View source for उलझाव आसवन


{{Short description|Process of "purifying" entangled quantum states}}

'''उलझाव आसवन (एंटैंगलमेंट डिस्टिलेशन)''' (जिसे उलझाव शुद्धि भी कहा जाता है) केवल स्थानीय संचालन और मौलिक संचार का उपयोग करके, एक इच्छानुसार उलझाव स्थिति <math>\rho</math> की एन प्रतियों को लगभग शुद्ध बेल जोड़े की कुछ संख्या में परिवर्तित करना है।

क्वांटम उलझाव आसवन इस तरह ध्वनि वाले [[क्वांटम चैनल|क्वांटम चैनलो]] के अपक्षयी प्रभाव को<ref name="BDSW96"/> पहले से साझा की गई कम उलझाव   जोड़ियों को कम संख्या में [[अधिकतम उलझी हुई अवस्था|अधिकतम उलझाव   अवस्था]] वाली जोड़ियों में परिवर्तित करके दूर कर सकता है।

==इतिहास==
उलझाव तनुकरण और आसवन की सीमाएं सी. एच. बेनेट, एच. बर्नस्टीन, एस. पोपेस्कु और बी. शूमाकर के कारण हैं,<ref name="BBSP">{{cite journal | last1 = Bennett | first1 = Charles H. | last2 = Bernstein | first2 = Herbert J. | last3 = Popescu | first3 = Sandu | last4 = Schumacher | first4 = Benjamin | year = 1996 | title = स्थानीय संचालन द्वारा आंशिक उलझाव पर ध्यान केंद्रित करना| journal = Phys. Rev. A | volume = 53 | issue = 4| pages = 2046–2052 | doi=10.1103/physreva.53.2046| pmid = 9913106 | arxiv = quant-ph/9511030 | bibcode = 1996PhRvA..53.2046B | s2cid = 8032709 }}</ref> जिन्होंने 1996 में शुद्ध अवस्थाओं के लिए पहला आसवन प्रोटोकॉल प्रस्तुत किया; मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के लिए उलझाव आसवन प्रोटोकॉल उसी वर्ष बेनेट, [[गाइल्स ब्रासार्ड]], पोपेस्कु, शूमाकर, जॉन ए. स्मोलिन और [[विलियम वूटर्स]] द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।<ref name = "BBPSSW">{{cite journal | last1 = Bennett | first1 = Charles H. | last2 = Brassard | first2 = Gilles | last3 = Popescu | first3 = Sandu | last4 = Schumacher | first4 = Benjamin | last5 = Smolin | first5 = John A. | last6 = Wooters | first6 = William K. | year = 1996 | title = शोर चैनलों के माध्यम से शोर उलझाव और वफादार टेलीपोर्टेशन की शुद्धि| journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 76 | issue = 5| pages = 722–725 | doi=10.1103/physrevlett.76.722 | bibcode=1996PhRvL..76..722B | pmid=10061534| arxiv = quant-ph/9511027 | s2cid = 8236531 }}</ref> बेनेट, डेविड पी. डिविन्सेन्ज़ो, स्मोलिन और वूटर्स<ref name="BDSW96">{{cite journal | last1 = Bennett | first1 = Charles H. | last2 = DiVincenzo | first2 = David P. | last3 = Smolin | first3 = John A. | last4 = Wooters | first4 = William K. | year = 1996 | title = मिश्रित अवस्था उलझाव और क्वांटम त्रुटि सुधार| journal = Phys. Rev. A | volume = 54 | issue = 5| pages = 3824–3851 | doi=10.1103/physreva.54.3824 | pmid=9913930| arxiv = quant-ph/9604024 | bibcode = 1996PhRvA..54.3824B | s2cid = 3059636 }}</ref> ने अगस्त 1996 में फिजिकल रिव्यू जर्नल में प्रकाशित अभूतपूर्व पेपर में क्वांटम त्रुटि-सुधार के संबंध को स्थापित किया गया, जिसने बाद के कई शोधों को प्रेरित किया है।

==उलझाव का परिमाणीकरण==
एक दो क्विबिट प्रणाली को संभावित कम्प्यूटेशनल आधार [[qubit|क्वबिट]] अवस्थाओ के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है: <math>|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle</math>, प्रत्येक संबद्ध सम्मिश्र गुणांक <math>\alpha\,\!</math> के साथ :
<math display="block">|\psi\rangle =  \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle</math>
जैसे कि एकल क्वबिट के स्थिति में, विशेष कम्प्यूटेशनल आधार स्थिति <math>|x\rangle</math> को मापने की संभावना इसके आयाम, या संबंधित गुणांक <math>|\alpha_{x}|^{2}\,\!</math>, के मापांक का वर्ग है, सामान्यीकरण की स्थिति के अधीन <math display="inline">\sum_{x \in {0,1}} |\alpha_{x}|^{2} = 1</math>. सामान्यीकरण की स्थिति यह गारंटी देती है कि संभावनाओं का योग 1 तक पहुंचता है, जिसका अर्थ है कि माप करने पर, किसी एक अवस्था का अवलोकन किया जाएगा।

बेल अवस्था दो क्विबिट अवस्था <math display="inline">\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)</math> का विशेष रूप से महत्वपूर्ण उदाहरण है: 

बेल अवस्थाओ के पास यह गुण है कि दोनों क्वैबिट पर माप परिणाम सहसंबद्ध होते हैं। जैसा कि उपरोक्त अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, दो संभावित माप परिणाम शून्य और हैं, दोनों की संभावना 50% है। परिणामस्वरूप, दूसरे क्वबिट का माप सदैव पहले क्वबिट के माप के समान परिणाम देता है।

