View source for औपचारिक अवधारणा विश्लेषण

{{short description|Method of deriving an ontology}}
{{Expand German|औपचारिक बेग्रिफ़ विश्लेषण|date=फ़रवरी 2012}}
[[सूचना विज्ञान]] में, औपचारिक अवधारणा विश्लेषण (FCA) [[गणितीय वस्तु|वस्तुओं]] और उनके [[संपत्ति (दर्शन)|गुणों]] के संग्रह से एक अवधारणा पदानुक्रम या औपचारिक तात्विकी प्राप्त करने का एक सैद्धांतिक तरीका है। पदानुक्रम में प्रत्येक अवधारणा कुछ गुणों को साझा करने वाली वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती है; और पदानुक्रम में प्रत्येक उप-अवधारणा इसके ऊपर की अवधारणाओं में वस्तुओं के एक उपसमूह (साथ ही गुणों के एक अधिसमुच्चय) का प्रतिनिधित्व करती है। यह शब्द 1981 में [[रूडोल्फ विल]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था और [[जाली सिद्धांत|जालक]] और [[आदेश सिद्धांत|क्रमवार]] के गणितीय सिद्धांत पर आधारित है जिसे 1930 के दशक में [[ गैरेट बिरखॉफ़ |गैरेट बिरखॉफ़]] और अन्य द्वारा विकसित किया गया था।

औपचारिक अवधारणा विश्लेषण [[डेटा खनन|आंकड़े खनन]], [[ टेक्स्ट खनन |मूलपाठ खनन]], [[ यंत्र अधिगम |यंत्र अधिगम]], [[ज्ञान प्रबंधन]], [[सेमांटिक वेब|शब्दार्थगत वेब]], सॉफ्टवेयर विकास, [[रसायन विज्ञान]] और जीव विज्ञान सहित क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है।

== अवलोकन और इतिहास ==
औपचारिक अवधारणा विश्लेषण की मूल प्रेरणा गणितीय क्रम सिद्धांत के वास्तविक दुनिया के अर्थ की खोज थी। बहुत सामान्य प्रकृति की ऐसी एक संभावना यह है कि आंकड़े तालिकाओं को बीजगणितीय संरचनाओं में परिवर्तित किया जा सकता है जिन्हें पूर्ण अक्षांश कहा जाता है और इनका उपयोग आंकड़े प्रत्योक्षकरण और व्याख्या के लिए किया जा सकता है। एक आंकड़े तालिका जो वस्तुओं और विशेषताओं के मध्य एक [[विषम संबंध]] का प्रतिनिधित्व करती है, "वस्तु g में विशेषता m" के रूप में युग्म को सारणीबद्ध करती है, उसे मूल आंकड़े प्रकार माना जाता है। इसे औपचारिक संदर्भ कहा जाता है। इस सिद्धांत में, एक औपचारिक अवधारणा को एक युग्म (A, B) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां A वस्तुओं का एक समुच्चय है (जिसे सीमा कहा जाता है) और B विशेषताओं (आशय) का एक समुच्चय है जैसे कि

* सीमा A में सभी वस्तुएं सम्मिलित हैं जो B में विशेषताओं को साझा करती हैं और दोहरी रूप से,
* आशय B में A में वस्तुओं द्वारा साझा की गई सभी विशेषताएं सम्मिलित हैं।

इस तरह, औपचारिक अवधारणा विश्लेषण [[विस्तार (शब्दार्थ)|विस्तार]] और गहनता की अर्थ संबंधी धारणाओं को औपचारिक बनाता है।

किसी भी औपचारिक संदर्भ की औपचारिक अवधारणाओं को - जैसा कि नीचे बताया गया है - एक पदानुक्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है जिसे अधिक औपचारिक रूप से संदर्भ की "अवधारणा जालक" कहा जाता है। अवधारणा जालक को आलेखिक रूप से एक रेखा आरेख के रूप में देखा जा सकता है, जो आंकड़े को समझने में सहायक हो सकता है। हालाँकि प्रायः ये जालक प्रत्योक्षकरण के लिए बहुत बड़ी हो जाती हैं। तब औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का गणितीय सिद्धांत सहायक हो सकता है, उदाहरण के लिए, सूचना हानि के बिना जालक को छोटे टुकड़ों में विघटित करने के लिए, या इसे किसी अन्य संरचना में अंतःस्थापन करने के लिए जिसे व्याख्या करना सरल है।

अपने वर्तमान स्वरूप में, यह सिद्धांत 1980 के दशक के प्रारंभ में और टेक्नीश यूनिवर्सिटैट डार्मस्टेड में रुडोल्फ विले, बर्नहार्ड गैंटर और पीटर बर्मिस्टर के नेतृत्व में एक शोध समूह का है। हालाँकि, इसकी बुनियादी गणितीय परिभाषाएँ 1930 के दशक में गैरेट बिरखॉफ़ द्वारा सामान्य जालक सिद्धांत के भाग के रूप में पहले ही प्रस्तुत की गई थीं। इसी विचार के अन्य पिछले दृष्टिकोण विभिन्न फ्रांसीसी अनुसंधान समूहों से उत्पन्न हुए थे, परन्तु डार्मस्टेड समूह ने क्षेत्र को सामान्य बनाया और व्यवस्थित रूप से अपने गणितीय सिद्धांत और दार्शनिक नींव दोनों पर कार्य किया। उत्तरार्द्ध विशेष रूप से चार्ल्स एस. पीयर्स को संदर्भित करता है, परन्तु [[पोर्ट-रॉयल लॉजिक|गणितीय तर्क-राजकीय तर्कशास्त्र]] को भी संदर्भित करता है।

== प्रेरणा और दार्शनिक पृष्ठभूमि ==
अपने लेख "नवीनीकरण जालक सिद्धांत" (1982) में,<ref name="restructuring">{{cite book |first1=Rudolf |last1=Wille |chapter=Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-01815-2_23 |editor1-last=Rival |editor1-first=Ivan |title=Ordered Sets. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held at Banff, Canada, August 28 to September 12, 1981 |series=Nato Science Series C |volume=83 |publisher=Springer |date=1982 |pages=445–470 |doi=10.1007/978-94-009-7798-3 |isbn=978-94-009-7800-3 }}, reprinted in {{cite book |editor1-last=Ferré |editor1-first=Sébastien |editor2-last=Rudolph |editor2-first=Sebastian | title=Formal Concept Analysis: 7th International Conference, ICFCA 2009 Darmstadt, Germany, May 21–24, 2009 Proceedings |date=12 May 2009 | page=314 | publisher=Springer | isbn=978-364201814-5 }}</ref> गणितीय अनुशासन के रूप में औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का प्रारंभ करते हुए, विले वर्तमान जालक सिद्धांत और सामान्य रूप से शुद्ध गणित के प्रति असंतोष से प्रारंभ करते हैं: सैद्धांतिक परिणामों का उत्पादन - प्रायः विस्तृत मानसिक व्यायामिक द्वारा प्राप्त किया जाता है - प्रभावशाली थे, परन्तु निकटवर्ती कार्यक्षेत्र, यहां तक कि एक सिद्धांत के कुछ भागों के मध्य  दुर्बल हो रहे थे।

{{Quote |text=जालक सिद्धांत का पुनर्गठन सिद्धांत की यथासंभव ठोस व्याख्या करके हमारी सामान्य संस्कृति के साथ संबंधों को पुनः प्रबल करने का एक प्रयास है और इस तरह जालक सिद्धांतकारों और जालक सिद्धांत के संभावित उपयोगकर्ताओं के मध्य उन्नत संचार को बढ़ावा देना है। |author=रुडोल्फ विले |source=<ref name="restructuring" />}}

यह उद्देश्य शिक्षाविद् हर्टमट वॉन हेंटिग की ओर जाता है, जिन्होंने 1972 में श्रेष्ठतर शिक्षण की दृष्टि से और विज्ञान को पारस्परिक रूप से उपलब्ध और अधिक सामान्यतः (अर्थात विशेष ज्ञान के बिना भी) आलोचनात्मक बनाने के लिए विज्ञान के पुनर्गठन की वकालत की थी।<ref>{{cite book |last=Hentig, von |first=Hartmut |date=1972 |title=Magier oder Magister? Über die Einheit der Wissenschaft im Verständigungsprozeß |publisher=Klett (1972), Suhrkamp (1974) |isbn=978-3518067079}}</ref> इसलिए, इसकी उत्पत्ति से औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का उद्देश्य अनुसंधान की अंतःविषयता और लोकतांत्रिक नियंत्रण है।<ref name="AttrExGeneRegProc">{{cite thesis |first=Johannes |last=Wollbold |title=जीन नियामक प्रक्रियाओं की विशेषता अन्वेषण|date=2011 |type=PhD |publisher=University of Jena |page=9 |url=http://www.db-thueringen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-24615/Wollbold/Dissertation.pdf |arxiv=1204.1995 |id=urn:nbn:de:gbv:27-20120103-132627-0 }}</ref>

