम <math>f</math> [[कार्यात्मक समीकरण]] का अद्वितीय समाधान है:<math display=block> f (x) =
\begin{cases}
g (x) & \mbox{if } x \in [0,A], \\
\exp g^{-1} (x) & \mbox{if } x \in (A,1], \\
\exp f ( \ln x) & \mbox{if } x \in (1,\infty), \\
\ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\
\end{cases}
</math>[[File:Half-exponential_function.png|thumb|right|300px|अर्ध-घातांकीय फलन का उदाहरण]]सरल उदाहरण, जो <math>f</math> की ओर ले जाता है प्रत्येक स्थान सतत प्रथम व्युत्पन्न होने पर <math>A=\tfrac12</math> और <math>g(x)=x+\tfrac12</math> होता है, जो इस प्रकार है:
<math display=block> f (x) =
\begin{cases}
\log_e\left(e^x +\tfrac12\right) & \mbox{if } x \le -\log_e 2, \\
e^x - \tfrac12 & \mbox{if } {-\log_e 2} \le x \le 0, \\
x +\tfrac12 & \mbox{if } 0 \le x \le \tfrac12, \\
e^{x-1/2} & \mbox{if } \tfrac12 \le x \le 1 , \\
x \sqrt{e} & \mbox{if } 1 \le x \le \sqrt{e} , \\
e^{x / \sqrt{e}} & \mbox{if } \sqrt{e} \le x \le e , \\
x^{\sqrt{e}} & \mbox{if } e \le x \le e^{\sqrt{e}} , \\
e^{x^{1/\sqrt{e}}}  & \mbox{if } e^{\sqrt{e}} \le x \le e^e , \ldots\\
\end{cases}
</math>

== अनुप्रयोग ==
बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]] में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।{{r|miltersen}}फलन <math>f</math> कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और <math>f^{-1}(x^C)=o(\log x)</math>, प्रत्येक के लिए {{nowrap|every <math>C>0</math>.{{r|razrud}}}}है।  

==यह भी देखें==
*{{annotated link|पुनरावृत्त फलन}}
*{{annotated link|श्रोडर का समीकरण}}
*{{annotated link|हाबिल समीकरण}}

==संदर्भ==
{{reflist|refs=

<ref name=croneu>{{cite journal
 | last1 = Crone | first1 = Lawrence J.
 | last2 = Neuendorffer | first2 = Arthur C.
 | doi = 10.1016/0022-247X(88)90080-7 | doi-access = free
 | issue = 2
 | journal = Journal of Mathematical Analysis and Applications
 | mr = 943525
 | pages = 520–529
 | title = Functional powers near a fixed point
 | volume = 132
 | year = 1988}}</ref>

<ref name=miltersen>{{cite conference
 | last1 = Miltersen | first1 = Peter Bro
 | last2 = Vinodchandran | first2 = N. V.
 | last3 = Watanabe | first3 = Osamu
 | editor1-last = Asano | editor1-first = Takao
 | editor2-last = Imai | editor2-first = Hiroshi
 | editor3-last = Lee | editor3-first = D. T.
 | editor4-last = Nakano | editor4-first = Shin-ichi
 | editor5-last = Tokuyama | editor5-first = Takeshi
 | contribution = Super-polynomial versus half-exponential circuit size in the exponential hierarchy
 | doi = 10.1007/3-540-48686-0_21
 | mr = 1730337
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 | publisher = Springer
 | series = Lecture Notes in Computer Science
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 | volume = 1627
 | year = 1999}}</ref>

<ref name=razrud>{{cite journal
 | last1 = Razborov | first1 = Alexander A. | author1-link = Alexander Razborov
 | last2 = Rudich | first2 = Steven | author2-link = Steven Rudich
 | doi = 10.1006/jcss.1997.1494 | doi-access = free
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Computer and System Sciences]]
 | mr = 1473047
 | pages = 24–35
 | title = Natural proofs
 | volume = 55
 | year = 1997}}</ref>

<ref name=sqrtexp>{{cite journal
 | last = Kneser | first = H. | author-link = Hellmuth Kneser
 | journal = [[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
 | mr = 0035385
 | pages = 56–67
 | title = Reelle analytische Lösungen der Gleichung {{math|''φ''(''φ''(''x'') {{=}} ''e''<sup>''x''</sup>}} und verwandter Funktionalgleichungen
 | url = https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0187?tify%3D%7B%22pages%22%3A%5B62%5D%7D
 | volume = 187
 | year = 1950}}</ref>

<ref name=transseries>{{cite book
 | last = van der Hoeven | first = J.
 | doi = 10.1007/3-540-35590-1
 | isbn = 978-3-540-35590-8
 | mr = 2262194
 | publisher = Springer-Verlag, Berlin
 | series = Lecture Notes in Mathematics
 | title = Transseries and real differential algebra
 | volume = 1888
 | year = 2006}} See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the [[half-integer]] that would be required for a half-exponential function.</ref>

}}


==बाहरी संबंध==
* [https://mathoverflow.net/q/12081 Does the exponential function have a (compositional) square root?]
* [https://mathoverflow.net/q/45477 “Closed-form” functions with half-exponential growth]

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[[Category:एल्गोरिदम का विश्लेषण]]
[[Category:कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत]]