बेल अवस्था का उपयोग उलझाव को मापने के लिए किया जा सकता है। मान लीजिए m बेल अवस्था की उच्च-निष्ठा प्रतियों की संख्या है जिसे स्थानीय संचालन और मौलिक संचार (एलओसीसी) का उपयोग करके उत्पादित किया जा सकता है। बेल की बड़ी संख्या को देखते हुए शुद्ध अवस्था <math>|\psi\rangle</math> में उपस्तिथ उलझाव की मात्रा बताई गई है फिर के अनुपात <math>n/m</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है , किसी विशेष अवस्था <math>|\phi\rangle</math> का आसुत उलझाव कहा जाता है , जो किसी दिए गए प्रणाली में उपस्तिथ उलझाव की मात्रा का मात्रात्मक माप देता है। उलझाव आसवन की प्रक्रिया का उद्देश्य इस सीमित अनुपात को संतृप्त करना है। शुद्ध अवस्था की प्रतियों की संख्या जिसे अधिकतम उलझाव   अवस्था में परिवर्तित किया जा सकता है, वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी <math>S(p)</math> के सामान्य है अवस्था का, जो क्वांटम प्रणालियों के लिए मौलिक एन्ट्रापी की अवधारणा का विस्तार है। गणितीय रूप से, किसी दिए गए घनत्व आव्यूह <math>p</math> के लिए , वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी <math>S(p)</math>, <math>S(p) = -\mathrm{Tr}(p \ln p)</math> है. उलझाव को उलझाव की एन्ट्रापी के रूप में परिमाणित किया जा सकता है, जो कि <math>p_{A}</math> या <math>p_{B}</math> में से किसी एक की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी हैː

<math display="block">E = -\mathrm{Tr}(p_{A} \ln p_{A}) = -\mathrm{Tr}(p_{B} \ln p_{B}),</math>

जो किसी उत्पाद स्थिति के लिए 0 से लेकर <math> \ln 2 </math> तक होता है अधिकतम उलझाव   स्थिति के लिए (यदि <math> \ln </math> द्वारा <math> \log_2 </math> प्रतिस्थापित किया जाता है तब अधिकतम उलझाव का मान 1) होता है।

==प्रेरणा==

मान लीजिए कि दो पक्ष, [[ऐलिस और बॉब]], ध्वनि वाले क्वांटम चैनल पर मौलिक जानकारी का संचार करना चाहते हैं। या तो मौलिक या क्वांटम जानकारी को क्वांटम अवस्था में जानकारी को एन्कोड करके क्वांटम चैनल पर प्रसारित किया जा सकता है। इस ज्ञान के साथ, ऐलिस उस मौलिक जानकारी को एन्कोड करती है जिसे वह बॉब को (क्वांटम) उत्पाद स्थिति में, कम घनत्व वाले आव्यूह <math>p_{1} \otimes p_{2} \otimes \cdots</math> के [[टेंसर उत्पाद]] के रूप में भेजना चाहती है। जहां प्रत्येक <math>p</math> विकर्ण है और इसका उपयोग केवल किसी विशेष चैनल <math>\epsilon</math> के लिए बार के इनपुट के रूप में किया जा सकता है .

ध्वनि वाले क्वांटम चैनल की निष्ठा इस तथ्य का माप है कि क्वांटम चैनल का आउटपुट इनपुट से कितना मिलता-जुलता है, और इसलिए यह माप है कि क्वांटम चैनल कितनी अच्छी तरह जानकारी को संरक्षित करता है। यदि शुद्ध अवस्था <math>\psi</math> है क्वांटम चैनल में भेजा जाता है जो घनत्व आव्यूह <math>p</math> द्वारा दर्शाई गई स्थिति के रूप में उभरता है , संचरण की निष्ठा <math>F = \langle\psi|p|\psi\rangle</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है .

ऐलिस और बॉब के सामने अब जो समस्या है वह यह है कि बड़ी दूरी पर क्वांटम संचार अत्यधिक उलझाव क्वांटम अवस्थाओ के सफल वितरण पर निर्भर करता है, और क्वांटम संचार चैनलों में अपरिहार्य ध्वनि के कारण, उलझाव अवस्थाओ की गुणवत्ता सामान्यतः चैनल की लंबाई के साथ तेजी से घट जाती है। चैनल की निष्ठा. उलझाव आसवन इच्छानुसार रूप से उलझाव   स्थिति <math>\rho</math> की n प्रतियों को परिवर्तित करके वितरित क्वांटम अवस्थाओ के मध्य उच्च स्तर के उलझाव को बनाए रखने की इस समस्या का समाधान करता है लगभग में <math>S(\rho)N</math> बेल जोड़े, केवल स्थानीय संचालन और मौलिक संचार का उपयोग करते हुए। इसका उद्देश्य विश्वसनीय [[क्वांटम टेलीपोर्टेशन]] या [[क्वांटम क्रिप्टोग्राफी]] की अनुमति देने के लिए दूर के पक्षों (ऐलिस और बॉब) के मध्य दृढ़ता से सहसंबद्ध क्वैबिट साझा करना है।

==उलझाव एकाग्रता==

===शुद्ध अवस्थाएँ===
[[Image:Fidelitypure.png|thumb|शुद्ध अवस्थाओं के लिए आसवन प्रोटोकॉल के पुनरावृत्ति के बाद नई निष्ठा।]]ऐलिस और बॉब के मध्य साझा [[एकल अवस्था]] में एन कणों को देखते हुए, स्थानीय क्रियाएं और मौलिक संचार इच्छानुसार रूप से अच्छी प्रतियां तैयार करने के लिए पर्याप्त <math>\phi</math> उपज के साथ होंगे 
{{block indent | em = 1.5 | text = <math>\frac{m}{n} \to \frac{1}{E(\phi)}</math> as <math>n \to \infty</math>.}}