यह 19वीं शताब्दी में [[औपचारिक तर्क]] के विकास के पर्यंत जालक सिद्धांत के प्रारंभिक बिंदु को सही करता है। तब-और बाद में [[मॉडल सिद्धांत|निदर्शपरक सिद्धांत]] में-एकात्मक [[विधेय (तर्क)|विधेय]] के रूप में एक अवधारणा को उसकी सीमा तक कम कर दिया गया था। अब फिर, आशय पर विचार करने से अवधारणाओं का तत्त्वविज्ञान कम अमूर्त हो जाना चाहिए। इसलिए, औपचारिक अवधारणा विश्लेषण भाषाविज्ञान और शास्त्रीय वैचारिक तर्क की श्रेणियों के विस्तार और गहनता की ओर उन्मुख है।<ref name="GW">{{cite book |last1=Ganter |first1=Bernhard |last2=Wille |first2=Rudolf |title=Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations |year=1999 |publisher=Springer |isbn=3-540-62771-5 |pages= |url=}}</ref>

औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का उद्देश्य चार्ल्स एस. पीयर्स की [[व्यावहारिक कहावत]] के अनुसार [[लघु आधार|सम्मिलित]] वस्तुओं के अवलोकन योग्य, प्राथमिक गुणों को उजागर करके अवधारणाओं की स्पष्टता है।<ref name="AttrExGeneRegProc" />अपने अंतिम तत्त्वविज्ञान में, पीयर्स ने माना कि तार्किक विचार का उद्देश्य त्रिक अवधारणा, निर्णय और परिणाम द्वारा वास्तविकता को समझना है। गणित तर्क का एक अमूर्त रूप है, [[तार्किक संभावना|संभावित]] वास्तविकताओं के प्रतिरूप विकसित करता है और इसलिए तर्कसंगत [[संचार]] का समर्थन कर सकता है। इस पृष्ठभूमि पर, विले परिभाषित करते हैं:

{{Quote |text=अवधारणाओं और अवधारणा पदानुक्रमों के गणितीय सिद्धांत के रूप में औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का उद्देश्य और अर्थ गणितीय रूप से उपयुक्त वैचारिक संरचनाओं को विकसित करके मनुष्यों के तर्कसंगत संचार का समर्थन करना है जिसे तार्किक रूप से सक्रिय किया जा सकता है। |author=रुडोल्फ विले |source = <ref>{{cite book |first=Rudolf |last=Wille |chapter=Formal Concept Analysis as Mathematical Theory of Concepts and Concept Hierarchies |chapter-url= |editor= |title={{harvnb|Ganter|Stumme|Wille|2005}} }}</ref>}}

== उदाहरण ==
उदाहरण में आंकड़े एक शब्दार्थ क्षेत्र अध्ययन से लिया गया है, जहां विभिन्न प्रकार के [[जल निकाय|जल निकायों]] को उनकी विशेषताओं के आधार पर व्यवस्थित रूप से वर्गीकृत किया गया था।<ref>{{citation |first1=Peter Rolf |last1=Lutzeier |title=Wort und Feld: wortsemantische Fragestellungen mit besonderer Berücksichtigung des Wortfeldbegriffes: Dissertation |series=Linguistische Arbeiten 103 |publisher=Niemeyer |location=Tübingen |oclc=8205166 |date=1981 |language=de |doi=10.1515/9783111678726.fm}}</ref> यहां इस उद्देश्य के लिए इसे सरल बनाया गया है।

आंकड़े तालिका एक औपचारिक संदर्भ का प्रतिनिधित्व करती है, इसके आगे की रेखा आरेख इसकी अवधारणा जालक को दर्शाता है। औपचारिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं।

{| class="wikitable" style="text-align: center; margin-right: 2em; float: left; font-size: 80%"
|+ औपचारिक संदर्भ के लिए उदाहरण: "जल निकाय"
|-
! rowspan="2" colspan="2"| जल निकायों !! colspan="8" | गुण
|-
! ''अस्थायी'' !! ''क्रियाशील'' !! ''प्राकृतिक'' !! ''निष्क्रिय'' !! ''नियत'' !! ''तटवर्ती''
|-
! rowspan="18" {{verth|va=middle|विषय}}
! {{rh}} | [[canal|नहर]]
| || {{ya}} || || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[Channel (geography)|नाला]]
| || {{ya}} || || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[lagoon|समुद्रताल]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}}
|-
! {{rh}} | [[lake|तालाब]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[maar|भ्रूण ज्वालामुखी]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[puddle|पोखर]]
| {{ya}} || || {{ya}} || {{ya}} || ||
|-
! {{rh}} | [[pond|ताल]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | हौज
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[reservoir|कुंड]]
| || || || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[river|नदी]]
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[rivulet|नदिका]]
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[Stream|छोटी नदी]]
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[sea|समुद्र]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}}
|-
! {{rh}} | [[stream|झरना]]
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | [[Tarn (lake)|गिरिताल]]
| || || {{ya}} || {{ya}} || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | मूसलाधार वर्षा
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|-
! {{rh}} | रिसाव
| || {{ya}} || {{ya}} || || {{ya}} ||
|}
  <!-- for the diagramm, to be displayed on the same level as the table -->
[[file:FCA body of water.svg|thumb|बाईं ओर जल के औपचारिक संदर्भ निकायों के अनुरूप रेखा आरेख हैं।]]
{{Clear}}

उपरोक्त रेखा आरेख में वृत्त, संयोजक रेखा खंड और लेबल सम्मिलित हैं। वृत्त औपचारिक अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। पंक्तियाँ उप-अवधारणा-अधि-अवधारणा पदानुक्रम को पढ़ने की अनुमति देती हैं। प्रत्येक वस्तु और विशेषता नाम को आरेख में ठीक एक बार लेबल के रूप में उपयोग किया जाता है, नीचे वस्तु और अवधारणा वृत्त के ऊपर विशेषताएँ होती हैं। यह इस तरह से किया जाता है कि एक विशेषता को किसी वस्तु से आरोही पथ के माध्यम से पहुँचा जा सकता है यदि और केवल तभी जब वस्तु में विशेषता हो।

दिखाए गए चित्र में, उदा. वस्तु भंडार में स्थिर और निरंतर गुण होते हैं, परन्तु अस्थायी, क्रियाशील, प्राकृतिक, समुद्री गुण नहीं होते हैं। तदनुसार, पोखर में बिल्कुल अस्थायी, स्थिर और प्राकृतिक विशेषताएं हैं।

मूल औपचारिक संदर्भ को लेबल किए गए आरेख, साथ ही औपचारिक अवधारणाओं से पुनर्निर्मित किया जा सकता है। एक अवधारणा की सीमा में वे वस्तुएँ सम्मिलित होती हैं जहाँ से एक आरोही पथ अवधारणा का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त की ओर जाता है। आशय में वे विशेषताएँ सम्मिलित हैं जिनके लिए उस अवधारणा चक्र (आरेख में) से एक आरोही पथ है। इस आरेख में लेबल जलाशय के ठीक बाईं ओर की अवधारणा का आशय स्थिर और प्राकृतिक है और विस्तार पोखर, भ्रूण ज्वालामुखी, झील, तालाब, [[Tarn (lake)|गिरिताल]], पूल, [[lagoon|समुद्रताल]] और समुद्र है।

== औपचारिक संदर्भ और अवधारणाएँ ==
एक औपचारिक संदर्भ एक त्रिगुण {{math|1=''K'' = (''G'', ''M'', ''I'')}} है, जहां G वस्तुओं का एक समुच्चय है, M विशेषताओं का एक समुच्चय है और {{math|1=''I'' ⊆ ''G'' × ''M''}} एक द्विआधारी संबंध है जिसे आघटन कहा जाता है जो व्यक्त करता है कि किस वस्तु में कौन से गुण हैं।<ref name="GW" />वस्तुओं के उपसमुच्चय {{math|1=''A'' ⊆ ''G''}} और विशेषताओं के उपसमुच्चय {{math|1=''B'' ⊆ ''M''}}  के लिए, दो व्युत्पत्ति संचालकों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

