View source for असामान्‍य गोला (एक्जाॅटिक स्फीयर)

गणित के वृत्त में जिसे [[ विभेदक टोपोलॉजी |विभेदक टोपोलॉजी]] कहा जाता है, एक्जाॅटिक वृत्त अलग-अलग मैनिफोल्ड के समान हैं जिसे ''M से प्रदर्शित करते'' है, जो [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है, अपितु मानक यूक्लिडियन n-वृत्त या ''n''-वृत्त से भिन्न नहीं है। अर्थात्''M'' अपने सभी टोपोलॉजिकल गुणों के दृष्टिकोण से वृत्त को प्रदर्शित करता है, अपितु यह [[चिकनी संरचना|समतल संरचना]] में प्रदर्शित होता है, जो परिचित नहीं है, इसलिए इसका नाम एक्जाॅटिक है।

प्रथम एक्जाॅटिक वृत्तों का निर्माण किसके द्वारा किया गया था? इस प्रकार {{harvs|authorlink=जाॅन मिलनर|first=जाॅन|last=मिलनर|year=1956|txt=yes}} ने उक्त आयाम में <math>n = 7</math> जैसा <math>S^3</math>-[[फाइबर बंडल|फाइबर समूह]] को <math>S^4</math> द्वारा निरस्त कर दिया था, उन्होंने दिखाया कि 7-वृत्त पर कम से कम 7 भिन्न संरचनाएँ हैं। किसी भी आयाम में {{harvtxt|मिल्नर|1959}} ने दिखाया है कि उन्मुख एक्जाॅटिक वृत्तों के भिन्नता वर्ग जुड़े हुए योग के अनुसार एबेलियन मोनॉयड के गैर-भिन्न तत्वों का निर्माण करते हैं, जो [[परिमित समूह]] [[एबेलियन समूह]] है यदि आयाम 4 नहीं है। इसके द्वारा एक्जाॅटिक वृत्तों का वर्गीकरण {{harvs |authorlink1=मिचेल केर्वेयर |first1=मिचेल |last1=केर्वेयर |last2=मिल्नर |year=1963 |txt=yes}} ने दिखाया कि 7-वृत्त से परे [[ उन्मुखता |उन्मुखता]] पर [[जुड़ा हुआ योग]] के संचालन के अनुसार क्रम 28 के [[चक्रीय समूह]] के गैर-भिन्न तत्व के समान रहता हैं।

विशेष रूप से, इसका अर्थ यह है कि इस समूह के तत्व (n ≠ 4) S<sup>n</sup> पर समतल संरचनाओं के समतुल्य वर्ग हैं, जहां इस प्रकार दो संरचनाओं को समतुल्य माना जाता है, यदि संरचना को दूसरी संरचना पर ले जाने वाली भिन्नता को संरक्षित करने वाला अभिविन्यास है। इसके आधार पर समूह संचालन को [x] + [y] = [x + y] द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां x और y अपने समतुल्य वर्गों के मनमाने प्रतिनिधि करते हैं, और इस प्रकार x + y समतल ''S<sup>n</sup>'' पर समतल संरचना को दर्शाता है, यह x और y का जुड़ा हुआ योग है। इस प्रकार यह दिखाना आवश्यक है कि ऐसी परिभाषा चुने गए विकल्पों पर निर्भर नहीं करती है, वास्तव में यह दिखाया जा सकता है।

==परिचय==
इकाई n-वृत्त, <math>S^n</math>, सभी टुपल्स का समुच्चय है। यहाँ पर (n+1)-ट्यूपल्स <math>(x_1, x_2, \ldots , x_{n+1})</math> वास्तविक संख्याओं का योग जैसे <math>x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{n+1}^2 = 1</math> द्वारा प्रदर्शित होता हैं। उदाहरण के लिए, <math>S^1</math> जबकि, वृत्त <math>S^2</math> है, जहाँ पर 3 आयामों में से उक्त त्रिज्या की साधारण गेंद की सतह प्राप्त होती है। इसके आधार पर टोपोलॉजिस्ट क्षेत्र इसके लिए विशेष विधि का प्रयोग करती हैं। उदाहरण के लिए r त्रिज्या के n-वृत्तों पर बिंदु x को मूल बिंदु से इसकी दूरी को समायोजित करके इकाई n-वृत्त के बिंदु के साथ मिलान किया जा सकता है, इस प्रकार इसके आधार पर <math>1/r</math> को इसी प्रकार, किसी भी त्रिज्या के n-घन को निरंतर n-वृत्त में परिवर्तित किया जा सकता है।

