View source for कक्षीय यांत्रिकी

{{Short description|Field of classical mechanics concerned with the motion of spacecraft}}
[[File:Orbital motion.gif|thumb|261px|पृथ्वी की परिक्रमा करने वाले उपग्रह की गति # स्पर्शरेखा गति और आंतरिक त्वरण होता है।]]
{{Astrodynamics}}
'''कक्षीय यांत्रिकी''' या एस्त्रोदयनामिक्स रॉकेट और अन्य अंतरिक्ष यान की गति से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं के लिए प्राक्षेपिकी और आकाशीय यांत्रिकी का अनुप्रयोग है। इन वस्तुओं की गति की गणना समान्यत: न्यूटन के गति के नियमों और न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से की जाती है। कक्षीय यांत्रिकी अंतरिक्ष अन्वेषण या अंतरिक्ष-मिशन डिजाइन और नियंत्रण के अंदर मुख्य अनुशासन है।

आकाशीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान और प्राकृतिक एस्त्रोदयनामिक्स वस्तु जैसे स्टार सिस्टम, ग्रह, प्राकृतिक उपग्रह और धूमकेतु दोनों सहित गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में प्रणालियों की कक्षीय गतिशीलता का अधिक व्यापक रूप से उपचार करती है। कक्षीय यांत्रिकी अंतरिक्ष यान प्रक्षेपवक्र पर ध्यान केंद्रित करती है, जिसमें कक्षीय युद्धाभ्यास, कक्षीय विमान (खगोल विज्ञान) परिवर्तन, और ग्रहों के स्थानान्तरण सम्मिलित हैं, और अंतरिक्ष यान प्रणोदन के परिणामों की पूर्वानुमान करने के लिए मिशन योजनाकारों द्वारा उपयोग किया जाता है।

कक्षाओं की गणना के लिए न्यूटन के नियमों की तुलना में सामान्य सापेक्षता अधिक स्पष्ट सिद्धांत है, और कभी-कभी इसे अधिक स्पष्टता या उच्च-गुरुत्वाकर्षण स्थितियों (जैसे सूर्य के निकट कक्षा) में उपयोग करना आवश्यक होता है।

== इतिहास ==
बीसवीं सदी में अंतरिक्ष यान के उदय तक, कक्षीय और आकाशीय यांत्रिकी के मध्य बहुत कम अंतर था। स्पुतनिक के समय इस क्षेत्र को 'अंतरिक्ष गतिकी' कहा जाता था।<ref>{{cite book|last1=Thomson|first1=William T.|title=Introduction to Space Dynamics|date=1961|publisher=Wiley|location=New York}}</ref> मौलिक तकनीकें, जैसे कि केप्लरियन समस्या (समय के कार्य के रूप में स्थिति का निर्धारण) को हल करने के लिए उपयोग की जाती हैं, इसलिए दोनों क्षेत्रों में समान हैं। इसके अतिरिक्त, खेतों का इतिहास लगभग पूरी तरह से साझा किया गया है।

जोहान्स केप्लर 1605 में ग्रहीय गति के केप्लर के नियमों को प्रकाशित करते हुए उच्च स्तर की स्पष्टता के लिए ग्रहों की कक्षाओं को सफलतापूर्वक मॉडल करने वाला पहला व्यक्ति था। तीन प्रेक्षणों से परवलय पथ का अनुसरण करते हुए किसी पिंड की कक्षा का पता लगाने की विधि।<ref>{{cite book|last1=Bate|first1=R. R.|last2=Mueller|first2=D. D.|last3=White|first3=J. E.|title=Fundamentals of Astrodynamics|url=https://books.google.com/books?id=UtJK8cetqGkC&pg=PR5|year=1971|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-60061-1|page=5}}</ref> इसका उपयोग एडमंड हैली द्वारा हैली के धूमकेतु समेत विभिन्न धूमकेतुओं की कक्षाओं को स्थापित करने के लिए किया गया था। सन् 1744 में यूलर द्वारा न्यूटन के उत्तरोत्तर सन्निकटन की विधि को विश्लेषणात्मक पद्धति में औपचारिक रूप दिया गया था, जिसका कार्य बदले में 1761-1777 में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा दीर्घ वृत्ताकार और अतिपरवलयिक कक्षाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

कक्षा निर्धारण में और मील का पत्थर कार्ल फ्रेडरिक गॉस की 1801 में बौने ग्रह सेरेस (बौने ग्रह) की पुनर्प्राप्ति में सहायता थी। गॉस की विधि केवल तीन अवलोकनों (सही उदगम और गिरावट के जोड़े के रूप में) का उपयोग करने में सक्षम थी, खोजने के लिए छह कक्षीय अवयव जो पूरी तरह से कक्षा का वर्णन करते हैं। कक्षा निर्धारण के सिद्धांत को पश्चात में उस बिंदु तक विकसित किया गया है जहां आज इसे जीपीएस रिसीवर के साथ-साथ नए देखे गए छोटे ग्रहों की ट्रैकिंग और कैटलॉगिंग में भी प्रयुक्त किया जाता है। आधुनिक कक्षा निर्धारण और पूर्वानुमान का उपयोग सभी प्रकार के उपग्रहों और अंतरिक्ष जांचों को संचालित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि उनकी भविष्य की स्थिति को उच्च स्तर की स्पष्टता के लिए जानना आवश्यक है।

एस्ट्रोडायनामिक्स का विकास 1930 के दशक की प्रारंभ में एस्ट्रोनॉमर सैमुअल हेरिक (खगोलविद) द्वारा किया गया था। उन्होंने रॉकेट वैज्ञानिक रॉबर्ट गोडार्ड से परामर्श किया और उन्हें अंतरिक्ष नेविगेशन तकनीकों पर अपना कार्य जारी रखने के लिए प्रोत्साहित किया गया, क्योंकि गोडार्ड का मानना था कि भविष्य में उनकी आवश्यकता होगी। 1960 के दशक में एस्त्रोदयनामिक्स की संख्यात्मक तकनीकों को नए शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ जोड़ा गया था, और मनुष्य चंद्रमा की यात्रा करने और वापस लौटने के लिए तैयार थे।

== व्यावहारिक तकनीकें ==
{{Further|कक्षाओं की सूची}}


=== वलय के नियम ===
वलय के निम्नलिखित नियम मौलिक यांत्रिकी द्वारा अनुमानित स्थितियों के लिए उपयोगी हैं, जो नीचे उल्लिखित एस्त्रोदयनामिक्स की मानक धारणाओं के अनुसार हैं। जिस विशिष्ट उदाहरण पर चर्चा की गई है वह किसी ग्रह की परिक्रमा करने वाले उपग्रह का है, किंतु वलय के नियम अन्य स्थितियों पर भी प्रयुक्त हो सकते हैं, जैसे कि सूर्य जैसे तारे के चारों ओर छोटे पिंडों की कक्षाएँ है।

