View source for कुल विचरण का नियम

{{Short description|Theorem in probability theory}}
संभाव्यता सिद्धांत में, कुल विचरण का नियम<ref>Neil A. Weiss, ''A Course in Probability'', Addison&ndash;Wesley, 2005, pages 385&ndash;386.</ref> या विचरण अपघटन सूत्र या नियम विचरण सूत्र या पुनरावृत्त प्रसरण के नियम को ईव के नियम के रूप में भी जाना जाता है,<ref> Joseph K. Blitzstein and Jessica Hwang: "Introduction to Probability"</ref> बताता है कि यादि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही प्रायिकता स्थान पर यादृच्छिक चर हैं, और तब <math>Y</math> का प्रसरण परिमित है

<math display=block>
\operatorname{Var_Y}(Y) = \operatorname{E_X}[\operatorname{Var_Y}(Y \mid X)] + \operatorname{Var_X}(\operatorname{E_Y}[Y \mid X]).
</math>
संभाव्यता सिद्धांतकारों की तुलना में शायद सांख्यिकीविदों के लिए बेहतर ज्ञात भाषा में, दो शब्द क्रमशः अस्पष्टीकृत और विचरण के समझाए गए घटक हैं (cf. [[विचरण का अंश अस्पष्टीकृत]], व्याख्यात्मक भिन्नता)। [[ जिवानांकिकी |जिवानांकिकी]] में, विशेष रूप से [[विश्वसनीयता सिद्धांत]], पहले घटक को प्रक्रिया विचरण (ईवीपीवी) का अपेक्षित मान कहा जाता है और दूसरे को काल्पनिक साधनों (वीएचएम) का विचरण कहा जाता है।<ref name = "FCAS4ed">{{cite book |last1= Mahler|first1= Howard C. |last2= Dean|first2= Curtis Gary|year= 2001 |chapter= Chapter 8: Credibility |chapter-url= http://people.stat.sfu.ca/~cltsai/ACMA315/Ch8_Credibility.pdf |editor1-last= [[Casualty Actuarial Society]] |title= कैजुअल्टी एक्चुरियल साइंस की नींव|edition= 4th |publisher= [[Casualty Actuarial Society]] |pages= 525–526 |isbn= 978-0-96247-622-8|access-date= June 25, 2015}}</ref> ये दो घटक प्रारंभिक ईवी वीई से "प्रसरण की अपेक्षा" और "उम्मीद की भिन्नता" शब्द "ईव के नियम" का स्रोत भी हैं।

== सूत्रीकरण                   ==

<math>c \geq 2</math> घटकों के लिए एक सामान्य प्रसरण अपघटन सूत्र है (नीचे देखें)<ref name=bs>Bowsher, C.G. and P.S. Swain, Identifying sources of variation and the flow of information in biochemical networks, PNAS May 15, 2012 109 (20) E1320-E1328.</ref>। उदाहरण के लिए दो अनुकूलन यादृच्छिक चर के साथ:
<math display=block>\operatorname{Var}[Y] = \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}\left(Y \mid X_1, X_2\right)\right] + \operatorname{E}[\operatorname{Var}(\operatorname{E}\left[Y \mid X_1, X_2\right] \mid X_1)] + \operatorname{Var}(\operatorname{E}\left[Y \mid X_1\right]),</math>
जो कुल नियम भिन्नता के नियम से निम्नानुसार है:<ref name=bs />
<math display=block>\operatorname{Var}(Y \mid X_1) = \operatorname{E} \left[\operatorname{Var}(Y \mid X_1, X_2) \mid X_1\right] + \operatorname{Var} \left(\operatorname{E}\left[Y \mid X_1, X_2 \right] \mid X_1\right).</math>
ध्यान दें कि नियम अपेक्षित मान <math>\operatorname{E}(Y \mid X)</math> अपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जिसका मान <math>X.</math> के मान पर निर्भर करता है ध्यान दें कि <math>Y</math> नियम अपेक्षित मान देखते हुए {{em|event}} <math>X = x</math> का एक <math>x</math> कार्य है (यह वह जगह है जहां संभाव्यता सिद्धांत के पारंपरिक और कठोर केस-संवेदी अंकन का पालन महत्वपूर्ण हो जाता है!)। यादि हम <math>\operatorname{E}(Y \mid X = x) = g(x)</math> लिखते हैं फिर यादृच्छिक चर <math>\operatorname{E}(Y \mid X)</math> बस <math>g(X).</math> इसी तरह की टिप्पणियां नियम भिन्नता पर प्रयुक्त होती हैं।

