View source for अवरोही और आरोही भाज्य

{{Short description|Mathematical functions}}
गणित में, अवरोही भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है,<ref name=Steffensen/> अवरोही अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है<math display="block">
\begin{align}
(x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factors}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) .
\end{align}</math>
उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फलन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है) <ref name=Steffensen>
{{cite book
 | last = Steffensen | first = J.F. | author-link = Johan Frederik Steffensen
 | date = 17 March 2006
 | title = Interpolation
 | publisher = Dover Publications | edition = 2nd
 | isbn = 0-486-45009-0
 | page = 8
}} — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
</ref> बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य के रूप में परिभाषित किया गया है
<math display="block">
\begin{align}
x^{(n)} = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ factors}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) .
\end{align}</math>
प्रत्येक का मान 1 (एक [[खाली उत्पाद]]) माना जाता है {{nobr| {{math|''n'' {{=}} 0}} .}} इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य पॉवर कहा जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming">
{{cite book
 |last=Knuth |first=D.E. |author-link=Donald Knuth
 |title=[[The Art of Computer Programming]] |edition=3rd
 |volume=1 |page=50
}}
</ref> लियो अगस्त पोचहैमर द्वारा प्रस्तुत पोचहैमर प्रतीक, संकेतन है {{math|(''x''){{sub|''n''}} }}, जहाँ {{mvar|n}} गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यह अलग-अलग लेखों और लेखकों द्वारा अलग-अलग परंपराओं का उपयोग करते हुए बढ़ते या अवरोही तथ्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। पोचहैमर ने वास्तव में स्वयं इसका उपयोग {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} किया था और अर्थ के साथ, अर्थात् [[द्विपद गुणांक]] <math>\tbinom{x}{n}.</math> को निरूपित करने के लिए <ref name=Knuth>
{{cite journal
 |last=Knuth |first=D.E.  |author-link=Donald Knuth
 |year=1992
 |title=Two notes on notation
 |journal=[[American Mathematical Monthly]]
 |volume=99 |issue=5 |pages=403–422
 |arxiv=math/9205211 |doi=10.2307/2325085
 |jstor=2325085 |s2cid=119584305
}} The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
</ref>

इस लेख में प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग अवरोही भाज्य और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग [[साहचर्य]] में किया जाता है,<ref>
{{cite book
 |last=Olver |first=P.J. |author-link=Peter J. Olver
 |year=1999
 |title=Classical Invariant Theory
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=0-521-55821-2 |mr=1694364
 |page=101
}}
</ref> चूँकि [[डोनाल्ड नुथ]] की अंडरलाइन और ओवरलाइन नोटेशन <math>x^\underline{n}</math> और <math>x^\overline{n}</math> तेजी से लोकप्रिय हो रहे हैं.<ref name="The Art of Computer Programming" /><ref>
{{cite book
 |last1=Harris
 |last2=Hirst
 |last3=Mossinghoff
 |year=2008
 |title=Combinatorics and Graph Theory 
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-79710-6
 |at=ch.&nbsp;2
}}
</ref>

[[विशेष कार्य]] के सिद्धांत में (विशेष रूप से [[हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन|हाइपरजियोमेट्रिक फलन]]) और मानक संदर्भ कार्य [[अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन]] में, पोचहैमर प्रतीक {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>
{{cite book
 |editor1=Abramowitz, Milton
 |editor2=Stegun, Irene A.
 |date=December 1972  |orig-date=June 1964
 |title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 |title-link=Abramowitz and Stegun
 |place=Washington, DC
 |publisher=[[United States Department of Commerce]]
 |series=[[National Bureau of Standards]] [[Applied Mathematics]] Series
 |volume=55
 |lccn=64-60036
 |at=p.&nbsp;256 eqn.&nbsp;6.1.22
}}
</ref><ref>
{{cite book
 |last=Slater |first=Lucy J.
 |year=1966
 |title=Generalized Hypergeometric Functions
 |publisher=Cambridge University Press
 |mr=0201688 |at=Appendix&nbsp;I
}} — Gives a useful list of formulas for manipulating the rising factorial in {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} notation.
</ref>                                                                                                                                                                                                                            