*केप्लर के ग्रहों की गति के नियम:
** कक्षाएँ दीर्घवृत्त हैं दीर्घवृत्त के फ़ोकस (ज्यामिति) पर भारी पिंड के साथ इसका विशेष स्थिति केंद्र में ग्रह के साथ वृत्ताकार कक्षा है (एक वृत्त दीर्घवृत्त का विशेष स्थिति है)।
** ग्रह से उपग्रह तक खींची गई रेखा समान समय में समान क्षेत्रों को पार करती है, चाहे कक्षा का कोई भी भाग मापा गया हो।
** किसी उपग्रह की कक्षीय अवधि का वर्ग ग्रह से उसकी औसत दूरी के घन के समानुपाती होता है।
*बिना बल लगाए (जैसे कि रॉकेट इंजन को फायर करना), उपग्रह की कक्षा की अवधि और आकार नहीं बदलेगा।
*कम कक्षा में उपग्रह (या दीर्घवृत्तीय कक्षा का निचला भाग) ग्रह की सतह के संबंध में उच्च कक्षा (या दीर्घवृत्तीय कक्षा का उच्च भाग) में उपग्रह की तुलना में अधिक तेज़ी से चलता है, क्योंकि यह अधिक शक्तिशाली होता है गुरुत्वाकर्षण आकर्षण ग्रह के समीप है।
*यदि उपग्रह की कक्षा में केवल बिंदु पर जोर लगाया जाता है, तब यह इसके पश्चात की प्रत्येक कक्षा में उसी बिंदु पर वापस आ जाएगा, चूँकि इसका शेष रास्ता परिवर्तित हो जाएगा। इस प्रकार वृत्ताकार कक्षा से दूसरी कक्षा में केवल संक्षिप्त प्रणोद के साथ नहीं जा सकता है।
* एक वृत्ताकार कक्षा से, उपग्रह की गति के विपरीत दिशा में लगाया गया जोर कक्षा को वृत्ताकार में परिवर्तित कर देता है; तब उपग्रह नीचे उतरेगा और फायरिंग पॉइंट से 180 डिग्री की दूरी पर सबसे कम कक्षीय बिंदु (पेरिऐप्स) पर पहुंचेगा; फिर यह वापस चढ़ेगा। उपग्रह की गति की दिशा में लगाया गया थ्रस्ट फायरिंग बिंदु से 180 डिग्री दूर अपने उच्चतम बिंदु (एपोएप्स) के साथ दीर्घ वृत्ताकार कक्षा बनाता है।

कक्षीय यांत्रिकी के नियमों के परिणाम कभी-कभी प्रति-सहज होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि दो अंतरिक्ष यान ही वृत्ताकार कक्षा में हैं और डॉक करना चाहते हैं, जब तक कि वे बहुत समीप न हों अनुगामी शिल्प अपने इंजनों को तेजी से जाने के लिए आग नहीं लगा सकता है यह इसकी कक्षा के आकार को परिवर्तित कर देगा, जिससे यह ऊंचाई प्राप्त कर लेगा और वास्तव में प्रमुख शिल्प के सापेक्ष धीमा हो जाएगा, लक्ष्य को खो देगा। डॉकिंग से पहले मिलने वाला स्थान सामान्य रूप से अनेक कक्षीय अवधियों में अनेक स्पष्ट गणना वाले इंजन फायरिंग लेता है, जिसे पूरा करने के लिए घंटों या दिनों की आवश्यकता होती है।

इस सीमा तक कि एस्ट्रोडायनामिक्स की मानक धारणाएं पकड़ में नहीं आतीं है, वास्तविक प्रक्षेपवक्र उन परिकलित से भिन्न होंगे। उदाहरण के लिए, कम पृथ्वी की कक्षा में वस्तुओं के लिए साधारण वायुमंडलीय ड्रैग और सम्मिश्र कारक है।

समान द्रव्यमान के दो या दो से अधिक पिंडों का वर्णन करते समय वलय के ये नियम निश्चित रूप से गलत हैं, जैसे कि बाइनरी स्टार सिस्टम (एन-निकाय प्रॉब्लम देखें)। आकाशीय यांत्रिकी व्यापक प्रकार की स्थितियों पर प्रयुक्त होने वाले अधिक सामान्य नियमों का उपयोग करती है। ग्रहों की गति के केपलर के नियम है, जो गणितीय रूप से न्यूटन के नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं, गैर-गुरुत्वाकर्षण बलों की अनुपस्थिति में केवल दो गुरुत्वाकर्षण पिंडों की गति का वर्णन करने में सख्ती से प्रयुक्त होते हैं; वे परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र का भी वर्णन करते हैं। सितारों जैसे बड़े पिंडों की निकटता में मौलिक यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता के मध्य का अंतर भी महत्वपूर्ण हो जाता है।

==एस्त्रोदयनामिक्स के नियम==
{{See also|लाप्लास-रंज-लेन्ज़ वेक्टर}}
खगोलगतिकी के मूलभूत नियम न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम और न्यूटन के गति के नियम हैं, जबकि मौलिक गणितीय उपकरण अवकलन कलन है।

वायुमंडल के बाहर प्रत्येक कक्षा और प्रक्षेपवक्र सैद्धांतिक रूप से प्रतिवर्ती है, अर्थात, स्पेस-टाइम फलन में टी-समरूपता वेग विपरीत होते हैं और त्वरण समान होते हैं, जिसमें रॉकेट फटने के कारण भी सम्मिलित है। इस प्रकार यदि कोई रॉकेट वेग की दिशा में फटता है, तब विपरीत स्थिति में यह वेग के विपरीत होता है। परन्तु रॉकेट फटने के स्थिति में घटनाओं का पूर्ण विपरीत नहीं होता है, दोनों विधियों से ही डेल्टा-वी का उपयोग किया जाता है और समान द्रव्यमान अनुपात प्रयुक्त होता है।

एस्ट्रोडायनामिक्स में मानक धारणाओं में बाहरी निकायों से गैर-हस्तक्षेप, निकायों में से के लिए नगण्य द्रव्यमान, और नगण्य अन्य बल (जैसे सौर हवा, वायुमंडलीय ड्रैग, आदि) सम्मिलित हैं। इन सरल धारणाओं के बिना अधिक स्पष्ट गणना की जा सकती है, किंतु वे अधिक सम्मिश्र हैं। बढ़ी हुई स्पष्टता अधिकाशंत: गणना में सार्थक होने के लिए पर्याप्त अंतर नहीं बनाती है।

ग्रहों की गति के केप्लर के नियम न्यूटन के नियमों से प्राप्त हो सकते हैं, जब यह मान लिया जाता है कि परिक्रमा करने वाला पिंड केवल केंद्रीय आकर्षण बल के गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन है। जब इंजन जोर या प्रणोदन बल उपस्थित होता है, तब भी न्यूटन के नियम प्रयुक्त होते हैं, किंतु केप्लर के नियम अमान्य हैं। जब जोर रुकता है, परिणामी कक्षा भिन्न होगी किंतु बार फिर केप्लर के नियमों द्वारा वर्णित की जाएगी जो ऊपर निर्धारित किए गए हैं। तीन नियम हैं:
# प्रत्येक ग्रह की कक्षा दीर्घवृत्त है जिसमें फोकस (ज्यामिति) पर सूर्य है।
# ऐसे ग्रह और सूर्य को मिलाने वाली रेखा (गणित) समय के समान अंतराल के समय समान क्षेत्रों को पार करती है।
# ग्रहों की कक्षीय अवधियों के वर्ग (बीजगणित) कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन (अंकगणित) के सीधे आनुपातिकता (गणित) हैं।