विभेदक टोपोलॉजी में, समानता की प्रासंगिक धारणा को [[भिन्नता]] द्वारा देखा जाता है, जो अतिरिक्त शर्त के साथ होमोमोर्फिज्म है कि यह [[सुचारू कार्य]] करता है, अर्थात इसमें हर स्थान के लिए सभी आदेशों का व्युत्पन्न होना चाहिए। इस प्रकार [[ यौगिक |यौगिक]] की गणना करने के लिए, किसी को एक्स में निरंतर परिभाषित स्थानीय समन्वय प्रणालियों की आवश्यकता होती है। यहाँ पर इस प्रकार गणितज्ञों को 1956 में आश्चर्य हुआ जब मिल्नोर ने दिखाया कि निरंतर समन्वय प्रणालियों को 7-वृत्त पर दो अलग-अलग तरीकों से स्थापित किया जा सकता है, जो निरंतर अर्थ में समतुल्य थे, अपितु भिन्न अर्थ में यह उपलब्ध नहीं हैं। इस प्रकार मिल्नोर और अन्य ने यह पता लगाने का प्रयास किया हैं कि प्रत्येक आयाम में ऐसे कितने एक्जाॅटिक वृत्त उपस्थित हो सकते हैं, और यह समझने का प्रयास किया जा सकती है कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं। यहाँ पर 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- या 61-वृत्त पर कोई एक्जाॅटिक संरचना संभव नहीं है।<ref>{{Cite journal|last1=Behrens|first1=M.|last2=Hill|first2=M.|last3=Hopkins|first3=M. J.|last4=Mahowald|first4=M.|date=2020|title=कोकर जे का उपयोग करके कम आयामों में विदेशी क्षेत्रों का पता लगाना|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms.12301|journal=Journal of the London Mathematical Society|language=en|volume=101|issue=3|pages=1173–1218|arxiv=1708.06854|doi=10.1112/jlms.12301|s2cid=119170255 |issn=1469-7750}}</ref> इस प्रकार कुछ उच्च-आयामी वृत्तों में केवल दो संभावित भिन्न संरचनाएं होती हैं, अन्य में हजारों होती हैं। यहाँ ध्यान देने वाली बात यह हैं कि क्या एक्जाॅटिक 4-वृत्त उपस्थित हैं, और यदि हां तो कितने, यह गणित में अनसुलझी समस्याओं की सूची है।

==वर्गीकरण==
n-वृत्त पर समतल संरचनाओं का मोनोइड उन्मुख समतल n-मैनिफोल्ड्स का संग्रह है, जो n-वृत्त के लिए होमोमोर्फिक हैं, जो अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नता तक ले जाया जाता है। मोनॉइड ऑपरेशन जुड़ा हुआ योग है। बशर्ते <math>n\ne  4</math>, यह मोनॉइड समूह है और समूह <math>\Theta_n</math> के लिए समरूपी है, इस प्रकार एच-कोबॉर्डिज्म या एच-कोबॉर्डिज्म वर्गों की ओरिएंटेड होमोटोपी वृत्त या होमोटॉपी n-वृत्त, जो परिमित और एबेलियन है। इसके आधार पर आयाम 4 में समतल वृत्त के मोनोइड के बारे में लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है, इस तथ्य से अतिरिक्त यह परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, और इस प्रकार एबेलियन समूह प्राप्त होता है, चूंकि इस प्रकार इसके अनंत होने का संदेह दिया जाता है, इस प्रकार एक्जाॅटिक वृत्त 4-आयामी एक्जाॅटिक वृत्त और ग्लक ट्विस्ट्स पर अनुभाग देखें जा सकते है। यहां पर सामान्यीकृत किए गए पोंकारे अनुमान के अनुसार सभी समरूप n-वृत्त n-वृत्त के समरूप हैं, जिसे इस प्रकार [[स्टीफन स्माले]] ने 4 से बड़े आयामों में, [[माइकल फ्रीडमैन]] ने आयाम 4 में, और [[ त्वरित पेरेलमैन |त्वरित पेरेलमैन]] ने आयाम 3 में प्रमाणित किया है। यहाँ पर 3 आयाम वाले एडविन ई. मोइस ने प्रमाणित किया है कि प्रत्येक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से अद्वितीय समतल संरचना होती है, इस प्रकार मोइस की प्रमेय देखें, इसलिए 3-वृत्त पर समतल संरचनाओं का मोनोइड अतिरिक्त है।

===समानांतर अनेक गुना===
समूह <math>\Theta_n</math> चक्रीय उपसमूह है, जो इस प्रकार हैं-

:<math>bP_{n+1}</math>
n-वृत्त द्वारा दर्शाया गया है जो [[समानांतर कई गुना]]ओं को बांधता है। इसकी संरचनाएँ <math>bP_{n+1}</math> और भागफल <math>\Theta_n/bP_{n+1}</math> हैं।

इस प्रकार पेपर में अलग से वर्णित किया गया है, इसके आधार पर {{harvs|authorlink1=माइकल केर्वेयर|last1=केर्वेयर|last2=मिल्नर|authorlink2=जाॅन मिल्नर|year=1963}} ने जो [[सर्जरी सिद्धांत]] के विकास में प्रभावशाली था। इस प्रकार वास्तविक्ता में इस प्रकार इन गणनाओं को सर्जरी के सटीक अनुक्रम के संदर्भ में आधुनिक भाषा में तैयार किया जा सकता है, जैसा कि सर्जरी के सटीक अनुक्रम के उदाहरणों में दर्शाया गया है।