जब {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक है, {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है | {{mvar|n}}-एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम) {{mvar|x}}-तत्व समुच्चय, या समकक्ष आकार के समुच्चय से इंजेक्शन कार्यों की संख्या {{mvar|n}} आकार के समुच्चय {{mvar|x}} के लिए. बढ़ती भाज्य {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} समुच्चय के विभाजन {{mvar|n}}-तत्व में समुच्चय {{mvar|x}} आदेशित अनुक्रम की संख्या देता है।{{efn|Here the parts are distinct; for example, when {{math|1=''x'' = ''n'' = 2}}, the {{math|1=(2){{sup|(2)}} = 6}} partitions are <math>(12, -)</math>, <math>(21, -)</math>, <math>(1, 2)</math>, <math>(2, 1)</math>, <math>(-, 12)</math>, and <math>(-, 21)</math>, where − denotes an empty part.}}                                                     

==उदाहरण और संयुक्त व्याख्या                                                                                                                                                         ==
पहले कुछ अवरोही तथ्य इस प्रकार हैं:
<math display="block">
\begin{array}{rll}
(x)_0 & &= 1 \\
(x)_1 & &= x \\
(x)_2 &= x(x-1) &= x^2-x \\
(x)_3 &= x(x-1)(x-2) &= x^3-3x^2+2x \\
(x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &= x^4-6x^3+11x^2-6x
\end{array}</math>
पहले कुछ उभरते तथ्य इस प्रकार हैं:                                                                                          
<math display="block">
\begin{array}{rll}
x^{(0)} & &= 1 \\
x^{(1)} & &= x \\
x^{(2)} &= x(x+1)&=x^2+x \\
x^{(3)} &= x(x+1)(x+2)&=x^3+3x^2+2x \\
x^{(4)} &= x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^4+6x^3+11x^2+6x
\end{array}</math>
विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं।

जब चर {{mvar|x}} धनात्मक पूर्णांक, संख्या है {{math|(''x''){{sub|''n''}}}} k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के सामान्य है {{mvar|n}}-के समुच्चय से क्रमपरिवर्तन {{mvar|x}} आइटम, अर्थात, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के विधियों की संख्या {{mvar|n}} आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों {{mvar|x}} से मिलकर बना है . उदाहरण के लिए, {{nobr|{{math|(8){{sub|3}} {{=}} 8 × 7 × 6 {{=}} 336}}}} आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|''P''(''x'', ''n'')}} का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, {{math|''x''{{sup|(''n'')}}}} व्यवस्था करने के विधियों की संख्या है {{mvar|n}} झंडे चालू {{mvar|x}} ध्वजदंड ,<ref name=Feller>
{{cite book
 |first=William |last=Feller
 |title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications
 |volume=1 |at=Ch. 2
}}
</ref> जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के समुच्चय को विभाजित करने के विधियों की संख्या है {{mvar|n}} (झंडे) में {{mvar|x}} अलग-अलग भाग (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ किया जाता है।

==गुण==

बढ़ते और अवरोही भाज्य बस दूसरे से संबंधित हैं:
<math display="block">
\begin{array}{rll}
{(x)}_n &= {(x-n+1)}^{(n)} &= (-1)^n (-x)^{(n)},\\
x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &= (-1)^n (-x)_n.
\end{array}</math>
पूर्णांकों के घटते और बढ़ते [[ कारख़ाने का |भाज्य]] सीधे सामान्य भाज्य से संबंधित होते हैं:
<math display="block">
\begin{align}
n! &= 1^{(n)} = (n)_n,\\[6pt]
(m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!},\\[6pt]
m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.
\end{align}</math>
आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सामान्यतः दोहरे भाज्य से संबंधित हैं:
<math display="block">
\begin{align}
\left[\frac{1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2n-1)!!}{2^n},\quad
\left[\frac{2m+1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2(n+m)-1)!!}{2^n(2m-1)!!}.
\end{align}</math>
द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए अवरोही और बढ़ते भाज्य का उपयोग किया जा सकता है:
<math display="block">
\begin{align}
\frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n},\\[6pt]
\frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}.
\end{align}</math>
इस प्रकार द्विपद गुणांकों पर कई सर्वसमिकाएँ घटते और बढ़ते हुए भाज्यों को आगे बढ़ाती हैं।                

बढ़ते और अवरोही भाज्य को किसी भी [[यूनिटल रिंग]] रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए {{mvar|x}} को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित [[जटिल संख्या]], या जटिल गुणांकों वाला [[बहुपद]], या कोई [[जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन|जटिल-मूल्यवान फलन]] माना जा सकता है।