=== पलायन वेग ===
{{Main|एस्केप वेलोसिटी}}
पलायन वेग का सूत्र इस प्रकार निकाला जाता है। किसी भी अंतरिक्ष यान की विशिष्ट ऊर्जा (ऊर्जा प्रति इकाई द्रव्यमान) दो घटकों, विशिष्ट संभावित ऊर्जा और विशिष्ट गतिज ऊर्जा से बनी होती है। द्रव्यमान M के ग्रह से जुड़ी विशिष्ट संभावित ऊर्जा किसके द्वारा दी गई है
:<math>\epsilon_p = - \frac{G M}{r} \,</math>
जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और r दो पिंडों के मध्य की दूरी है;

जबकि किसी वस्तु की विशिष्ट गतिज ऊर्जा किसके द्वारा दी जाती है
:<math>\epsilon_k = \frac{v^2}{2} \,</math>
जहाँ v इसकी गति है;

और इसलिए कुल विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा है
:<math> \epsilon = \epsilon_k+\epsilon_p = \frac{v^2}{2} - \frac{G M}{r} \,</math>
चूँकि ऊर्जा संरक्षित है,जिसमे <math> \epsilon</math> केंद्रीय पिंड के केंद्र से संबंधित अंतरिक्ष यान तक की दूरी, r पर निर्भर नहीं हो सकता है अर्थात विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा को स्थिर रखने के लिए v को r के साथ भिन्न होना चाहिए। इसलिए, वस्तु अनंत r तक तभी पहुँच सकती है जब यह मात्रा गैर-ऋणात्मक हो, जिसका तात्पर्य है
:<math>v\geq\sqrt{\frac{2 G M}{r}}.</math>
पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग 11 km/s है, किंतु यह सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण पिंड को अनंत दूरी तक भेजने के लिए अपर्याप्त है। सूर्य से पृथ्वी की दूरी के समान , किंतु पृथ्वी के समीप नहीं, सूर्य से दूरी पर स्थान से सौर मंडल से बचने के लिए लगभग 42 km/s वेग की आवश्यकता होती है, किंतु अंतरिक्ष यान के लिए पृथ्वी के कक्षीय वेग के लिए आंशिक श्रेय होगा पृथ्वी से प्रक्षेपित, यदि उनका आगे त्वरण (प्रणोदन प्रणाली के कारण) उन्हें उसी दिशा में ले जाता है जैसे पृथ्वी अपनी कक्षा में यात्रा करती है।

=== मुक्त कक्षाओं के लिए सूत्र ===
कक्षाएँ शंक्वाकार खंड हैं, इसलिए किसी दिए गए कोण के लिए पिंड की दूरी का सूत्र ध्रुवीय निर्देशांक में उस वक्र के सूत्र से मेल खाता है, जो है:
:<math>r = \frac{ p }{1 + e \cos \theta}</math>
:<math>\mu= G(m_1+m_2)\,</math>
:<math>p=h^2/\mu\,</math>

<math>\mu</math> को गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर कहा जाता है। जहाँ <math>m_1</math> और <math>m_2</math> वस्तु 1 और 2 का द्रव्यमान है, और <math>h</math> वस्तु 1 के संबंध में वस्तु 2 का विशिष्ट कोणीय संवेग है। पैरामीटर <math>\theta</math> को वास्तविक विसंगति के रूप में जाना जाता है, <math>p</math> अर्ध- लैटस रेक्टम है, जबकि E कक्षीय विलक्षणता है, सभी छह स्वतंत्र कक्षीय अवयवों के विभिन्न रूपों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

===वृत्ताकार कक्षाएँ===
{{Main|वृत्ताकार कक्षाएँ}}

सभी परिबद्ध कक्षाएँ जहाँ केंद्रीय निकाय का गुरुत्वाकर्षण प्रभावित होता है, प्रकृति में दीर्घ वृत्ताकार होती हैं। इसका विशेष स्थिति वृत्ताकार कक्षा है, जो शून्य उत्केन्द्रता का दीर्घवृत्त है। द्रव्यमान M के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से दूरी r पर वृत्ताकार कक्षा में किसी पिंड के वेग का सूत्र निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

केन्द्रापसारक त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण से मेल खाता है।

इसलिए, <math display="block">\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}</math>
इसलिए,
:<math>\ v = \sqrt{\frac{GM} {r}\ }</math>
जहाँ <math>G</math> गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक के समान है 
: 6.673 84 × 10<sup>-11</sup> m<sup>3</sup>/(kg·s<sup>2</sup>)

इस सूत्र का ठीक से उपयोग करने के लिए, इकाइयाँ सुसंगत होनी चाहिए; उदाहरण के लिए, <math>M</math> किलोग्राम में होना चाहिए, और <math>r</math> मीटर में होना चाहिए। उत्तर मीटर प्रति सेकंड में होगा.

<math>GM</math> की मात्रा को अधिकाशंत: मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर कहा जाता है, जिसका सौर मंडल में प्रत्येक ग्रह या चंद्रमा के लिए भिन्न मान होता है।

जब वृत्ताकार कक्षीय वेग ज्ञात हो जाता है, तब पलायन वेग को <math>\sqrt{2}</math> से गुणा करके सरलता से पाया जा सकता है।
:<math>\ v = \sqrt 2\sqrt{\frac {GM} {r}\ } = \sqrt{\frac {2GM} {r}\ }.</math>
गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए, गतिज ऊर्जा को कम से कम ऋणात्मक संभावित ऊर्जा से मेल खाना चाहिए। इसलिए, <math display="block">\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r}</math>
:<math>v = \sqrt{\frac {2GM} {r}\ }.                                                                                                                                                               </math>


=== दीर्घ वृत्ताकार कक्षाएँ ===
यदि <math>0 < e < 1</math>, तब मुक्त कक्षाओं के समीकरण का हर वास्तविक विसंगति <math>\theta</math> के साथ परिवर्तित होता रहता है, किंतु धनात्मक रहता है, कभी भी शून्य नहीं होता है। इसलिए, सापेक्ष स्थिति सदिश परिबद्ध रहता है, जिसका परिमाण पेरीएप्सिस <math>r_p</math> पर सबसे छोटा होता है, जो इस प्रकार दिया गया है:
:<math>r_p=\frac{p}{1+e}</math>
अधिकतम मान r तब पहुँच जाता है जब <math>\theta = 180^\circ</math> इस बिंदु को अपोएप्सिस कहा जाता है, और इसका रेडियल निर्देशांक, जिसे <math>r_a</math> दर्शाया जाता है, है
:<math>r_a=\frac{p}{1-e}</math>
माना <math>2a</math> पेरीएप्सिस <math>P</math> से एपोप्सिस <math>A</math> तक एपीएसई लाइन के साथ मापी गई दूरी है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में दिखाया गया है:
:<math>2a=r_p+r_a</math>
उपरोक्त समीकरणों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
:<math>a=\frac{p}{1-e^2}</math>
a दीर्घवृत्त का अर्धप्रमुख अक्ष है जो <math>p</math> को हल करने और उपरोक्त शंकु खंड वक्र सूत्र में परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:
:<math>r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}</math>