मान लीजिए कि एक उलझाव   अवस्था <math>|\psi\rangle</math> में [[श्मिट अपघटन]] है:

<math display="block">|\psi\rangle = \sum_{x}\sqrt{p(x)}|x_{A}\rangle|x_{B}\rangle</math>


जहां गुणांक पी(एक्स) संभाव्यता वितरण बनाते हैं, और इस प्रकार धनात्मक मूल्य होते हैं और [[एकता (गणित)]] के योग होते हैं। इस अवस्था का टेंसर उत्पाद तब है,
<math display="block">|\psi\rangle^{\otimes m} = \sum_{x_{1},x_{2},\dots,x_{m}}\sqrt{p(x_{1}) p(x_{2}) \dots p(x_{m})}|x_{1A} x_{2A} \dots x_{mA}\rangle | x_{1B} x_{2B} \dots x_{mB}\rangle</math>
अब, उन सभी पदों <math>x_{1}, \dots, x_{m}</math> को हटा देना जो किसी भी अनुक्रम का भाग नहीं हैं जो उच्च संभावना के साथ घटित होने की संभावना है, [[विशिष्ट सेट|विशिष्ट]] समुच्चय के रूप में जाना जाता है: जो कि <math> A_{\epsilon}^{(n)} </math> नई अवस्था हैː
<math display="block">|\phi_{m}\rangle = \sum_{x \epsilon A_{\epsilon}^{(n)}} \sqrt{p(x_{1}) p(x_{2}) \dots p(x_{m})} |x_{1A} x_{2A} \dots x_{mA} \rangle | x_{1B} x_{2B} \dots x_{mB} \rangle</math>
और पुनर्सामान्यीकरण,
<math display="block">|\phi_{m}'\rangle = \frac{|\phi_{m}\rangle}{\sqrt{\langle\phi_{m}|\phi_{m}\rangle}}</math>
फिर क्वांटम की निष्ठा बताती है
{{block indent | em = 1.5 | text = <math>F(|\psi\rangle ^{\otimes m}, |\phi_{m}^{'}\rangle) \to 1</math> as <math>m \to \infty</math>.}}

मान लीजिए कि ऐलिस और बॉब के पास <math>|\psi\rangle</math> की m प्रतियां हैं, ऐलिस उच्च निष्ठा के साथ अवस्था <math>|\psi\rangle^{\otimes m} \rightarrow |\phi_{m}\rangle</math> को परिवर्तित करते हुए <math>p_{\psi}\,\!</math> के विशिष्ट समुच्चय <math>A_{\epsilon}^{(n)}</math> सबसेट पर माप कर सकता है। विशिष्ट अनुक्रमों का प्रमेय हमें तब दिखाता है कि <math>1 - \delta</math> संभावना है कि दिया गया अनुक्रम विशिष्ट सेट का भाग है, और पर्याप्त रूप से बड़े m के लिए f 1 के समीप इच्छानुसार रूप से बनाया जा सकता है, और इसलिए पुनर्सामान्यीकृत बेल अवस्था <math>|\phi_{m}'\rangle</math> के श्मिट गुणांक होंगे अधिक से अधिक एक गुणक <math display="inline">{1}/{\sqrt{1-\delta}}</math> बड़ा। ऐलिस और बॉब अब अवस्था <math>|\phi_{m}'\rangle</math> पर एलओसीसी प्रदर्शन करके n बेल अवस्थाओ का एक छोटा सेट प्राप्त कर सकते हैं जिसके साथ वे सफलतापूर्वक संचार करने के लिए क्वांटम चैनल के ध्वनि को दूर कर सकते हैं।

===मिश्रित अवस्थाएँ===
[[Image:Fidelitymixed.png|thumb|आसवन प्रोटोकॉल के पुनरावृत्ति के बाद नई निष्ठा मिश्रित अवस्थाओं के लिए यहां प्रस्तुत की गई है]]मिश्रित अवस्थाओं के लिए उलझाव आसवन करने के लिए कई तकनीकें विकसित की गई हैं, जो अवस्थाओ <math>p</math> के विशिष्ट वर्गों के लिए आसुत उलझाव <math>D(p)</math> के मूल्य पर निचली सीमा देती हैं।

एक सामान्य विधि में ऐलिस सीधे स्रोत अवस्थाओ को प्रसारित करने के लिए ध्वनि चैनल का उपयोग नहीं करती है, किन्तु बड़ी संख्या में बेल अवस्थाओ को तैयार करती है, प्रत्येक बेल जोड़ी का आधा भाग बॉब को भेजती है। ध्वनि चैनल के माध्यम से संचरण का परिणाम मिश्रित उलझाव   स्थिति <math>p</math> बनाना है ताकि ऐलिस और बॉब <math>p</math> की <math>m</math> प्रतियां साझा करें ऐलिस और बॉब फिर उलझाव आसवन करें, मिश्रित उलझाव   अवस्थाओं से <math>m \cdot D(p)</math> लगभग पूरी तरह से उलझाव   अवस्थाएँ उत्पन्न करें <math>p</math> प्रदर्शन करके साझा उलझाव जोड़ियों पर स्थानीय एकात्मक संचालन और माप, मौलिक संदेशों के माध्यम से अपने कार्यों का समन्वय करना, और शेष उलझाव जोड़ियों की शुद्धता बढ़ाने के लिए कुछ उलझाव जोड़ियों का त्याग करना। ऐलिस अब <math>m \cdot D(p)</math> क्यूबिट स्थिति तैयार कर सकती है और <math>m \cdot D(p)</math> बेल जोड़े का उपयोग करके इसे बॉब को टेलीपोर्ट कर सकती है, जिसे वे उच्च निष्ठा के साथ साझा करते हैं। ऐलिस और बॉब ने तब प्रभावी रूप से जो प्राप्त किया है, वह स्थानीय क्रियाओं और मौलिक संचार की सहायता से एक ध्वनि रहित क्वांटम चैनल का अनुकरण करना है।