अवरोही भाज्य को [[वास्तविक संख्या]] मानों तक बढ़ाया जा सकता है {{mvar|x}} प्रदान किए गए [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] का उपयोग करना {{mvar|x}} और {{math|''x'' + ''n''}} वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं:
<math display="block">
(x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ ,
</math>
और इसी तरह बढ़ती भाज्य भी हो सकती है:
<math display="block">
x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\ .
</math>
अवरोही भाज्य सरल पॉवर कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं:
<math display="block">
\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^n x^a = (a)_n \cdot x^{a-n}.
</math>
बढ़ती भाज्य भी हाइपरजियोमेट्रिक फलन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फलन को इसके लिए परिभाषित किया गया है {{math|{{abs|''z''}} < 1}} पॉवर श्रृंखला द्वारा किया जाता है
<math display="block">
{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}}  \frac{z^n}{n!}
</math>
उसे उपलब्ध कराया {{nobr| {{math|''c'' ≠ 0, −1, −2, ...}} .}} चूँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फलन साहित्य सामान्यतः नोटेशन {{math|(''a''){{sub|''n''}}}} का उपयोग करता है।

==अंब्रल कैलकुलस से संबंध==
अवरोही भाज्य सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड [[ अंतर ऑपरेटर |अंतर ऑपरेटर]] का उपयोग करके बहुपदों <math>\Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x),</math> का प्रतिनिधित्व करता है और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है:
<math display="block">
f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Delta^n f(0)}{n!} (x)_n.
</math> इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, अवरोही भाज्य {{math|(''x''){{sub|''n''}}}}[[परिमित अंतर]] की गणना में भूमिका निभाता है डिफरेंशियल कैलकुलस {{math|''x''{{sup|''n''}}}} में उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें {{nobr| {{math|Δ (''x''){{sub|''n''}} {{=}} ''n'' (''x''){{sub|''n''−1}}}} }} को {{nobr| {{math|{{sfrac| d |d ''x''}} ''x''{{sup|''n''}} {{=}} ''n x''{{sup|''n''−1}}}} .}}

एक समान परिणाम बढ़ते भाज्य और पश्चांतर ऑपरेटर के लिए है।

इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को [[अम्ब्रल कैलकुलस]] के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य सम्मिलित हैं, [[द्विपद प्रकार]] और [[शेफ़र अनुक्रम]] के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। अवरोही और बढ़ते भाज्य द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:

<math display="block">
\begin{align}
(a + b)_n &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)_{n-j}(b)_{j} \\[6pt]
(a + b)^{(n)} &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)}
\end{align}</math>
जहां गुणांक [[द्विपद प्रमेय]] के समान हैं।

इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के सामान्य होता है,

<math display="block"> \sum_{n=0}^\infty  (x)_n  \frac{t^n}{n!} = \left(1+t\right)^x , </math>
तब से

<math display="block"> \operatorname \Delta_x \left( 1 + t \right)^x = t \cdot \left( 1 + t \right)^x .</math>
== संबंध गुणांक और पहचान ==
अवरोही और बढ़ते भाज्य [[लाह संख्या]]ओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:<ref name=Wolfram_functions>
{{cite web
 |title=भाज्य और द्विपद का परिचय|url=http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Factorial/introductions/FactorialBinomials/05/
 |website=Wolfram Functions Site
}}
</ref>

<math display="block">
\begin{align}
(x)_n & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} x^{(k)} \\
      & = (-1)^n (-x)^{(n)} = (x-n+1)^{(n)} \\ [6pt]
x^{(n)} & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (n-1)_{n-k} (x)_k \\ 
      & = (-1)^n (-x)_n = (x+n-1)_n \ .
\end{align}
</math>
निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न पॉवर्स {{mvar|x}} से संबंधित हैं दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, तरंगित कोष्ठक {{math|<big>{</big>{{su|p=''n''|b=''k''}}<big>}</big>}} द्वारा अंकित है :<ref name=Wolfram_functions/>
<math display="block">
\begin{align}
x^n & = \sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (x)_{k} \\
    & = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{(k)} .
\end{align} 
</math>
चूँकि अवरोही हुए भाज्य [[बहुपद वलय]] का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को अवरोही हुए भाज्यों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Rosas|first1=Mercedes H.|year= 2002|title=मैकमोहन सममित कार्यों और बहुपद बीजगणित की विशेषज्ञता|volume=246|number=1-3|journal=Disc. Math.|doi=10.1016/S0012-365X(01)00263-1|pages=285-293}}</ref>:
<math display="block">
(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \binom{n}{k} k! \cdot (x)_{m+n-k} \ .</math>
गुणांक <math>\tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! </math> संबंध गुणांक कहा जाता है, और पहचानने के विधियों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है {{mvar|k}} आकार के समुच्चय से प्रत्येक तत्व {{mvar|m}} और {{mvar|n}} आकार का समुच्चय होता है .

