View source for उन्नत z-परिवर्तन

गणित और [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]] में, '''उन्नत [[z-परिणत|z-परिवर्तन]]''' एक z-ट्रांसफॉर्म का विस्तार है, जिसमें आदर्श विलंब को सम्मिलित किया जाता है जो [[नमूना दर|प्रतिरूप दर]] के गुणक नहीं हैं। यह रूप धारण कर लेता है

:<math>F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}</math>
जहाँ
* T प्रतिरूप अवधि है
* ''m'' (विलंब मापदंड) प्रतिरूप अवधि <math>[0, T].</math> का अंश है 
इसे संशोधित z-परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है।
उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए [[डिजिटल नियंत्रण]] में प्रसंस्करण देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए।

उदाहरण के लिए, [[डिजिटल नियंत्रण]] में प्रोसेसिंग देरी को सटीक रूप से मॉडल करने के लिए उन्नत z-ट्रांसफॉर्म को व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है।

==गुण==
यदि विलंब मापदंड, एम, को निश्चित माना जाता है तो ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के सभी गुण उन्नत ज़ेड-ट्रांसफ़ॉर्म के लिए मान्य होते हैं।

===रैखिकता===
:<math>\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m).</math>
===समय परिवर्तन===
:<math>\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m).</math>
===डंपिंग===
:<math>\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m).</math>
===समय गुणन===
:<math>\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m).</math>
===अंतिम मान प्रमेय===
:<math>\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m).</math>


==उदाहरण==
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें जहां <math>f(t) = \cos(\omega t)</math>:

:<math>\begin{align}
F(z, m) & = \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\
        & = \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\
        & = \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\
        & = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\
        & = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}.
\end{align}</math>
यदि <math>m=0</math> तब <math>F(z, m)</math> परिवर्तन को कम करता है

:<math>F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1},</math>

जो स्पष्ट रूप से <math>f(t)</math> का z-रूपांतरण है

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                                                       ==
{{reflist}}
*{{cite book |author-link=Eliahu Ibraham Jury |first=Eliahu Ibraham |last=Jury |title=Theory and Application of the z-Transform Method |publisher=Krieger |date=1973 |isbn=0-88275-122-0 |oclc=836240}}

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