==== कक्षीय अवधि ====
मानक मान्यताओं के अनुसार कक्षीय अवधि (<math>T\,\!</math>) वृत्ताकार कक्षा के साथ यात्रा करने वाले निकाय की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
:<math>T=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}</math>
जहाँ:
*<math>\mu\,</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
*<math>a\,\!</math> अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई है।
निष्कर्ष:
*कक्षीय अवधि अर्ध-प्रमुख अक्ष (<math>a\,\!</math>) के समान कक्षा त्रिज्या के साथ वृत्ताकार कक्षा के समान होती है।
*किसी दिए गए अर्ध-प्रमुख अक्ष के लिए कक्षीय अवधि विलक्षणता पर निर्भर नहीं करती है (यह भी देखें: केपलर का तीसरा नियम)।

==== वेग ====
मानक मान्यताओं के अनुसार वृत्ताकार कक्षा के साथ यात्रा कर रहे किसी पिंड की कक्षीय गति (<math>v\,</math>) की गणना विस-विवा समीकरण से इस प्रकार की जा सकती है:
:<math>v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}</math>
जहाँ 
*<math>\mu\,</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
*<math>r\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंडों के मध्य की दूरी है।
*<math>a\,\!</math> अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई है।

अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के लिए वेग समीकरण <math>v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}+\left\vert {1\over{a}} \right\vert\right)}</math> है .

====ऊर्जा====
मानक मान्यताओं के अनुसार, विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा (<math>\epsilon\,</math>) दीर्घ वृत्ताकार कक्षा का ऋणात्मक है और इस कक्षा के लिए कक्षीय ऊर्जा संरक्षण समीकरण (विविवा समीकरण) रूप ले सकता है:
:<math>{v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0</math>
जहाँ :
*<math>v\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंड की गति है,
*<math>r\,</math> केंद्रीय पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से परिक्रमा करने वाले पिंड की दूरी है,
*<math>a\,</math> अर्ध-प्रमुख अक्ष है,
*<math>\mu\,</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।
निष्कर्ष:
*किसी दिए गए अर्ध-प्रमुख अक्ष के लिए विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा उत्केन्द्रता से मुक्त होती है।

वायरल प्रमेय का उपयोग करके हम पाते हैं:
* विशिष्ट संभावित ऊर्जा का समय-औसत <math>2\epsilon</math> समान है
*<math>r^{-1}</math> का समय-औसत <math>a^{-1}</math> है।
*विशिष्ट गतिज ऊर्जा का समय-औसत <math>-\epsilon</math> समान होता है


=== परवलयिक कक्षाएँ ===
यदि विलक्षणता 1 के समान है, तब कक्षा समीकरण बन जाता है:
:<math>r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+\cos\theta}}</math>
जहाँ :
*<math>r\,</math> केंद्रीय निकाय के द्रव्यमान केंद्र से परिक्रमा करने वाले पिंड की रेडियल दूरी है,
*<math>h\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंड का विशिष्ट कोणीय संवेग है,
*<math>\theta\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंड की सच्ची विसंगति है,
*<math>\mu\,</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

जैसे-जैसे वास्तविक असंगति θ 180° की ओर अग्रसर होती है, हर शून्य की ओर अग्रसर होता जाता है, जिससे r अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। इसलिए, प्रक्षेपवक्र की ऊर्जा जिसके लिए e=1 शून्य है, और इसके द्वारा दिया गया है:
:<math>\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}=0</math>
जहाँ :
*<math>v\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंड की गति है।

दूसरे शब्दों में, परवलयिक पथ पर कहीं भी गति है:
:<math>v=\sqrt{2\mu\over{r}}</math>


=== अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाएँ ===
यदि <math>e>1</math>कक्षा सूत्र,
:<math>r={{h^2}\over{\mu}}{{1}\over{1+e\cos\theta}}</math>
अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षा की ज्यामिति का वर्णन करता है। प्रणाली में दो सममित वक्र होते हैं। परिक्रमा करने वाला पिंड उनमें से पर अधिकृत कर लेता है; दूसरी इसकी रिक्त गणितीय छवि है। स्पष्टतः, उपरोक्त समीकरण का हर <math>\cos\theta = -1/e</math> होने पर शून्य हो जाता है। हम वास्तविक विसंगति के इस मान को निरूपित करते हैं
:<math>\theta_\infty = \cos^{-1} \left( -\frac1e \right)</math>
चूंकि रेडियल दूरी अनंत तक पहुंचती है क्योंकि वास्तविक विसंगति <math>\theta_\infty</math> तक पहुंचती है, जिसे अनंतस्पर्शी की वास्तविक विसंगति के रूप में जाना जाता है। ध्यान दें कि <math>\theta_\infty</math> 90° और 180° के मध्य स्थित है। त्रिकोणमितीय पहचान <math>\sin^2\theta+\cos^2\theta=1</math> से यह इस प्रकार है:
:<math>\sin\theta_\infty = \frac1e \sqrt{e^2 - 1}</math>


====ऊर्जा====
मानक मान्यताओं के अनुसार , विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा (<math>\epsilon\,</math>) अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र शून्य से अधिक है और इस प्रकार के प्रक्षेपवक्र के लिए कक्षीय ऊर्जा संरक्षण समीकरण बनता है:
:<math>\epsilon={v^2\over2}-{\mu\over{r}}={\mu\over{-2a}}</math>
जहाँ:
*<math>v\,</math> परिक्रमा करने वाले पिंड की कक्षीय गति है,
*<math>r\,</math> केंद्रीय निकाय से परिक्रमा करने वाले पिंड की रेडियल दूरी है,
*<math>a\,</math> कक्षा के अतिपरवलय का ऋणात्मक अर्ध-प्रमुख अक्ष है,
*<math>\mu\,</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

====अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग====
{{See also|विशेषता ऊर्जा}}

मानक मान्यताओं के अनुसार हाइपरबोलिक प्रक्षेपवक्र के साथ यात्रा करने वाला निकाय अनंत तक <math>r =</math> कक्षीय वेग प्राप्त करेगा जिसे हाइपरबोलिक अतिरिक्त वेग (<math>v_\infty\,\!</math>) कहा जाता है जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
:<math>v_\infty=\sqrt{\mu\over{-a}}\,\!</math>
जहाँ :
*<math>\mu\,\!</math> मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है,
*<math>a\,\!</math> कक्षा के अतिपरवलय का ऋणात्मक अर्ध-प्रमुख अक्ष है।

अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त वेग विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा या विशेषता ऊर्जा से संबंधित है
:<math>2\epsilon=C_3=v_{\infty}^2\,\!</math>


== प्रक्षेपवक्र की गणना ==

=== केप्लर का समीकरण ===
कक्षाओं की गणना करने के लिए दृष्टिकोण (मुख्य रूप से ऐतिहासिक रूप से उपयोग किया जाता है) केप्लर के समीकरण का उपयोग करना है:
:<math> M = E - \epsilon \cdot \sin E </math>.

