View source for ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन

{{Short description|Tetrahedron where all pairs of opposite edges are perpendicular}}
[[ज्यामिति]] में, '''ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन''' में विपरीत कोर के तीन युग्मक लंबवत होते हैं। इसे ऑर्थोगोनल टेट्राहेड्रॉन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऑर्थोगोनल का अर्थ [[सीधा|समकोण]] होता है। सर्वप्रथम इसका अध्ययन 1782 में साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा किया गया था और 1890 में जी डी लॉन्गचैम्प्स द्वारा ओर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉन नाम दिया गया था।<ref name=Court>{{citation|last=Court|first=N. A.|authorlink=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में चार [[समवर्ती रेखाएँ]] होती हैं। यह सामान्य बिंदु ऑर्थोसेंटर कहलाता है और यह [[केन्द्रक]] के संबंध में परिचालित क्षेत्र के केंद्र का सममित बिंदु है।<ref name="Court" />इसलिए ऑर्थोसेंटर चतुष्फलक के मोंज बिंदु के समरूप होता है।

== लक्षण वर्णन ==
सभी टेट्राहेड्रा को समान्तरषटफलक में अंकित किया जा सकता है। टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है [[अगर और केवल अगर|यदि]] इसके परिबद्ध समान्तरषटफलक, समचतुर्भुज है। टेट्राहेड्रॉन में, विपरीत कोर युग्मक लंबवत होता है यदि परिबद्ध समान्तरषटफलक के संगत फलक समचतुर्भुज हैं। यदि समान्तरषटफलक के चार फलक समचतुर्भुज हैं, तो सभी कोरों की लंबाई समान होती है और सभी छह फलक समचतुर्भुज होते हैं| इस प्रकार टेट्राहेड्रॉन में विपरीत कोर के दो युग्मक लंबवत हैं और टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है।<ref name=Court/>

टेट्राहेड्रॉन {{mvar|ABCD}} ऑर्थोसेन्ट्रिक है यदि विपरीत कोर के वर्गों का योग विपरीत कोर के तीन युग्मकों के लिए समान है-<ref>Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.</ref><ref name=Hazewinkel/>

:<math>\overline{AB}^2 + \overline{CD}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{BD}^2 = \overline{AD}^2 + \overline{BC}^2.</math>
वास्तव में, टेट्राहेड्रोन ऑर्थोसेन्ट्रिक हो इसलिए विपरीत कोर के मात्र दो युग्मक ही पर्याप्त होते है।

टेट्राहेड्रॉन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए अन्य आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि इसके तीन टेट्राहेड्रॉन की लंबाई समान होती है।<ref name=Hazewinkel>[[Hazewinkel, Michiel]], "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.</ref>


== आयतन ==
कोर के सम्बन्ध में लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि यदि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन के छ: कोर में से मात्र चार ही ज्ञात हैं, तो शेष दो की गणना की जा सकती है यदि वे परस्पर विपरीत न हों। इसलिए ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन का [[आयतन]] चार कोरों ''a'', ''b'', ''c'', ''d'',  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|<ref name=Andreescu>Andreescu, Titu and Gelca, Razvan, "Mathematical Olympiad Challenges", Birkhäuser, second edition, 2009, pp. 30-31, 159.</ref>
:<math>V=\frac{1}{6}\sqrt{4(c^2+d^2)s(s-a)(s-b)(s-c)-a^2b^2c^2}</math>
जहाँ c और d विपरीत कोर हैं, और <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)</math> है|

== यह भी देखें ==
*डिफेनोइड 
* त्रिआयताकार चतुर्भुज

== संदर्भ ==

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