<math>bP_{n+1}</math> समूह मुख्यतः चक्रीय समूह है, और इस स्थिति को छोड़कर भिन्न या क्रम 2 है, इस प्रकार <math>n = 4k+3</math> के लिए जिस स्थिति में यह बड़ा हो सकता है, इसका क्रम [[बर्नौली संख्या|बर्नौली संख्याओं]] से संबंधित है। इस प्रकार यदि n सम है तो यह इससे भिन्न है। यदि n 1 मॉड 4 है, तो इसका क्रम 1 या 2 है, विशेष रूप से इसका क्रम 1 है, इस प्रकार यदि n 1, 5, 13, 29, या 61 है, और {{harvs|txt|first=विलियम|last=ब्राउनर|authorlink=विलियम ब्राउनर (गणितज्ञ)|year=1969}} ने सिद्ध कर दिया कि इसका क्रम 2 है, इस प्रकार यदि <math>n = 1</math> मॉड 4 फॉर्म का नहीं है, तो <math>2^k - 3</math> अब लगभग पूर्ण रूप से हल हो चुकी हैं, जिसके लिए [[कर्वैयर अपरिवर्तनीय]] समस्या से पता चलता है कि इसमें 126 से बड़े सभी n के लिए क्रम 2 है, इस स्थिति में <math>n = 126</math> अभी भी संवृत है, जिसके लिए <math>bP_{4k}</math> के लिए <math>k\ge 2</math> है।

:<math>2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,</math>
जहाँ B का अंश है <math>4B_{2k}/k</math>, और <math>B_{2k}</math> बर्नौली संख्या है, इस प्रकार टोपोलॉजिकल साहित्य में सूत्र थोड़ा भिन्न है क्योंकि टोपोलॉजिस्ट बर्नौली संख्याओं के नामकरण के लिए अलग परंपरा का उपयोग करते हैं, यह लेख संख्या सिद्धांतकारों की परंपरा का उपयोग करता है।

===भागफल के बीच मानचित्र===
भागफल समूह <math>\Theta_n/bP_{n+1}</math> [[जे-समरूपता]] की प्रतिबिंब मॉड्यूलो वृत्तों के स्थिर समरूप समूहों के संदर्भ में विवरण है, यह या तो भागफल या सूचकांक 2 के बराबर है। अधिक सटीक रूप से इंजेक्शन मानचित्र है
:<math>\Theta_n/bP_{n+1}\to \pi_n^S/J,</math>
जहाँ <math>\pi_n^S</math> वृत्त का nवाँ स्थिर समरूप समूह है, और J, J-समरूपता की प्रतिबिंब है। साथ ही <math>bP_{n+1}</math>, जे की प्रतिबिंब चक्रीय समूह है, और इस स्थिति को छोड़कर भिन्न <math>n = 4k+3</math> या क्रम 2 है, जिस स्थिति में यह बड़ा हो सकता है, इसका क्रम बर्नौली संख्याओं से संबंधित है। इस प्रकार भागफल समूह <math>\pi_n^S/J</math> वृत्त के स्थिर समरूप समूहों का कठिन भाग है, और तदनुसार इसके लिए <math>\Theta_n/bP_{n+1}</math> एक्जाॅटिक वृत्तों का कठिन भाग है, अपितु लगभग पूर्ण रूप से वृत्तों के समरूप समूहों की गणना करने के लिए कम हो जाता है। इस प्रकार इस क्षेत्र के लिए या तो समरूपता है, जिसके आधार पर प्रतिबिंब संपूर्ण समूह को प्रदर्शित करता है, या उपसमूह 2 के सूचकांक के साथ इंजेक्शन मानचित्रत होता है। इस प्रकार उत्तरार्द्ध स्थिति ऐसी है कि यदि केरवायर इनवेरिएंट 1 के साथ n-आयामी फ़्रेमयुक्त मैनिफोल्ड उपस्थित है, जो केरवायर इनवेरिएंट समस्या के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार एक्जाॅटिक वृत्तों के वर्गीकरण में 2 का कारक केरवायर अपरिवर्तनीय समस्या पर निर्भर करता है।

2012 वर्ष के अनुसार केवल इस स्थिति के साथ केरवायर इनवेरिएंट समस्या लगभग पूर्ण रूप से हल हो गई है, इस प्रकार <math>n=126</math>  संवृत रहना आवश्यक होता हैं, इस विवरण के लिए यह लेख देखें, इस प्रकार यह मुख्यतः {{harvtxt|ब्राउडर|1969}} का कार्य है , जिससे प्रमाणित हुआ कि ऐसी विविधताएँ केवल आयाम में ही उपस्थित थीं, इस प्रकार <math>n=2^j-2</math>, और {{harvtxt|हिल|हाॅप्किंस|रैविनेयल|2016}}, जिससे प्रमाणित हुआ कि आयाम के लिए ऐसे कई गुना नहीं थे, इस प्रकार इसके आधार पर <math>254=2^8-2</math> और ऊपर दिए गए हैं। इसके आधार पर केरवायर इनवेरिएंट 1 के साथ मैनिफोल्ड्स का निर्माण आयाम 2, 6, 14, 30 और 62 में किया गया है, अपितु आयाम 126 संवृत है, जिसमें कोई भी मैनिफोल्ड न तो निर्मित किया गया है और न ही अस्वीकृत किया गया है।