जहां ''M'' औसत विसंगति है, ''E'' सनकी विसंगति है, और <math> \epsilon </math> विलक्षणता (गणित) है।

केपलर के सूत्र के साथ, पेरीएप्सिस से <math>\theta</math> के कोण (सच्ची विसंगति) तक पहुंचने के लिए उड़ान का समय ज्ञात करना दो चरणों में विभाजित है:
#वास्तविक विसंगति <math>\theta</math> से विलक्षण विसंगति <math>E</math> की गणना करें।
#विलक्षण विसंगति <math>E</math> से उड़ान के समय <math>t</math> की गणना करें।
किसी निश्चित समय पर विलक्षण विसंगति (विपरीत समस्या) का पता लगाना अधिक कठिन है। केप्लर का समीकरण <math>E</math> में पारलौकिक है, जिसका अर्थ है कि इसे <math>E</math> के लिए बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है। केप्लर के समीकरण को व्युत्क्रमण द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से <math>E</math> के लिए हल किया जा सकता है।

केपलर समीकरण का समाधान, जो <math> \textstyle \epsilon </math> के सभी वास्तविक मानों के लिए मान्य है:

<math display="block">
E =
\begin{cases}

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
{\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{\theta \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left[ \left(
\frac{\theta}{ \sqrt[3]{\theta - \sin(\theta)} } \right) ^n \right]
\right)
,  & \epsilon = 1  \\

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
{ \frac{ M^n }{ n! } }
\lim_{\theta \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \left[ \left(
\frac{ \theta }{ \theta - \epsilon \cdot \sin(\theta)} \right) ^n \right]
\right)
, &  \epsilon \ne  1

\end{cases}
</math>
इसका मूल्यांकन करने पर:

<math display="block">
E =
\begin{cases} \displaystyle
x + \frac{1}{60} x^3 + \frac{1}{1400}x^5 + \frac{1}{25200}x^7 + \frac{43}{17248000}x^9 + \frac{ 1213}{7207200000 }x^{11} +
\frac{151439}{12713500800000 }x^{13} \cdots \ | \ x = ( 6 M )^\frac{1}{3}
,  & \epsilon = 1  \\
\\
\displaystyle
\frac{1}{1-\epsilon} M
- \frac{\epsilon}{( 1-\epsilon)^4 } \frac{M^3}{3!}
+ \frac{(9 \epsilon^2 + \epsilon)}{(1-\epsilon)^7 } \frac{M^5}{5!}
- \frac{(225 \epsilon^3 + 54 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{10} } \frac{M^7}{7!}
+ \frac{ (11025\epsilon^4 + 4131 \epsilon^3 + 243 \epsilon^2 + \epsilon ) }{(1-\epsilon)^{13} } \frac{M^9}{9!} \cdots

, &  \epsilon \ne  1

\end{cases}
</math>



वैकल्पिक रूप से, केप्लर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। सबसे पहले व्यक्ति को <math>E</math> के मान का अनुमान लगाना चाहिए और उड़ान के समय का समाधान करना चाहिए; फिर आवश्यक परिशुद्धता प्राप्त होने तक उड़ान के परिकलित समय को वांछित मान के समीप लाने के लिए आवश्यकतानुसार <math>E</math> को समायोजित करें। सामन्यत: अपेक्षाकृत तेज़ अभिसरण प्राप्त करने के लिए न्यूटन की विधि का उपयोग किया जाता है।

इस दृष्टिकोण के साथ मुख्य कठिनाई यह है कि अत्यधिक वृत्ताकार कक्षाओं के लिए एकाग्र होने में इसे निषेधात्मक रूप से लंबा समय लग सकता है। निकट-परवलयिक कक्षाओं के लिए, विलक्षणता <math>\epsilon</math> लगभग 1 है, और माध्य विसंगति, <math>E - \sin E</math> के सूत्र में <math>e = 1</math> को प्रतिस्थापित करने पर, हम खुद को दो लगभग-समान मान घटाते हुए पाते हैं, और स्पष्टता प्रभावित होती है। निकट-वृत्ताकार कक्षाओं के लिए, सबसे पहले पेरीएप्सिस को खोजना कठिन है (और वास्तव में गोलाकार कक्षाओं में कोई पेरीएप्सिस नहीं है)। इसके अतिरिक्त , समीकरण वृत्ताकार कक्षा की धारणा पर तैयार किया गया था, और इसलिए यह परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं के लिए मान्य नहीं है। इन कठिनाइयों के कारण सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण का विकास हुआ, जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

===शंक्वाकार कक्षाएँ===
सरल प्रक्रियाओं के लिए, जैसे समतलीय स्थानांतरण दीर्घवृत्त के लिए डेल्टा-वी की गणना करना पारंपरिक दृष्टिकोण अधिक प्रभावी हैं। अन्य, जैसे उड़ान का समय, कहीं अधिक सम्मिश्र हैं, विशेषकर निकट-वृत्ताकार और अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं के लिए है।

