View source for असतत फूरियर रूपांतरण

{{Short description|Type of Fourier transform in discrete mathematics}}
{{distinguish|text=असतत-समय फूरियर रूपांतरण}}
{{Fourier transforms}}

[[File:From Continuous To Discrete Fourier Transform.gif|thumb|400px|(निरंतर) फूरियर रूपांतरण और असतत फूरियर रूपांतरण के बीच संबंध। <u>बायां स्तंभ:</u> एक सतत कार्य (शीर्ष) और इसका फूरियर रूपांतरण (नीचे)। <u>केंद्र-बायां स्तंभ:</u> मूल  फलन (शीर्ष) का [[आवधिक योग]]। असतत बिंदुओं को छोड़कर फूरियर रूपांतरण (नीचे) शून्य है। व्युत्क्रम रूपांतरण, फूरियर श्रृंखला कहे जाने वाले साइनसोइड्स का योग है। <u>मध्य-दाहिना स्तंभ:</u> मूल कार्य अलग-अलग होता है (एक डायराक कंघी द्वारा गुणा) (शीर्ष)। इसका फूरियर रूपांतरण (नीचे) मूल परिवर्तन का एक आवधिक योग ([[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]]) है। <u>दायां कॉलम:</u> DFT (नीचे) निरंतर DTFT के असतत नमूनों की गणना करता है। व्युत्क्रम डीएफटी (शीर्ष) मूल नमूनों का आवधिक योग है। फास्ट फूरियर रूपांतरण एल्गोरिथ्म डीएफटी के एक चक्र की गणना करता है और इसका व्युत्क्रम डीएफटी व्युत्क्रम का एक चक्र है।]]

[[File:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|निचले बाएँ कोने में फूरियर रूपांतरण (ऊपरी बाएँ) और उसके आवधिक योग (DTFT) का चित्रण। (ए) ऊपरी दाएं और (बी) निचले दाएं पर वर्णक्रमीय अनुक्रम क्रमशः (ए) एस (टी) के आवधिक योग के एक चक्र और (बी) एस (एनटी) अनुक्रम के आवधिक योग के एक चक्र से गणना किए जाते हैं। . संबंधित सूत्र हैं (ए) फूरियर श्रृंखला <यू>इंटीग्रल</यू> और (बी) डीएफटी <यू>सारांश</यू>। मूल परिवर्तन, एस (एफ) के साथ इसकी समानताएं, और इसकी सापेक्ष कम्प्यूटेशनल सहजता सामान्यतः डीएफटी अनुक्रम की गणना के लिए प्रेरणा होती है।]]गणित में, असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) असतत-समय फूरियर रूपांतरण (डीएफटीटी) को समान दूरी वाले नमूने के समान-लंबाई अनुक्रम में फलन (गणित) के समान रूप से दूरी वाले [[नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)|नमूनाकरण (सन्देश प्रोसेसिंग)]] के एक सीमित अनुक्रम को परिवर्तित करता है। , जो एक सम्मिश्र संख्या है | आवृत्ति का जटिल-मूल्यवान फलन, जिस अंतराल पर DTFT का नमूना लिया जाता है, वह निवेशी  अनुक्रम की अवधि का व्युत्क्रम होता है। एक व्युत्क्रम डीएफटी एक फूरियर श्रृंखला है, जो डीटीएफटी नमूनों का उपयोग संबंधित डीटीएफटी आवृत्तियों पर [[जटिल संख्या]] ज्यावक्र तरंगो के गुणांक के रूप में करती है। इसमें मूल निवेशी अनुक्रम के समान मान हैं। इसलिए डीएफटी को मूल निवेशी अनुक्रम का [[आवृत्ति डोमेन]] प्रतिनिधित्व कहा जाता है। यदि मूल अनुक्रम किसी  फलन के सभी अशून्य मानों को फैलाता है, तो इसका DTFT निरंतर (और आवधिक) है, और DFT एक चक्र के असतत नमूने प्रदान करता है। यदि मूल अनुक्रम आवधिक कार्य का एक चक्र है, तो डीएफटी एक डीटीएफटी चक्र के सभी अशून्य मान प्रदान करता है।

डीएफटी सबसे महत्वपूर्ण [[असतत परिवर्तन]] है, जिसका उपयोग कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में [[फूरियर विश्लेषण]] करने के लिए किया जाता है।<ref name=Strang/>[[अंकीय संकेत प्रक्रिया]] में,  फलन कोई भी मात्रा या [[संकेत (सूचना सिद्धांत)]] है जो समय के साथ बदलता रहता है, जैसे ध्वनि तरंग का दबाव, एक [[रेडियो]] सन्देश, या दैनिक [[तापमान]] के मान, एक परिमित समय अंतराल पर नमूना (सामान्यतः एक द्वारा परिभाषित) [[खिड़की समारोह]]<ref name=Sahidullah/>). छवि प्रसंस्करण में, नमूने [[रेखापुंज छवि]] की पंक्ति या स्तंभ के साथ [[पिक्सेल]] के मान हो सकते हैं। डीएफटी का उपयोग [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक अवकल समीकरण]] को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए भी किया जाता है, और अन्य कार्यों जैसे  संवलन या बड़े पूर्णांक को गुणा करने के लिए किया जाता है।

चूंकि यह डेटा की एक सीमित मात्रा से संबंधित है, इसे [[संगणक]] में संख्यात्मक कलन विधि या यहां तक कि समर्पित [[डिजिटल सर्किट]] द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है। ये कार्यान्वयन सामान्य रूप पर कुशल तेज़ फूरियर रूपांतरण  (FFT) कलन विधि को नियोजित करते हैं;<ref name=Cooley/>इतना अधिक कि FFT और DFT शब्द सामान्यतः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं। इसके वर्तमान उपयोग से पहले, FFT [[प्रथमाक्षर]] का उपयोग अस्पष्ट शब्द [[परिमित फूरियर रूपांतरण (बहुविकल्पी)]] के लिए भी किया जा सकता है।

== परिभाषा ==
असतत फूरियर रूपांतरण एन जटिल संख्याओं के अनु[[क्रम]] को रूपांतरित करता है <math>   \left \{ \mathbf{x}_n \right \} := x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> जटिल संख्याओं के दूसरे क्रम में,  <math>\left \{ \mathbf{X}_k \right \} := X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},</math> जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है

{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation = {{NumBlk|:|<math>\begin{align}
  X_k &= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-\frac {i 2\pi}{N}kn}\\
      &= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot \left[\cos\left(\frac{2 \pi}{N}kn\right) - i \cdot \sin\left(\frac{2 \pi}{N}kn\right)\right],
\end{align}</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
| सेलपैडिंग = 6
|बॉर्डर
|बॉर्डर का रंग = #0073CF
|पृष्ठभूमि का रंग=#F5FFFA}}

जहां अंतिम अभिव्यक्ति यूलर के सूत्र द्वारा पहली अभिव्यक्ति का अनुसरण करती है।

रूपांतरण को कभी-कभी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{F}</math>, जैसे की <math>\mathbf{X} = \mathcal{F} \left \{ \mathbf{x} \right \} </math> या <math>\mathcal{F} \left ( \mathbf{x} \right )</math> या <math>\mathcal{F} \mathbf{x}</math>.{{
efn-ua|
As a [[linear transformation]] on a [[Dimension (vector space)|finite-dimensional vector space]], the DFT expression can also be written in terms of a [[DFT matrix]]; when scaled appropriately it becomes a [[unitary matrix]] and the ''X''<sub>''k''</sub> can thus be viewed as coefficients of ''x'' in an [[orthonormal basis]].}}


== प्रेरणा ==
{{EquationNote|Eq.1}} डोमेन के बाहर भी मूल्यांकन किया जा सकता है <math>k \in [0,N-1]</math>, और वह विस्तारित क्रम है <math>N</math>-[[आवधिक अनुक्रम]]। तदनुसार, <math>N</math> के अन्य क्रम  सूचकांक कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं, जैसे <math display="inline">\left[-\frac{N}{2}, \frac{N}{2} - 1\right]</math> (यदि <math>N</math> सम है) और <math display="inline">\left[-\frac{N-1}{2}, \frac{N-1}{2}\right]</math> (यदि <math>N</math> विषम है), जो परिवर्तन के परिणाम के बाएँ और दाएँ हिस्सों की अदला-बदली करता है।<ref name=mathworks/>

{{EquationNote|Eq.1}} व्याख्या की जा सकती है या विभिन्न तरीकों से प्राप्त की जा सकती है, उदाहरण के लिए:
{{unordered list|
| यह आवधिक अनुक्रम के [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]] (DTFT) का पूरी तरह से वर्णन करता है, जिसमें केवल असतत आवृत्ति घटक शामिल हैं।{{
efn-ua | आवधिक अनुक्रम के डीटीएफटी के गैर-शून्य घटक डीएफटी के समान आवृत्तियों का एक असतत सेट है।
}} ([[असतत-समय फूरियर रूपांतरण#आवधिक डेटा | आवधिक डेटा के साथ DTFT का उपयोग करना]])| यह एक परिमित लंबाई अनुक्रम के निरंतर डीटीएफटी के समान रूप से दूरी वाले नमूने भी प्रदान कर सकता है। ({{slink|डिस्क्रीट-टाइम फूरियर रूपांतरण|DTFT का नमूनाकरण|nopage=y}})
|यह निवेशी अनुक्रम X n का विकर्णी सम्बन्ध है, और आवृति k/n का एक जटिल ज्या वक्र है,इस प्रकार यह उस आवृत्ति के लिए एक मिलान फ़िल्टर की तरह कार्य करता है। 
|
यह फूरियर श्रृंखला के गुणांकों के सूत्र का असतत एनालॉग है
{{NumBlk|:|<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cdot e^{i 2 \pi k n / N},  \quad n \in \mathbb{Z},</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
यह भी जो <math>N</math>-आवधिक। डोमेन में {{math|''n'' ∈ [0, ''N'' − 1]}}, यह का व्युत्क्रम परिवर्तन है {{EquationNote|Eq.1}}. इस व्याख्या में, प्रत्येक <math>X_k</math> एक जटिल संख्या है जो एक जटिल साइनसोइडल घटक के आयाम और चरण दोनों को कूटबद्ध करती है <math>\left(e^{i 2 \pi k n / N}\right)</math> समारोह का <math>x_n</math>. ([[असतत फूरियर श्रृंखला]] देखें) साइनसॉइड की [[आवृत्ति]] k चक्र प्रति N नमूने है। इसका आयाम और चरण हैं:
:<math>\frac{1}{N} |X_k| = \frac{1}{N}\sqrt{\operatorname{Re}(X_k)^2 + \operatorname{Im}(X_k)^2}</math>
:<math>\arg(X_k) = \operatorname{atan2}\big(\operatorname{Im}(X_k), \operatorname{Re}(X_k) \big) = -i \cdot \ln\left(\frac{X_k}{|X_k|}\right),</math>
जहां [[atan2]] [[artan]] फ़ंक्शन का दो-तर्क रूप है। ध्रुवीय रूप में <math>X_k = |X_k| e^{i \arg(X_k)} = |X_k| \operatorname{cis} \arg(X_k)</math> जहां सिस (गणित) स्मरक है {{nowrap|for cos + ''i'' sin}}.
}}