===Θ<sub>n</sub> का क्रम===
समूह का क्रम <math>\Theta_n</math> इस सूची में दिया गया है, जिसे इस प्रकार {{harv|कैरवेयर|मिल्नर|1963}} की प्रविष्टि के लिए <math>n = 19</math> द्वारा उनके पेपर में 2 गुना ग़लत है, इस खंड III के पृष्ठ में सुधार देखें जा सकते हैं। इस प्रकार मिल्नोर के एकत्रित कार्यों में से 97 इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Dim n !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18 !! 19 !! 20
|-
! order <math>\Theta_n</math>
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 2 || 8 || 6 || 992 || 1 || 3 || 2 || 16256 || 2 || 16 || 16 || 523264 || 24
|-
!<math>bP_{n+1}</math>
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 28 || 1 || 2 || 1 || 992 || 1 || 1 || 1 || 8128 || 1 || 2 || 1 || 261632 || 1
|-
!<math>\Theta_n/bP_{n+1}</math>
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24
|-
!<math>\pi_n^S/J</math> 
| 1 || 2 || 1 || 1 || 1 || 2 || 1 || 2 || 2×2 || 6 || 1 || 1 || 3 || 2×2 || 2 || 2 || 2×2×2 || 8×2 || 2 || 24
|-
!index
| – || 2 || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || – || – || 2 || – || – || – || – || – || –
|}
ध्यान दें कि इस कमी के लिए <math>n = 4k - 1</math>, तब <math>\theta_n</math> हैं <math>28 = 2^2(2^3-1)</math>, <math>992 = 2^5(2^5 - 1)</math>, <math>16256 = 2^7(2^7 - 1) </math>, और <math>523264 = 2^{10}(2^9 - 1)  </math> को इस तालिका में आगे की प्रविष्टियों की गणना ऊपर दी गई जानकारी के साथ-साथ वृत्त के स्थिर समरूप समूहों की सूची से इंगित की जा सकती है।

वृत्त के स्थिर समरूप समूहों की गणना द्वारा, {{harvtxt|वैंग|सू|2017}} सिद्ध करता है कि वृत्त {{math|''S''<sup>61</sup>}} की अद्वितीय समतल संरचना है, और इस प्रकार यह इस मान के साथ अंतिम विषम-आयामी वृत्त है - केवल {{math|''S''<sup>1</sup>}}, {{math|''S''<sup>3</sup>}}, {{math|''S''<sup>5</sup>}}, और {{math|''S''<sup>61</sup>}} ही इसका उदाहरण प्रकट करते हैं।

==एक्जाॅटिक वृत्तों के स्पष्ट उदाहरण==

{{quote box
|align=right
|width=33%
|quote=  जब 50 के दशक के मध्य में मुझे ऐसा उदाहरण मिला, तो मैं बहुत हैरान हो गया और मुझे नहीं पता था कि इसका क्या अर्थ निकाला जाए। सबसे पहले, मैंने सोचा कि मुझे आयाम सात में सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान का एक प्रति-उदाहरण मिल गया है। अपितु सावधानीपूर्वक अध्ययन से पता चला कि मैनिफोल्ड वास्तव में <math>S^7</math> के लिए होमियोमॉर्फिक था। इस प्रकार, <math>S^7</math> पर एक भिन्न संरचना उपस्थित है जो मानक संरचना से भिन्न नहीं है।
|source={{harvs|txt|first=John|last=Milnor|year=2009|loc=p.12}}
}}

=== मिल्नोर का निर्माण ===
{{Main|मिल्नर वृत्त}}

इस प्रकार यह खोजा गया हैं कि एक्जाॅटिक वृत्त के पहले उदाहरणों में से {{harvtxt|मिल्नर|1956|loc=section 3}} द्वारा निम्नलिखित था, मान लीजिए <math id= en.wikipedia.org/wiki/Ball_(Mathemathics) >B^4</math> यूनिट बॉल <math>R^4</math> है, और <math>S^3</math> इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] हो - तो 3-वृत्तोंं को हम इकाई चतुर्भुज के समूह के साथ पहचानते हैं। अब इसकी दो प्रतियाँ <math>B^4 \times S^3</math> लें , जिसे प्रत्येक सीमा के साथ <math>S^3 \times S^3</math>, और पहचान कर उन्हें साथ संयोजित कर देते हैं, इसके लिए <math>(a,b)</math> के साथ पहली सीमा में <math>(a,a^2ba^{-1})</math> दूसरी सीमा में परिणामी मैनिफ़ोल्ड में प्राकृतिक समतल संरचना होती है, और यह होमियोमॉर्फिक <math>S^7</math> होती है, अपितु <math>S^7</math> इससे भिन्न नहीं है, इस प्रकार मिल्नोर ने दिखाया कि यह लुप्त हो रही चौथी बेट्टी संख्या के साथ किसी भी समतल 8-गुना की सीमा नहीं है, और इसमें स्वयं के लिए कोई अभिविन्यास-उलट भिन्नता नहीं है, इनमें से किसी भी गुण का तात्पर्य यह है कि यह मानक 7-वृत्त नहीं है। मिल्नोर ने दिखाया कि इस मैनिफोल्ड में केवल दो [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] के साथ [[मोर्स फ़ंक्शन]] है, दोनों गैर-पतित हैं, जिसका अर्थ है कि यह स्थलीय रूप से वृत्त है।