एक विशेष स्थिति , (कुल अपेक्षा के नियम के समान) कहता है कि यदि <math>A_1, \ldots, A_n</math> संपूर्ण परिणाम स्थान का एक विभाजन है, अर्थात, ये घटनाएँ परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं
<math display=block>\begin{align}
\operatorname{Var} (X) = {} & \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X\mid A_i) \Pr(A_i) + \sum_{i=1}^n \operatorname{E}[X\mid A_i]^2 (1-\Pr(A_i))\Pr(A_i) \\[4pt]
& {} - 2\sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \operatorname{E}[X \mid A_i] \Pr(A_i)\operatorname{E}[X\mid A_j] \Pr(A_j).
\end{align}</math>
इस सूत्र में, पहला घटक नियम भिन्नता की अपेक्षा है; अन्य दो घटक नियम अपेक्षा के विचरण हैं।

== प्रमाण ==

कुल अपेक्षा के नियम का उपयोग करके कुल भिन्नता का नियम सिद्ध किया जा सकता है।<ref>Neil A. Weiss, ''A Course in Probability'', Addison&ndash;Wesley, 2005, pages 380&ndash;383.</ref> पहला,
<math display=block>\operatorname{Var}[Y] = \operatorname{E}\left[Y^2\right] - \operatorname{E}[Y]^2</math>
विचरण की परिभाषा से। फिर से, विचरण की परिभाषा से, और कुल अपेक्षा के नियम को प्रयुक्त करने से, हमारे पास है
<math display=block>\operatorname{E}\left[Y^2\right] = \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y^2\mid X]\right] = \operatorname{E} \left[\operatorname{Var}[Y \mid X] + [\operatorname{E}[Y \mid X]]^2\right].</math>
अब हम <math>Y</math> के नियम दूसरे क्षण को फिर से लिखते हैं इसके विचरण और पहले क्षण के संदर्भ में और दाहिनी ओर कुल अपेक्षा के नियम को प्रयुक्त करते हैं:
<math display=block>\operatorname{E}\left[Y^2\right] - \operatorname{E}[Y]^2 = \operatorname{E} \left[\operatorname{Var}[Y \mid X] + [\operatorname{E}[Y \mid X]]^2\right] - [\operatorname{E} [\operatorname{E}[Y \mid X]]]^2.</math>
चूंकि किसी राशि की अपेक्षा अपेक्षाओं का योग है, इसलिए नियमो को अब पुनर्समूहित किया जा सकता है:
<math display=block>= \left(\operatorname{E} [\operatorname{Var}[Y \mid X]]\right) + \left(\operatorname{E} \left[\operatorname{E}[Y \mid X]^2\right] - [\operatorname{E} [\operatorname{E}[Y \mid X]]]^2\right).</math>
अंत में, हम कोष्ठक के दूसरे समूह में नियमो को नियम अपेक्षा <math>\operatorname{E}[Y \mid X]</math> के विचरण के रूप में पहचानते हैं ।:
<math display=block>= \operatorname{E} [\operatorname{Var}[Y \mid X]] + \operatorname{Var} [\operatorname{E}[Y \mid X]].</math>


== गतिशील प्रणालियों पर प्रयुक्त सामान्य विचरण अपघटन ==

निम्नलिखित सूत्र दिखाता है कि प्रसंभाव्य गतिशील प्रणालियों के लिए सामान्य, माप सिद्धांतिक भिन्नता अपघटन सूत्र को कैसे प्रयुक्त किया जाए।<ref name=bs /> मान लीजिए <math>Y(t)</math> समय <math>t.</math> पर प्रणाली चर का मान हो मान लीजिए कि हमारे पास आंतरिक इतिहास (प्राकृतिक निस्पंदन) '''है''' <math>H_{1t},H_{2t},\ldots,H_{c-1,t}</math>,है प्रत्येक प्रणाली चर के एक अलग संग्रह के इतिहास (प्रक्षेपवक्र) के अनुरूप है । संग्रहों को अलग करने की आवश्यकता नहीं है। <math>Y(t)</math> के प्रसरण को हर समय <math>t,</math> के लिए <math>c \geq 2</math> घटकों में निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है:
<math display=block>\begin{align}
\operatorname{Var}[Y(t)] = {} & \operatorname{E}(\operatorname{Var}[Y(t)\mid H_{1t},H_{2t},\ldots,H_{c-1,t}]) \\[4pt]
& {} + \sum_{j=2}^{c-1}\operatorname{E}(\operatorname{Var}[\operatorname{E}[Y(t)\mid H_{1t},H_{2t},\ldots,H_{jt}] \mid H_{1t},H_{2t},\ldots,H_{j-1,t}]) \\[4pt]
& {} + \operatorname{Var}(\operatorname{E}[Y(t)\mid H_{1t}]).
\end{align}</math>
अपघटन अद्वितीय नहीं है। यह अनुक्रमिक अपघटन में अनुकूलन के क्रम पर निर्भर करता है।