डीएफटी और आईडीएफटी को गुणा करने वाला सामान्यीकरण कारक (यहां 1 और <math display="inline">\frac{1}{N}</math>) और प्रतिपादकों के संकेत केवल चिह्न परिपाटी हैं, और कुछ उपचारों में भिन्न हैं। इन सम्मेलनों की एकमात्र आवश्यकताएं हैं कि डीएफटी और आईडीएफटी के विपरीत-साइन एक्सपोनेंट हैं और उनके सामान्यीकरण कारकों का उत्पाद होना चाहिए। <math display="inline">\frac{1}{N}</math>. का सामान्यीकरण <math display="inline">\sqrt{\frac{1}{N}}</math> उदाहरण के लिए, डीएफटी और आईडीएफटी दोनों के लिए, रूपांतरण को एकात्मक बनाता है। एक असतत आवेग, <math>x_n=1</math> n = 0 और 0 पर अन्यथा; में परिवर्तित हो सकता है <math>X_k = 1</math> सभी k के लिए (DFT और के लिए सामान्यीकरण कारक 1 का उपयोग करें <math display="inline">\frac{1}{N}</math> आईडीएफटी के लिए)। एक डीसी संकेत, <math>X_k = 1</math> k = 0 और 0 पर अन्यथा; में व्युत्क्रम रूपांतरित हो सकता है <math>x_n = 1</math> सभी के लिए <math>n</math> (उपयोग <math display="inline">\frac{1}{N}</math> डीएफटी के लिए और 1 आईडीएफटी के लिए) जो डीसी को सिग्नल के औसत औसत के रूप में देखने के अनुरूप है।

== उदाहरण ==
<!-- This illustration needs a better description understand: [[Image:Dft visualization rev2 n0008 trimmed nobox.svg|thumb|300px|Depiction of the matrix of the DFT for N=8. Each element is represented by a picture of its location in the complex plane in relation to the unit circle.]] -->
यह उदाहरण दर्शाता है कि लंबाई के क्रम में DFT को कैसे लागू किया जाए <math>N=4</math> और निवेशी  सदिश

<math>\mathbf{x} =
\begin{pmatrix}
x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 2-i \\ -i \\ -1+2i
\end{pmatrix}.
</math>
के डीएफटी की गणना <math>\mathbf{x}</math> का उपयोग करते हुए {{EquationNote|Eq.1}}

<math>X_0 = e^{-i 2 \pi 0 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 0 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = 2</math>
<math>X_1 = e^{-i 2 \pi 1 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 1 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = -2-2i</math>
<math>X_2 = e^{-i 2 \pi 2 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 2 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = -2i</math>
<math>X_3 = e^{-i 2 \pi 3 \cdot 0 / 4} \cdot 1 + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 1 / 4} \cdot (2-i) + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 2 / 4} \cdot (-i) + e^{-i 2 \pi 3 \cdot 3 / 4} \cdot (-1+2i) = 4+4i</math>
का परिणाम
<math>\mathbf{X} =
\begin{pmatrix}
X_0 \\
X_1 \\
X_2 \\
X_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
-2-2i \\
-2i \\
4+4i
\end{pmatrix}.
</math>


== व्युत्क्रम परिवर्तन ==
असतत फूरियर रूपांतरण एक व्युत्क्रम, [[रैखिक परिवर्तन]] है
:<math>\mathcal{F}\colon\mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N</math>
साथ <math>\mathbb{C}</math> सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को निरूपित करना। इसके व्युत्क्रम को व्युत्क्रम असतत फूरियर रूपांतरण  (IDFT) के रूप में जाना जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी के लिए <math>N>0</math>, एक N विमीय जटिल सदिश में एक डीएफटी और एक आईडीएफटी होता है जो बारी-बारी से होते हैं <math>N</math>-आयामी जटिल वैक्टर।

व्युत्क्रम परिवर्तन इसके द्वारा दिया गया है:
{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation = {{NumBlk|:|<math>x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k\cdot e^{i \frac{2 \pi}{N} k n}</math>|{{EquationRef|Eq.3}}}}
| सेलपैडिंग = 6
|बॉर्डर
|बॉर्डर का रंग = #0073CF
|पृष्ठभूमि का रंग=#F5FFFA}}

== गुण ==

=== रैखिकता ===
डीएफटी एक रैखिक परिवर्तन है, यदि <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k</math> तथा <math>\mathcal{F}(\{y_n\})_k=Y_k</math>, फिर किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए <math>a,b</math>:
:<math>\mathcal{F}(\{a x_n + b y_n\})_k=a X_k + b Y_k</math>


=== समय और आवृत्ति उत्क्रमण ===
समय को उलटना (यानी बदलना <math>n</math> द्वारा <math>N-n</math>){{
efn-ua|Time reversal for the DFT means replacing <math>n</math> by <math>N-n</math> and not <math>n</math> by <math>-n</math> to avoid negative indices.
}} में <math>x_n</math> आवृत्ति को उलटने के अनुरूप है (यानी <math>k</math> द्वारा <math>N-k</math>).<ref name=ProakisManolakis/>{{rp|p.421}} गणितीय रूप से, यदि <math>\{x_n\}</math> सदिश x को निरूपित करता है

:यदि <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k</math>
:फिर <math>\mathcal{F}(\{ x_{N-n} \})_k=X_{N-k}</math>


=== समय में संयुग्मन ===
यदि <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k = X_k</math> फिर <math>\mathcal{F}(\{ x_n^* \})_k = X_{N-k}^*</math>.<ref name=ProakisManolakis/>{{rp|p.423}}


=== वास्तविक और काल्पनिक भाग ===
यह तालिका कुछ गणितीय संक्रियाओं को दर्शाती है <math>x_n</math> समय डोमेन में और इसके डीएफटी पर संबंधित प्रभाव <math>X_k</math> आवृत्ति डोमेन में।

{| class="wikitable"
|-
! संपत्ति
! समय क्षेत्र<br/><math>x_n</math>
! आवृत्ति डोमेन<br/><math>X_k</math>
|-
|समय में वास्तविक भाग
| <math>\Re{\left(x_n\right)}</math>
| <math>\frac{1}{2}\left(X_k + X^*_{N-k}\right)</math>
|-
|समय में काल्पनिक हिस्सा
| <math>\Im{\left(x_n\right)}</math>
| <math>\frac{1}{2i}\left(X_k - X^*_{N-k}\right)</math>
|-
|आवृत्ति में वास्तविक भाग
| <math>\frac{1}{2}\left(x_n + x^*_{N-n}\right)</math>
| <math>\Re{\left(X_k\right)}</math>
|-
|आवृत्ति में काल्पनिक भाग                                          
| <math>\frac{1}{2i}\left(x_n - x^*_{N-n}\right)</math>
| <math>\Im{\left(X_k\right)}</math>
|}


=== लंबरूपता ===
वैक्टर <math>u_k = \left[\left. e^{ \frac{i 2\pi}{N} kn} \;\right|\; n=0,1,\ldots,N-1 \right]^\mathsf{T}</math> N विमीय जटिल सदिश के समुच्चय पर एक [[ऑर्थोगोनल आधार|लम्ब आधार]] बनाएं:

:<math>u^\mathsf{T}_k u_{k'}^* 
 = \sum_{n=0}^{N-1} \left(e^{ \frac{i 2\pi}{N} kn}\right) \left(e^{\frac{i 2\pi}{N} (-k')n}\right)
 = \sum_{n=0}^{N-1} e^{ \frac{i 2\pi}{N} (k-k') n} 
 = N~\delta_{kk'}
</math>
जहाँ पर <math>\delta_{kk'}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है। (अंतिम चरण में, योग तुच्छ है यदि <math>k=k'</math>, यह कहाँ है {{nowrap|1=1 + 1 + ⋯ = ''N'',}} और अन्यथा एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसे शून्य प्राप्त करने के लिए स्पष्ट रूप से अभिव्यक्त किया जा सकता है।) इस लंबरूपता की स्थिति का उपयोग डीएफटी की परिभाषा से आईडीएफटी के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, और नीचे एकात्मकता संपत्ति के बराबर है।

=== प्लांचेरल प्रमेय और पारसेवल प्रमेय ===
यदि <math>X_k</math> तथा <math>Y_k</math> के डीएफटी हैं <math>x_n</math> तथा <math>y_n</math> क्रमशः पारसेवल प्रमेय कहता है:

:<math>\sum_{n=0}^{N-1} x_n y^*_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k Y^*_k</math>
जहाँ (*) जटिल संयुग्म को दर्शाता है। प्लैंकेरल प्रमेय पारसेवल प्रमेय की एक विशेष स्थिति है और कहता है:

:<math>\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2.</math>
ये प्रमेय नीचे दी गई एकात्मक स्थिति के समतुल्य भी हैं।

=== आवधिकता ===
आवधिकता को सीधे परिभाषा से दिखाया जा सकता है:

: <math>X_{k+N} \ \triangleq \ \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} (k+N) n} =
\sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} k n}  \underbrace{e^{-i 2 \pi n}}_{1} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2\pi}{N} k n} = X_k. </math>
इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि आईडीएफटी सूत्र एक आवधिक विस्तार की ओर ले जाता है।

=== शिफ्ट प्रमेय ===
गुणा <math>x_n</math> एक रैखिक चरण द्वारा <math>e^{\frac{i 2\pi (n-1)}{N} m}</math> कुछ पूर्णांक के लिए m निर्गत  के एक गोलाकार बदलाव से मेल खाता है <math>X_k</math>: <math>X_k</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>X_{k-m}</math>, जहां सबस्क्रिप्ट की व्याख्या [[मॉड्यूलर अंकगणित]] एन (यानी, समय-समय पर) की जाती है। इसी तरह, निवेशी  का एक गोलाकार बदलाव <math>x_n</math> निर्गत को गुणा करने के अनुरूप है <math>X_k</math> एक रैखिक चरण द्वारा। गणितीय रूप से, यदि <math>\{x_n\}</math> सदिश x को निरूपित करता है

:यदि <math>\mathcal{F}(\{x_n\})_k=X_k</math>
:फिर <math>\mathcal{F}\left(\left\{ x_n \cdot e^{\frac{i 2\pi}{N}n m} \right\}\right)_k=X_{k-m}</math>
:तथा <math>\mathcal{F}\left(\left\{x_{n-m}\right\}\right)_k=X_k \cdot e^{-\frac{i 2\pi}{N}k m}</math>


=== वृतीय संवलन प्रमेय और विकर्णीय-सहसंबंध प्रमेय ===
{{anchor|Circular convolution theorem}}
{{anchor|Cross-correlation theorem}}
{{Main|कनवॉल्यूशन प्रमेय # असतत चर (अनुक्रम) के कार्य}}
असतत-समय फूरियर रूपांतरण  (DTFT) के लिए DTFT संवलन इंगित करता है कि दो अनुक्रमों का संवलन अलग-अलग रूपांतरण  के उत्पाद के व्युत्क्रम रूपांतरण  के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण सरलीकरण तब होता है जब अनुक्रमों में से एक एन-आवधिक होता है, जिसे यहां द्वारा निरूपित किया जाता है <math>y_{_N},</math> इसलिये <math>\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{y_{_N}\}</math> केवल असतत आवृत्तियों पर गैर-शून्य है (देखें {{slink|डीटीएफटी#आवधिक_डेटा}}), और इसलिए इसका उत्पाद निरंतर कार्य के साथ है <math>\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{x\}.</math>इससे व्युत्क्रम परिवर्तन का काफी सरलीकरण होता है।

:<math>x * y_{_N}\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right]\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right],</math>
जहाँ पर <math>x_{_N}</math> का आवर्त योग है <math>x</math> क्रम: <math>(x_{_N})_n\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_{(n-mN)}.</math>
कस्टम रूप से, डीएफटी और व्युत्क्रम डीएफटी सारांश डोमेन पर ले लिए जाते हैं <math>[0,N-1]</math>. उन डीएफटी को परिभाषित करना <math>X</math> तथा <math>Y</math>, परिणाम है:

:<math>
(x * y_{_N})_n \triangleq \sum_{\ell=-\infty}^{\infty}x_\ell \cdot (y_{_N})_{n-\ell} = \underbrace{\mathcal{F}^{-1}}_{\rm DFT^{-1}} \left \{ X\cdot Y \right \}_n.</math>
व्यवहार में, द <math>x</math> अनुक्रम सामान्य रूप पर लंबाई N या उससे कम होता है, और <math>y_{_N}</math> एन-लंबाई का आवधिक विस्तार है <math>y</math>-अनुक्रम, जिसे एक वृत्ताकार फलन':' के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

:<math>(y_{_N})_n = \sum_{p=-\infty}^\infty y_{(n-pN)} = y_{(n\operatorname{mod}N)}, \quad n\in\mathbb{Z}.</math>
तब संवलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

{{Equation box 1
|title=
|indent =:
|equation = <math>
\mathcal{F}^{-1} \left \{ X\cdot Y \right \}_n = \sum_{\ell=0}^{N-1}x_\ell \cdot y_{_{(n-\ell)\operatorname{mod}N}}
</math>
| सेलपैडिंग = 6
|बॉर्डर
|बॉर्डर का रंग = #0073CF
|पृष्ठभूमि का रंग=#F5FFFA}}

जो  xऔर y की व्याख्या का एक गोलाकार संवलन के रूप में जन्म देता है <ref name=Oppenheim/><ref name=McGillem/>इसका उपयोग सामान्यतः उनके रैखिक संवलन की कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए किया जाता है। (देखें वृतीय संवलन,उदाहरण, संवलन,तीव्र संवलन कलन विधि, और [[ओवरलैप-सेव विधि]])

इसी तरह, का क्रॉस-सहसंबंध <math>x</math> तथा <math>y_{_N}</math> द्वारा दिया गया है:

:<math>(x \star y_{_N})_n \triangleq \sum_{\ell=-\infty}^{\infty} x_\ell^* \cdot (y_{_N})_{n+\ell} = \mathcal{F}^{-1} \left \{ X^* \cdot Y \right \}_n.</math>
यह दिखाया गया है <ref>{{cite book |last1=Amiot |first1=Emmanuel |title=फूरियर स्पेस के माध्यम से संगीत|date=2016 |publisher=Springer |location=Zürich |isbn=978-3-319-45581-5 |page=8 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-45581-5 |ref=Theorem 1.11}}</ref> कोई भी रेखीय परिवर्तन जो संवलन को बिन्दुवत उत्पाद में बदल देता है, वह DFT (गुणांकों के क्रमपरिवर्तन तक) है।











=== संवलन प्रमेय द्वैत ===

यह भी दिखाया जा सकता है कि:

:<math>\mathcal{F} \left \{ \mathbf{x\cdot y} \right \}_k \ \triangleq
\sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot y_n \cdot e^{-i \frac{2\pi}{N} k n}</math>
::<math>=\frac{1}{N} (\mathbf{X * Y_N})_k, </math> जो कि वृत्ताकार संवलन है <math>\mathbf{X}</math> तथा <math>\mathbf{Y}</math>.

=== [[त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद]] ===
त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद
:<math>p(t) = \begin{cases}
  \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{i 2\pi t} + \cdots + X_{N/2-1} e^{i 2\pi(N/2-1) t} + X_{N/2} 
  \cos(N\pi t) + X_{N/2+1} e^{-i 2\pi(N/2-1) t} + \cdots + X_{N-1} e^{-i 2\pi t} \right]
  & N\text{ सम} \\
  \frac{1}{N} \left[ X_0 + X_1 e^{i 2\pi t} + \cdots + X_{(N-1)/2} e^{i \pi(N-1) t} + X_{(N+1)/2} 
  e^{-i \pi(N-1) t} + \cdots + X_{N-1} e^{-i 2\pi t} \right]
  & N\text{सम नहीं}
\end{cases}</math>
जहां गुणांक X<sub>''k,''</sub> X के डीएफटी द्वारा दिया जाता है<sub>''n''</sub> उपरोक्त, इंटरपोलेशन संपत्ति को संतुष्ट करता है <math>p(n/N) = x_n</math> के लिये <math>n = 0, \ldots, N-1</math>.

N के लिए भी, ध्यान दें कि Nyquist आवृत्ति <math display="inline">\frac{X_{N/2}}{N} \cos(N\pi t)</math> विशेष रूप से संभाला जाता है।

यह इंटरपोलेशन अद्वितीय नहीं है: अलियासिंग का तात्पर्य है कि कोई जटिल- ज्यावक्र आवृत्तियों में से किसी में N जोड़ सकता है (उदाहरण के लिए बदलना <math>e^{-it}</math> प्रति <math>e^{i(N-1)t}</math>) इंटरपोलेशन लक्षण को बदले बिना, लेकिन बीच में अलग-अलग मान दे रहा है <math>x_n</math> अंक। हालाँकि, उपरोक्त विकल्प विशिष्ट है क्योंकि इसमें दो उपयोगी गुण हैं। सबसे पहले, इसमें ज्यावक्र होते हैं जिनकी आवृत्तियों में सबसे छोटा संभव परिमाण होता है: प्रक्षेप बैंड-सीमित होता है। दूसरा, अगर  <math>x_n</math> वास्तविक संख्याएँ हैं, तब <math>p(t)</math> वास्तविक भी है।

इसके विपरीत, सबसे स्पष्ट त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद वह है जिसमें आवृत्तियों की सीमा (<math>-N/2</math> प्रति <math>+N/2</math> ऊपर के रूप के बजाय )0 से <math>N-1</math> रखते हैं , व्युत्क्रम डीएफटी सूत्र के समान। यह प्रक्षेप ढलान को कम नहीं करता है, और आम तौर पर वास्तविक <math>x_n</math> के लिए वास्तविक नहीं होता है ; इसका उपयोग एक सामान्य गलती है।

=== एकात्मक डीएफटी ===
डीएफटी को देखने का एक अन्य तरीका यह ध्यान रखना है कि उपरोक्त चर्चा में, डीएफटी को [[डीएफटी मैट्रिक्स|डीएफटी आव्यूह]], एक [[वैंडरमोंड मैट्रिक्स|वैंडरमोंड आव्यूह]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,पाउली आव्यूह का सामान्यीकरण ,निर्माण: 1867 में घड़ी और शिफ्ट आव्यूह,
:<math>\mathbf{F} =
\begin{bmatrix}
 \omega_N^{0 \cdot 0}     & \omega_N^{0 \cdot 1}     & \cdots & \omega_N^{0 \cdot (N-1)}     \\
 \omega_N^{1 \cdot 0}     & \omega_N^{1 \cdot 1}     & \cdots & \omega_N^{1 \cdot (N-1)}     \\
 \vdots                   & \vdots                   & \ddots & \vdots                       \\
 \omega_N^{(N-1) \cdot 0} & \omega_N^{(N-1) \cdot 1} & \cdots & \omega_N^{(N-1) \cdot (N-1)} \\
\end{bmatrix}
</math>
जहाँ पर <math>\omega_N = e^{-i 2 \pi/N}</math> एकता की आदिम जड़ें हैं।

व्युत्क्रम रूपांतरण तब उपरोक्त आव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है,
:<math>\mathbf{F}^{-1}=\frac{1}{N}\mathbf{F}^*</math>
एकात्मक ऑपरेटर सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ <math display="inline">1/\sqrt{N}</math>, डीएफटी एक [[एकात्मक परिवर्तन]] बन जाता है, जिसे एकात्मक आव्यूह द्वारा परिभाषित किया जाता है:

:<math>\begin{align}
                   \mathbf{U} &= \frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{F} \\
              \mathbf{U}^{-1} &= \mathbf{U}^* \\
\left|\det(\mathbf{U})\right| &= 1
\end{align}</math>
जहाँ पर <math>\det()</math> निर्धारक कार्य है। निर्धारक आइगनमान का उत्पाद है, जो सदैव <math>\pm 1</math> या <math>\pm i</math> होता है निम्नलिखित अनुसार एक वास्तविक सदिश स्थान में, एकात्मक परिवर्तन को समन्वय प्रणाली के केवल एक कठोर रोटेशन के रूप में माना जा सकता है, और एक कठोर रोटेशन के सभी गुण एकात्मक डीएफटी में पाए जा सकते हैं।

डीएफटी की लंबरूपता अब एक [[ऑर्थोनॉर्मल]]टी स्थिति के रूप में व्यक्त की जाती है (जो गणित के कई क्षेत्रों में उत्पन्न होती है जैसा कि [[एकता की जड़|सम्मिलित मूल]] में वर्णित है):
:<math>\sum_{m=0}^{N-1}U_{km}U_{mn}^* = \delta_{kn}</math>
यदि X को सदिश x के एकात्मक DFT के रूप में परिभाषित किया जाता है, तब
:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} U_{kn} x_n</math>
और पारसेवल प्रमेय को इस रूप में अभिव्यक्त किया जाता है
:<math>\sum_{n=0}^{N-1}x_n y_n^* = \sum_{k=0}^{N-1}X_k Y_k^*</math>
यदि हम डीएफटी को केवल एक समन्वय परिवर्तन के रूप में देखते हैं जो केवल एक नए समन्वय प्रणाली में सदिश के घटकों को निर्दिष्ट करता है, तो उपरोक्त केवल यह बयान है कि दो सदिशो का अदिश गुणन उत्पाद एकात्मक डीएफटी परिवर्तन के तहत संरक्षित है। विशेष सम्बन्ध के लिए <math>\mathbf{x} = \mathbf{y}</math>, इसका तात्पर्य है कि एक सदिश की लंबाई भी संरक्षित है - यह सिर्फ प्लैंकेरल प्रमेय है,
:<math>\sum_{n=0}^{N-1} |x_n|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |X_k|^2</math>
असतत फूरियर रूपांतरण ,सर्कुलर संवलन प्रमेय और क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय का एक परिणाम यह है कि डीएफटी आव्यूह {{mvar|F}} किसी भी परिचालित आव्यूह को विकर्ण करता है।

व्युत्क्रम DFT को DFT के संदर्भ में व्यक्त करना ,डीएफटी की एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि प्रतिलोम डीएफटी को (फॉरवर्ड) डीएफटी के संदर्भ में कई प्रसिद्ध युक्तियों के माध्यम से आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, संगणनाओं में, केवल एक रूपांतरण दिशा के अनुरूप एक तेज़ फूरियर रूपांतरण लागू करना और फिर पहले से दूसरी परिवर्तन दिशा प्राप्त करना सुविधाजनक होता है।)

सबसे पहले, हम सभी निवेशी में से एक को छोड़कर व्युत्क्रम डीएफटी की गणना कर सकते हैं (डुहामेल एट अल।, 1988):

:<math>\mathcal{F}^{-1}(\{x_n\}) = \frac{1}{N}\mathcal{F}(\{x_{N - n}\})</math>
(सदैव की तरह, सबस्क्रिप्ट्स की व्याख्या मॉड्यूलर अंकगणित एन की जाती है; इस प्रकार, के लिए <math>n = 0</math>, अपने पास <math>x_{N-0} = x_0</math>.)