=== ब्रिस्कोर्न वृत्त ===
जैसा कि दिखाया गया है, {{harvs|txt=yes|first=एगबर्ट |last=ब्रिसकोर्न|author-link=एगबर्ट ब्रिसकोर्न|year=1966|year2=1966b}} के लिए यह सभी देखें {{harv|हिरज़ेब्रुच|मेयर|1968}} बिंदुओं के जटिल समूह का प्रतिच्छेदन <math>\Complex^5</math> संतुष्टि देने वाला हैं जो इस प्रकार हैं-
:<math>a^2 + b^2 + c^2 + d^3 + e^{6k-1} = 0\ </math>
मूल के चारों ओर छोटे से वृत्त के साथ <math>k = 1, 2, \ldots, 28</math> उन्मुख 7-वृत्त पर सभी 28 संभावित समतल संरचनाएं देता है। समान मैनिफोल्ड्स को ब्रिस्कोर्न वृत्त कहा जाता है।

==मुड़ा हुआ वृत्त==
अभिविन्यास-संरक्षण में भिन्नता को देखते हुए <math>f\colon S^{n-1} \to   S^{n-1}</math>, मानक डिस्क की दो प्रतियों की सीमाओं को <math>D^n</math> पर संचरित करके F के साथ मिलकर मैनिफोल्ड प्राप्त होता है, जिसे मुड़ा हुआ वृत्त कहा जाता है। यह मानक n-वृत्त के समतुल्य समरूपता है, क्योंकि ग्लूइंग मानचित्र पहचान के लिए समरूप है, इस अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नता, इसलिए डिग्री 1, अपितु मानक वृत्त के लिए सामान्य रूप से भिन्न नहीं है। इस प्रकार {{harv|मिल्नर|1959b}} समुच्चय <math>\Gamma_n</math> मुड़े हुए n-वृत्त का समूह होने के लिए संयोजित करने के आधार पर इसके योग के अनुसार सटीक अनुक्रम प्राप्त करता है-
:<math>\pi_0\operatorname{Diff}^+(D^n) \to \pi_0\operatorname{Diff}^+(S^{n-1}) \to \Gamma_n \to 0.</math>
जिसके लिए <math>n>5</math>, प्रत्येक एक्जाॅटिक n-वृत्तकार मुड़े हुए वृत्त से भिन्न होता है, स्टीफन स्माले द्वारा सिद्ध परिणाम जिसे एच-कोबॉर्डिज्म एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय के सटीक कथन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है या एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय की सहायता से प्राप्त करते हैं। इसके विपरीत, [[ टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना |टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना]] समुच्चयिंग में सबसे बाईं ओर का नक्शा अलेक्जेंडर ट्रिक रेडियल एक्सटेंशन के माध्यम से चालू होता है: प्रत्येक पीसवाइज-लीनियर-ट्विस्टेड वृत्त मानक है। इस प्रकार समूह <math>\Gamma_n</math> मुड़े हुए वृत्त सदैव समूह के लिए समरूपी होते हैं, जिसके आधार पर <math>\Theta_n</math> नोटेशन अलग-अलग हैं क्योंकि पहले यह ज्ञात नहीं था कि वे समान हैं <math>n = 3</math> या 4, उदाहरण के लिए, इस स्थिति के अनुसार <math>n = 3</math> पोंकारे अनुमान के समतुल्य है।

1970 में [[जॉन डियर]] ने [[स्यूडोआइसोटोपी प्रमेय]] को सिद्ध किया जिसका तात्पर्य यह है कि <math>\pi_0 \operatorname{Diff}^+(D^n)</math> प्रदान किया गया भिन्न समूह है जो <math>n \geq 6</math> प्रकार के हैं, इसलिए <math>\Gamma_n \simeq \pi_0 \operatorname{Diff}^+(S^{n-1})</math> हैं जो <math>n \geq 6</math> की सीमा का अनुसरण करता हैं।

==अनुप्रयोग==
यदि M टुकड़ा-वार रैखिक मैनिफोल्ड है, जो M पर संगत समतल संरचनाओं को खोजने की समस्या समूहों के ज्ञान पर निर्भर करती है, इस प्रकार यहाँ पर {{nowrap|1=Γ<sub>''k''</sub> = Θ<sub>''k''</sub>}}. अधिक सटीक रूप से, किसी भी सुचारु संरचना के अस्तित्व में बाधाएँ समूहों में निहित होती हैं, इस प्रकार {{nowrap|H<sub>''k+1''</sub>(''M'', Γ<sub>''k''</sub>)}} k के विभिन्न मानों के लिए, जबकि यदि ऐसी कोई समतल संरचना उपस्थित है तो ऐसी सभी समतल संरचनाओं को समूहों का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है, इस प्रकार {{nowrap|H<sub>''k''</sub>(''M'', Γ<sub>''k''</sub>)}} को विशेष रूप से समूह Γ<sub>''k''</sub> विलुप्त हो जाता हैं, यदि {{nowrap|''k'' &lt; 7}}, इसलिए अधिकतम 7 आयाम वाले सभी पीएल मैनिफोल्ड में समतल संरचना होती है, जो अनिवार्य रूप से अद्वितीय होती है यदि मैनिफोल्ड का आयाम अधिकतम 6 होता हैं।