===पैच्ड शंकु सन्निकटन ===
{{Main|पैचयुक्त शंकु सन्निकटन}}

हॉहमैन ट्रांसफर ऑर्बिट अकेले इंटरप्लेनेटरी ट्रैजेक्टोरियों के लिए खराब सन्निकटन है क्योंकि यह ग्रहों के अपने गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करता है। ग्रह के आसपास के क्षेत्र में अंतरिक्ष यान के व्यवहार पर ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण प्रभावित है और अधिकत्तर स्थितियों में होहमैन गंभीर रूप से डेल्टा-वी का अनुमान लगाता है, और जलने के समय के लिए अत्यधिक गलत निर्धारित औषधि उत्पन्न करता है। सन्निकटन के आदेश प्राप्त करने का अपेक्षाकृत सरल विधि या डेल्टा-v का प्रथम-क्रम सन्निकटन 'पैच्ड कॉनिक सन्निकटन' तकनीक पर आधारित है। अंतरिक्ष के प्रत्येक क्षेत्र में प्रमुख गुरुत्वाकर्षण पिंड का चयन करना चाहिए जिसके माध्यम से प्रक्षेपवक्र गुजरेगा, और उस क्षेत्र में केवल उस पिंड के प्रभाव को मॉडल करना होगा। उदाहरण के लिए, पृथ्वी से मंगल तक के प्रक्षेपवक्र पर, कोई केवल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण पर विचार करके प्रारंभ करेगा जब तक कि प्रक्षेपवक्र उस दूरी तक नहीं पहुँच जाता जहाँ पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण अब सूर्य पर प्रभावित नहीं हो जाता है। अंतरिक्ष यान को इंटरप्लेनेटरी स्पेस में भेजने के लिए एस्केप वेलोसिटी दी जाएगी। इसके पश्चात , कोई केवल सूर्य के गुरुत्वाकर्षण पर विचार करेगा जब तक कि प्रक्षेपवक्र मंगल के निकट तक नहीं पहुंच जाता। इस चरण के समय स्थानांतरण कक्षा मॉडल उपयुक्त है। अंत में, प्रक्षेपवक्र के अंतिम भाग के समय केवल मंगल के गुरुत्वाकर्षण पर विचार किया जाता है जहां मंगल का गुरुत्वाकर्षण अंतरिक्ष यान के व्यवहार पर प्रभावित होता है। अंतरिक्ष यान अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षा में मंगल ग्रह पर पहुंचेगा, और अंतिम प्रतिगामी प्रज्वलन अंतरिक्ष यान को इतना धीमा कर देगा कि वह मंगल पर अधिकृत कर सकता है। फ्रेडरिक ज़ेंडर ज्योतिषीय उद्देश्यों के लिए पैच-शंकु दृष्टिकोण को प्रयुक्त करने वाले पहले लोगों में से थे, जब इंटरप्लेनेटरी यात्रा के लिए मध्यस्थ निकायों के गुरुत्वाकर्षण के उपयोग का प्रस्ताव करते थे, जिसे आज गुरुत्वाकर्षण सहायता के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Negri |first1=Rodolfo Batista |last2=Prado |first2=Antônio Fernando Bertachini de Alme |title=A historical review of the theory of gravity-assists in the pre-spaceflight era |journal=Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering |date=August 2020 |volume=42 |issue=8 |pages=406 |doi=10.1007/s40430-020-02489-x|s2cid=220510617 |url=http://urlib.net/8JMKD3MGP3W34R/42T4NAH }}</ref>

"निकट" (या प्रभाव क्षेत्र) का आकार त्रिज्या <math>r_{SOI}</math> के साथ भिन्न होता है।
:<math>r_{SOI} = a_p\left(\frac{m_p}{m_s}\right)^{2/5}</math>
जहाँ <math>a_p</math> सूर्य के सापेक्ष ग्रह की कक्षा का अर्ध-प्रमुख अक्ष है; <math>m_p</math> और <math>m_s</math> क्रमशः ग्रह और सूर्य के द्रव्यमान हैं।

यह सरलीकरण ईंधन आवश्यकताओं के समान्य अनुमानों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, और समान्य रूप से उड़ान के समय का अनुमान है, किंतु यह समान्यत: अंतरिक्ष यान को अपने गंतव्य के लिए मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त स्पष्ट नहीं है। उसके लिए संख्यात्मक विधियों की आवश्यकता होती है।

===सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण===
2-निकाय समस्या को हल करने के लिए पारंपरिक दृष्टिकोणों की कम्प्यूटेशनल कमियों को दूर करने के लिए, सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण विकसित किया गया था। यह वृत्ताकार, दीर्घ वृत्ताकार,, परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थितियों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से कार्य करता है, किसी भी कक्षा के लिए एकीकृत होने पर अंतर समीकरण अच्छी तरह से परिवर्तित हो जाते हैं। यह अव्यवस्थाएं सिद्धांत को सम्मिलित करने वाली समस्याओं का भी सामान्यीकरण करता है।
=== अव्यवस्थाएं ===
सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण पैरामीटर तकनीक की भिन्नता के साथ अच्छी तरह से कार्य करता है, अतिरिक्त इसके कि छह केप्लरियन कक्षीय अवयवों के अतिरिक्त, हम कक्षीय अवयवों के भिन्न सेट का उपयोग करते हैं: अर्थात्, उपग्रह की प्रारंभिक स्थिति और वेग सदिश <math>x_0</math> और <math>v_0</math> किसी दिए गए युग में <math>t = 0</math>. दो-निकाय सिमुलेशन में, ये अवयव भविष्य में किसी भी समय सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण का उपयोग करके उपग्रह की स्थिति और वेग की गणना करने के लिए पर्याप्त हैं। इसके विपरीत, उपग्रह की कक्षा में किसी भी समय, हम इसकी स्थिति और वेग को माप सकते हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए सार्वभौमिक वेरिएबल दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं कि इसकी प्रारंभिक स्थिति और वेग उस युग में क्या रहा होगा। पूर्ण दो-पिंड गति में, ये कक्षीय अवयव अपरिवर्तनीय होंगे (जैसे केप्लरियन अवयव होंगे)।

चूँकि अव्यवस्थाएं के कारण समय के साथ कक्षीय अवयव परिवर्तित हो जाते हैं। इसलिए, हम स्थिति अवयव को <math>x_0(t)</math>और वेग अवयव को <math>v_0(t)</math> के रूप में लिखते हैं, यह दर्शाता है कि वे समय के साथ परिवर्तित होते हैं। अव्यवस्थाएं के प्रभाव की गणना करने की तकनीक फलन <math>x_0(t)</math> और <math>v_0(t)</math> के लिए स्पष्ट या अनुमानित अभिव्यक्ति खोजने में से बन जाती है।

निम्नलिखित कुछ प्रभाव हैं जो वास्तविक कक्षाओं को वृत्ताकार पृथ्वी पर आधारित साधारण मॉडलों से भिन्न बनाते हैं। उनमें से अधिकांश को अव्यवस्थाएं सिद्धांत द्वारा कम समय के मापदंड (संभवतः कुछ हज़ार कक्षाओं से कम) पर नियंत्रित किया जा सकता है क्योंकि वे संबंधित दो-निकाय प्रभावों के सापेक्ष छोटे होते हैं।
* विषुवतीय उभार नोड और पेरिगी के पुरस्सरण का कारण बनते हैं
*वृत्ताकार हार्मोनिक्स या गोलीय हार्मोनिक्स का दृश्य<ref>{{MathWorld |title=Tesseral Harmonic |id=TesseralHarmonic |access-date=2019-10-07}}</ref> गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अतिरिक्त अव्यवस्थाएं प्रस्तुत करते हैं
* चंद्र और सौर गुरुत्व अव्यवस्थाएं कक्षाओं को परिवर्तित होते हैं
*वायुमंडलीय ड्रैग सेमी-मेजर एक्सिस को कम करता है जब तक कि मेक-अप थ्रस्ट का उपयोग नहीं किया जाता है

बहुत लंबे समय के मापदंड पर (संभवतःलाखों कक्षाएँ), यहाँ तक कि छोटी अव्यवस्थाएं भी प्रभावित हो सकती है, और व्यवहार कैओस सिद्धांत बन सकता है। दूसरी ओर, कक्षा के रखरखाव के कार्यों में सहायता करने के लिए चतुर ज्योतिषविदों द्वारा विभिन्न अव्यवस्थाएं को व्यवस्थित किया जा सकता है, जैसे कक्षीय स्टेशन-रखरखाव या स्टेशन-कीपिंग, ग्राउंड ट्रैक रखरखाव या समायोजन, या कम ऊंचाई पर चयनित लक्ष्यों को कवर करने के लिए पेरिगी की चरणबद्धता है।