दूसरा, कोई भी निवेशी  और निर्गत को संयुग्मित कर सकता है:

:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \frac{1}{N}\mathcal{F}\left(\mathbf{x}^*\right)^*</math>
तीसरा, इस संयुग्मन चाल का एक प्रकार, जो कभी-कभी बेहतर होता है क्योंकि इसमें दिए गए मानों के संशोधन की आवश्यकता नहीं होती है, इसमें वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली सम्मिलित  होती है (जो कंप्यूटर पर केवल [[सूचक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)]] को संशोधित करके किया जा सकता है)। परिभाषित करना <math display="inline">\operatorname{swap}(x_n)</math> जैसा <math>x_n</math> इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली की जाती है - अर्थात, यदि <math>x_n = a + b i</math> फिर <math display="inline">\operatorname{swap}(x_n)</math> है <math>b + a i</math>. समान रूप से, <math display="inline">\operatorname{swap}(x_n)</math> बराबरी <math>i x_n^*</math>. फिर

:<math>\mathcal{F}^{-1}(\mathbf{x}) = \frac{1}{N}\operatorname{swap}(\mathcal{F}(\operatorname{swap}(\mathbf{x})))</math>
यही है, व्युत्क्रम परिवर्तन वही है जो सामान्यीकरण तक निवेशी  और निर्गत दोनों के लिए वास्तविक और काल्पनिक भागों की अदला-बदली के साथ आगे के परिवर्तन के समान है (डुहामेल एट अल।, 1988)।

संयुग्मन चाल का उपयोग एक नए परिवर्तन को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है, जो डीएफटी से निकटता से संबंधित है, जो कि सवलन (गणित) है - जो कि इसका स्वयं का व्युत्क्रम है। विशेष रूप से, <math>T(\mathbf{x}) = \mathcal{F}\left(\mathbf{x}^*\right) / \sqrt{N}</math> स्पष्ट रूप से इसका व्युत्क्रम है: <math>T(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}</math>. एक निकट से संबंधित अनैच्छिक परिवर्तन (के एक कारक द्वारा <math display=inline>\frac{1 + i}{\sqrt{2}}</math>) है <math>H(\mathbf{x}) = \mathcal{F}\left((1 + i) \mathbf{x}^*\right) / \sqrt{2N}</math>, के बाद से <math>(1 + i)</math> में कारक <math>H(H(\mathbf{x}))</math> रद्द करें 2. वास्तविक आदानों के लिए <math>\mathbf{x}</math>, का असली हिस्सा <math>H(\mathbf{x})</math> असतत हार्टले परिवर्तन के अतिरिक्त और कोई नहीं है, जो अनैच्छिक भी है।

=== आइगनमान और आइगन सदिश ===

डीएफटी आव्यूह के [[eigenvalue|आइगनमान]] सरल और प्रसिद्ध हैं, जबकि [[eigenvector|आइगन सदिश]] जटिल हैं, अद्वितीय नहीं हैं, और चल रहे शोध का विषय हैं।

एकात्मक रूप पर विचार करें <math>\mathbf{U}</math> लंबाई एन के डीएफटी के लिए ऊपर परिभाषित, जहां
:<math>\mathbf{U}_{m,n} = \frac 1{\sqrt{N}}\omega_N^{(m-1)(n-1)} = \frac 1{\sqrt{N}}e^{-\frac{i 2\pi}N (m-1)(n-1)}.</math>
यह आव्यूह [[मैट्रिक्स बहुपद|आव्यूह बहुपद]] समीकरण को संतुष्ट करता है:
:<math>\mathbf{U}^4 = \mathbf{I}.</math>
यह उपरोक्त विपरीत गुणों से देखा जा सकता है: संचालन <math>\mathbf{U}</math> दो बार मूल डेटा को उल्टे क्रम में देता है, इसलिए संचालन करता है <math>\mathbf{U}</math> चार बार मूल डेटा वापस देता है और इस प्रकार [[पहचान मैट्रिक्स|पहचान आव्यूह]] है। इसका मतलब है कि आइगनमान  <math>\lambda</math> समीकरण को संतुष्ट करें:
:<math>\lambda^4 = 1.</math>
इसलिए, के आइगनमान  <math>\mathbf{U}</math> एकता के चार मूल हैं: <math>\lambda</math> +1, -1, +i, या -i 

चूंकि इसके लिए केवल चार अलग-अलग आइगनमान हैं <math>N\times N</math> आव्यूह, उनके पास कुछ [[बीजगणितीय बहुलता]] है। बहुलता प्रत्येक आइगनमान के अनुरूप [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] आइगन सदिश की संख्या देती है। (N स्वतंत्र आइगन सदिश हैं; एकात्मक आव्यूह कभी भी [[दोषपूर्ण मैट्रिक्स|दोषपूर्ण आव्यूह]] नहीं होता है।)

उनकी बहुलता की समस्या को मैकक्लेलन एंड पार्क्स (1972) द्वारा हल किया गया था, हालांकि बाद में यह [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] (डिकिन्सन और स्टिग्लिट्ज, 1982) द्वारा हल की गई समस्या के बराबर दिखाया गया था। बहुलता N मॉड्यूलर अंकगणितीय 4 के मान पर निर्भर करती है, और निम्न तालिका द्वारा दी गई है:

{| class="wikitable" style="margin:auto;"
|+ align="bottom" | Multiplicities of the आइगनमानs λ of the unitary DFT matrix '''U''' as a function of the transform size ''N'' (in terms of an integer ''m'').
|-
! size ''N''
! λ = +1
! λ = −1
! λ = −''i''
! λ = +''i''
|-
|    4''m''  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''  ||  ''m'' − 1
|-
|    4''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''  ||  ''m''
|-
|    4''m'' + 2  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''  ||  ''m''
|-
|    4''m'' + 3  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m'' + 1  ||  ''m''
|}
अन्यथा कहा गया है, की [[विशेषता बहुपद]] <math>\mathbf{U}</math> है:
:<math>\det (\lambda I - \mathbf{U})=
(\lambda-1)^{\left\lfloor \tfrac {N+4}{4}\right\rfloor}
(\lambda+1)^{\left\lfloor \tfrac {N+2}{4}\right\rfloor}
(\lambda+i)^{\left\lfloor \tfrac {N+1}{4}\right\rfloor}
(\lambda-i)^{\left\lfloor \tfrac {N-1}{4}\right\rfloor}.</math>
सामान्य आइगन सदिश के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र ज्ञात नहीं है। इसके अतिरिक्त, आइगन सदिश अद्वितीय नहीं हैं क्योंकि समान आइगनमान के लिए आइगन सदिश का कोई भी रैखिक संयोजन भी उस आइगनमान के लिए एक आइगन सदिश है। विभिन्न शोधकर्ताओं ने आइगनसदिशों के विभिन्न विकल्पों का प्रस्ताव दिया है, जो [[ओर्थोगोनालिटी|लंबरूपता]] जैसे उपयोगी गुणों को पूरा करने के लिए चुने गए हैं और सरल रूप हैं (जैसे, मैकक्लेलन एंड पार्क्स, 1972; डिकिन्सन एंड स्टिग्लिट्ज, 1982; ग्रुनबाम, 1982; अताकिशियेव और वुल्फ, 1997; कैंडन एट अल। 2000; हन्ना एट अल।, 2004; गुरेविच और हदानी, 2008)।

एक सीधा दृष्टिकोण निरंतर फूरियर रूपांतरण के एक आइगन फलन को अलग करना है,
जिनमें से सबसे प्रसिद्ध [[गाऊसी समारोह]] है।चूँकि  फलन के आवधिक योग का अर्थ है इसकी आवृत्ति स्पेक्ट्रम को अलग करनाऔर विवेक का अर्थ है स्पेक्ट्रम का आवधिक योग,असतत और समय-समय पर अभिव्यक्त गॉसियन  फलन असतत परिवर्तन का एक आइगनसदिश उत्पन्न करता है:
*<math>F(m) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right).</math>
श्रृंखला के लिए बंद रूप की अभिव्यक्ति को जैकोबी थीटा कार्यों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

*<math>F(m) = \frac1{\sqrt{N}}\vartheta_3\left(\frac{\pi m}N, \exp\left(-\frac{\pi}N \right)\right).</math>
विशेष डीएफटी अवधि एन के लिए दो अन्य सरल बंद-रूप विश्लेषणात्मक आइगन सदिश पाए गए (कोंग, 2008):

DFT अवधि के लिए N = 2L + 1 = 4K + 1, जहाँ K एक पूर्णांक है, निम्नलिखित DFT का आइजनसदिश है:
*<math>F(m) = \prod_{s=K+1}^L \left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]</math>
DFT अवधि के लिए N = 2L = 4K, जहाँ K एक पूर्णांक है, निम्नलिखित DFT का आइजनसदिश है:
*<math>F(m) = \sin\left(\frac{2\pi}{N}m\right) \prod_{s=K+1}^{L-1}\left[\cos\left(\frac{2\pi}{N}m\right)- \cos\left(\frac{2\pi}{N}s\right)\right]</math>
डीएफटी आव्यूह के आइगन सदिशों का चुनाव हाल के वर्षों में महत्वपूर्ण हो गया है ताकि [[आंशिक फूरियर रूपांतरण]] के असतत एनालॉग को परिभाषित किया जा सके- डीएफटी आव्यूह को आइगनमान (जैसे, रुबियो और संथानम, 2005) को  द्विपदीय करके आंशिक शक्तियों में ले जाया जा सकता है। निरंतर फूरियर परिवर्तन के लिए, प्राकृतिक लंबरूप आइगनमान हर्मिट कार्य हैं, इसलिए इनमें से विभिन्न असतत एनालॉग्स को डीएफटी के आइगनसदिशों के रूप में नियोजित किया गया है, जैसे कि [[क्रावचुक बहुपद]] (एताकिशियेव और वुल्फ, 1997)। हालांकि, आंशिक असतत फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए आइगनसदिशों का सबसे अच्छा विकल्प एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

=== अनिश्चितता के सिद्धांत ===

==== संभाव्य अनिश्चितता सिद्धांत ====
यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>''k''</sub>}} से विवश है
:<math>\sum_{n=0}^{N-1} |X_n|^2 = 1 ,</math>
फिर
:<math>P_n=|X_n|^2</math> के असतत संभाव्यता द्रव्यमान समारोह का प्रतिनिधित्व करने के लिए माना जा सकता है {{mvar|n}}रूपांतरित चर से निर्मित संबद्ध प्रायिकता द्रव्यमान  फलन के साथ,
:<math>Q_m = N |x_m|^2 .</math>
निरंतर कार्यों के सम्बन्ध में <math>P(x)</math> तथा <math>Q(k)</math>, [[हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत]] कहता है कि
:<math>D_0(X)D_0(x)\ge\frac{1}{16\pi^2}</math>
<math>D_0(X)</math> तथा <math>D_0(x)</math> के पर्याय हैं <math>|X|^2</math> तथा <math>|x|^2</math> क्रमशः, उपयुक्त सामान्यीकृत गॉसियन वितरण के सम्बन्ध में प्राप्त समानता के साथ। हालांकि भिन्नताओं को डीएफटी के लिए समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है, एक समान अनिश्चितता सिद्धांत उपयोगी नहीं है, क्योंकि अनिश्चितता बदलाव-अपरिवर्तनीय नहीं होगी। फिर भी, मसार और स्पिंडल द्वारा एक सार्थक अनिश्चितता सिद्धांत प्रस्तुत किया गया है।<ref name=Massar/>

हालांकि, डीएफटी के सम्बन्ध में हिर्शमैन [[एंट्रोपिक अनिश्चितता]] का एक उपयोगी एनालॉग होगा।<ref name=DeBrunner/>हिर्शमैन अनिश्चितता सिद्धांत दो संभाव्यता कार्यों के [[एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