मान लीजिये <math>M</math> दो स्पिन-1/2 कणों की सामान्य मिश्रित अवस्था हो, जो प्रारंभिक शुद्ध एकल अवस्था के संचरण के परिणामस्वरूप हो सकती है
<math display="block">\psi^{-} = (\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow)/\sqrt{2}</math>
ऐलिस और बॉब के मध्य ध्वनि चैनल के माध्यम से, जिसका उपयोग कुछ शुद्ध उलझाव को दूर करने के लिए किया जाएगा। {{math|''M''}} की निष्ठा 
<math display="block">F = \langle\psi^{-}|M|\psi^{-}\rangle</math><br />एक आदर्श सिंगलेट के सापेक्ष इसकी शुद्धता की सुविधाजनक अभिव्यक्ति है। मान लीजिए कि M पहले से ही कुछ <math>\phi</math> के लिए दो कणों <math>M = |\phi\rangle\langle\phi|</math> की शुद्ध अवस्था है, <math>\phi</math> के लिए उलझाव जैसा कि पहले से ही स्थापित है, वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी <math>E(\phi) = S(p_{A}) = S(p_{B})</math> है जहांː

<math display="block">p_{A} = \operatorname{tr}^{}_{B}(|\phi\rangle\langle\phi|),</math><br />और इसी तरह के लिए <math>p_{B}</math>, किसी भी कण के लिए कम घनत्व आव्यूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर निम्नलिखित प्रोटोकॉल का उपयोग किया जाता है:<ref name="BBPSSW" />
#प्रत्येक साझा जोड़ी पर यादृच्छिक [[द्विपक्षीय रोटेशन|द्विपक्षीय घूर्णन]] करना, प्रत्येक जोड़ी के लिए स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक एसयू (2) घूर्णन का चयन करना और इसे जोड़ी के दोनों सदस्यों पर स्थानीय रूप से प्रयुक्त करना प्रारंभिक सामान्य दो-स्पिन मिश्रित स्थिति एम को घूर्णी रूप से सममित मिश्रण में बदल देता है। एकल अवस्था <math>\psi^{-}</math> और तीन त्रिक अवस्थाएँ <math>\psi^{+}</math> और <math>\phi^{\pm}</math>: <math display="block">W_{F} = F \cdot |\psi^{-}\rangle\langle\psi^{-}| + \frac{1-F}{3}|\phi^{+}\rangle\langle\phi^{+}| + \frac{1-F}{3}|\psi^{+}\rangle\langle\psi^{+}| + \frac{1-F}{3}|\phi^{-}\rangle\langle\phi^{-}|</math> [[वर्नर राज्य|वर्नर अवस्था]] <math>W_{F}</math> इसकी प्रारंभिक मिश्रित अवस्था M के समान शुद्धता F है, जहाँ से इसे द्विपक्षीय घुमावों के तहत एकल के अपरिवर्तन के कारण प्राप्त किया गया था।
#दोनों जोड़ियों में से प्रत्येक पर एकतरफ़ा घुमाव द्वारा कार्य किया जाता है, जिसे हम <math>\sigma_{y}</math> कह सकते हैं, जिसमें उन्हें मुख्य रूप से <math>\psi^{-}</math> वर्नर अवस्थाओं से मुख्य रूप से <math>\phi^{+}</math> अवस्थाओं में <math>\phi^{+}</math> में से <math>F > \frac{1}{2}</math> के बड़े घटक के साथ परिवर्तित करने का प्रभाव होता है जबकि अन्य तीन बेल के घटक अवस्था समान हैं.
#दो नापाक <math>\phi^{+}</math> फिर अवस्थाओ पर द्विपक्षीय [[XOR|एक्सओआर]] द्वारा कार्य किया जाता है, और उसके बाद लक्ष्य जोड़ी को z अक्ष के साथ स्थानीय रूप से मापा जाता है। यदि दोनों इनपुट सत्य <math>\phi^{+}</math> अवस्था; होने की स्थिति में लक्ष्य जोड़ी के स्पिन समानांतर आते हैं तो बिना मापी गई स्रोत जोड़ी रखी जाती है और अन्यथा इसे त्याग दिया जाता है।
#यदि स्रोत जोड़ी को हटाया नहीं किया गया है तो इसे एकतरफा <math>\sigma_{y}</math> घूर्णन द्वारा मुख्य रूप से <math>\psi^{-}</math> स्थिति में परिवर्तित किया जाता है, और यादृच्छिक द्विपक्षीय घूर्णन द्वारा घूर्णनशील रूप से सममित बनाया जाता है।

ऊपर उल्लिखित प्रोटोकॉल को दोहराने से वर्नर अवस्थाओ को आसवन किया जाएगा जिनकी शुद्धता को इच्छानुसार रूप से उच्च <math>F_\text{out} < 1</math> चुना जा सकता है शुद्धता <math display="inline">F_\text{in} > \frac{1}{2}</math> की इनपुट मिश्रित अवस्थाओं के संग्रह M से किन्तु सीमा <math>F_\text{out} \to 1</math> में उपज शून्य की ओर बढ़ रही है . अन्य द्विपक्षीय एक्सओआर ऑपरेशन निष्पादित करके, इस बार वेरिएबल संख्या <math display="inline">k(F) \approx \frac{1}{\sqrt{1-F}}</math> पर स्रोत जोड़े की, 1 के विपरीत, प्रत्येक लक्ष्य जोड़ी को मापने से पहले, उपज को <math>F_\text{out} \to 1</math>   के रूप में एक धनात्मक सीमा तक पहुंचने के लिए बनाया जा सकता है . इससे भी अधिक उपज प्राप्त करने के लिए इस विधि को दूसरों के साथ जोड़ा जा सकता है।

