View source for एरेनफेस्ट मॉडल

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम की व्याख्या करने के लिए [[तात्याना अफनासियेवा]] और [[पॉल एहरनफेस्ट]] द्वारा [[प्रसार]] का एरेनफेस्ट मॉडल (या डॉग फ्ली मॉडल) प्रस्तावित किया गया था।<ref name="Ehrenfest">{{cite journal |last1=Ehrenfest |first1= Paul |last2=Ehrenfest |first2=Tatjana |date=1907 |title=Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem |trans-title= |url=https://archive.org/details/bub_gb_Vy0KAAAAIAAJ/page/n337/mode/2up |language=German |journal=Physikalische Zeitschrift |volume=8 |issue= |pages=311–314 |doi= |access-date=18 October 2022 |quote=In der üblichen Formulierung besagt das H-theorem: Wenn ein sich selbst überlassenes kinetisches Gasmodell im Laufe seiner Bewegung die Zustände ...Z1, Z2....Zn ... (A) zu den Zeiten T1, T2.... Tn... durchlauft, so gelten für die konsekutiven Werte der Grössen H die Ungleichungen ....H1 > H2 > H3 .... > Hn .... (1).}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal | last1 = Nauenberg | first1 = M. | title = The evolution of radiation toward thermal equilibrium: A soluble model that illustrates the foundations of statistical mechanics | doi = 10.1119/1.1632488 | journal = American Journal of Physics | volume = 72 | issue = 3 | pages = 313–323 | year = 2004 | arxiv = cond-mat/0305219 | bibcode = 2004AmJPh..72..313N }}</ref> मॉडल एन कणों को दो कंटेनरों में मानता है। कण स्वतंत्र रूप से कंटेनर को λ दर पर परिवर्तित करते हैं। यदि X(t) = i को समय t पर एक कंटेनर में कणों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो यह एक सतत-समय मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) के साथ एक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया है
* <math>q_{i, i-1} = i\, \lambda</math> के लिए ''i'' = 1, 2, ..., ''N''
* <math>q_{i, i+1} = (N-i\,) \lambda</math> के लिए i = 0, 1, ..., N - 1

और संतुलन वितरण <math>\pi_i = 2^{-N} \tbinom Ni</math>.

[[मार्क काक]] ने 1947 में सिद्ध किया कि यदि प्रारंभिक प्रणाली की अवस्था संतुलन में नहीं है, तो [[एंट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]], द्वारा दी गई 

:<math>H(t) = -\sum_{i} P(X(t)=i) \log \left( \frac{P(X(t)=i)}{\pi_i}\right), </math>
:([[एच-प्रमेय]]) में नीरस रूप से वृद्धि हो रही है। यह संतुलन वितरण के अभिसरण का परिणाम है।
== परिणामों की व्याख्या ==
विचार करें कि प्रारंभ में सभी कण कंटेनरों में से एक में हैं। संभावना है कि समय के साथ इस कंटेनर में कणों की संख्या निकट आ जाएगी <math>N/2</math> के और उस अवस्था के निकट कण स्थिर हो जाते हैं (कंटेनरों में लगभग समान संख्या में कण होंगे)। चूंकि गणितीय दृष्टिकोण से, प्रारंभिक अवस्था में वापस जाना संभव है (लगभग निश्चित भी)। औसत पुनरावृत्ति प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रारंभिक अवस्था में वापस जाने का अपेक्षित समय भी परिमित है, और यह <math>2^N</math> है। स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करने पर पता चलता है कि यदि हम संतुलन (कंटेनरों में कणों की समान संख्या) पर प्रारंभ करते हैं, तो संतुलन में लौटने का अपेक्षित समय असमान रूप से <math>\textstyle\sqrt{\pi N/2}</math> के बराबर होता है। यदि हम मानते हैं कि विशेष स्थितियों में कण एक सेकंड में एक दर से कंटेनर बदलते हैं <math>N=100</math> कण, संतुलन से शुरू होकर संतुलन में वापसी आने की संभावना है <math>13</math> सेकंड, कॉन्फ़िगरेशन पर प्रारंभ करते समय <math>100</math> कंटेनरों में से एक में, <math>0</math> दूसरी ओर, उस अवस्था में वापसी की संभावना <math>4\cdot 10^{22}</math> साल है। यह मानना है कि सैद्धांतिक रूप से निश्चित होने के अतिरिक्त भी, प्रारंभिक अत्यधिक अनुपातहीन अवस्था की पुनरावृत्ति की संभावना नहीं है।

==ग्रन्थसूची==
* पॉल और तत्जाना एहरेनफेस्ट: उबेर ज्वेई बेकान्ते ईन्वांडे गेगेन दास बोल्ट्ज़मान्शे एच-प्रमेय। ''[[Physikalische Zeitschrift|फिजिकलिस्के ज़िट्सक्रिफ्ट]],'' खंड। 8 (1907), पीपी 311-314।<ref name="Ehrenfest" />
* [[F.P. Kelly|फ्रांसिस पैट्रिक केली]]: उत्क्रमणीयता और स्टोचैस्टिक नेटवर्क में एहरेनफेस्ट मॉडल। विले, चिचेस्टर, 1979. {{ISBN|0-471-27601-4}} पीपी. 17–20।<ref>{{cite web |url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~frank/BOOKS/kelly_book.html |title=Reversibility and Stochastic Networks |last=Kelly |first=F.P. |date=1979 |website=statslab.cam.ac.uk |publisher= |access-date=8 October 2022 |quote=}}</ref>
* डेविड ओ. सिगमंड: एहरेनफेस्ट मॉडल ऑफ डिफ्यूजन (गणित)। [[Encyclopædia Britannica|एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका]].<ref>{{cite web |url=https://www.britannica.com/science/Ehrenfest-model-of-diffusion
 |title=Ehrenfest model of diffusion (mathematics) |last=Siegmund |first=David O. |date= |website=www.britannica.com |publisher=Encyclopædia Britannica |access-date=18 October 2022 |quote=}}</ref>
==संदर्भ==
{{Reflist}}

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