निम्नलिखित परिमित एबेलियन समूह मूलतः समान हैं:
*समूह Θ<sub>''n''</sub> उन्मुख होमोटॉपी n-वृत्तों के एच-कोबॉर्डिज़्म वर्गों के लिए अनुमानित होती हैं।
*उन्मुख n-वृत्तों के एच-कोबॉर्डिज़्म वर्गों का समूह हैं।
*समूह Γ<sub>''n''</sub> मुड़े हुए उन्मुख n-वृत्त के समान हैं।
*होमोटॉपी समूह {{pi}}<sub>''n''</sub>(पीएल/डीआईFF) हैं।
*यदि {{nowrap|''n'' ≠ 3}}, होमोटॉपी समूह {{pi}}<sub>''n''</sub>(शीर्ष/अंतर) के लिए यदि {{nowrap|1=''n'' = 3}} इस समूह का क्रम 2 है, किर्बी-सीबेनमैन इनवेरिएंट देखें।
*एक उन्मुख पीएल n-वृत्त की समतल संरचनाओं का समूह हैं।
*यदि {{nowrap|''n'' ≠ 4}}, उन्मुख टोपोलॉजिकल n-वृत्त की समतल संरचनाओं का समूह हैं।
*यदि {{nowrap|''n'' &ne; 5}}, S<sup>n−1</sup> के सभी अभिविन्यास-संरक्षण भिन्नताओं के समूह के घटकों का समूह हैं।

==4-आयामी एक्जाॅटिक वृत्त और ग्लक ट्विस्ट==
4 आयामों में यह ज्ञात नहीं है कि 4-वृत्त पर कोई एक्जाॅटिक समतल संरचनाएं हैं या नहीं। यह कथन कि उनका अस्तित्व नहीं है, सुचारु पोंकारे अनुमान के रूप में जाना जाता है, और इसकी चर्चा की जाती है, {{harvs|txt | last1=फ्रीडमैन | first1=माइकल | authorlink1=माइकल फ्रीडमैन| last2=गाॅम्फ | first2=राॅबर्ट | authorlink2=रॉबर्ट गोम्फ| last3=माॅरिसन | first3=स्काॅट | last4=वाकर | first4=केविन | year=2010}} कहते हैं कि यह असत्य माना जाता है।

एक्जाॅटिक 4-वृत्तों के लिए प्रस्तावित कुछ उम्मीदवार कैपेल-शेनसन वृत्त हैं, ({{harvs|txt|last1=कैपेल|first1=सिल्वेन|authorlink1=सिल्वेन कैपेल|last2=शेनसन|first2=जूलियस|authorlink2=जूलियस शैनेसन|year=1976}}) और ग्लुक ट्विस्ट द्वारा व्युत्पन्न {{harv|ग्लक|1962}} ट्विस्ट वृत्त का निर्माण S में 2-वृत्त S<sup>4</sup> के ट्यूबलर का समीपस्थ भाग को काटकर किया जाता है, और इसकी सीमा S<sup>2</sup>×S<sup>1</sup> की भिन्नता का उपयोग करके इसे वापस संयोजित दिया गया हैं। इसका परिणाम सदैव S<sup>4</sup> के समरूपी होता है, इसके पिछले कुछ वर्षों में कई मामलों को सुचारु 4 आयामी पोंकारे अनुमान के संभावित प्रतिउदाहरण के रूप में निरस्त कर दिया गया था। उदाहरण के लिए, {{harvs|txt|last=गॉर्डन|first=कैमरून|authorlink=कैमरून गॉर्डन (गणितज्ञ)| year=1976}}, {{harvs|txt|last=मोंटेसिनो|first=जोस|year=1983}}, {{harvs|txt|last=प्लॉटनिक|first=स्टीवन पी. |year=1984}}, {{harvtxt|गोम्फ|1991}}, {{harvtxt|हाबिरो|मारुमोटो|यामाडा|2000}}, {{harvs|txt|last=अकबुलुत|first=सेल्मन|authorlink=सेल्मन| year=2010}}, {{harvtxt|गाॅम्फ|2010}}, {{harvtxt|किम|यामाडा|2017}} इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

==यह भी देखें==
* मिल्नोर का वृत्त
*[[एटलस (टोपोलॉजी)]]
*[[क्लचिंग निर्माण]]
*एक्जाॅटिक R4 या एक्जाॅटिक R<sup>4</sup>
*[[सेर्फ़ सिद्धांत]]
*सात-आयामी क्षेत्र