: {{math|1=''A&prime;'' = {{mset|''m'' ∈ ''M'' | (''g,m'') ∈ ''I'' for all ''g'' ∈ ''A''}} }}, अर्थात, A से सभी वस्तुओं द्वारा साझा की गई सभी विशेषताओं का एक समुच्चय, और दोहरी रूप से

: {{math|1=''B&prime;'' = {{mset|''g'' ∈ ''G'' | (''g,m'') ∈ ''I'' for all ''m'' ∈ ''B''}} }}, अर्थात, B से सभी विशेषताओं को साझा करने वाली सभी वस्तुओं का एक समुच्चय है।

या तो व्युत्पत्ति संचालक और फिर दूसरे को अनुप्रयुक्त करने से दो [[ बंद करने वाला ऑपरेटर |संवरक संचालक]] बनते हैं:

:''A'' ↦  ''A''′′ = (''A′'')′   ''A'' ⊆ G के लिए (सीमा संवरक), और

:''B''   ↦  ''B''′′ = (''B′'')′  ''B'' ⊆ M के लिए (आशय संवरक)

व्युत्पत्ति संचालक वस्तुओं के समुच्चय और विशेषताओं के मध्य [[गैलोइस कनेक्शन|गैलोइस संयोजन]] को परिभाषित करते हैं। यही कारण है कि फ़्रेंच में एक अवधारणा जालक को कभी-कभी ''ट्रेलिस डी गैलोइस'' (गैलोइस जालक) कहा जाता है।

इन व्युत्पत्ति संचालकों के साथ, विले ने औपचारिक अवधारणा की एक सुंदर परिभाषा दी:<!--With these derivation operators, it is possible to restate the definition of the term "formal concept" more rigorously:-->एक युग्म (A,B) एक संदर्भ {{math|(''G'', ''M'', ''I'')}} की एक औपचारिक अवधारणा है, बशर्ते कि:

:A ⊆ G,   B ⊆ M,   A′ = B,   और  B′ = A

समान रूप से और अधिक सहज रूप से, (A,B) एक औपचारिक अवधारणा है जब:
* A की प्रत्येक वस्तु में B की प्रत्येक विशेषता होती है,
* G में प्रत्येक वस्तु के लिए जो A में नहीं है, B में कुछ विशेषताएँ हैं जो वस्तु में नहीं हैं,
* M में प्रत्येक विशेषता के लिए जो B में नहीं है, A में कुछ वस्तु है जिसमें वह विशेषता नहीं है।

अभिकलन उद्देश्यों के लिए, एक औपचारिक संदर्भ को स्वाभाविक रूप से (0,1)-आव्यूह K के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें पंक्तियाँ वस्तुओं के अनुरूप होती हैं, स्तम्भ विशेषताओं के अनुरूप होते हैं और प्रत्येक प्रविष्टि k<sub>''i'',''j''</sub> 1 के बराबर होती है यदि वस्तु i में विशेषता j है। इस आव्यूह प्रतिनिधित्व में, प्रत्येक औपचारिक अवधारणा एक [[अधिकतम तत्व|अधिकतम]] उप-आव्यूह (आवश्यक रूप से सन्निहित नहीं) से मेल खाती है, जिसके सभी तत्व 1 के बराबर हैं। हालांकि, औपचारिक संदर्भ को बूलियन के रूप में मानना भ्रामक है, क्योंकि नकारात्मक घटना (वस्तु G में विशेषता M नहीं है) ऊपर परिभाषित तरीके से अवधारणा निर्माण नहीं कर रहा है। इस कारण से, औपचारिक संदर्भों का प्रतिनिधित्व करते समय मान 1 और 0 या सत्य और असत्य को सामान्यतः टाला जाता है और घटना को व्यक्त करने के लिए × जैसे प्रतीक का उपयोग किया जाता है।

== औपचारिक संदर्भ की अवधारणा जालक ==
किसी संदर्भ K की अवधारणाओं (''A<sub>i</sub>'', ''B<sub>i</sub>'') को सम्मिलित करके, या समकक्ष रूप से, आशयों के दोहरे समावेशन द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है। अवधारणाओं पर एक क्रम ≤ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:  K की किन्हीं दो अवधारणाओं (A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>) और (A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>) के लिए, हम कहते हैं कि (A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>) ≤ (A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>) ठीक तब होता है जब A<sub>1</sub> ⊆ A<sub>2</sub> होता है। समतुल्य, (A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>) ≤ (A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>) जब भी B<sub>1</sub> ⊇ B<sub>2</sub> है।

इस क्रम में, औपचारिक अवधारणाओं के प्रत्येक समुच्चय में एक सबसे बड़ी सामान्य उपअवधारणा या मेल होता है। इसके विस्तार में वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जो समुच्चय के सभी विस्तारों के लिए सामान्य हैं। दोहरी रूप से, औपचारिक अवधारणाओं के प्रत्येक समुच्चय में कम-से-कम सामान्य अधि-अवधारणा होती है, जिसके आशयों में सभी गुण सम्मिलित होते हैं जो अवधारणाओं के उस समुच्चय की सभी वस्तुओं में होते हैं।

ये मिलने और जुड़ने के संचालन एक [[जाली (आदेश)|जालक]] को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं, वास्तव में एक [[पूर्ण जाली|पूर्ण जालक]] हैं। इसके विपरीत, यह दर्शाया जा सकता है कि प्रत्येक पूर्ण जालक कुछ औपचारिक संदर्भ (समरूपता तक) की अवधारणा जालक है।

== गुण मान और निषेध ==
वास्तविक दुनिया के आंकड़े प्रायः वस्तु-विशेषता तालिका के रूप में दिया जाता है, जहां विशेषताओं के "मान" होते हैं। औपचारिक अवधारणा विश्लेषण ऐसे आंकड़ों को मूल प्रकार के (एक-मूल्यवान) औपचारिक संदर्भ में परिवर्तित करके नियंत्रित करता है। विधि को वैचारिक सोपानन कहा जाता है।

किसी गुण m का निषेध एक गुण ¬m है, जिसकी सीमा केवल m की सीमा का पूरक है, अर्थात, (¬m)′ = G \ m′ के साथ है। सामान्यतः यह नहीं माना जाता है कि अवधारणा निर्माण के लिए अस्वीकार किये गुण उपलब्ध हैं। परन्तु गुणों के युग्म जो एक-दूसरे के निषेध हैं, प्रायः स्वाभाविक रूप से घटित होते हैं, उदाहरण के लिए वैचारिक सोपानन से प्राप्त संदर्भों मेंहै।

औपचारिक अवधारणाओं के संभावित निषेधों के लिए नीचे अनुभाग अवधारणा बीजगणित देखें।

== निहितार्थ ==
एक [[निहितार्थ (सूचना विज्ञान)|निहितार्थ]] A → B विशेषताओं के दो समुच्चय A और B से संबंधित है और व्यक्त करता है कि A से प्रत्येक विशेषता रखने वाली प्रत्येक वस्तु में B से प्रत्येक विशेषता भी होती है। जब {{math|(''G'',''M'',''I'')}} एक औपचारिक संदर्भ है और A, B इसके उपसमुच्चय हैं, गुणों का M व्यवस्थित करें (अर्थात, A, B ⊆ M), तो निहितार्थ A → B मान्य है यदि A′ ⊆ B′ है। प्रत्येक परिमित औपचारिक संदर्भ के लिए, सभी मान्य निहितार्थों के समुच्चय का एक विहित आधार होता है,<ref>{{cite journal |last1=Guigues |first1=J.L. |last2=Duquenne |first2=V. |title=Familles minimales d'implications informatives résultant d'un tableau de données binaires |journal=Mathématiques et Sciences Humaines |volume=95 |issue= |pages=5–18 |date=1986 |doi= |url=http://www.numdam.org/item/MSH_1986__95__5_0.pdf}}</ref> निहितार्थों का एक निरर्थक समुच्चय जिसमें से सभी मान्य निहितार्थ प्राकृतिक अनुमान ([[आर्मस्ट्रांग के अभिगृहीत|आर्मस्ट्रांग नियम]]) द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। इसका उपयोग गुण अन्वेषण में किया जाता है, जो निहितार्थों पर आधारित एक ज्ञान अर्जन विधि है।<ref name="GanterObiedkov">{{cite book |last1=Ganter |first1=Bernhard |last2=Obiedkov |first2=Sergei |title=वैचारिक अन्वेषण|publisher=Springer |date=2016 |isbn=978-3-662-49290-1 |pages= |url=}}</ref>