असतत सम्बन्ध में, शैनन एन्ट्रापी को इस रूप में परिभाषित किया गया है
:<math>H(X)=-\sum_{n=0}^{N-1} P_n\ln P_n</math>
तथा
:<math>H(x)=-\sum_{m=0}^{N-1} Q_m\ln Q_m ,</math>
और एंट्रोपिक अनिश्चितता सिद्धांत बन जाता है<ref name=DeBrunner/>:<math>H(X)+H(x) \ge \ln(N) .</math>
के लिए समानता प्राप्त होती है <math>P_n</math> अवधि के एक उपयुक्त सामान्यीकृत [[क्रोनकर कंघी]] के अनुवाद और संशोधन के बराबर <math>A</math> जहाँ पर <math>A</math> का कोई सटीक पूर्णांक विभाजक है <math>N</math>. संभाव्यता द्रव्यमान समारोह <math>Q_m</math> तब अवधि के एक उपयुक्त रूप से अनुवादित क्रोनकर कंघी के समानुपाती होगा <math>B=N/A</math>.<ref name=DeBrunner/>


==== नियतात्मक अनिश्चितता सिद्धांत ====
एक प्रसिद्ध निर्धारक अनिश्चितता सिद्धांत भी है जो  गैर-शून्य गुणांक की संख्या का उपयोग करता है।<ref name=Donoho/> <math>\left\|x\right\|_0</math> तथा <math>\left\|X\right\|_0</math> समय और आवृत्ति क्रम के गैर-शून्य तत्वों की संख्या हो <math>x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}</math> तथा <math>X_0,X_1,\ldots,X_{N-1}</math>, क्रमश। फिर,
:<math>N \leq \left\|x\right\|_0 \cdot \left\|X\right\|_0.</math>
अंकगणित-ज्यामितीय माध्य के तत्काल परिणाम के रूप में, एक भी है <math>2\sqrt{N} \leq \left\|x\right\|_0 + \left\|X\right\|_0</math>. दोनों अनिश्चितता सिद्धांतों को विशेष रूप से चुने गए पिकेट-बाड़ अनुक्रमों (असतत आवेग ट्रेनों) के लिए तंग दिखाया गया था, और सन्देश रिकवरी अनुप्रयोगों के लिए व्यावहारिक उपयोग पाया गया।<ref name=Donoho/>


=== वास्तविक और विशुद्ध रूप से काल्पनिक संकेतों का डीएफटी ===
*यदि <math>x_0, \ldots, x_{N-1}</math> [[वास्तविक संख्या]]एं हैं, क्योंकि वे सामान्यतः व्यावहारिक अनुप्रयोगों में होती हैं, फिर डीएफटी <math>X_0, \ldots, X_{N-1}</math> [[सम और विषम कार्य]] है:
:<math>x_n \in \mathbb{R} \quad \forall n \in \{0,\ldots,N-1 \} \implies X_k = X_{-k \mod N}^* \quad \forall k \in \{0,\ldots,N-1 \}</math>, जहाँ पर <math>X^*\,</math> जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

यह उसके लिए भी अनुसरण करता है <math>N</math> <math>X_0</math> तथा <math>X_{N/2}</math> वास्तविक-मूल्यवान हैं, और शेष डीएफटी पूरी तरह से बस द्वारा निर्दिष्ट है <math>N/2-1</math> जटिल आंकड़े।

*यदि <math>x_0, \ldots, x_{N-1}</math> विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याएँ हैं, फिर DFT <math>X_0, \ldots, X_{N-1}</math> सम और विषम कार्य है:
:<math>x_n \in i \mathbb{R} \quad \forall n \in \{0,\ldots,N-1 \} \implies X_k = -X_{-k \mod N}^* \quad \forall k \in \{0,\ldots,N-1 \}</math>, जहाँ पर <math>X^*\,</math> जटिल संयुग्म को दर्शाता है।

== सामान्यीकृत डीएफटी (स्थानांतरित और गैर-रैखिक चरण) ==
क्रमशः कुछ वास्तविक पारियों a और b द्वारा समय या आवृत्ति डोमेन में परिवर्तन नमूने को स्थानांतरित करना संभव है। इसे कभी-कभी 'सामान्यीकृत डीएफटी' (या 'जीडीएफटी') के रूप में जाना जाता है, जिसे 'स्थानांतरित डीएफटी' या 'ऑफसेट डीएफटी' भी कहा जाता है, और इसमें सामान्य डीएफटी के अनुरूप गुण होते हैं:

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{i 2 \pi}{N} (k+b) (n+a)} \quad \quad k = 0, \dots, N-1.</math>
सबसे अधिक बार, की पाली <math>1/2</math> (आधा नमूना) का उपयोग किया जाता है।
जबकि साधारण डीएफटी समय और आवृत्ति डोमेन दोनों में आवधिक संकेत से मेल खाती है, <math>a=1/2</math> एक संकेत उत्पन्न करता है जो आवृत्ति डोमेन में आवधिक विरोधी है (<math>X_{k+N} = - X_k</math>) और इसके विपरीत <math>b=1/2</math>.
इस प्रकार, का विशिष्ट मामला <math>a = b = 1/2</math> विषम-समय विषम-आवृत्ति असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है (या O<sup>2</sup> डीएफटी)।
इस तरह के स्थानांतरित परिवर्तनों का उपयोग सामान्यतः सममित डेटा के लिए किया जाता है, विभिन्न सीमा समरूपताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और वास्तविक-सममित डेटा के लिए वे असतत [[असतत कोसाइन परिवर्तन]] और [[असतत साइन परिवर्तन]] के विभिन्न रूपों के अनुरूप होते हैं।

एक और दिलचस्प विकल्प है <math>a=b=-(N-1)/2</math>, जिसे केंद्रित डीएफटी (या सीडीएफटी) कहा जाता है। केंद्रित डीएफटी में उपयोगी संपत्ति है, जब 'N' चार में से एक गुणक है, तो इसके सभी चार आइगनमान (ऊपर देखें) में समान गुणक हैं (रूबियो और संथानम, 2005)<ref name=Santhanam/>

जीडीएफटी शब्द का प्रयोग डीएफटी के गैर-रैखिक चरण विस्तार के लिए भी किया जाता है। इसलिए, जीडीएफटी विधि रैखिक और गैर-रैखिक चरण प्रकारों सहित निरंतर आयाम लंबरूप ब्लॉक रूपांतरण के लिए सामान्यीकरण प्रदान करती है। जीडीएफटी एक ढांचा है
पारंपरिक डीएफटी के समय और आवृत्ति डोमेन गुणों में सुधार करने के लिए, उदा। ऑटो/क्रॉस-सहसंबंध, उचित रूप से डिज़ाइन किए गए चरण को आकार देने वाले  फलन (गैर-रैखिक, सामान्य रूप से) को मूल रैखिक चरण कार्यों (अकांसु और एग्रीमैन-तोसुन, 2010) के अतिरिक्त।<ref name=Akansu/>

असतत फूरियर रूपांतरण को [[z-परिणत]] के एक विशेष सम्बन्ध के रूप में देखा जा सकता है, जिसका मूल्यांकन जटिल विमान में यूनिट सर्कल पर किया जाता है; अधिक सामान्य जेड-रूपांतरण ऊपर ए और बी जटिल बदलावों के अनुरूप हैं।

== बहुआयामी डीएफटी ==<!-- This section is linked from [[Fast Fourier transform]] -->
साधारण डीएफटी एक आयामी अनुक्रम या [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] को रूपांतरित करता है <math>x_n</math> यह बिल्कुल एक असतत चर n का कार्य है। बहुआयामी सरणी का बहुआयामी डीएफटी <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> यह डी असतत चर का एक कार्य है <math>n_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math> के लिये <math>\ell</math> में <math>1, 2, \dots, d</math> द्वारा परिभाषित किया गया है:

:<math>X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = \sum_{n_1=0}^{N_1-1} \left(\omega_{N_1}^{~k_1 n_1} \sum_{n_2=0}^{N_2-1} \left( \omega_{N_2}^{~k_2 n_2} \cdots \sum_{n_d=0}^{N_d-1} \omega_{N_d}^{~k_d n_d}\cdot x_{n_1, n_2, \dots, n_d} \right) \right) , </math>
जहाँ पर <math>\omega_{N_\ell} = \exp(-i 2\pi/N_\ell)</math> ऊपर के रूप में और डी निर्गत इंडेक्स से चलते हैं <math>k_\ell = 0, 1, \dots, N_\ell-1</math>. यह अधिक सघन रूप से निर्देशांक सदिश संकेतन में अभिव्यक्त होता है, जहाँ हम परिभाषित करते हैं <math>\mathbf{n} = (n_1, n_2, \dots, n_d)</math> तथा <math>\mathbf{k} = (k_1, k_2, \dots, k_d)</math> 0 से सूचकांकों के डी-आयामी वैक्टर के रूप में <math>\mathbf{N} - 1</math>, जिसे हम परिभाषित करते हैं <math>\mathbf{N} - 1 = (N_1 - 1, N_2 - 1, \dots, N_d - 1)</math>:

:<math>X_\mathbf{k} = \sum_{\mathbf{n}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{-i 2\pi \mathbf{k} \cdot (\mathbf{n} / \mathbf{N})} x_\mathbf{n} \, ,</math>
जहां विभाजन <math>\mathbf{n} / \mathbf{N}</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\mathbf{n} / \mathbf{N} = (n_1/N_1, \dots, n_d/N_d)</math> तत्व-वार किया जाना है, और योग उपरोक्त नेस्टेड योगों के सेट को दर्शाता है।

बहु-आयामी डीएफटी का व्युत्क्रम, एक-आयामी सम्बन्ध के अनुरूप है, इसके द्वारा दिया गया है:

:<math>x_\mathbf{n} = \frac{1}{\prod_{\ell=1}^d N_\ell} \sum_{\mathbf{k}=\mathbf{0}}^{\mathbf{N}-1} e^{i 2\pi \mathbf{n} \cdot (\mathbf{k} / \mathbf{N})} X_\mathbf{k} \, .</math>
जैसा कि एक आयामी डीएफटी निवेशी  व्यक्त करता है <math>x_n</math> साइनसोइड्स के अध्यारोपण के रूप में, बहुआयामी डीएफटी निवेशी  को समतल तरंगों, या बहुआयामी साइनसॉइड्स के अध्यारोपणके रूप में व्यक्त करता है। अंतरिक्ष में दोलन की दिशा है <math>\mathbf{k} / \mathbf{N}</math>. आयाम हैं <math>X_\mathbf{k}</math>. आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए [[डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग]] (द्वि-आयामी) से सब कुछ के लिए यह अपघटन बहुत महत्वपूर्ण है। समाधान समतल तरंगों में टूट जाता है।

बहुआयामी डीएफटी की गणना प्रत्येक आयाम के साथ एक आयामी डीएफटी के अनुक्रम की कार्य संरचना द्वारा की जा सकती है। द्वि-आयामी सम्बन्ध में <math>x_{n_1,n_2}</math>  <math>N_1</math> पंक्तियों के स्वतंत्र डीएफटी (यानी, साथ <math>n_2</math>) की गणना पहले एक नई सरणी बनाने के लिए की जाती है <math>y_{n_1,k_2}</math>. फिर <math>N_2</math> स्तंभों के साथ y के स्वतंत्र DFTs (साथ में <math>n_1</math>) की गणना अंतिम परिणाम बनाने के लिए की जाती है <math>X_{k_1,k_2}</math>. वैकल्पिक रूप से स्तंभों की गणना पहले की जा सकती है और फिर पंक्तियों की। क्रम सारहीन है क्योंकि [[क्रमविनिमेय संचालन]] के ऊपर नेस्टेड योग।

एक आयामी डीएफटी की गणना करने के लिए एक कलन विधि इस प्रकार एक बहुआयामी डीएफटी की कुशलता से गणना करने के लिए पर्याप्त है। इस दृष्टिकोण को पंक्ति-स्तंभ एल्गोरिथम के रूप में जाना जाता है। आंतरिक रूप से तीव्र फूरियर रूपांतरण बहुआयामी एफएफटी भी हैं।

=== वास्तविक-निवेशी  बहुआयामी डीएफटी ===
निवेशी  डेटा के लिए <math>x_{n_1, n_2, \dots, n_d}</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं से मिलकर, डीएफटी निर्गत में उपरोक्त एक-आयामी सम्बन्ध के समान संयुग्मित समरूपता होती है:

:<math>X_{k_1, k_2, \dots, k_d} = X_{N_1 - k_1, N_2 - k_2, \dots, N_d - k_d}^* ,</math>
जहाँ तारा फिर से जटिल संयुग्मन को दर्शाता है और <math>\ell</math>-वें सबस्क्रिप्ट को फिर से मॉड्यूलो की व्याख्या की जाती है <math>N_\ell</math> (के लिये <math>\ell = 1,2,\ldots,d</math>).