==संदर्भ==
{{Reflist}}
*{{Citation | last1=Akbulut | first1=Selman | author-link=Selman Akbulut| title=Cappell–Shaneson homotopy spheres are standard |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=171 | issue=3 |year=2010 |pages=2171&ndash;2175 |doi=10.4007/annals.2010.171.2171  |arxiv=0907.0136 | s2cid=754611 }}
*{{citation |mr=0198497 |last=Brieskorn |first= Egbert V. |author-link=Egbert Brieskorn| title=Examples of singular normal complex spaces which are topological manifolds |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |volume= 55|year= 1966|pages= 1395–1397 |issue=6 |doi=10.1073/pnas.55.6.1395 |pmid=16578636 |pmc=224331|bibcode=1966PNAS...55.1395B|doi-access=free }}
*{{citation |mr=0206972 |last=Brieskorn |first= Egbert |author-link=Egbert Brieskorn| title=Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten |journal=Invent. Math. |volume=2 |year=1966b |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1007/BF01403388|bibcode=1966InMat...2....1B |s2cid=123268657 }}
*{{citation |mr=0251736 |first=William |last=Browder |author-link=William Browder (mathematician)| title=The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization |journal= [[Annals of Mathematics]] |volume= 90 |year=1969 |pages= 157–186 |doi=10.2307/1970686 |jstor=1970686 |issue=1}}
*{{Citation | last1=Cappell | first1=Sylvain E. | authorlink1=Sylvain Cappell| last2=Shaneson | first2=Julius L. | authorlink2=Julius Shaneson| title=Some new four-manifolds | journal= [[Annals of Mathematics]] | year=1976  | volume=104  | issue=1 | pages=61–72 | doi=10.2307/1971056 | jstor=1971056 }}
*{{Citation | last1=Freedman | first1=Michael |authorlink1=Michael Freedman|  last2=Gompf | first2=Robert | last3=Morrison | first3=Scott | last4=Walker | first4=Kevin | title=Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincaré conjecture | arxiv=0906.5177 | year=2010 | journal= Quantum Topology | volume=1 | issue=2 | pages=171–208 | doi=10.4171/qt/5| s2cid=18029746 }}
*{{citation |first=Herman |last=Gluck |title=The embedding of two-spheres in the four-sphere |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=104 |year=1962 |pages=308&ndash;333 |mr= 0146807 |issue=2 |doi=10.2307/1993581 |jstor=1993581 |doi-access=free }}
*{{citation |last1=Hughes|first1=Mark|last2=Kim|first2=Seungwon|last3=Miller|first3=Maggie|title=Gluck Twists Of ''S''<sup>4</sup> Are Diffeomorphic to ''S''<sup>4</sup>|year=2018|arxiv=1804.09169v1}}
*{{citation |first=Robert E |last=Gompf |author-link=Robert Gompf| title=Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevance to the Andres-Curtis and Schoenflies problems |journal=[[Topology (journal)|Topology]] |volume=30 |year=1991 |pages=123&ndash;136 |doi=10.1016/0040-9383(91)90036-4 |doi-access=free }}
*{{citation |first=Robert E |last=Gompf |author-link=Robert Gompf| title=More Cappell-Shaneson spheres are standard |journal=[[Algebraic & Geometric Topology]] |volume=10 |issue=3 |year=2010 |pages=1665&ndash;1681 |doi=10.2140/agt.2010.10.1665 |arxiv=0908.1914 |s2cid=16936498 }}
*{{citation |first=Cameron McA. |last=Gordon |author-link=Cameron Gordon (mathematician)| title=Knots in the 4-sphere |journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici]] |volume=51 |year=1976 |pages=585&ndash;596 |doi=10.1007/BF02568175 |s2cid=119479183 }}
*{{citation |first1=Kazuo |last1=Habiro |first2=Yoshihiko | last2=Marumoto | first3=Yuichi| last3=Yamada |title=Gluck surgery and framed links in 4-manifolds |journal=Series on Knots and Everything |volume=24 |year=2000 |pages=80–93 | publisher=World Scientific |isbn=978-9810243401 }}
*{{cite journal |last1=Hill |first1=Michael A. |last2=Hopkins |first2=Michael J. |author2-link=Michael J. Hopkins| last3=Ravenel |first3=Douglas C. |author3-link=Douglas Ravenel| date=2016 |orig-year=First published as arXiv 2009 |title=On the non-existence of elements of Kervaire invariant one |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=184 |issue=1 |pages=1–262 |doi=10.4007/annals.2016.184.1.1  |arxiv=0908.3724 |s2cid=13007483 }}
*{{citation |first1=Friedrich |last1=Hirzebruch |first2= Karl Heinz |last2=Mayer |title=O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten |series= Lecture Notes in Mathematics |volume= 57 |publisher= [[Springer-Verlag]] |location= Berlin-New York |year= 1968 |mr= 0229251 |doi=10.1007/BFb0074355|isbn=978-3-540-04227-3 }} This book describes Brieskorn's work relating exotic spheres to singularities of complex manifolds.
*{{cite journal| first1 = Michel A. | last1 = Kervaire | authorlink1 = Michel Kervaire | first2 = John W. | last2 = Milnor | authorlink2 = John Milnor | url = http://www.uni-math.gwdg.de/schick/publ/Groups%20of%20homotopy%20spheres%20I.pdf | title = Groups of homotopy spheres: I | journal = [[Annals of Mathematics]] | volume = 77 | year = 1963 | issue = 3 | pages = 504–537 | doi = 10.2307/1970128| jstor = 1970128| mr = 0148075}} – This paper describes the structure of the group of smooth structures on an ''n''-sphere for ''n'' > 4. The promised paper "Groups of Homotopy Spheres: II" never appeared, but Levine's lecture notes contain the material which it might have been expected to contain.