दो बढ़ते भाज्य के अनुपात के लिए संबंध सूत्र भी दिया गया है
<math display="block">
\frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} = (x+i)^{(n-i)} ,\quad \text{for }n \geq i .</math>
इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक नियमो और ऋणात्मक बढ़ती और गिरती पॉवर्स का विस्तार कर सकते हैं:<ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988>
{{cite book
 |first1=Ronald L. |last1=Graham    |author1-link=Ronald L. Graham
 |first2=Donald E. |last2=Knuth     |author2-link=Donald E. Knuth
 |first3=Oren      |last3=Patashnik |author3-link=Oren Patashnik
 |name-list-style=amp
 |year=1988
 |title=[[Concrete Mathematics]]
 |publisher=Addison-Wesley
 |place=Reading, MA
 |isbn=0-201-14236-8
 |pages=47, 48, 52
}}
</ref>{{rp|style=ama|p= 52}}

<math display="block">
\begin{align} 
(x)_{m+n} & = (x)_m (x-m)_n = (x)_n (x-n)_m \\[6pt]
x^{(m+n)} & = x^{(m)} (x+m)^{(n)} = x^{(n)} (x+n)^{(m)} \\[6pt]
x^{(-n)} & = \frac{\Gamma(x-n)}{\Gamma(x)} = \frac{(x-n-1)!}{(x-1)!} = \frac{1}{(x-n)^{(n)}} = \frac{1}{(x-1)_n} = \frac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-n)} = \frac{1}{n! \binom{x-1}{n}} = (-n)! \binom{x-n-1}{-n} \\[6pt]
(x)_{-n} & = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+n-1)} = \frac{x!}{(x+n)!} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{(x+1)^{(n)}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(-n)! \binom{x+n}{-n}} = (-n)! \binom{x}{-n} .
\end{align} 
</math>
अंत में, घटते और बढ़ते भाज्य के लिए [[दोहराव सूत्र]] और [[गुणन सूत्र]] अगले संबंध प्रदान करते हैं:
<math display="block">
\begin{align}
(x)_{k+mn} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x-k-j}{m}\right)_{n}\,,& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt]
x^{(k+mn)} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+k+j}{m}\right)^{(n)},& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt]
(ax+b)^{(n)} &= x^n \prod_{j=0}^{n-1} \left(a+\frac{b+j}{x}\right),& \text{for } x &\in \mathbb{Z}^+ \\[6pt]
(2x)^{(2n)} &= 2^{2n} x^{(n)} \left(x+\frac{1}{2}\right)^{(n)} .
\end{align}</math>
==वैकल्पिक संकेतन==
बढ़ते भाज्य के लिए वैकल्पिक संकेतन
<math display="block">
x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m\ge0 </math>
और अवरोही भाज्य के लिए
<math display="block">
x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m \ge 0</math>
क्रमशः ए. कैपेली (1893) और एल. टोस्कानो (1939) तक जाता है।<ref name="The Art of Computer Programming"/> ग्रैहम, क्नुथ, एंड पाताशनिक <ref name=Graham-Knuth-Patashnik-1988/>{{rp|style=ama|pp= 47, 48}} इन भावों को इस प्रकार उच्चारित {{mvar|x}} करने का प्रस्ताव करें {{mvar|m}} बढ़ रहा है और {{mvar|x}} तक {{mvar|m}} क्रमशः अवरोही है।

अवरोही भाज्य के लिए अन्य संकेतन में {{math|''P''(''x'',''n'')}}, {{math|{{sup|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''x'',''n''}}}}, {{math|''P''{{sub|''n''}}{{sup|''x''}}}}, या {{math|{{sub|''x''}}''P''{{sub|''n''}}}} सम्मिलित हैं (क्रम[[परिवर्तन]] और [[संयोजन]] देखें।)