==प्रोक्रस्टियन विधि==

उलझाव एकाग्रता की प्रोक्रस्टियन विधि का उपयोग केवल आंशिक रूप से उलझाव   जोड़ी के लिए किया जा सकता है, जो 5 से कम जोड़ी को उलझाने के लिए श्मिट प्रक्षेपण विधि की तुलना में अधिक कुशल है।<ref name="BBSP" /> और ऐलिस और बॉब को n जोड़े के पूर्वाग्रह (<math>\theta</math>) को जानने की आवश्यकता होती है। विधि का नाम [[प्रोक्रस्टेस]] से लिया गया है क्योंकि यह शुद्ध अवस्थाओं के आंशिक उलझाव में बड़े पद से जुड़ी अतिरिक्त संभावना को काटकर पूरी तरह से उलझाव   स्थिति उत्पन्न करती है:
<math display="block">\cos\theta \left|\uparrow_{A}\right\rangle \otimes \left|\downarrow_{B}\right\rangle - \sin\theta \left|\downarrow_{A}\right\rangle \otimes \left|\uparrow_{B}\right\rangle</math>
कणों के एक संग्रह को मानते हुए जिसके लिए <math>\theta</math> को <math>\pi / 4</math> से कम या अधिक के रूप में जाना जाता है, प्रोक्रस्टियन विधि उन सभी कणों को रखकर की जा सकती है, जो ध्रुवीकरण-निर्भर अवशोषक, या ध्रुवीकरण-निर्भर-परावर्तक के माध्यम से पारित होने पर, जो अधिक संभावित परिणाम के अंश <math>\tan^{2}\theta</math> को अवशोषित या प्रतिबिंबित करते हैं, अवशोषित या विक्षेपित नहीं होते हैं। इसलिए, यदि ऐलिस के पास <math>\theta \neq \pi/4</math> कण हैं तो वह उन कणों को अलग कर सकती है जिन्हें ऊपर/नीचे के आधार पर मापने की अधिक संभावना है, और कणों को स्पिन अप और स्पिन डाउन की अधिकतम मिश्रित अवस्था में छोड़ दिया जाता है। यह उपचार [[POVM|पीओवीएम]] (धनात्मक-संचालक-मूल्य माप) से मेल खाता है। दो कणों की पूरी तरह से उलझाव   स्थिति प्राप्त करने के लिए, ऐलिस बॉब को अपने सामान्यीकृत माप के परिणाम के बारे में सूचित करती है जबकि बॉब अपने कण को बिल्कुल नहीं मापता है, किन्तु यदि ऐलिस उसे त्याग देता है तो वह अपने कण को छोड़ देता है।

==स्थिरक प्रोटोकॉल==

एक का उद्देश्य <math>\left[  n,k\right]</math> उलझाव आसवन प्रोटोकॉल <math>k</math> आसवन करना है शुद्ध बेल अवस्थाओ से <math>n</math> ध्वनि ईबीआईटी वाली बेल बताती है कि जहां <math>0\leq k\leq n</math>. ऐसे प्रोटोकॉल की उपज <math>k/n</math> है. फिर दो पक्ष [[क्वांटम संचार]] प्रोटोकॉल के लिए नीरव बेल अवस्थाओ का उपयोग कर सकते हैं।

दोनों पक्ष निम्नलिखित विधि से साझा ध्वनि वाले बेल अवस्थाओ का समुच्चय स्थापित करती हैं। प्रेषक ऐलिस पहले स्थानीय स्तर पर <math>n</math> बेल अवस्था <math>\left\vert \Phi^{+}\right\rangle ^{\otimes n}</math> तैयार करता है। वह प्रत्येक जोड़ी की दूसरी क्वबिट को ध्वनि वाले क्वांटम चैनल पर रिसीवर बॉब को भेजती है। मान लीजिए <math>\left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle</math> अवस्था हो <math>\left\vert \Phi^{+}\right\rangle^{\otimes n}</math> पुनर्व्यवस्थित किया गया ताकि ऐलिस के सभी क्वबिट बाईं ओर हों और बॉब के सभी क्वबिट दाईं ओर हों। ध्वनि ईबीआईटी वाला क्वांटम चैनल, चैनल पर भेजे गए <math>n</math> क्वैबिट के समुच्चय में त्रुटि सेट <math>\mathcal{E}\subset\Pi^{n}</math> में एक पाउली त्रुटि प्रयुक्त करता है। इसके बाद प्रेषक और रिसीवर फॉर्म <math>\left(  \mathbf{I}\otimes\mathbf{A}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle</math> के <math>n</math> ध्वनि ईबीआईटी का एक समुच्चय साझा करते हैं जहां पहचान <math>\mathbf{I}</math> ऐलिस के क्वैबिट्स पर कार्य करती है और <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{E}</math> में कुछ [[पॉल के संचालक|पॉल के संचाल]] बॉब के क्वैबिट्स पर कार्य करता है।

