View source for इकोसिट्रिगोन

{{short description|Polygon with 23 sides}}
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[[ज्यामिति]] में, '''इकोसिट्रिगोन''' (या '''इकोसिकाइट्रिगोन''') या 23-गॉन 23-पक्षीय [[बहुभुज]] है। आईकोसिट्रिगोन को सबसे छोटा नियमित बहुभुज होने का गौरव प्राप्त है जो [[न्यूसिस निर्माण]] नहीं है।

==नियमित इकोसिट्रिगोन==
[[नियमित बहुभुज]] इकोसिट्रिगोन को श्लाफली प्रतीक {23} द्वारा दर्शाया गया है।

नियमित इकोसिट्रिगोन में <math display="inline">A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2</math> के क्षेत्र के साथ <math display="inline">\frac{3780}{23}</math> घात के [[आंतरिक कोण]] होते हैं, जहाँ <math>a</math> पक्ष की लंबाई है और <math>r</math> अंतःत्रिज्या, या अंतःत्रिज्या है।

[[23 (संख्या)]] न तो [[फर्मेट प्राइम]] और न ही पियरपोंट प्राइम होने के कारण नियमित इकोसिट्रिगोन एक [[सीधा किनारा और कम्पास निर्माण|कम्पास और स्ट्रेटेज]] या कोण त्रिभाजन के साथ रचनात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, नियमित आईकोसिट्रिगोन सबसे छोटा नियमित बहुभुज है<ref>''Tomahawk-nonconstructible n-gons'' [[OEIS]]; https://oeis.org/A048136</ref> जो न्यूसिस के साथ भी रचनात्मक नहीं है।

नियमित इकोसिट्रिगोन की गैर-संरचनात्मकता के संबंध में, ए बारागर (2002) ने दिखाया कि केवल एक कम्पास और दो-नुकीला सीधा किनारा का उपयोग करके नियमित 23-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है, यह प्रदर्शित करते हुए कि उक्त विधि से निर्मित प्रत्येक बिंदु क्षेत्र के टॉवर में स्थित है। <math>\Q</math> पर ऐसा है कि <math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math>, नेस्टेड क्षेत्र का अनुक्रम होना जिसमें प्रत्येक चरण पर विस्तार की घात 2, 3, 5, या 6 है।

मान लीजिए <math>\alpha</math> में <math>\Complex</math> कम्पास और दो बार नोकदार सीधा किनारा का उपयोग करके निर्माण किया जा सकता है। तब <math>\alpha</math> क्षेत्र <math>K</math> से संबंधित है जो क्षेत्र 

<math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math> 

के टॉवर में स्थित है लिए प्रत्येक चरण में सूचकांक <math>[K_j: K_{j - 1}]</math> 2, 3, 5, या 6 है। विशेष रूप से, यदि <math>N = [K :
\Q]</math>, तो <math>N</math> को विभाजित करने वाले एकमात्र प्राइम 2, 3 और 5 (प्रमेय 5.1) हैं।

यदि हम नियमित p-गॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम <math>\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}</math>का निर्माण कर सकते हैं, जो कि घात <math>p - 1</math> के एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] का मूल हैं। प्रमेय 5.1 के अनुसार, <math>\zeta_p</math> <math>\Q</math> के ऊपर घात <math>N</math> के एक क्षेत्र <math>K</math> में निहित है, जहाँ <math>N</math> को विभाजित करने वाले एकमात्र अभाज्य 2, 3 और 5 हैं। किन्तु <math>\Q[\zeta_p]</math>, <math>K</math> का उपक्षेत्र है, इसलिए  <math>p - 1</math>, <math>N</math> को विभाजित करता है। विशेष रूप से, के लिए <math>p = 23</math>, <math>N</math> 11 से विभाज्य होना चाहिए, और के लिए <math>p = 29</math>, N को 7 से विभाज्य होना चाहिए।<ref>Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, {{doi|10.1080/00029890.2002.11919848}}</ref>

यह परिणाम 100-गॉन के नीचे अभाज्य-घात नियमित बहुभुजों पर विचार करते हुए स्थापित करता है, कि 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, और 89-गोंन्स नेसिस के साथ का निर्माण करना असंभव है। किन्तु यह इतना शक्तिशाली नहीं है कि 11-, 25-, 31-, 41- और 61-गोंन्स के स्थितियों का फैसला कर सके। इलियट बेंजामिन और चिप स्नाइडर ने 2014 में पता लगाया कि नियमित [[ hedecagon |हेंडेकैगन]] (11-गॉन) न्यूसिस रचनात्मक है; शेष स्थितियाँ अभी भी खुली हैं।<ref>Benjamin, Elliot; Snyder, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 156.3 (May 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753</ref>

इकोसिट्रिगोन ओरिगैमी रचनात्मक भी नहीं है, क्योंकि 23 पियरपोंट प्राइम नहीं है, न ही दो या [[तीन की शक्ति|तीन की घात]] हैं।<ref>Young Lee, H. (2017) ''Origami-Constructible Numbers'' University of Georgia
https://getd.libs.uga.edu/pdfs/lee_hwa-young_201712_ma.pdf</ref> इसका निर्माण हिप्पियास, [[आर्किमिडीयन सर्पिल]], और अन्य सहायक वक्रों के चतुर्भुज का उपयोग करके किया जा सकता है; फिर भी यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सत्य है।<ref>P. Milici, R. Dawson ''The equiangular compass'' December 1st, 2012, The Mathematical Intelligencer, Vol. 34, Issue 4 https://www.researchgate.net/profile/Pietro_Milici2/publication/257393577_The_Equiangular_Compass/links/5d4c687da6fdcc370a8725e0/The-Equiangular-Compass.pdf</ref>



== संबंधित आंकड़े ==
नीचे दस नियमित आईकोसिट्रिग्राम, या [[स्टार बहुभुज]] 23-गोंन्स की तालिका है, जो उनके संबंधित श्लाफली प्रतीक {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11 के साथ लेबल की गई है।

{| class="wikitable"
|- align=center
|[[File:Regular star polygon 23-2.svg|85px]]<br>{23/2}
|[[File:Regular star polygon 23-3.svg|85px]]<br>{23/3}
|[[File:Regular star polygon 23-4.svg|85px]]<br>{23/4}
|[[File:Regular star polygon 23-5.svg|85px]]<br>{23/5}
|[[File:Regular star polygon 23-6.svg|85px]]<br>{23/6}
|- align=center
|[[File:Regular star polygon 23-7.svg|85px]]<br>{23/7}
|[[File:Regular star polygon 23-8.svg|85px]]<br>{23/8}
|[[File:Regular star polygon 23-9.svg|85px]]<br>{23/9}
|[[File:Regular star polygon 23-10.svg|85px]]<br>{23/10}
|[[File:Regular star polygon 23-11.svg|85px]]<br>{23/11}
|}


==संदर्भ==
{{Reflist}}


==बाहरी संबंध==
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11786-020-00491-z Automated Detection of Interesting Properties in Regular Polygons]

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