== तीर संबंध ==
औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में विस्तृत गणितीय आधार हैं,<ref name="GW" />जो इस क्षेत्र को बहुमुखी बनाता है। एक बुनियादी उदाहरण के रूप में हम तीर संबंधों का उल्लेख करते हैं, जो सरल और गणना करने में सरल हैं, परन्तु बहुत उपयोगी हैं। उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है: {{math|1=''g'' ∈ ''G''}} और {{math|1=''m'' ∈ ''M''}}  के लिए मान लीजिए;

: {{math|1=''g'' ↗ ''m'' &nbsp;⇔&nbsp; (''g, m'') ∉ ''I'' and if ''m''⊆''n&prime;'' and ''m&prime; ≠ n&prime; '', then (''g, n'') ∈ ''I'',}}

और दोहरी तौर पर

: {{math|1=''g'' ↙ ''m'' &nbsp;⇔&nbsp; (''g, m'') ∉ ''I'' and if ''g&prime;''⊆''h&prime;'' and ''g&prime; ≠ h&prime; '', then (''h, m'') ∈ ''I''.}}

चूँकि केवल गैर-घटना वस्तु-विशेषता युग्म ही संबंधित हो सकते हैं, इन संबंधों को औपचारिक संदर्भ का प्रतिनिधित्व करने वाली तालिका में सरली से अभिलिखित किया जा सकता है। कई जालक गुणों को तीर संबंधों से पढ़ा जा सकता है, जिसमें वितरण और इसके कई सामान्यीकरण सम्मिलित हैं। वे संरचनात्मक सूचना भी प्रकट करते हैं और इसका उपयोग निर्धारण के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जालक के सर्वांगसम संबंध हैं।

== सिद्धांत का विस्तार ==
* '''त्रैमासिक अवधारणा विश्लेषण''' वस्तुओं और विशेषताओं के मध्य द्विआधारी घटना संबंध को वस्तुओं, विशेषताओं और स्थितियों के मध्य एक त्रिक संबंध द्वारा प्रतिस्थापित करता है। एक घटना {{tmath|(g,m,c)}}  फिर व्यक्त करता है कि वस्तु {{mvar|g}} में {{mvar|c}} स्थिति के अंतर्गत विशेषता {{mvar|m}} है। यद्यपि त्रैमासिक अवधारणाओं को उपरोक्त औपचारिक अवधारणाओं के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है, उनके द्वारा गठित त्रि-जालक की तुलना में बहुत कम विकसित है, और कठिन प्रतीत होता है।<ref>{{cite journal |first=R. |last=Wille |title=त्रैमासिक अवधारणा विश्लेषण का मूल प्रमेय"।|journal=Order |volume=12 |issue= 2|pages=149–158 |date=1995 |doi=10.1007/BF01108624 |s2cid=122657534 |url=}}</ref> वाउटसाडाकिस ने n-एरी स्थिति का अध्ययन किया है।<ref name="Voutsadakis">{{cite journal |first=G. |last=Voutsadakis |title=पॉलीडिक अवधारणा विश्लेषण|journal=Order |volume=19 |issue=3 |pages=295–304 |date=2002 |doi=10.1023/A:1021252203599 |s2cid=17738011 |url=https://www.voutsadakis.com/RESEARCH/PUBLISHED/polyadic.pdf }}</ref>
* '''फ़ज़ी अवधारणा विश्लेषण''': औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के फ़ज़ी संस्करण पर व्यापक कार्य किया गया है।<ref>{{Cite web |url=http://www.glc.us.es/cla2010/slides/tutorialI_Belohlavek.pdf |title=औपचारिक अवधारणा विश्लेषण और फ़ज़ी लॉजिक|access-date=2017-12-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171209043947/http://www.glc.us.es/cla2010/slides/tutorialI_Belohlavek.pdf |archive-date=2017-12-09 |url-status=dead }}</ref>
* <span id= अवधारणा बीजगणित >'''अवधारणा बीजगणित'''</span>: औपचारिक अवधारणाओं का मॉडलिंग निषेध कुछ हद तक समस्याग्रस्त है क्योंकि औपचारिक अवधारणा (A, B) का पूरक {{math|1=(''G'' \ ''A'', ''M'' \ ''B'')}} सामान्यतः एक अवधारणा नहीं है। हालाँकि, चूंकि अवधारणा जालक पूर्ण हो गई है, इसलिए कोई उन सभी अवधारणाओं (C, D) के जोड़ (''A'', ''B'')<sup>Δ</sup> पर विचार कर सकता है जो {{math|1=''C'' ⊆ ''G'' \ ''A''}} को संतुष्ट करते हैं; या {{math|1=''D'' ⊆ ''M'' \ ''B''}} को संतुष्ट करने वाली सभी अवधारणाओं का दोहरा मिलन (''A'', ''B'')<sup>𝛁</sup> होता है। इन दो संक्रियाओं को क्रमशः दुर्बल निषेध और दुर्बल विपक्ष के रूप में जाना जाता है। इसे व्युत्पत्ति संचालकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। दुर्बल निषेध को  {{math|1=(''A'', ''B'')<sup>Δ</sup> = ((''G'' \ ''A'')&prime;&prime;, (''G'' \ ''A'')')}} के रूप में लिखा जा सकता है और दुर्बल विरोध को {{math|1=(''A'', ''B'')<sup>𝛁</sup> = ((''M'' \ ''B'')', (''M'' \ ''B'')&prime;&prime;)}} के रूप में लिखा जा सकता है। दो अतिरिक्त संचालन Δ और 𝛁 से सुसज्जित अवधारणा जालक को एक संदर्भ की अवधारणा बीजगणित के रूप में जाना जाता है। संकल्पना बीजगणित घात समुच्चयों को सामान्यीकृत करता है। एक अवधारणा जालक L पर दुर्बल निषेध एक दुर्बल पूरकता है, अर्थात एक [[ आदेश-उलटना |अनुक्रम-उत्क्रमी]] मानचित्र {{math|1=Δ: ''L'' → ''L''}} जो सिद्धांतों {{math|1=''x''<sup>ΔΔ</sup> ≤ ''x'' and (''x''⋀''y'') ⋁ (''x''⋀''y''<sup>Δ</sup>) = ''x''}} को संतुष्ट करता है। दुर्बल विपक्ष एक दोहरा दुर्बल पूरक है। एक (सीमाबद्ध) जालक जैसे कि एक अवधारणा बीजगणित, जो एक दुर्बल पूरकता और एक दोहरी दुर्बल पूरकता से सुसज्जित है, जिसको दुर्बल रूप से अपूरित जालक कहा जाता है। दुर्बल रूप से अपूरित जालक वितरणात्मक [[ऑर्थोपूरक जाली|ऑर्थोपूरक जालक]], अर्थात [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] को सामान्यीकृत करती हैं।<ref>{{Citation |last=Wille |first=Rudolf |year=2000 |contribution=Boolean Concept Logic |editor1-last=Ganter |editor1-first=B. |editor2-last=Mineau |editor2-first=G. W. |title=ICCS 2000 Conceptual Structures: Logical, Linguistic and Computational Issues |publisher=Springer |pages=317–331 |isbn=978-3-540-67859-5 |series=LNAI 1867}}.</ref><ref name=kwuida2004>{{Citation |last=Kwuida |first=Léonard |title=Dicomplemented Lattices. A contextual generalization of Boolean algebras |year=2004 |publisher=[[Shaker Verlag]] |isbn=978-3-8322-3350-1 |url=http://hsss.slub-dresden.de/documents/1101148726640-2926/1101148726640-2926.pdf }}</ref>