== अनुप्रयोग ==
बड़ी संख्या में क्षेत्रों में डीएफटी का व्यापक उपयोग देखा गया है; हम केवल नीचे कुछ उदाहरणों पर विचार करते हैं (अंत में संदर्भ भी देखें)। डीएफटी के सभी अनुप्रयोग असतत फूरियर रूपांतरण और उनके व्युत्क्रम, एक तेज फूरियर रूपांतरण की गणना करने के लिए एक तेज कलन विधि की उपलब्धता पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करते हैं।

=== स्पेक्ट्रल विश्लेषण ===

[[File:DirectAndFourierSpaceLocations.png|right|thumb|500px|असतत परिवर्तन समय और स्थान में सन्निहित है।]]जब सन्देश स्पेक्ट्रल विश्लेषण के लिए डीएफटी का उपयोग किया जाता है, तो <math>\{x_n\}</math> अनुक्रम सामान्य रूप पर कुछ सन्देश के समान रूप से दूरी वाले समय-नमूने के एक सीमित सेट का प्रतिनिधित्व करता है <math>x(t)\,</math>, जहाँ पर <math>t</math> समय का प्रतिनिधित्व करता है। निरंतर समय से नमूने (असतत-समय) में रूपांतरण अंतर्निहित निरंतर फूरियर रूपांतरण को बदल देता है <math>x(t)</math> असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) में, जो सामान्य तौर पर एक प्रकार की विकृति को दर्शाता है जिसे [[अलियासिंग]] कहा जाता है। एक उपयुक्त नमूना-दर का चुनाव उस विकृति को कम करने की कुंजी है। इसी तरह, एक बहुत लंबे (या अनंत) अनुक्रम से एक प्रबंधनीय आकार में रूपांतरण में एक प्रकार की विकृति होती है जिसे [[स्पेक्ट्रल रिसाव]] कहा जाता है, जो डीटीएफटी में विस्तार (ए.के.ए. संकल्प) के नुकसान के रूप में प्रकट होता है। उपयुक्त उप-अनुक्रम लंबाई का चुनाव उस प्रभाव को कम करने की प्राथमिक कुंजी है। जब उपलब्ध डेटा (और इसे संसाधित करने का समय) वांछित आवृत्ति प्राप्त करने के लिए आवश्यक राशि से अधिक है, तो एक मानक तकनीक कई डीएफटी निष्पादित करना है, उदाहरण के लिए एक [[spectrogram|स्पेक्ट्रोग्राम]] बनाना। यदि वांछित परिणाम एक पावर स्पेक्ट्रम है और डेटा में यादृच्छिकता मौजूद है, तो कई डीएफटी के परिमाण घटकों का औसत स्पेक्ट्रम के विचरण को कम करने के लिए एक उपयोगी प्रक्रिया है (इस संदर्भ में एक [[पीरियोग्राम]] भी कहा जाता है); [[वेल्च विधि]] और [[बार्टलेट विधि]] ऐसी तकनीकों के दो उदाहरण हैं; जटिल सन्देश के पावर स्पेक्ट्रम का आकलन करने का सामान्य विषय स्पेक्ट्रल अनुमान कहा जाता है।

विरूपण (या शायद भ्रम) का एक अंतिम स्रोत डीएफटी ही है, क्योंकि यह डीटीएफटी का एक असतत नमूना है, जो निरंतर आवृत्ति डोमेन का एक कार्य है। डीएफटी के संकल्प को बढ़ाकर इसे कम किया जा सकता है। उस प्रक्रिया को सचित्र किया गया है {{slink|Discrete-time Fourier transform|Sampling the DTFT|nopage=y}}.
*प्रक्रिया को कभी-कभी जीरो-पैडिंग के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो एक विशेष कार्यान्वयन है जिसका उपयोग फास्ट फूरियर रूपांतरण (FFT) एल्गोरिथम के संयोजन के साथ किया जाता है। शून्य-मूल्यवान नमूनों के साथ गुणन और परिवर्धन करने की अक्षमता FFT की अंतर्निहित दक्षता द्वारा ऑफसेट से अधिक है।
*जैसा कि पहले ही कहा गया है, लीकेज डीटीएफटी के अंतर्निहित समाधान पर एक सीमा लगाता है, इसलिए सूक्ष्म डीएफटी से प्राप्त किए जा सकने वाले लाभ की एक व्यावहारिक सीमा है।

=== प्रकाशिकी, विवर्तन और टोमोग्राफी ===

असतत फूरियर रूपांतरण व्यापक रूप से मॉडलिंग में स्थानिक आवृत्तियों के साथ उपयोग किया जाता है जिस तरह से प्रकाश, इलेक्ट्रॉन और अन्य जांच ऑप्टिकल सिस्टम के माध्यम से यात्रा करते हैं और दो और तीन आयामों में वस्तुओं से बिखरते हैं। तीन आयामी वस्तुओं का दोहरा (प्रत्यक्ष/पारस्परिक) सदिश स्थान आगे एक तीन आयामी पारस्परिक जाली उपलब्ध कराता है, जिसका पारभासी वस्तु छाया से निर्माण ([[प्रोजेक्शन-स्लाइस प्रमेय]] के माध्यम से) अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ तीन आयामी वस्तुओं के टोमोग्राफिक पुनर्निर्माण की अनुमति देता है। आधुनिक चिकित्सा में।

=== निस्पंदन बैंक ===
देखना {{slink|Filter bank|FFT निस्पंदन बैंक|nopage=y}} तथा {{slink|Discrete-time Fourier transform|DTFT के नमूने|nopage=y}}.

=== डेटा संपीड़न ===
डिजिटल सन्देश प्रोसेसिंग का क्षेत्र आवृति डोमेन (यानी फूरियर रूपांतरण  पर) के संचालन पर बहुत अधिक निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कई [[हानिपूर्ण संपीड़न]] छवि और ध्वनि संपीड़न विधियाँ असतत फूरियर रूपांतरण को नियोजित करती हैं: सन्देश को छोटे खंडों में काटा जाता है, प्रत्येक को रूपांतरित किया जाता है, और फिर उच्च आवृत्तियों के फूरियर गुणांक, जिन्हें अगोचर माना जाता है, को छोड़ दिया जाता है। असम्पीडनीय फूरियर गुणांकों की इस घटी हुई संख्या के आधार पर व्युत्क्रम परिवर्तन की गणना करता है। (संपीड़न अनुप्रयोग सामान्यतः डीएफटी के एक विशेष रूप का उपयोग करते हैं, असतत कोज्या परिवर्तन या कभी-कभी संशोधित असतत कोज्या परिवर्तन।) कुछ अपेक्षाकृत संपीड़न कलन विधि, हालांकि, [[तरंगिका रूपांतरण]] का उपयोग करते हैं, जो समय और आवृत्ति डोमेन के बीच डेटा को खंडों में काटकर और प्रत्येक खंड को बदलने के बजाय अधिक समान समझौता करते हैं। [[[[JPEG]]2000]] के सम्बन्ध में, यह  काल्पनिक छवि सुविधाओं से बचा जाता है जो तब दिखाई देती हैं जब छवियों को मूल JPEG के साथ अत्यधिक संकुचित किया जाता है।

=== आंशिक अवकल समीकरण ===
असतत फूरियर रूपांतरण अधिकांशतः आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, जहां फिर से डीएफटी का उपयोग फूरियर श्रृंखला के लिए सन्निकटन के रूप में किया जाता है (जो अनंत N की सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है)। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह जटिल घातांक में संकेत का विस्तार करता है <math>e^{inx}</math>, जो विभेदीकरण के आइगेनफलन हैं: <math>{\text{d} \big( e^{inx} \big) }/\text{d}x = in e^{inx}</math>. इस प्रकार, फूरियर प्रतिनिधित्व में, विभेदीकरण सरल है - हम केवल से गुणा करते हैं <math>in</math>. (हालांकि, की पसंद <math>n</math> अलियासिंग के कारण अद्वितीय नहीं है; अभिसारी होने की विधि के लिए, डिस्क्रीट फूरियर रूपांतरण त्रिकोणमितीय प्रक्षेप बहुपद खंड में समान विकल्प का उपयोग किया जाना चाहिए।) निरंतर गुणांक वाले एक [[रैखिक अंतर समीकरण]] को आसानी से हल करने योग्य बीजगणितीय समीकरण में बदल दिया जाता है। परिणाम को वापस सामान्य स्थानिक प्रतिनिधित्व में बदलने के लिए व्युत्क्रम डीएफटी का उपयोग करता है। इस तरह के दृष्टिकोण को [[वर्णक्रमीय विधि]] कहा जाता है।

=== बहुपद गुणन ===

मान लीजिए कि हम बहुपद उत्पाद c(x) = a(x) · b(x) की गणना करना चाहते हैं। c के गुणांकों के लिए सामान्य उत्पाद अभिव्यक्ति में एक रैखिक (एसाइक्लिक) सवलन सम्मिलित  होता है, जहां सूचकांक चारों ओर लपेटते नहीं हैं। इसे ''a''(''x'') और  ''b''(''x'')  के गुणांक सदिशों को स्थिर अवधि के साथ ले कर एक चक्रीय दृढ़ संकल्प के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, फिर शून्य को जोड़ना ताकि परिणामी गुणांक वैक्टर 'a' और 'b' का आयाम हो {{Nowrap|''d'' > deg(''a''(''x'')) + deg(''b''(''x''))}}. फिर,

:<math>\mathbf{c} = \mathbf{a} * \mathbf{b}</math>
जहाँ c ''c''(''x'') के गुणांकों का सदिश है, और संवलन ऑपरेटर है <math>*\,</math> ऐसा परिभाषित किया गया है

:<math>c_n = \sum_{m=0}^{d-1}a_m b_{n-m\ \mathrm{mod}\ d} \qquad\qquad\qquad n=0,1\dots,d-1</math>
लेकिन डीएफटी के तहत दृढ़ संकल्प गुणन बन जाता है:

:<math>\mathcal{F}(\mathbf{c}) = \mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})</math>
यहां सदिश उत्पाद को तत्ववार लिया जाता है। इस प्रकार गुणनफल बहुपद c(x) के गुणांक गुणांक सदिश के पद 0, ..., deg(a(x)) + deg(b(x)) हैं