एक तरफ़ा स्थिरक उलझाव आसवन प्रोटोकॉल आसवन प्रक्रिया के लिए [[स्टेबलाइजर कोड|स्थिरक कोड]] का उपयोग करता है। मान लीजिए स्थिरक <math>\mathcal{S}</math> के लिए <math>\left[  n,k\right]</math> क्वांटम त्रुटि सुधार कोड में जनरेटर <math>g_{1},\ldots,g_{n-k}</math> होते हैं. आसवन प्रक्रिया ऐलिस द्वारा <math>\mathcal{S}</math> में <math>n-k</math> जनरेटर को [[क्वांटम माप]] के साथ प्रारंभ होती है, मान लीजिए <math>\left\{  \mathbf{P}_{i}\right\}</math>, <math>2^{n-k}</math> प्रक्षेपक का समुच्चय है जो <math>\mathcal{S}</math> में जनरेटर के अनुरूप <math>2^{n-k}</math> ऑर्थोगोनल उप-स्थानों पर परियोजनाएँ करता है। माप <math>i</math> उप-स्थानों में से <math>\left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle</math> को यादृच्छिक रूप से परियोजनाएँ करता है। प्रत्येक <math>\mathbf{P}_{i}</math> बॉब की तरफ से ध्वनि ईबीआईटी वाले संचालक <math>\mathbf{A}</math> के साथ यात्रा करता हैː
<math display="block">
\left(  \mathbf{P}_{i}\otimes\mathbf{I}\right)  \left(  \mathbf{I}
\otimes\mathbf{A}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle =\left(
\mathbf{I}\otimes\mathbf{A}\right)  \left(  \mathbf{P}_{i}\otimes
\mathbf{I}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle .
</math>
निम्नलिखित महत्वपूर्ण बेल-स्टेट आव्यूह पहचान इच्छित आव्यूह <math>\mathbf{M}</math> के लिए प्रयुक्त होती है :
<math display="block">
\left( \mathbf{M}\otimes\mathbf{I}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}
\right\rangle =\left(  \mathbf{I}\otimes\mathbf{M}^{T}\right)  \left\vert
\Phi_{n}^{+}\right\rangle .
</math>
फिर उपरोक्त अभिव्यक्ति निम्नलिखित के सामान्य है:
<math display="block">
\left(  \mathbf{I}\otimes\mathbf{A}\right)  \left(  \mathbf{P}_{i}
\otimes\mathbf{I}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle    =\left(
\mathbf{I}\otimes\mathbf{A}\right)  \left(  \mathbf{P}_{i}^{2}\otimes
\mathbf{I}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle
  =\left(  \mathbf{I}\otimes\mathbf{A}\right)  \left(  \mathbf{P}_{i}
\otimes\mathbf{P}_{i}^{T}\right)  \left\vert \Phi_{n}^{+}\right\rangle .
</math>
इसलिए, ऐलिस के प्रत्येक प्रक्षेपक <math>\mathbf{P}_{i}</math> बॉब के क्वैबिट को रेखीय उपस्थान <math>\mathbf{P}_{i}^{T}</math> पर परियोजनाएँ करता है ऐलिस के प्रक्षेपित उपस्थान <math>\mathbf{P}_{i}</math> के अनुरूप . ऐलिस अपने क्वबिट्स को जेनरेटर <math>\mathcal{S}</math> के साथ +1-ईजेनस्पेस में पुनर्स्थापित करती है. वह अपने माप परिणाम बॉब को भेजती है। बॉब जनरेटरों <math>\mathcal{S}</math> को मापता है . त्रुटि का [[सिंड्रोम]] निर्धारित करने के लिए बॉब अपने माप को ऐलिस के माप के साथ जोड़ता है। वह त्रुटि को विपरीत करने के लिए अपने क्वबिट पर पुनर्प्राप्ति ऑपरेशन करता है। वह अपने क्वैबिट्स <math>\mathcal{S}</math> को पुनर्स्थापित करता है .ऐलिस और बॉब दोनों अपने <math>k</math> तार्किक ईबीआईटी को <math>k</math> भौतिक ईबीआईटी में परिवर्तित करने के लिए स्थिरक <math>\mathcal{S}</math> के अनुरूप डिकोडिंग [[ एकात्मक परिवर्तन |एकात्मक परिवर्तन]] करते हैं।

== एंटैंगलमेंट-असिस्टेड स्थिरक कोड ==

लुओ और डेवेटक ने उपरोक्त प्रोटोकॉल का (लुओ और डेवेटक 2007) सीधा विस्तार प्रदान किया। उनकी विधि [[उलझाव-सहायता प्राप्त स्टेबलाइजर कोड|उलझाव-सहायता प्राप्त स्थिरक कोड]] को उलझाव-सहायता प्राप्त उलझाव आसवन प्रोटोकॉल में परिवर्तित करती है।

लुओ और डेवेटक उलझाव आसवन प्रोटोकॉल बनाते हैं जिसमें कुछ नीरव बेल अवस्थाओ से उलझाव सहायता होती है। उलझाव-सहायता प्राप्त उलझाव आसवन प्रोटोकॉल के लिए महत्वपूर्ण धारणा यह है कि ऐलिस और बॉब के पास उनके <math>n</math> ध्वनि वाले ईबीआईटी के अतिरिक्त <math>c</math> नीरव ईबीआईटी हैं ध्वनि और नीरव बेल अवस्थाओ की कुल स्थिति है
<math display="block">
\left(\mathbf{I}^{A}\otimes\left(  \mathbf{A\otimes I}\right)  ^{B}\right)\left\vert
\Phi_{n+c}^{+}\right\rangle
</math>
जहां <math>\mathbf{I}^{A}</math>, ऐलिस के क्वैबिट्स पर कार्य करने वाला <math>2^{n+c}\times2^{n+c}</math> पहचान आव्यूह है और ध्वनि ईबीआईटी वाला पाउली संचालक <math>\left(  \mathbf{A \otimes I}\right)  ^{B}</math> केवल बॉब के पहले <math>n</math> क्वैबिट्स को प्रभावित करता है। इस प्रकार अंतिम <math>c</math> ईबीआईटी नीरव हैं, और ऐलिस और बॉब को केवल पहले <math>n</math> ईबीआईटी की त्रुटियों को ठीक करना होगा।