=== अस्थायी अवधारणा विश्लेषण ===
अस्थायी अवधारणा विश्लेषण (TCA) औपचारिक अवधारणा विश्लेषण (FCA) का एक विस्तार है, जिसका लक्ष्य अस्थायी घटनाओं का वैचारिक वर्णन करना है। यह बदलती वस्तुओं के विषय में आंकड़ों से प्राप्त अवधारणा जालक में सजीवता प्रदान करता है। यह निरंतर, असतत या संकर स्थान और समय में ठोस या अमूर्त वस्तुओं के परिवर्तन को समझने का एक सामान्य तरीका प्रदान करता है। टीसीए अस्थायी आँकड़ासंचय पर वैचारिक सोपानन अनुप्रयुक्त करता है।<ref>
{{Citation |last=Wolff |first=Karl Erich |year=2010 |contribution=Temporal Relational Semantic Systems |editor1-last=Croitoru |editor1-first= Madalina |editor2-last=Ferré |editor2-first=Sébastien |editor3-last=Lukose |editor3-first=Dickson |title=Conceptual Structures: From Information to Intelligence. ICCS 2010. LNAI 6208 |publisher=Springer |pages=165–180 |isbn=978-3-642-14196-6 |doi=10.1007/978-3-642-14197-3 |series=Lecture Notes in Artificial Intelligence|volume=6208 |url=https://basepub.dauphine.fr/handle/123456789/12138 }}.</ref>

सबसे सरल स्थिति में टीसीए समय के साथ बदलने वाली वस्तुओं को भौतिकी में एक कण की तरह मानता है, जो हर समय बिल्कुल एक ही स्थान पर होता है। यह उन अस्थायी आंकड़ों में होता है जहां विशेषताएँ 'अस्थायी वस्तु' और 'समय' मिलकर आँकड़ासंचय की एक कुंजी बनाती हैं। फिर स्थिति (एक दृश्य में एक समय में एक अस्थायी वस्तु की) को चुने गए दृश्य का वर्णन करने वाले औपचारिक संदर्भ की एक निश्चित वस्तु अवधारणा के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। इस सरल स्थिति में, एक अस्थायी प्रणाली का एक विशिष्ट दृश्य की अवधारणा जालक का एक रेखा आरेख है जिसमें अस्थायी वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र अंतर्निहित होते हैं।<ref>{{Citation |last=Wolff |first=Karl Erich |year=2019 |contribution=Temporal Concept Analysis with SIENA |url=http://ceur-ws.org/Vol-2378/shortAT12.pdf |editor1-last=Cristea |editor1-first=Diana |editor2-last=Le Ber |editor2-first=Florence |editor3-last=Missaoui |editor3-first=Rokia |editor4-last=Kwuida |editor4-first=Léonard |editor5-last=Sertkaya |editor5-first=Bariş |title=Supplementary Proceedings of ICFCA 2019, Conference and Workshops |publisher=Springer |pages=94–99 }}.</ref>

टीसीए एक यादृच्छिक कुंजी के साथ अस्थायी आँकड़ासंचय पर विचार करके उपर्युक्त स्थिति को सामान्यीकृत करती है। इससे वितरित वस्तुओं की धारणा उत्पन्न होती है जो किसी भी समय संभवतः कई स्थानों पर होती हैं, उदाहरण के लिए, मौसम मानचित्र पर एक उच्च दाब क्षेत्र है। 'अस्थायी वस्तुओं', 'समय' और 'स्थान' की धारणाओं को मापक्रम में औपचारिक अवधारणाओं के रूप में दर्शाया जाता है। एक अवस्था को वस्तु अवधारणाओं के एक समूह के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। इससे भौतिकी में कणों और तरंगों के विचारों की वैचारिक व्याख्या होती है।<ref>{{Citation |last=Wolff |first=Karl Erich |year=2004 |contribution='Particles' and 'Waves' as Understood by Temporal Concept Analysis. |editor1-last=Wolff |editor1-first=Karl Erich |editor2-last=Pfeiffer |editor2-first=Heather D. |editor3-last=Delugach |editor3-first=Harry S. |title=Conceptual Structures at Work. 12th International Conference on Conceptual Structures, ICCS 2004. Huntsville, AL, USA, July 2004, LNAI 3127. Proceedings |publisher=Springer |pages=126–141 |isbn=978-3-540-22392-4 |series=Lecture Notes in Artificial Intelligence|doi=10.1007/978-3-540-27769-9_8 }}.</ref>



== कलन विधि और उपकरण ==
औपचारिक अवधारणाओं को उत्पन्न करने और अवधारणा जालक के निर्माण और नौचालन करने के लिए कई सरल और तीव्र कलन विधि हैं। सर्वेक्षण के लिए, कुज़नेत्सोव और ओबिदकोव <ref name="AlgSurvey">{{cite journal |last1=Kuznetsov |first1=S. |last2=Obiedkov |first2=S. |title=कॉन्सेप्ट लैटिस उत्पन्न करने के लिए एल्गोरिदम के प्रदर्शन की तुलना करना|journal=[[Journal of Experimental and Theoretical Artificial Intelligence]] |volume=14 |issue= 2–3|pages=189–216 |date=2002 |doi=10.1080/09528130210164170 |s2cid=10784843 |url=}}</ref> या गैंटर और ओबिदकोव की पुस्तक देखें,<ref name="GanterObiedkov"/>जहां कुछ छद्म कूट भी पाए जा सकते हैं। चूँकि औपचारिक अवधारणाओं की संख्या औपचारिक संदर्भ के आकार में घातीय हो सकती है, कलन विधि की जटिलता सामान्यतः प्रक्षेपण आकार के संबंध में दी जाती है। कुछ मिलियन तत्वों वाली संकल्पना जालक को बिना किसी समस्या के नियंत्रित किया जा सकता है।

आज कई एफसीए सॉफ्टवेयर एप्लिकेशन उपलब्ध हैं।<ref name="fcahome.org.uk">One can find a non exhaustive list of FCA tools in the FCA software website: {{cite web |url=http://www.fcahome.org.uk/fcasoftware.html |title=Formal Concept Analysis Software and Applications |access-date=2010-06-10 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100416002832/http://www.fcahome.org.uk/fcasoftware.html |archive-date=2010-04-16}}</ref> इन उपकरणों का मुख्य उद्देश्य औपचारिक संदर्भ निर्माण से लेकर औपचारिक [[अवधारणा खनन]] और किसी दिए गए औपचारिक संदर्भ की अवधारणाओं और संबंधित निहितार्थों और [[एसोसिएशन नियम|संघ नियमों]] को उत्पन्न करने तक भिन्न होता है। इनमें से अधिकांश उपकरण सैद्धांतिक मुक्त-स्त्रोत एप्लिकेशन हैं, जैसे:
* कॉनएक्सपी<ref name="conexp.sourceforge.net">{{cite web|url=http://conexp.sourceforge.net/|title=कॉन्सेप्ट एक्सप्लोरर|website=Conexp.sourceforge.net|access-date=27 December 2018}}</ref>
* टोस्काना जे<ref name="toscanaj.sourceforge.net">{{cite web|url=http://toscanaj.sourceforge.net/|title=ToscanaJ: Welcome|website=Toscanaj.sourceforge.net|access-date=27 December 2018}}</ref>
* [[जालीदार खनिक|जालक खनिक]]<ref name="ReferenceB">Boumedjout Lahcen and Leonard Kwuida. "Lattice Miner: A Tool for Concept Lattice Construction and Exploration". In: Supplementary Proceeding of International Conference on Formal concept analysis (ICFCA'10), 2010</ref>
*कोरोन<ref name="coron.loria.fr">{{cite web|url=http://coron.loria.fr/site/index.php|title=कोरोन प्रणाली|website=Coron.loria.fr|access-date=27 December 2018}}</ref>
* एफसीएबेड्रॉक<ref name="sourceforge.net">{{cite web|url=https://sourceforge.net/projects/fcabedrock/|title=FcaBedrock औपचारिक संदर्भ निर्माता|website=SourceForge.net|access-date=27 December 2018}}</ref>
* गैलेक्टिक<ref name="galactic.univ-lr.fr">{{cite web|url=https://galactic.univ-lr.fr/|title=गैलेक्टिक गैलोइस लैटिस, संकल्पना सिद्धांत, निहितार्थ प्रणाली और क्लोजर|website=galactic.univ-lr.fr|access-date=2 February 2021}}</ref>