बढ़ते भाज्य के लिए वैकल्पिक संकेतन {{math|''x''{{sup|(''n'')}} }} कम समानीय {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}} }} है . जब {{math|(''x''){{su|p=+|b=''n''}}}} का उपयोग बढ़ते भाज्य, {{math|(''x''){{su|p=&minus;|b=''n''}}}} अंकन को दर्शाने के लिए किया जाता है सामान्यतः सामान्य अवरोही वाले भाज्य के लिए उपयोग किया जाता है।<ref name=Knuth/>

==सामान्यीकरण                                                                                                                                                                                ==
पोचहैमर प्रतीक का सामान्यीकृत संस्करण है जिसे सामान्यीकृत पोचहैमर प्रतीक कहा जाता है, जिसका उपयोग बहुभिन्नरूपी [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है। 

अवरोही भाज्य का सामान्यीकरण जिसमें पूर्णांकों के अवरोही अंकगणितीय अनुक्रम पर फलन का मूल्यांकन किया जाता है और मानों को गुणा किया जाता है:
<math display="block">
\bigl[f(x)\bigr]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f\bigl(x-(k-1)h\bigr),</math>
जहाँ {{math|&minus;''h''}} वेतन वृद्धि है और {{math|''k''}} कारकों की संख्या है. बढ़ते भाज्य का संगत सामान्यीकरण है
<math display="block">
\bigl[f(x)\bigr]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f\bigl(x+(k-1)h\bigr).</math>
यह अंकन बढ़ते और अवरोही भाज्य को एकीकृत करता है, जो क्रमश {{math|[''x'']{{sup|''k''/+1}}}} और {{math|[''x'']{{sup|''k''/&minus;1}}}} हैं।

किसी भी निश्चित अंकगणितीय फलन <math>f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}</math> के लिए और प्रतीकात्मक मापदंड {{mvar|x}}, {{mvar|t}}, प्रपत्र के संबंधित सामान्यीकृत तथ्यात्मक उत्पाद है

<math display="block">
(x)_{n,f,t} := \prod_{k=0}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</math>
पॉवर्स के निम्नलिखित गुणांक द्वारा परिभाषित पहली तरह की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं के वर्गों के दृष्टिकोण से अध्ययन किया जा सकता है {{mvar|x}} के विस्तार में {{math|(''x'')<sub>''n'',''f'',''t''</sub>}} और फिर अगले संगत त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा:

<math display="block">
\begin{align} 
\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = \left[x^{k-1}\right] (x)_{n,f,t} \\ 
     & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. 
\end{align} 
</math>
ये गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ-साथ पुनरावृत्ति संबंधों और कार्यात्मक समीकरणों से संबंधित कई {{mvar|f}}-हार्मोनिक संख्याएं के अनुरूप गुणों को संतुष्ट करते हैं।,<ref>{{cite arXiv |title=Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding ''f''-factorial functions and the ''f''-harmonic numbers <!-- orig-year=2016 --> |date=29 March 2017  |first=Maxie D. |last=Schmidt |class=math.CO |eprint=1611.04708v2}}</ref>
<math display="block">
F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} \frac{ t^k }{ f(k)^r }\,.</math>
एक सममित सामान्यीकरण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है
<math display="block">
x^\underline\overline{m} \equiv \frac{x^\overline{m} x^\underline{m}}{x} = x^{\overline{m} + \underline{m} - 1}.</math>
==यह भी देखें                                                                                                                                                                         ==
*पोन्चाम्मर {{mvar|k}}-प्रतीक
*वैंडरमोंडे की पहचान

==संदर्भ                                                                                                                                                                                       ==
{{notelist}}
{{reflist|25em}}
==बाहरी संबंध==
* {{MathWorld |title=Pochhammer Symbol |urlname=PochhammerSymbol}}
* {{cite web |title=A Compilation of mathematical demonstrations |website=scribd.com |url=https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations  |url-status=dead <!-- presumed --> |archive-url=https://web.archive.org/web/20160214031616/https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations |archive-date=2016-02-14}} — Elementary proofs

{{DEFAULTSORT:Pochhammer Symbol}}

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