== कक्षीय युक्ति ==
{{Main|कक्षीय युक्ति}}

अंतरिक्ष यान में, कक्षीय युद्धाभ्यास अंतरिक्ष यान की कक्षा को बदलने के लिए अंतरिक्ष यान प्रणोदन प्रणाली का उपयोग होता है। पृथ्वी से दूर अंतरिक्ष यान के लिए - उदाहरण के लिए जो सूर्य के चारों ओर कक्षाओं में हैं - कक्षीय युक्ति को "डीप-स्पेस युक्ति (डीएसएम)" कहा जाता है।




=== कक्षीय स्थानांतरण ===
स्थानांतरण कक्षाएँ समान्यत: दीर्घ वृत्ताकार कक्षाएँ होती हैं जो अंतरिक्ष यान को (समान्यत: अधिक गोलाकार) कक्षा से दूसरी कक्षा में जाने की अनुमति देती हैं। समान्यत: उन्हें प्रारंभ में जलन, अंत में जलन और कभी-कभी मध्य में या अधिक जलन की आवश्यकता होती है।
*होहमान स्थानांतरण कक्षा के लिए न्यूनतम डेल्टा-v की आवश्यकता होती है।
*यदि कक्षाओं का अनुपात 11.94 या अधिक है, तब द्वि-दीर्घ वृत्ताकार स्थानांतरण को होहमान स्थानांतरण की तुलना में कम ऊर्जा की आवश्यकता हो सकती है,<ref>{{cite book |last=Vallado |first=David Anthony |title=Fundamentals of Astrodynamics and Applications |page=317 |publisher=Springer |date=2001 |isbn=0-7923-6903-3 |url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC}}</ref> किंतु होहमन स्थानांतरण पर यात्रा के समय में वृद्धि की मान पर आता है।
*उच्च डेल्टा-v की मान पर तेज़ स्थानान्तरण किसी भी कक्षा का उपयोग कर सकता है जो मूल और गंतव्य दोनों कक्षाओं को काटता है।
* लो थ्रस्ट इंजन (जैसे विद्युत प्रणोदन) का उपयोग करना, यदि प्रारंभिक कक्षा अंतिम वांछित वृत्ताकार कक्षा के लिए सुपरसिंक्रोनस है तब अपोजी पर वेग की दिशा में निरन्तर जोर देकर इष्टतम स्थानांतरण कक्षा प्राप्त की जाती है। चूँकि कम थ्रस्ट के कारण इस विधि में अधिक समय लगता है।<ref>{{cite book |last=Spitzer |first=Arnon |title=Optimal Transfer Orbit Trajectory using Electric Propulsion |publisher=USPTO |date=1997 |url=https://patents.google.com/patent/US5595360}}</ref>
गैर-समतलीय कक्षाओं के मध्य कक्षीय स्थानांतरण के स्थिति में कक्षीय झुकाव परिवर्तन या सतह का परिवर्तन जोर उस बिंदु पर बनाया जाना चाहिए जहां कक्षीय विमान प्रतिच्छेद करते हैं (नोड)। जैसा कि उद्देश्य विमानों के मध्य के कोण के समान कोण द्वारा वेग सदिश की दिशा को बदलना है, यह लगभग सभी जोर तब बनाया जाना चाहिए जब अंतरिक्ष यान एपोप्स के पास नोड पर हो, जब वेग सदिश का परिमाण हो अपने सबसे निचले स्तर पर है। चूँकि वांछित झुकाव परिवर्तन की दिशा में ट्रांसफर ऑर्बिट इंजेक्शन थ्रस्ट को थोड़ा कोण करके और कक्षीय झुकाव परिवर्तन का छोटा सा अंश पेरीएप्स के पास नोड पर बनाया जा सकता है। यह कार्य करता है क्योंकि छोटे कोण का कोसाइन बहुत लगभग है, जिसके परिणामस्वरूप छोटा विमान परिवर्तन पेरिएप्स के पास अंतरिक्ष यान के उच्च वेग के अतिरिक्त प्रभावी रूप से मुक्त हो जाता है, क्योंकि ओबेरथ इफेक्ट बढ़ने के कारण थोड़ा कोण वाला जोर निवेश से अधिक कक्षा-सामान्य अक्ष में जोर देता है।

{{multiple image
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|image5=Optimal Transfer Orbit using Electric Propulsion.png
|caption1=[[होहमैन स्थानांतरण]] निम्न वृत्ताकार कक्षा से उच्च वृत्ताकार कक्षा में
|caption2=[[द्वि-वृत्ताकार स्थानांतरण]] निम्न वृत्ताकार प्रारंभिक कक्षा (गहरा नीला) से उच्च वृत्ताकार कक्षा (लाल) तक
|caption3=दो गोलाकार कक्षाओं के बीच सामान्य दो-आवेग वृत्ताकार स्थानांतरण
|caption4=निम्न वृत्ताकार कक्षा से उच्च वृत्ताकार कक्षा में सामान्य स्थानांतरण
|caption5=विद्युत प्रणोदन का उपयोग करके किसी उपग्रह को सुपरसिंक्रोनस से जियोसिंक्रोनस कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए एक इष्टतम अनुक्रम
}}

=== गुरुत्वाकर्षण सहायता और ओबेरथ प्रभाव ===
गुरुत्वाकर्षण की सहायता में, अंतरिक्ष यान ग्रह से घूमता है और भिन्न दिशा में, भिन्न गति से निकलता है। यह अधिक ईंधन ले जाने के अतिरिक्त किसी अंतरिक्ष यान को गति देने या धीमा करने के लिए उपयोगी है।

इस युक्ति को बड़ी दूरी पर लोचदार टक्कर से अनुमानित किया जा सकता है, चूँकि फ्लाईबी में कोई भौतिक संपर्क सम्मिलित नहीं है। न्यूटन के तीसरे नियम (समान और विपरीत प्रतिक्रिया) के कारण, अंतरिक्ष यान द्वारा प्राप्त किसी भी संवेग को ग्रह द्वारा खो दिया जाना चाहिए, या इसके विपरीत चूँकि क्योंकि ग्रह अंतरिक्ष यान की तुलना में बहुत अधिक विशाल है ग्रह की कक्षा पर प्रभाव नगण्य है।

ओबेरथ प्रभाव को नियोजित किया जा सकता है, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण सहायता ऑपरेशन के समय इसमें प्रभाव यह है कि प्रणोदन प्रणाली का उपयोग उच्च गति पर उत्तम कार्य करता है, और इसलिए गुरुत्वीय पिंड के समीप होने पर मार्ग परिवर्तन सबसे अच्छा होता है; यह प्रभावी डेल्टा-v को गुणा कर सकता है।