:<math>\mathbf{c} = \mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(\mathbf{a})\mathcal{F}(\mathbf{b})).</math>
एक तेज़ फूरियर रूपांतरण के साथ, परिणामी एल्गोरिथ्म O(N log N) अंकगणितीय संचालन लेता है। इसकी सरलता और गति के कारण, कूली-टुकी एफएफटी एल्गोरिद्म, जो संमिश्र संख्या आकारों तक सीमित है, को सामान्यतः रूपांतरण  ऑपरेशन के लिए चुना जाता है। इस सम्बन्ध में, डी को निवेशी  बहुपद डिग्री के योग से अधिक सबसे छोटे पूर्णांक के रूप में चुना जाना चाहिए जो छोटे प्रमुख कारकों (जैसे 2, 3, और 5, एफएफटी कार्यान्वयन के आधार पर) में कारक है।

==== बड़े पूर्णांकों का गुणन ====

बहुत बड़े पूर्णांकों के गुणन के लिए सबसे तेज़ ज्ञात [[गुणन एल्गोरिदम|गुणन कलन विधि]] ऊपर उल्लिखित बहुपद गुणन विधि का उपयोग करते हैं। पूर्णांकों को विशेष रूप से संख्या आधार पर मूल्यांकन किए गए बहुपद के मान के रूप में माना जा सकता है, उस आधार में अंकों के अनुरूप बहुपद के गुणांक के साथ (उदहारण - <math>123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0</math>). बहुपद गुणन के बाद, एक अपेक्षाकृत कम-जटिलता कैरी-प्रचार चरण गुणन को पूरा करता है।

==== सवलन ====
जब जानकारी व्यापक समर्थन वाले  फलन के साथ रूपांतरित होता है, जैसे कि एक बड़े नमूनाकरण अनुपात द्वारा डाउनसैंपलिंग के लिए, [[कनवल्शन प्रमेय|संवलन प्रमेय]] और एफएफटी कलन विधि के कारण, इसे बदलने के लिए तेज़ हो सकता है, निस्पंदन के परिवर्तन से बिंदुवार गुणा करें और फिर उत्क्रम करें और इसे रूपांतरित करें। वैकल्पिक रूप से, एक अच्छा निस्पंदन केवल रूपांतरित विवरण को छोटा करके और संक्षिप्त किए गए विवरण समुच्चय को फिर से परिवर्तित कर प्राप्त किया जाता है।

== कुछ असतत फूरियर रूपांतरण युग्म ==

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ '''Some DFT pairs'''
|-
! <math>x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k  e^{i 2 \pi kn/N} </math>
! <math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_n  e^{-i 2 \pi kn/N} </math>
! Note
|-
| <math>x_n e^{i 2 \pi n\ell/N} \,</math>
| <math>X_{k-\ell}\,</math>
| आवृति परिवर्तनीय प्रमेय से
|-
| <math>x_{n-\ell}\,</math>
| <math>X_k  e^{-i 2 \pi k\ell/N} \,</math>
| समय परिवर्तनीय प्रमेय से 
|-
| <math>x_n \in \mathbb{R}</math>
| <math>X_k=X_{N-k}^*\,</math>
| वास्तविक DFT
|-
| <math>a^n\,</math>
| <math>\left\{ \begin{matrix}
                   N & \mbox{if } a = e^{i 2 \pi k/N} \\
                   \frac{1-a^N}{1-a \, e^{-i 2 \pi k/N} } & \mbox{otherwise}
                \end{matrix} \right. </math>
| ज्यामितीय प्रसार सूत्र से 
|-
| <math>{N-1 \choose n}\,</math>
| <math>\left(1+e^{-i 2 \pi k/N} \right)^{N-1}\,</math>
| द्विपद प्रमेय से 
|-
| <math>\left\{ \begin{matrix}
                        \frac{1}{W} & \mbox{if } 2n < W \mbox{ or } 2(N-n) < W \\
                        0 & \mbox{otherwise}
                      \end{matrix} \right. </math>
| <math>\left\{ \begin{matrix}
              1 & \mbox{if } k = 0 \\
              \frac{\sin\left(\frac{\pi W k}{N}\right)}
                   {W \sin\left(\frac{\pi k}{N}\right)} & \mbox{otherwise}
                      \end{matrix} \right. </math>
| Xnn=0 पर W बिन्दुओ का आयतीय  विंडो फलन है। जहाँ W विषम पूर्णांक है  Xk ज्या फलन है मुख्य रूप से Xk एक दृचलित कर्नल है 
|-
| <math>\sum_{j\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi}{cN}\cdot(n+N\cdot j)^2\right)</math>
| <math>\sqrt{cN} \cdot \sum_{j\in\mathbb{Z}} \exp\left(-\frac{\pi c}{N}\cdot(k+N\cdot j)^2\right)</math>
| स्केल किए गए गाऊसी कार्यों का विवेकीकरण और आवधिक योग C >0 के लिए चूंकि या तो c या 1/c एक से बड़ा है और इस प्रकार दो श्रृंखलाओं में से एक के लिए तेजी से अभिसरण करता है, c के बड़े मान के लिए आप आवृत्ति स्पेक्ट्रम की गणना करना चुन सकते हैं और असतत फूरियर रूपांतरण का उपयोग करके समय डोमेन में परिवर्तित कर सकते हैं।
|}


== सामान्यीकरण ==

=== प्रतिनिधित्व सिद्धांत ===
{{details|परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत # असतत फूरियर परिवर्तन}}
डीएफटी को परिमित [[चक्रीय समूह]] के जटिल-मूल्यवान [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, का एक क्रम <math>n</math> सम्मिश्र संख्याओं को एक तत्व के रूप में माना जा सकता है <math>n</math>-आयामी जटिल स्थान <math>\mathbb{C}^n</math> या समकक्ष एक समारोह <math>f</math> क्रम के परिमित चक्रीय समूह से <math>n</math> जटिल संख्या के लिए, <math>\mathbb{Z}_n \mapsto \mathbb{C}</math>. इसलिए  <math>f</math> परिमित चक्रीय समूह पर एक वर्ग कार्य है, और इस प्रकार इस समूह के अलघुकरणीय वर्णों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो एकता की जड़ें हैं।

इस दृष्टिकोण से, कोई सामान्य रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए डीएफटी को सामान्यीकृत कर सकता है, या परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए अधिक संकीर्ण हो सकता है।

अधिक संकीर्ण रूप से अभी भी, परिणाम में विस्तृत रूप में, या तो लक्ष्य को बदलकर (जटिल संख्याओं के अतिरिक्त किसी क्षेत्र में मान लेना), या डोमेन (परिमित चक्रीय समूह के अतिरिक्त एक समूह) को बदलकर डीएफटी को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

=== अन्य क्षेत्र ===
{{Main|विलग फूरियर रूपांतरण (सामान्य)|संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन}}
डीएफटी के कई गुण केवल इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि <math>e^{-\frac{i 2 \pi}{N}}</math> एकता का मूल है, जिसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>\omega_N</math> या <math>W_N</math> (ताकि <math>\omega_N^N = 1</math>). इस तरह के गुणों में पूर्णता, लंबरूप, प्लांचरेल/पार्सेवल, आवधिकता, पाली,सवलन, और केन्द्रीकरण गुण सम्मिलित  हैं, साथ ही साथ कई एफएफटी किसलय भी सम्मिलित  हैं। इस कारण से, असतत फूरियर रूपांतरण को जटिल संख्याओं के अतिरिक्त [[क्षेत्र (गणित)]] में एकता की मूलो का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, और ऐसे सामान्यीकरणों को [[परिमित क्षेत्र]] के सम्बन्ध में सामान्य रूप पर संख्या-सैद्धांतिक रूपांतरण (एनटीटी) कहा जाता है। अधिक जानकारी के लिए, [[संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन]] और [[असतत फूरियर रूपांतरण (सामान्य)]] देखें।

=== अन्य परिमित समूह ===
{{Main|परिमित समूह पर फूरियर रूपांतरण}}

मानक डीएफटी अनुक्रम x पर कार्य करता है ''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>N</sub>''<sub>−1</sub>सम्मिश्र संख्याओं का, जिसे फलन {0, 1, ..., N − 1} → 'C' के रूप में देखा जा सकता है। बहुआयामी डीएफटी बहुआयामी अनुक्रमों पर कार्य करता है, जिसे कार्यों के रूप में देखा जा सकता है
:<math> \{0, 1, \ldots, N_1-1\} \times \cdots \times \{0, 1, \ldots, N_d-1\} \to \mathbb{C}. </math>
यह [[परिमित समूह]] पर फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण का सुझाव देता है, जो कार्य G → 'C' पर कार्य करता है जहां G एक परिमित समूह है। इस ढांचे में, मानक डीएफटी को चक्रीय समूह पर फूरियर रूपांतरण के रूप में देखा जाता है, जबकि बहुआयामी डीएफटी चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग पर फूरियर रूपांतरण है।

इसके अतिरिक्त, फूरियर रूपांतरण समूह के सह समूह पर हो सकता है।

== विकल्प ==
{{Main|असतत तरंगिका रूपांतरण}}
{{details|असतत तरंगिका रूपांतरण # फूरियर रूपांतरण के साथ तुलना}} विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए डीएफटी के कई विकल्प हैं, जिनमें से प्रमुख [[तरंगिकाओं]] हैं। डीएफटी का एनालॉग [[असतत तरंगिका रूपांतरण]] (डीडब्ल्यूटी) है। समय-आवृत्ति विश्लेषण के दृष्टिकोण से, फूरियर रूपांतरण की एक प्रमुख सीमा यह है कि इसमें स्थान की जानकारी सम्मिलित  नहीं है, केवल आवृत्ति की जानकारी है, और इस प्रकार ग्राहकों का प्रतिनिधित्व करने में कठिनाई होती है। चूंकि तरंगों में स्थान के साथ-साथ आवृत्ति भी होती है, वे आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करने में अधिक कठिनाई की कीमत पर, स्थान का प्रतिनिधित्व करने में बेहतर होती हैं। विवरण के लिए, डिस्क्रीट वेवलेट रूपांतरण  देखें और फ़्यूरियर रूपांतरण  के साथ तुलना करें।

== यह भी देखें ==
* [[साथी मैट्रिक्स|साथी आव्यूह]]
* डीएफटी आव्यूह
*फास्ट फूरियर रूपांतरण
*[[एफएफटीपैक]]
*[[एफएफटीडब्ल्यू]]
* [[पाउली मेट्रिसेस का सामान्यीकरण]]
* [[कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण]]
* फूरियर से संबंधित रूपांतरणों की सूची
* [[बहुआयामी परिवर्तन]]
* [[ज़क परिवर्तन]]
* [[क्वांटम फूरियर रूपांतरण]]