प्रोटोकॉल बिल्कुल वैसे ही आगे बढ़ता है जैसा पिछले अनुभाग में बताया गया है। एकमात्र अंतर यह है कि ऐलिस और बॉब जनरेटर को उलझाव-सहायता वाले स्थिरक कोड में मापते हैं।प्रत्येक जनरेटर <math>n+c</math> क्यूबिट से अधिक फैला होता है जहां अंतिम <math>c</math> क्यूबिट ध्वनि रहित होते हैं।

हम इस उलझाव-सहायता वाले उलझाव आसवन प्रोटोकॉल की उपज पर टिप्पणी करते हैं। उलझाव-सहायता कोड में <math>n-k</math> जनरेटर होता है, जिनमें से प्रत्येक में <math>n+c</math> पाउली प्रविष्टियाँ होती हैं। इन मापदंडों का अर्थ है कि उलझाव आसवन प्रोटोकॉल <math>k+c</math> ईबिट उत्पन्न करता है। किन्तु प्रोटोकॉल आसवन के लिए उत्प्रेरक के रूप में <math>c</math> प्रारंभिक नीरव ईबीआईटी का उपभोग करता है। इसलिए, इस प्रोटोकॉल की उपज <math>k/n</math> है

==उलझाव निर्बल==

उलझाव आसवन की विपरीत प्रक्रिया उलझाव निर्बल पड़ने है, जहां बेल अवस्था की बड़ी प्रतियों को उच्च निष्ठा के साथ एलओसीसी का उपयोग करके कम उलझाव   अवस्थाओं में परिवर्तित किया जाता है। उलझाव निर्बल पड़ने की प्रक्रिया का उद्देश्य, n से m के व्युत्क्रम अनुपात को संतृप्त करना है, जिसे आसुत उलझाव के रूप में परिभाषित किया गया है।

==अनुप्रयोग==

क्वांटम संचार में इसके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग के अतिरिक्त, उलझाव शुद्धि भी [[क्वांटम गणना]] के लिए [[त्रुटि सुधार]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, क्योंकि यह विभिन्न क्वैबिट के मध्य तर्क संचालन की गुणवत्ता में अधिक वृद्धि कर सकती है। निम्नलिखित अनुप्रयोगों के लिए उलझाव आसवन की भूमिका पर संक्षेप में विचार किया गया है।

===क्वांटम त्रुटि सुधार===
{{main article|क्वांटम त्रुटि सुधार}}

मिश्रित अवस्थाओं के लिए उलझाव आसवन प्रोटोकॉल का उपयोग दो पक्षों ऐलिस और बॉब के मध्य क्वांटम संचार चैनलों के लिए प्रकार के त्रुटि-सुधार के रूप में किया जा सकता है, जो ऐलिस को बॉब को जानकारी के एमडी (पी) क्यूबिट को विश्वसनीय रूप से भेजने में सक्षम बनाता है, जहां डी (पी) डिस्टिलेबल है। पी का उलझाव, वह स्थिति जो तब उत्पन्न होती है जब बेल जोड़ी का आधा भाग ऐलिस और बॉब को जोड़ने वाले ध्वनि चैनल <math>\epsilon</math> के माध्यम से भेजा जाता है।

कुछ स्तिथियों में, पारंपरिक क्वांटम त्रुटि-सुधार तकनीक विफल होने पर उलझाव आसवन काम कर सकता है। एन्टैंगलमेंट डिस्टिलेशन प्रोटोकॉल ज्ञात हैं जो चैनलों के लिए ट्रांसमिशन डी (पी) की गैर-शून्य दर उत्पन्न कर सकते हैं जो संपत्ति के कारण क्वांटम जानकारी के प्रसारण की अनुमति नहीं देते हैं कि एन्टैंगलमेंट डिस्टिलेशन प्रोटोकॉल पारंपरिक त्रुटि-सुधार के विपरीत पक्ष के मध्य मौलिक संचार की अनुमति देते हैं। जो इस पर रोक लगाता है.

===क्वांटम क्रिप्टोग्राफी===
{{main article|क्वांटम क्रिप्टोग्राफी}}

सहसंबद्ध माप परिणामों और उलझाव की अवधारणा क्वांटम कुंजी विनिमय के लिए केंद्रीय है, और इसलिए अधिकतम उलझाव   अवस्थाओं को प्राप्त करने के लिए उलझाव आसवन को सफलतापूर्वक करने की क्षमता क्वांटम क्रिप्टोग्राफी के लिए आवश्यक है।

यदि कणों की उलझाव   जोड़ी को दो पक्षों के मध्य साझा किया जाता है, तो किसी भी कण को रोकने वाला कोई भी व्यक्ति समग्र प्रणाली को बदल देगा, जिससे उनकी उपस्थिति (और उनके द्वारा प्राप्त की गई जानकारी की मात्रा) तब तक निर्धारित की जा सकेगी जब तक कण अधिकतम उलझाव   स्थिति में हैं। इसके अतिरिक्त, गुप्त कुंजी स्ट्रिंग को साझा करने के लिए, ऐलिस और बॉब को साझा गुप्त कुंजी स्ट्रिंग को आसवन करने के लिए गोपनीयता प्रवर्धन और सूचना सामंजस्य की तकनीकों का प्रदर्शन करना होगा। सूचना समाधान सार्वजनिक चैनल पर त्रुटि-सुधार है जो ऐलिस और बॉब द्वारा साझा किए गए सहसंबद्ध यादृच्छिक मौलिक बिट स्ट्रिंग्स के मध्य त्रुटियों को एकत्रित करता है, जबकि संभावित गुप्तचर ईव के पास साझा कुंजी के बारे में ज्ञान सीमित हो सकता है। सूचना समाधान का उपयोग ऐलिस और बॉब के पास उपस्तिथ साझा कुंजियों के मध्य संभावित त्रुटियों को सुलझाने और ईव द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली संभावित जानकारी को सीमित करने के लिए किया जाता है, गोपनीयता प्रवर्धन की तकनीक का उपयोग कुंजी के बारे में ईव की अनिश्चितता को अधिकतम करने वाले बिट्स के छोटे उपसमूह को आसवन करने के लिए किया जाता है।