=== इंटरप्लेनेटरी ट्रांसपोर्ट नेटवर्क और फ़ज़ी ऑर्बिट्स ===
{{Main|इंटरप्लेनेटरी ट्रांसपोर्ट नेटवर्क}}
{{See also|कम ऊर्जा स्थानांतरण}}
सौर मंडल के ग्रहों और चंद्रमाओं के गुरुत्वाकर्षण में गैर-रैखिकताओं का उपयोग करके मार्गों की खोज के लिए कंप्यूटर का उपयोग करना अब संभव है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की उच्च कक्षा से मंगल तक की कक्षा को पृथ्वी के ट्रोजन बिंदुओं में से के समीप से गुजरना संभव है सामूहिक रूप से इंटरप्लेनेटरी ट्रांसपोर्ट नेटवर्क के रूप में जाना जाता है, सैद्धांतिक रूप से इन अत्यधिक परेशान, यहां तक कि अराजक, कक्षीय प्रक्षेपवक्रों को लग्रेंज बिंदु तक पहुंचने के लिए आवश्यक से अधिक ईंधन की आवश्यकता नहीं होती है (व्यवहार में प्रक्षेपवक्र को ध्यान में रखते हुए कुछ सुधार की आवश्यकता होती है)। उनके साथ सबसे बड़ी समस्या यह है कि वे अत्यधिक धीमे हो सकते हैं, जिसमें अनेक वर्ष लग सकते हैं। इसके अतिरिक्त लॉन्च विंडो बहुत दूर हो सकती हैं।

चूँकि उन्हें जेनेसिस जैसी परियोजनाओं पर नियोजित किया गया है। इस अंतरिक्ष यान ने पृथ्वी-सूर्य {{L1}} बिंदु का दौरा किया और बहुत कम प्रणोदक का उपयोग करके वापस लौट सकता है।

== यह भी देखें                                                                                          ==
{{Div col|colwidth=26em}}
*वायुगतिकी
*अंतरिक्ष इंजीनियरिंग
*खगोल भौतिकी
* विहित इकाइयाँ
* आकाशीय यांत्रिकी
*अराजकता सिद्धांत
* केप्लर कक्षा
* लैग्रेंज बिंदु
*मैकेनिकल इंजीनियरिंग
* एन-बॉडी प्रॉब्लम
*की परिक्रमा
*परिमाण के आदेश (गति)
* रोश सीमा
* अंतरिक्ष यान प्रणोदन
*त्सोल्कोवस्की रॉकेट समीकरण
*सार्वभौमिक वेरिएबल सूत्रीकरण
{{Div col end}}


==संदर्भ==
{{Reflist}}
*{{cite book|author=Curtis, Howard D.|title=Orbital Mechanics for Engineering Students, 2e|publisher=Elsevier|location=New York|date=2009|isbn=978-0-12-374778-5}}
*{{cite book
|last=Bate
|first=Roger R.
|author2=Mueller, Donald D.
|author3=White, Jerry E.
|title=Fundamentals of Astrodynamics
|date=1971
|publisher=Dover Publications
|location=New York
|isbn=0-486-60061-0
|pages=
|url=https://archive.org/details/fundamentalsofas00bate
}}

*{{cite book
|last=Sellers
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|author2=Astore, William J. |author3=Giffen, Robert B. |author4=Larson, Wiley J.
|editor=Kirkpatrick, Douglas H.
|title=Understanding Space: An Introduction to Astronautics
|edition=2
|date=2004
|publisher=McGraw Hill
|isbn=0-07-242468-0
|pages=228}}

*{{cite web |url=http://space.au.af.mil/primer/orbital_mechanics.pdf |title=Air University Space Primer, Chapter 8 - Orbital Mechanics |publisher=USAF |access-date=2007-10-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130214090912/http://space.au.af.mil/primer/orbital_mechanics.pdf |archive-date=2013-02-14 |url-status=dead }}


==आगे की पढाई==
Many of the options, procedures, and supporting theory are covered in standard works such as:
*{{cite book|author=Bate, R.R.|author2=Mueller, D.D.|author3=White, J.E.|title=Fundamentals of Astrodynamics|publisher=Dover Publications, New York|date=1971|isbn=978-0-486-60061-1|url=https://archive.org/details/fundamentalsofas00bate}}
*{{cite book|author=Vallado, D. A.|title=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|edition=2nd|publisher=Springer|date=2001|isbn=978-0-7923-6903-5}}
*{{cite book|author=Battin, R.H.|title=An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics|publisher=American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, D.C.|date=1999|isbn=978-1-56347-342-5}}
*{{cite book|editor=Chobotov, V.A.|title=Orbital Mechanics|edition=3rd|publisher=American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, D.C.|date=2002|isbn=978-1-56347-537-5}}
*{{cite book|author=Herrick, S.|title=Astrodynamics: Orbit Determination, Space Navigation, Celestial Mechanics, Volume 1 |publisher=Van Nostrand Reinhold, London|date=1971|isbn=978-0-442-03370-5}}
*{{cite book|author=Herrick, S.|title=Astrodynamics: Orbit Correction, Perturbation Theory, Integration, Volume 2 |publisher=Van Nostrand Reinhold, London|date=1972|isbn=978-0-442-03371-2}}
*{{cite book|author=Kaplan, M.H.|title=Modern Spacecraft Dynamics and Controls|publisher=Wiley, New York|date=1976|isbn=978-0-471-45703-9}}
*{{cite book|author=Tom Logsdon|title=Orbital Mechanics|publisher=Wiley-Interscience, New York|date=1997|isbn=978-0-471-14636-0}}
*{{cite book|author=John E. Prussing|author2=Bruce A. Conway|name-list-style=amp|title=Orbital Mechanics|publisher=Oxford University Press, New York|date=1993|isbn=978-0-19-507834-3|url=https://archive.org/details/orbitalmechanics00prus}}
*{{cite book|author=M.J. Sidi|title=Spacecraft Dynamics and Control|publisher=Cambridge University Press, New York|date=2000|isbn=978-0-521-78780-2}}
*{{cite book|author=W.E. Wiesel|title=Spaceflight Dynamics|edition=2nd|publisher=McGraw-Hill, New York|date=1996|isbn=978-0-07-070110-6}}
*{{cite book|author=J.P. Vinti|title=Orbital and Celestial Mechanics|publisher=American Institute of Aeronautics & Ast, Reston, Virginia|date=1998|isbn=978-1-56347-256-5}}
*{{cite book|author=P. Gurfil|title=Modern Astrodynamics|publisher=Butterworth-Heinemann|date=2006|isbn=978-0-12-373562-1}}


==बाहरी कड़ियाँ==
*[https://web.archive.org/web/20120204054322/http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm ORBITAL MECHANICS] (Rocket and Space Technology)
*[http://jat.sourceforge.net Java Astrodynamics Toolkit]
*[http://astria.tacc.utexas.edu/AstriaGraph/ Astrodynamics-based Space Traffic and Event Knowledge Graph]

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