==संबंधित विश्लेषणात्मक कार्य-पद्धति ==

=== बाइक्लीक ===
एक औपचारिक संदर्भ को स्वाभाविक रूप से [[द्विदलीय ग्राफ|द्विदलीय आलेख]] के रूप में व्याख्या की जा सकती है। औपचारिक अवधारणाएँ उस आलेख में अधिकतम [[बाइकलिक]] के अनुरूप होती हैं। इस प्रकार औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के गणितीय और कलन विधि परिणामों का उपयोग अधिकतम बाइकलिक के सिद्धांत के लिए किया जा सकता है। बूलियन आव्यूह गुणनखंडीकरण के लिए, [[द्विदलीय आयाम]] (पूरक द्विदलीय आलेख की) की धारणा को<ref name="GW" />फेरर्स आयाम (औपचारिक संदर्भ के) और अनुक्रम आयाम (अवधारणा जालक के) में अनुवादित करती है और इसके अनुप्रयोग हैं।<ref>{{cite journal |last1=Belohlavek |first1=Radim |last2=Vychodil |first2=Vilem |title=मैट्रिक्स अपघटन की एक नवीन विधि के माध्यम से बाइनरी डेटा में इष्टतम कारकों की खोज|journal=Journal of Computer and System Sciences |volume=76 |issue=1 |pages=3–20 |date=2010 |doi=10.1016/j.jcss.2009.05.002 |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82623547.pdf }}</ref>


=== द्वि-गुच्छन और बहुआयामी गुच्छन ===
किसी वस्तु-विशेषता संख्यात्मक आंकड़े-तालिका को देखते हुए, द्वि-गुच्छन का लक्ष्य कुछ विशेषताओं के समान मान वाली कुछ वस्तुओं को एक साथ समूहित करना है। उदाहरण के लिए, जीन अभिव्यक्ति आंकड़े में, यह ज्ञात है कि जीन (वस्तुएं) केवल जैविक स्थितियों (विशेषताओं) के उपसमुच्चयों के लिए एक सामान्य व्यवहार साझा कर सकते हैं: किसी को तदनुसार जैविक प्रक्रियाओं को चिह्नित करने के लिए स्थानीय प्रतिरूप का उत्पादन करना चाहिए, बाद वाले को संभवतः अतिव्यापन करना चाहिए, क्योंकि एक जीन कई प्रक्रियाओं में सम्मिलित हो सकता है। यही टिप्पणी अनुशंसाकर्ता प्रणालियों के लिए अनुप्रयुक्त होती है, जहां कोई उपयोगकर्ताओं के समूहों को चित्रित करने वाले स्थानीय प्रतिरूप में रुचि रखता है जो वस्तुओं के उपसमुच्चयों के लिए लगभग समान रुचि साझा करते हैं।<ref name="AdomTuzh">{{cite journal |last1=Adomavicius |first1=C. |last2=Tuzhilin |first2=A. |title=Toward the next generation of recommender systems: a survey of the state-of-the-art and possible extensions |journal=IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering |volume=17 |issue=6 |pages=734–749 |date=2005 |doi=10.1109/TKDE.2005.99 |s2cid=206742345 |url=http://homepages.dcc.ufmg.br/~nivio/cursos/ri13/sources/recommender-systems-survey-2005.pdf}}</ref>

द्विआधारी वस्तु-विशेषता आंकड़े-तालिका में एक द्वि-गुच्छन एक युग्म (A, B) है जिसमें वस्तु A का एक समावेश-अधिकतम समुच्चयों और विशेषताओं B का एक समावेश-अधिकतम समुच्चय होता है, जैसे कि B और इसके विपरीत, A से लगभग सभी वस्तुओं में लगभग सभी विशेषताएं होती हैं।

बिल्कुल, औपचारिक अवधारणाओं को "कठोर" द्वि-गुच्छन के रूप में माना जा सकता है और इसके विपरीत जहां सभी वस्तुओं में सभी गुण होते हैं। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि अभ्यास से आने वाली कुछ द्वि-गुच्छन परिभाषाएँ<ref>{{cite journal |last1=Prelic |first1=S. |last2=Bleuler |first2=P. |last3=Zimmermann |first3=A. |last4=Wille |first4=P. |last5=Buhlmann |first5=W. |last6=Gruissem |first6=L. |last7=Hennig |first7=L. |last8=Thiele |first8=E. |last9=Zitzler |title=जीन अभिव्यक्ति डेटा के लिए बाइक्लस्टरिंग विधियों की एक व्यवस्थित तुलना और मूल्यांकन|journal=Bioinformatics |volume=22 |issue=9 |pages=1122–9 |date=2006 |doi=10.1093/bioinformatics/btl060 |pmid=16500941 |url=https://academic.oup.com/bioinformatics/article/22/9/1122/200492}}</ref>केवल एक औपचारिक अवधारणा की परिभाषाएँ हैं।<ref name="KayMinBicl">{{cite journal |last1=Kaytoue |first1=M. |last2=Kuznetsov |first2=S. |last3=Macko |first3=J. |last4=Wagner Meira Jr. |first4=Napoli A. |title=ट्रायडिक अवधारणा विश्लेषण के साथ समान मूल्यों के खनन बाइकलस्टर|journal=CLA |volume= |issue= |pages=175–190 |date=2011 |arxiv=1111.3270 }}</ref> द्वि-गुच्छन और त्रि-गुच्छन के शिथिल एफसीए-आधारित संस्करणों में OA-द्वि-गुच्छन<ref name="OABicl">{{cite journal |last1=Ignatov  |first1=D. |last3=Kuznetsov |first3=S. |last2=Poelmans |first2=J. |title=इंटरनेट विज्ञापन के लिए अवधारणा-आधारित बाइक्लस्टरिंग|journal=ICDM Workshops | pages=123–130 |url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6406432|doi=10.1109/ICDMW.2012.100|date=2012}}</ref> और OAC-त्रि-गुच्छन<ref name="OACTric">{{cite journal |last1=Ignatov  |first1=D. |last3=Kuznetsov |first3=S. |last4=Mirkin |first4=B. |last2=Gnatyshak |first2=D. |title=Triadic Formal Concept Analysis and triclustering: searching for optimal patterns |journal=Mach. Learn. |volume=101 |issue=1-3 |pages=271–302 |date=2015|url=https://doi.org/10.1007/s10994-015-5487-y|doi=10.1007/s10994-015-5487-y}}</ref> सम्मिलित है (यहाँ O का अर्थ वस्तु है, A का अर्थ विशेषता है, C का अर्थ स्थिति है); प्रतिरूप उत्पन्न करने के लिए ये विधियां अभाज्य संचालकों का उपयोग केवल एक बार एक इकाई (उदाहरण के लिए वस्तु) या इकाइयों के एक युग्म (उदाहरण के लिए विशेषता-स्थिति) पर अनुप्रयुक्त होने के बाद करती हैं।

संख्यात्मक वस्तु-विशेषता आंकड़े-तालिका में समान मानों का एक द्वि-गुच्छन सामान्यतः परिभाषित किया जाता है।<ref>{{cite book |chapter-url=https://www.cs.rpi.edu/~zaki/Workshops/BIOKDD04/proceedings/4-pensa.pdf |chapter=Assessment of discretization techniques for relevant pattern discovery from gene expression data |first1=R.G. |last1=Pensa |first2=C. |last2=Leschi |first3=J. |last3=Besson |first4=J.-F. |last4=Boulicaut |year=2004 |editor1-first=M.J. |editor1-last=Zaki |editor2-first=S. |editor2-last=Morishita |editor3-first=I. |editor3-last=Rigoutsos |pages=24–30 | title=Proceedings of the 4th ACM SIGKDD Workshop on Data Mining in Bioinformatics (BIOKDD 2004) | access-date=2022-07-20 |url=https://dl.acm.org/doi/proceedings/10.5555/3000580}}</ref><ref>{{cite book |last1=Besson |first1=J. |last2=Robardet |first2=C. |last3=Raedt |first3=L.D. |last4=Boulicaut |first4=J.-F. |chapter-url=https://lirias.kuleuven.be/bitstream/123456789/134532/1/07-kdid-bessonetal.pdf |chapter=Mining bi-sets in numerical data |doi=10.1007/978-3-540-75549-4_2 |isbn=978-3-540-75549-4 |editor1-first=S. |editor1-last=Dzeroski |editor2-first=J. |editor2-last=Struyf |title=आगमनात्मक डेटाबेस में ज्ञान खोज पर अंतर्राष्ट्रीय कार्यशाला|series=LNCS |volume=4747 |pages=11–23 |publisher=Springer |date=2007}}</ref><ref name="CerfCloPat">{{cite journal |last1=Cerf |first1=L. |last2=Besson |first2=J. |last3=Robardet |first3=C. |last4=Boulicaut |first4=J.-F. |title=बंद पैटर्न एन-एरी संबंधों से मिलते हैं|journal=ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data (TKDD) |volume=3 |issue=1 |pages=1–36 |date=2009 |doi=10.1145/1497577.1497580 |s2cid=11148363 |url=http://homepages.dcc.ufmg.br/~lcerf/publications/articles/Closed%20Patterns%20Meet%20n-ary%20Relations.pdf}}</ref> एक युग्म के रूप में जिसमें वस्तुओं का समावेश-अधिकतम समुच्चय और वस्तुओं के लिए समान मान वाले गुणों का समावेश-अधिकतम समुच्चय सम्मिलित है। ऐसे युग्म को संख्यात्मक तालिका, मापांक पंक्तियों और स्तंभ क्रमपरिवर्तन में एक समावेश-अधिकतम आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है। जिसमें<ref name="KayMinBicl" />यह दर्शाया गया कि समान मानों के द्वि-गुच्छन एक त्रिआदिक संदर्भ की त्रिकोणीय अवधारणाओं से मेल खाते हैं जहां तीसरा आयाम एक पैमाने द्वारा दिया जाता है जो द्विआधारी विशेषताओं द्वारा संख्यात्मक विशेषता मानों का प्रतिनिधित्व करता है।