===क्वांटम टेलीपोर्टेशन===
{{main article|क्वांटम टेलीपोर्टेशन}}

क्वांटम टेलीपोर्टेशन में, प्रेषक कण की इच्छानुसार क्वांटम स्थिति को संभवतः दूर के रिसीवर तक पहुंचाना चाहता है। क्वांटम टेलीपोर्टेशन प्रत्यक्ष क्वांटम चैनल के लिए मौलिक संचार और पूर्व उलझाव को प्रतिस्थापित करके क्वांटम जानकारी के विश्वसनीय प्रसारण को प्राप्त करने में सक्षम है। टेलीपोर्टेशन का उपयोग करते हुए, इच्छित अज्ञात क्वबिट को प्रेषक और रिसीवर के मध्य साझा किए गए अधिकतम-उलझाव क्वैबिट की जोड़ी और प्रेषक से रिसीवर तक 2-बिट मौलिक संदेश के माध्यम से सत्यनिष्ठ से प्रसारित किया जा सकता है। क्वांटम टेलीपोर्टेशन को पूरी तरह से उलझाव कणों को साझा करने के लिए नीरव क्वांटम चैनल की आवश्यकता होती है, और इसलिए उलझाव आसवन नीरव क्वांटम चैनल और अधिकतम उलझाव क्वैबिट प्रदान करके इस आवश्यकता को पूरा करता है।

==यह भी देखें==
*क्वांटम चैनल
*क्वांटम क्रिप्टोग्राफी
*क्वांटम उलझाव
*[[जितना राज्य|जितना अवस्था]]
*क्वांटम टेलीपोर्टेशन
*एलओसीसी
*[[शुद्धिकरण प्रमेय (भौतिकी)]]

==नोट्स और संदर्भ==
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* {{citation|author1-link=Paul Kwiat|first1=Paul G.|last1=Kwiat|first2=Salvador|last2=Barraza-Lopez|first3=André|last3=Stefanov| first4=Nicolas|last4=Gisin| title=Experimental entanglement distillation and 'hidden' non-locality|journal=Nature|volume=409| year=2001|issue=6823|pages=1014–1017|doi=10.1038/35059017|pmid=11234004|bibcode=2001Natur.409.1014K|s2cid=4430054}}
* {{citation|first1=Takashi|last1=Yamamoto|first2=Masato|last2=Koashi|first3=Şahin Kaya|last3=Özdemir| first4=Nobuyuki|last4=Imoto| title=Experimental extraction of an entangled photon pair from two identically decohered pairs| journal=Nature|volume=421|year=2003|issue=6921|pages=343–346|doi=10.1038/nature01358|pmid=12540894| bibcode=2003Natur.421..343Y| s2cid=20824150}}.
* {{citation|first1=Jian-Wei|last1=Pan|first2=Sara|last2=Gasparoni| first3=Rupert|last3=Ursin|first4=Gregor|last4=Weihs| first5=Anton|last5=Zeilinger| title=Experimental entanglement purification of arbitrary unknown states|journal=Nature| volume=423|year=2003|issue=6938| pages=417–422|doi=10.1038/nature01623 |bibcode = 2003Natur.423..417P|pmid=12761543| s2cid=4393391}}.
* {{citation|first1=Jian-Wei|last1=Pan|first2=Christoph|last2=Simon| first3=Časlav|last3=Brunker|first4=Anton|last4=Zeilinger| title=Entanglement purification for quantum communication|journal=Nature|volume=410|year=2001|pages=1067–1070| pmid=11323664|issue=6832|doi=10.1038/35074041|arxiv = quant-ph/0012026 |bibcode = 2001Natur.410.1067P |s2cid=4424450}}.
* {{citation|first1=M.A.|last1=Nielsen|author-link=Nielsen M.A.|first2=I.L.|last2=Chuang|author-link2=Chuang I.L.|title=Quantum Computation and Quantum Information|year=2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=0521635039}}
* {{citation|first1=Dirk|last1=Bouwmeester|author-link=Dirk Bouwmeester|first2=Artur|last2=Ekert|author-link2=Artur Ekert| first3=Anton|last3=Zeilinger|author-link3=Anton Zeilinger|title=The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computation|year=2000|publisher=Springer|isbn=3540667784}}
* {{citation|first=I.|last=Newton|title=Principia Mathematica|publisher=Cambridge University Press|volume=1|year=1687}}
* {{citation|doi=10.1103/PhysRevA.75.010303|first1=Zhicheng|last1=Luo|first2=Igor|last2=Devetak|title=Efficiently implementable codes for quantum key expansion|journal=Physical Review A|volume=75|issue=1|pages=010303|year=2007|arxiv = quant-ph/0608029 |bibcode = 2007PhRvA..75a0303L |s2cid=119491901}}
* मार्क एम. वाइल्ड, [https://arxiv.org/abs/1106.1445 क्लासिकल से क्वांटम शैनन थ्योरी तक, arXiv:1106.1445]।

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श्रेणी:क्वांटम सूचना विज्ञान
श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी

{{DEFAULTSORT:Entanglement Distillation}}


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