==टिप्पणियाँ==
{{notelist-ua}}


==संदर्भ==
{{reflist|1|refs=
<ref name=Strang>
{{cite journal |last=Strang |first=Gilbert |title=Wavelets |journal=American Scientist |date=May–June 1994 |volume=82 |issue=3 |pages=250–255 |jstor=29775194 |quote=This is the most important numerical algorithm of our lifetime...}}
</ref>
<ref name=Sahidullah>
{{cite journal |last=Sahidullah |first=Md. |author2=Saha, Goutam |title=A Novel Windowing Technique for Efficient Computation of MFCC for Speaker Recognition |journal=IEEE Signal Processing Letters |date=Feb 2013 |volume=20 |issue=2 |pages=149–152 |doi=10.1109/LSP.2012.2235067 |arxiv=1206.2437 |bibcode=2013ISPL...20..149S|s2cid=10900793 }}
</ref>
<ref name=Cooley>
{{cite journal
 |author=[[James Cooley|J. Cooley]], P. Lewis, and P. Welch
 |title=The finite Fourier transform
 |journal=IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics
 |volume=17 |issue=2 |pages=77–85 |year=1969
 |doi=10.1109/TAU.1969.1162036}}
</ref>
<ref name=mathworks>
{{cite web |title=Shift zero-frequency component to center of spectrum – MATLAB fftshift |url=http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fftshift.html|website=mathworks.com |publisher=The MathWorks, Inc. |access-date=10 March 2014 |location=Natick,MA 01760}}
</ref>
<ref name=ProakisManolakis>
{{Citation |last1 =Proakis |first1 =John G. |last2 =Manolakis |first2 =Dimitri G. |title =Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications |place=Upper Saddle River,NJ |publisher=Prentice-Hall International |year=1996 |edition=3 |language=en |id=sAcfAQAAIAAJ |isbn=9780133942897 |bibcode=1996dspp.book.....P |url-access=registration |url=https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa}}
</ref>
<ref name=Oppenheim>
{{cite book
 |last1=Oppenheim
 |first1=Alan V.
 |author-link=Alan V. Oppenheim
 |last2=Schafer
 |first2=Ronald W.
 |author2-link=Ronald W. Schafer
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 |first3=John R.
 |title=Discrete-time signal processing
 |page=[https://archive.org/details/discretetimesign00alan/page/571 571]
 |year=1999
 |publisher=Prentice Hall
 |location=Upper Saddle River, N.J.
 |isbn=0-13-754920-2
 |edition=2nd
 |url-access=registration
 |url=https://archive.org/details/discretetimesign00alan
}}&nbsp; Also available at https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
</ref>
<ref name=McGillem>
{{cite book
 |last1=McGillem
 |first1=Clare D.
 |last2=Cooper
 |first2=George R.
 |pages=171–172
 |title=Continuous and Discrete Signal and System Analysis
 |publisher=Holt, Rinehart and Winston
 |edition=2
 |date=1984
 |isbn=0-03-061703-0}}
</ref>
<ref name=Massar>
{{Cite journal |last1=Massar |first1=S. |last2=Spindel |first2=P. |doi=10.1103/PhysRevLett.100.190401 |title=Uncertainty Relation for the Discrete Fourier Transform |journal=Physical Review Letters |volume=100 |issue=19 |year=2008 |pmid=18518426 |arxiv=0710.0723 |bibcode=2008PhRvL.100s0401M |page=190401|s2cid=10076374 }}
</ref>
<ref name=DeBrunner>
{{cite journal |last1=DeBrunner |first1=Victor |last2=Havlicek |first2=Joseph P. |last3=Przebinda |first3=Tomasz|last4=Özaydin |first4=Murad |year=2005 |title=Entropy-Based Uncertainty Measures for <math>L^2(\mathbb{R}^n),\ell^2(\mathbb{Z})</math>, and <math>\ell^2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})</math> With a Hirschman Optimal Transform for <math>\ell^2(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})</math> |journal=IEEE Transactions on Signal Processing |volume=53 |issue=8 |page=2690 |doi=10.1109/TSP.2005.850329 |url=http://redwood.berkeley.edu/w/images/9/95/2002-26.pdf |access-date=2011-06-23 |bibcode=2005ITSP...53.2690D}}
</ref>
<ref name=Donoho>
{{cite journal |last1=Donoho |first1=D.L. |last2=Stark |first2=P.B |s2cid=115142886 |year=1989 |title=Uncertainty principles and signal recovery |journal=SIAM Journal on Applied Mathematics |volume=49 |issue=3 |pages=906–931 |doi=10.1137/0149053}}
</ref>
<ref name=Santhanam>
Santhanam, Balu; Santhanam, Thalanayar S. [https://ieeexplore.ieee.org/document/4217977 "''Discrete Gauss-Hermite functions and eigenvectors of the centered discrete Fourier transform''"], Proceedings of the 32nd IEEE ''International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing'' (ICASSP 2007, SPTM-P12.4), vol. III, pp. 1385-1388.
</ref>
<ref name=Akansu>
Akansu, Ali N.; Agirman-Tosun, Handan 
[http://web.njit.edu/~akansu/PAPERS/AkansuIEEE-TSP2010.pdf "''Generalized Discrete Fourier Transform With Nonlinear Phase''"], IEEE ''Transactions on Signal Processing'', vol. 58, no. 9, pp. 4547–4556, Sept. 2010.
</ref>
}}


==अग्रिम पठन==
* {{cite book
 | last = Brigham | first = E. Oran
 | title=The fast Fourier transform and its applications
 | location = Englewood Cliffs, N.J.
 | publisher = Prentice Hall
 | year=1988
 | isbn=978-0-13-307505-2
 }}
* {{cite book
 | last = Smith | first = Steven W.
 | chapter-url = http://www.dspguide.com/ch8/1.htm
 | title = The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
 | edition = Second
 | location = San Diego, Calif.
 | publisher = California Technical Publishing
 | year=1999
 | isbn=978-0-9660176-3-2
 | chapter = Chapter 8: The Discrete Fourier Transform
}}
* {{cite book
 | first = Thomas H. | last = Cormen | author-link = Thomas H. Cormen |author2=Charles E. Leiserson | author3-link = Ronald L. Rivest |author3=Ronald L. Rivest | author4-link = Clifford Stein |author4=Clifford Stein
 | year = 2001
 | title = Introduction to Algorithms
 | edition = Second
 | publisher = MIT Press and McGraw-Hill
 | isbn = 978-0-262-03293-3
 | chapter = Chapter 30: Polynomials and the FFT
 | pages = [https://archive.org/details/introductiontoal00corm_691/page/n844 822]–848
 | title-link = Introduction to Algorithms | author2-link = Charles E. Leiserson }} esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp.&nbsp;830–838.
* {{cite journal
 |author1=P. Duhamel |author2=B. Piron |author3=J. M. Etcheto | title = On computing the inverse DFT
 | journal =IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
 | volume = 36 | issue = 2 | pages = 285–286 | year = 1988
 | doi = 10.1109/29.1519
 }}
* {{cite journal
 |author1=J. H. McClellan |author2=T. W. Parks | title = Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation
 | journal =IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics
 | volume = 20 | issue = 1 | pages = 66–74 | year = 1972
 | doi = 10.1109/TAU.1972.1162342
 }}
* {{cite journal
 |author1=Bradley W. Dickinson |author2=Kenneth Steiglitz | title = Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform
 | journal =IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing
 | volume = 30 | issue = 1 | pages = 25–31 | year = 1982
 | doi = 10.1109/TASSP.1982.1163843
 | url = http://www.cs.princeton.edu/~ken/Eigenvectors82.pdf|citeseerx=10.1.1.434.5279 }} (Note that this paper has an apparent typo in its table of the आइगनमान multiplicities: the +''i''/&minus;''i'' columns are interchanged.  The correct table can be found in McClellan and Parks, 1972, and is easily confirmed numerically.)
* {{cite journal
 | author = F. A. Grünbaum
 | title = The eigenvectors of the discrete Fourier transform
 | journal =Journal of Mathematical Analysis and Applications
 | volume = 88 | issue = 2 | pages = 355–363 | year = 1982
 | doi = 10.1016/0022-247X(82)90199-8
 | doi-access = free
 }}
* {{cite journal
 |author1=Natig M. Atakishiyev |author2=Kurt Bernardo Wolf | title = Fractional Fourier-Kravchuk transform
 | journal =Journal of the Optical Society of America A
 | volume = 14 | issue = 7 | pages = 1467–1477 | year = 1997
 | doi = 10.1364/JOSAA.14.001467
 |bibcode = 1997JOSAA..14.1467A }}
* {{cite journal
 |author1=C. Candan |author2=M. A. Kutay |author3=H. M.Ozaktas | title = The discrete fractional Fourier transform
 | journal = IEEE Transactions on Signal Processing
 | volume = 48 | issue = 5 | pages = 1329–1337 | year = 2000
 | doi = 10.1109/78.839980
 |bibcode = 2000ITSP...48.1329C |url=http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/publications/ozaktas166.pdf|hdl=11693/11130 | hdl-access = free }}
* {{cite journal
 | author = Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed
 | title = Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices
 | journal =IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers
 | volume = 51 | issue = 11 | pages = 2245–2254 | year = 2004
 | doi = 10.1109/TCSI.2004.836850
 | s2cid = 14468134
 }}
*{{cite journal
 |author1=Shamgar Gurevich |author2=Ronny Hadani | title=On the diagonalization of the discrete Fourier transform
 | id=preprint at
 | journal=Applied and Computational Harmonic Analysis
 | volume = 27 | issue = 1 | year=2009
 | pages=87–99
 | doi=10.1016/j.acha.2008.11.003
 | arxiv=0808.3281
|s2cid=14833478 }}
*{{cite journal
 |author1=Shamgar Gurevich |author2=Ronny Hadani |author3=Nir Sochen | title=The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar
 | id=preprint at
 | journal= IEEE Transactions on Information Theory
 | volume = 54 | issue = 9 | pages = 4239–4253 | year=2008
 | doi=10.1109/TIT.2008.926440
 | arxiv=0808.1495
|bibcode=2008arXiv0808.1495G |s2cid=6037080 }}
* {{cite journal
 |author1=Juan G. Vargas-Rubio |author2=Balu Santhanam | title = On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform
 | journal =IEEE Signal Processing Letters
 | volume = 12 | issue = 4 | pages = 273–276 | year = 2005
 | doi = 10.1109/LSP.2005.843762
 |bibcode = 2005ISPL...12..273V |s2cid=1499353 }}
* {{cite journal
 | author = F.N. Kong
 | title = Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals
 | journal =IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs
 | volume = 55 | issue = 1 | pages = 56–60 | year = 2008
 | doi = 10.1109/TCSII.2007.909865
| s2cid = 5154718
 }}














==बाहरी संबंध==
*[https://jackschaedler.github.io/circles-sines-signals/ Interactive explanation of the DFT]
*[https://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft Matlab tutorial on the Discrete Fourier Transformation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304200056/http://www.nbtwiki.net/doku.php?id=tutorial:the_discrete_fourier_transformation_dft |date=2016-03-04 }}
*[https://web.archive.org/web/20160523205720/http://www.fourier-series.com/fourierseries2/DFT_tutorial.html Interactive flash tutorial on the DFT]
*[http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/mdft.html Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III]
*[http://www.fftw.org FFTW: Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL)]
*[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/fft.html General Purpose FFT Package:  Yet another fast DFT implementation in C &amp; FORTRAN, permissive license]
*[http://web.mit.edu/newsoffice/2009/explained-fourier.html Explained: The Discrete Fourier Transform]
*[https://web.archive.org/web/20171010173422/http://en.dsplib.org/content/dft.html Discrete Fourier Transform]
*[https://web.archive.org/web/20171113135838/http://en.dsplib.org/content/dft_freq.html Indexing and shifting of Discrete Fourier Transform]
*[https://web.archive.org/web/20171106092801/http://en.dsplib.org/content/dft_prop.html Discrete Fourier Transform Properties]
*[https://web.njit.edu/~akansu/gdft.htm Generalized Discrete Fourier Transform (GDFT) with Nonlinear Phase]

{{DSP}}

{{DEFAULTSORT:Discrete Fourier Transform}}





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