*{{citation| first1 = Min Hoon | last1 = Kim  | first2 = Shohei | last2 = Yamada | title = Ideal classes and Cappell-Shaneson homotopy 4-spheres | arxiv=1707.03860v1| year = 2017}}
*{{citation |first=Jerome P. |last=Levine |author-link=Jerome Levine| title=Algebraic and geometric topology |chapter=Lectures on groups of homotopy spheres |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1126 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin-New York |year=1985 |pages=62–95 |mr=8757031 |doi=10.1007/BFb0074439|isbn=978-3-540-15235-4 }}
*{{citation|first=John W.|last= Milnor |s2cid= 18780087 |author-link = John Milnor | title=On manifolds homeomorphic to the 7-sphere|journal= [[Annals of Mathematics]] |volume=64|year=1956|issue= 2 |pages=399–405|mr= 0082103|doi=10.2307/1969983|jstor=1969983}}
*{{citation|first=John W.|last= Milnor|author-link = John Milnor |title=Sommes de variétés différentiables et structures différentiables des sphères|journal=[[Bulletin de la Société Mathématique de France]] |volume=87|year=1959|pages= 439–444|mr= 0117744|doi= 10.24033/bsmf.1538|doi-access=free}}
*{{citation|first=John W.|last= Milnor |author-link = John Milnor | title=Differentiable structures on spheres|journal= [[American Journal of Mathematics]]|volume=81|year=1959b|issue= 4|pages= 962–972|mr= 0110107|doi=10.2307/2372998|jstor=2372998}}
*{{citation|mr=1747528|last= Milnor|first= John |author-link = John Milnor |chapter=Classification of <math>(n-1)</math>-connected <math>2n</math>-dimensional manifolds and the discovery of exotic spheres|pages=25–30| title = Surveys on Surgery Theory: Volume 1 | series = Annals of Mathematics Studies 145 | editor1-first = Sylvain | editor1-last = Cappell | editor1-link=Sylvain Cappell | editor2-first = Andrew | editor2-last = Ranicki | editor2-link=Andrew Ranicki | editor3-first = Jonathan | editor3-last = Rosenberg| editor3-link=Jonathan Rosenberg (mathematician) | year= 2000 | publisher = Princeton University Press | isbn = 9780691049380}}.
*{{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=John Milnor | editor1-last=Mrowka | editor1-first=Tomasz S. | editor1-link = Tomasz Mrowka | editor2-last=Ozsváth | editor2-first=Peter S. | editor2-link= Peter Ozsváth | title=Low dimensional topology. Lecture notes from the 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School held in Park City, UT, Summer 2006. | chapter-url=http://www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/pcity-lec.pdf | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=IAS/Park City Math. Ser. | isbn=978-0-8218-4766-4  | mr=2503491 | year=2009 | volume=15 | chapter=Fifty years ago: topology of manifolds in the 50s and 60s | pages=9–20}}
*{{citation|first=John W.|last= Milnor |author-link=John Milnor | title=Differential topology forty-six years later|journal= [[Notices of the American Mathematical Society]] |volume=58|year=2011|issue= 6 |pages=804&ndash;809|url=https://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf}}
*{{citation|first=José M.|last= Montesinos |title=On twins in the four-sphere I|journal= [[The Quarterly Journal of Mathematics]] |volume=34|year=1983|issue= 6 |pages=171&ndash;199|doi=10.1093/qmath/34.2.171|url= https://eprints.ucm.es/17187/1/On%20twins%20in%20the%20four%20sphere.pdf }}
*{{citation|title=Fibered knots in <math>S^4</math> – twisted, spinning, rolling, surgery, and branching| last=Plotnick| first=Steven P|publisher=American Mathematical Society, Contemporary Mathematics Volume 35|pages=437&ndash;459 | year=1984|isbn=978-0-8218-5033-6 | editor-first=Cameron McA. |editor-last=Gordon |editor-link=Cameron Gordon (mathematician)}}.
* {{citation
 |last1= Wang
 |first1= Guozhen
 |last2= Xu
 |first2= Zhouli
 |title= The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres
 |journal= [[Annals of Mathematics]]
 |volume= 186
 |year= 2017
 |issue= 2
 |pages= 501–580
 |doi=10.4007/annals.2017.186.2.3
 |mr= 3702672
 |arxiv= 1601.02184
 |s2cid= 119147703
 }}.
*{{springer|title=Milnor sphere|id=M/m063800|first=Yuli B.| last=Rudyak}}
== बाहरी संबंध ==
*[https://web.archive.org/web/20110401030522/http://www.manifoldatlas.him.uni-bonn.de/Exotic_spheres Exotic spheres] on the Manifold Atlas
*[http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/exotic.htm Exotic sphere home page] on the home page of Andrew Ranicki. Assorted source material relating to exotic spheres.
*[http://www.nilesjohnson.net/seven-manifolds.html An animation of exotic 7-spheres] Video from a presentation by [http://www.nilesjohnson.net/ Niles Johnson] at the [http://www.ima.umn.edu/2011-2012/SW1.30-2.1.12/ Second Abel conference] in honor of [[John Milnor]].
*[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Gluck_construction#References The Gluck construction] on the Manifold Atlas

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