== सहसंबंध का वर्ग और समझाया गया (या सूचनात्मक) भिन्नता ==

जिन स्थिति में <math>(Y, X)</math> ऐसे हैं कि नियम अपेक्षित मान रैखिक है; अर्थात ऐसे स्थिति में है जहां
<math display=block>\operatorname{E}(Y \mid X) = a X + b,</math>
यह सहप्रसरण की द्विरेखीयता से अनुसरण करता है
  <math display=block>a={\operatorname{Cov}(Y, X) \over \operatorname{Var}(X)}</math>
और
<math display=block>b = \operatorname{E}(Y)-{\operatorname{Cov}(Y, X) \over \operatorname{Var}(X)} \operatorname{E}(X)</math>
और कुल भिन्नता से विभाजित भिन्नता का समझाया गया घटक <math>Y</math> और <math>X;</math> के बीच के सहसंबंध का वर्ग है अर्थात ऐसे स्थिति में है 
<math display=block>{\operatorname{Var}(\operatorname{E}(Y \mid X)) \over \operatorname{Var}(Y)} = \operatorname{Corr}(X, Y)^2.</math>
इस स्थिति का एक उदाहरण है जब <math>(X, Y)</math> द्विचर सामान्य (गाऊसी) वितरण है।

अधिक सामान्यतः, जब नियम अपेक्षा <math>\operatorname{E}(Y \mid X)</math> <math>X</math> का एक अरैखिक फलन है <ref name=bs />
<math display=block>\iota_{Y\mid X} = {\operatorname{Var}(\operatorname{E}(Y \mid X)) \over \operatorname{Var}(Y)} = \operatorname{Corr}(\operatorname{E}(Y \mid X), Y)^2,</math>
<math>(X, Y).</math> के संयुक्त वितरण से निकाले गए डेटा का उपयोग करते हुए, जिसे <math>X,</math>पर <math>Y</math> के एक गैर-रैखिक प्रतिगमन से आर वर्ग के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।} जब <math>\operatorname{E}(Y \mid X)</math> का गॉसियन वितरण है (और <math>X</math> का एक व्युत्क्रमणीय कार्य है) या <math>Y</math> का स्वयं एक (सीमांत) गॉसियन वितरण है, भिन्नता का यह समझाया गया घटक पारस्परिक जानकारी पर एक निचली सीमा निर्धारित करता है:<ref name=bs />
<math display=block>\operatorname{I}(Y; X) \geq \ln \left([1 - \iota_{Y \mid X}]^{-1/2}\right).</math>


== उच्च क्षण                      ==

इसी प्रकार का नियम तीसरे केन्द्रीय क्षण के लिए <math>\mu_3</math> कहते है
<math display=block>\mu_3(Y)=\operatorname{E}\left(\mu_3(Y \mid X)\right) + \mu_3(\operatorname{E}(Y \mid X)) + 3\operatorname{cov}(\operatorname{E}(Y \mid X), \operatorname{var}(Y \mid X)).</math>
उच्च संचयकों के लिए, एक सामान्यीकरण उपस्थित है। [[कुल संचयन का नियम]] देखें।

== यह भी देखें                                                                        ==

* {{annotated link|कुल सहप्रसरण का नियम}} - एक सामान्यीकरण
* {{annotated link|त्रुटियों के प्रसार का नियम}}

==संदर्भ                                          ==

{{reflist}}
* {{cite web|last1= Blitzstein|first1=Joe|title=Stat 110 Final Review (Eve's Law)|url=http://projects.iq.harvard.edu/files/stat110/files/final_review.pdf|work=stat110.net|publisher=Harvard University, Department of Statistics|access-date=9 July 2014}}
* {{cite book | last=Billingsley | first=Patrick | title=Probability and Measure | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}} (Problem 34.10(b))

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