इस तथ्य को n-आयामी स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां n-आयामी आंकड़ों में समान मानों के n-आयामी समूहों को n + 1-आयामी अवधारणाओं द्वारा दर्शाया जाता है। यह कमी बहुआयामी समूहों की गणना के लिए बहुआयामी अवधारणा विश्लेषण<ref name="CerfCloPat"/><ref name="Voutsadakis" />से मानक परिभाषाओं और कलन विधिओं का उपयोग करने की अनुमति देती है।

=== ज्ञान समष्टि ===
ज्ञान समष्टि के सिद्धांत में यह माना जाता है कि किसी भी ज्ञान समष्टि में ज्ञान अवस्थाओं का वर्ग संघ-सवृत है। इसलिए ज्ञान अवस्थाओं के पूरक एक संवरक संचालक बनाते हैं और इसे कुछ औपचारिक संदर्भ के विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है।

== औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के साथ व्यावहारिक अनुभव ==
औपचारिक अवधारणा विश्लेषण का उपयोग आंकड़े विश्लेषण के लिए गुणात्मक पद्धति के रूप में किया जा सकता है। 1980 के दशक के प्रारंभ में एफबीए की प्रारंभिक प्रक्रम के बाद से, टीयू डार्मस्टेड में एफबीए अनुसंधान समूह ने एफबीए (2005 तक) का उपयोग करके 200 से अधिक परियोजनाओं से अनुभव प्राप्त किया है।<ref name="FCAFaA">{{harvnb|Ganter|Stumme|Wille|2005}}</ref> इसमें निम्नलिखित क्षेत्र: चिकित्सा और कोशिका जीव विज्ञान,<ref>{{citation |author1=Susanne Motameny |author2=Beatrix Versmold |author3=Rita Schmutzler |editor1=Raoul Medina |editor2=Sergei Obiedkov|periodical=Icfca 2008|title=Formal Concept Analysis for the Identification of Combinatorial Biomarkers in Breast Cancer |series=LNAI |volume=4933 |publisher=Springer |location=Berlin Heidelberg |pages=229–240 |isbn=978-3-540-78136-3 |date=2008 |url=https://www.springer.com/us/book/9783540781363 |access-date=2016-01-29}}</ref><ref>{{citation |author1=Dominik Endres |author2=Ruth Adam |author3=Martin A. Giese |author4=Uta Noppeney |editor1=Florent Domenach |editor2=Dmitry I. Ignatov |editor3=Jonas Poelmans |periodical=Icfca 2012 |title=Understanding the Semantic Structure of Human fMRI Brain Recordings with Formal Concept Analysis |series=LNCS |volume=7278 |publisher=Springer |location=Berlin Heidelberg |pages=96–111 |isbn=978-3-642-29891-2 |issn=0302-9743 |date=2012 |doi=10.1007/978-3-642-29892-9|s2cid=6256292 }}</ref> [[आनुवंशिकी]],<ref>{{citation |author1=Denis Ponomaryov |author2=Nadezhda Omelianchuk |author3=Victoria Mironova |author4=Eugene Zalevsky |author5=Nikolay Podkolodny |author6=Eric Mjolsness |author7=Nikolay Kolchanov |editor1=Karl Erich Wolff |editor2=Dmitry E. Palchunov |editor3=Nikolay G. Zagoruiko |editor4=Urs Andelfinger |periodical=Kont 2007, KPP 2007|title=From Published Expression and Phenotype Data to Structured Knowledge: The Arabidopsis Gene Net Supplementary Database and Its Applications |series=LNCS |volume=6581 |publisher=Springer |location=Heidelberg New York |pages=101–120 |isbn=978-3-642-22139-2 |issn=0302-9743 |date=2011 |doi=10.1007/978-3-642-22140-8}}</ref><ref>{{citation |author1=Mehdi Kaytoue |author2=Sergei Kuznetsov |author3=Amedeo Napoli |author4=Sébastien Duplessis |periodical=Information Sciences |title=Mining gene expression data with pattern structures in formal concept analysis |volume=181 |issue=10 |publisher=Elsevier |pages=1989–2001 |date=2011 |doi=10.1016/j.ins.2010.07.007 |citeseerx=10.1.1.457.8879 |s2cid=215797283 |url=https://www.hse.ru/data/2010/11/01/1223500185/InformationSciences.pdf |access-date=2016-02-13 }}</ref> पारिस्थितिकी,<ref>{{citation |author1=Aurélie Bertaux |author2=Florence Le Ber |author3=Agnès Braud |author4=Michèle Trémolières |editor1=Sébastien Ferré |editor2=Sebastian Rudolph |periodical=Icfca 2009 |title=Identifying Ecological Traits: A Concrete FCA-Based Approach |series=LNAI |volume=5548 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin Heidelberg |pages=224–236 |isbn=978-3-642-01814-5 |date=2009 |doi=10.1007/978-3-642-01815-2|s2cid=26304023 }}</ref> [[सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग|सॉफ्टवेयर अभियान्त्रिकी]],<ref>{{citation |author1=Gregor Snelting |author2=Frank Tip |periodical=Proceeding. SIGSOFT '98/FSE-6 |title=Reengineering class hierarchies using concept analysis |volume=23 |issue=6 |publisher=ACM |location=New York |pages=99–110 |isbn=1-58113-108-9 |date=1998 |doi=10.1145/291252.288273 |url=http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=288195.288273 |access-date=2016-02-04}}</ref> [[ऑन्टोलॉजी (सूचना विज्ञान)|तात्विकीविद्]],<ref>{{citation |author1=Gerd Stumme |author2=Alexander Maedche |editor1=Universität Leipzig |periodical=IJCAI |title=FCA-Merge: Bottom-up merging of ontologies |location=Leipzig |pages=225–230 |date=2001 |url=http://se-pubs.dbs.uni-leipzig.de/files/Stumme2001FCAMergeBottomupmergingofontologies.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20160213113131/http://se-pubs.dbs.uni-leipzig.de/files/Stumme2001FCAMergeBottomupmergingofontologies.pdf |url-status=dead |archive-date=2016-02-13 |access-date=2016-02-13 }}</ref> [[सूचना प्रबंधन|सूचना]] और [[पुस्तकालय विज्ञान]],<ref>{{citation |first1=Uta |last1=Priss |periodical=Annual Review of Information Science and Technology |title=Formal Concept Analysis in Information Science |volume=40 |issue=1 |publisher=Information Today |location=Medford, NJ 09855 |pages=521–543 |issn=0066-4200 |date=2006 |doi=10.1002/aris.1440400120 |url=http://www.upriss.org.uk/papers/arist.pdf |access-date=2016-02-04 }}</ref><ref>{{citation |author1=Jens Illig |author2=Andreas Hotho |author3=Robert Jäschke |author4=Gerd Stumme |editor1=Karl Erich Wolff |editor2=Dmitry E. Palchunov |editor3=Nikolay G. Zagoruiko |editor4=Urs Andelfinger |periodical=Kont 2007, KPP 2007 |title=A Comparison of Content-Based Tag Recommendations in Folksonomy Systems |series=LNCS |volume=6581 |publisher=Springer |location=Heidelberg New York |pages=136–149 |isbn=978-3-642-22139-2 |issn=0302-9743 |date=2011 |doi=10.1007/978-3-642-22140-8}}</ref><ref>{{citation |editor1=Claudio Carpineto |editor2=Giovanni Romano |title=Concept Data Analysis: Theory and Applications |publisher=John Wiley & Sons |isbn=0-470-85055-8 |date=2004 |url=http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470850558.html |access-date=2016-02-04}}</ref> [[कार्यालय प्रशासन]],<ref>{{citation |author1=Richard Cole |author2=Gerd Stumme |editor1=Bernhard Ganter |editor2=Guy W. Mineau |periodical=Conceptual Structures: Logical, Linguistic, and Computational Issues |title=CEM – A Conceptual Email Manager |series=LNAI |volume=1867 |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin Heidelberg |pages=438–452 |isbn=3-540-67859-X |date=2000 |doi=10.1007/10722280|s2cid=5942241 }}</ref> [[कानून]],<ref>{{citation |author1=Dieter Eschenfelder |author2=Wolfgang Kollewe |author3=Martin Skorsky |author4=Rudolf Wille |editor1=Gerd Stumme |editor2=Rudolf Wille |periodical=Begriffliche Wissensverarbeitung – Methoden und Anwendungen |title=Ein Erkundungssystem zum Baurecht: Methoden der Entwicklung eines TOSCANA-Systems |publisher=Springer |location=Berlin Heidelberg |pages=254–272 |isbn=3-540-66391-6 |date=2000 |language=de |doi=10.1007/978-3-642-57217-3_12}}</ref><ref>{{citation |author1=Nada Mimouni |author2=Adeline Nazarenko |author3=Sylvie Salotti |editor1=Jaume Baixeries |editor2=Christian Sacarea |editor3=Manuel Ojeda-Aciego |periodical=Icfca 2015 |title=A Conceptual Approach for Relational IR: Application to Legal Collections |series=LNAI |volume=9113 |publisher=Springer |location=Heidelberg New York |pages=303–318 |isbn=978-3-319-19544-5 |issn=0302-9743 |date=2015 |doi=10.1007/978-3-319-19545-2_19}}</ref> भाषाविज्ञान,<ref>{{citation |first=Uta |last=Priss |title={{harvnb|Ganter|Stumme|Wille|2005}} |chapter=Linguistic Applications of Formal Concept Analysis |pages=149–160 }}</ref> [[राजनीति विज्ञान]]<ref>{{citation |author1=Beate Kohler-Koch |author2=Frank Vogt |author3=Gerhard Stumme |author4=Rudolf Wille |periodical=Begriffliche Wissenverarbeitung – Methoden und Anwendungen|title=Normen- und Regelgeleitete internationale Kooperationen: Quoted in: Peter Becker et al. The ToscanaJ Suite for Implementing Conceptual Information Systems |publisher=Springer |pages=325–340 |isbn=978-3-540-66391-1 |date=2000 |language=de}}</ref>और भी कई उदाहरण हैं, उदा. में वर्णित: औपचारिक अवधारणा विश्लेषण सम्मिलित हैं। 

नींव और अनुप्रयोग,<ref name="FCAFaA" />नियमित सम्मेलनों में सम्मेलन पत्र जैसे: औपचारिक अवधारणा विश्लेषण पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन (ICFCA),<ref>{{cite web| title=औपचारिक अवधारणा विश्लेषण पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन| publisher=[[Digital Bibliography & Library Project|dblp]]| url=http://dblp.uni-trier.de/db/conf/icfca/index| access-date=2016-02-14}}</ref> संकल्पना जालक और उनके अनुप्रयोग (CLA),<ref>{{cite web| title=CLA: Concept Lattices and Their Applications| publisher=CLA| url=http://cla.inf.upol.cz/papers.html| access-date=2015-11-14}}</ref> या वैचारिक संरचनाओं पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन (ICCS) हैं।<ref>{{cite web |title=International Conferences On Conceptual Structures – Conferences and Workshops| publisher=New Mexico State University |url=http://conceptualstructures.org/confs.htm |access-date=2016-02-14}}</ref>



== यह भी देखें ==
{{Div col|colwidth=22em}}
* [[संघ नियम अधिगम]]
* [[गुच्छ विश्लेषण]]
* [[सामान्य ज्ञान तर्क]]
* [[वैचारिक विश्लेषण]]
* [[वैचारिक गुच्छन]]
* [[वैचारिक समष्टि]]
* संकल्पना अधिगम
*[[पत्राचार विश्लेषण]]
* [[विवरण तर्क]]
* [[कारक विश्लेषण]]
* [[औपचारिक शब्दार्थ (प्राकृतिक भाषा)]]
* [[आलेखीय प्रतिरूप]]
* [[आधार सामग्री विश्लेषण द्वारा बने सिद्धांत]]
* [[आगमनात्मक तर्क क्रमदेशन]]
* [[प्रतिरूप सिद्धांत]]
*[[सांख्यिकीय संबंधपरक शिक्षा]]
* [[रूपरेखा (आनुवंशिक कलन विधि)]]
{{Div col end}}

== टिप्पणियाँ ==
{{Reflist}}


== संदर्भ ==
{{refbegin}}
* {{citation | editor1-last = Ganter | editor1-first = Bernhard | editor2-last = Stumme | editor2-first = Gerd | editor3-last = Wille | editor3-first = Rudolf | title = Formal Concept Analysis: Foundations and Applications |series=Lecture Notes in Artificial Intelligence |volume=3626 |publisher=Springer | year = 2005 | isbn = 3-540-27891-5 | doi=10.1007/978-3-540-31881-1 |url=https://books.google.com/books?id=nEh4D4e88NwC}}
* {{citation | last1 = Ganter | first1 = Bernhard | last2 = Wille | first2 = Rudolf | title = Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations | publisher = Springer-Verlag, Berlin | year = 1998 | isbn = 3-540-62771-5 |translator=C. Franzke}}
* {{citation | last1 = Carpineto | first1 = Claudio | last2 = Romano | first2 = Giovanni | title = Concept Data Analysis: Theory and Applications | publisher = Wiley | year = 2004 | isbn = 978-0-470-85055-8}}
* {{citation |first = Karl Erich |last = Wolff |chapter = A first course in Formal Concept Analysis |editor = F. Faulbaum |title=SoftStat'93: Advances in Statistical Software 4. |publisher = Gustav Fischer Verlag |chapter-url =https://sites.tufts.edu/ancientbirds/files/2018/06/a-first-course-in-formal-concept-analysis.pdf |pages = 429–438 |year = 1994 }}
* {{citation | last1=Davey | first1=B.A. | last2=Priestley | first2=H. A. | title=Introduction to Lattices and Order|title-link= Introduction to Lattices and Order |contribution=Chapter 3. Formal Concept Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-78451-1 | year=2002}}
{{refend}}


== बाहरी संबंध ==
* [http://www.upriss.org.uk/fca/fca.html A Formal Concept Analysis Homepage]
* [http://www.ketlab.org.uk/scripts/context Demo]
* Formal Concept Analysis. ICFCA International Conference Proceedings 
**{{doi|10.1007/978-3-540-70901-5}} 2007 5th
**{{doi|10.1007/978-3-540-78137-0}} 2008 6th
**{{doi|10.1007/978-3-642-01815-2}} 2009 7th
**{{doi|10.1007/978-3-642-11928-6}} 2010 8th
**{{doi|10.1007/978-3-642-20514-9}} 2011 9th
**{{doi|10.1007/978-3-642-29892-9}} 2012 10th
**{{doi|10.1007/978-3-642-38317-5}} 2013 11th
**{{doi|10.1007/978-3-319-07248-7}} 2014 12th
**{{doi|10.1007/978-3-319-19545-2}} 2015 13th
**{{doi|10.1007/978-3-319-59271-8}} 2017 14th
**{{doi|10.1007/978-3-030-21462-3}} 2019 15th
**{{doi|10.1007/978-3-030-77867-5}} 2021 16th

{{DEFAULTSORT:Formal Concept Analysis}}

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