View source for कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक

भौतिकी में, '''कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक''' वह है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर [[तनाव (यांत्रिकी)]] केवल एक अपेक्षाकृत संदर्भ विन्यास के संबंध में [[विरूपण (इंजीनियरिंग)]] की वर्तमान स्थिति से निर्धारित होता है।<ref name=Ogden>R. W. Ogden, 1984, ''Non-linear Elastic Deformations'', Dover, pp. 175–204.</ref> कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक को एक साधारण प्रत्यास्थ भौतिकी भी कहा जाता है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कॉशी-प्रत्यास्थ भौतिकी में तनाव विरूपण के मार्ग या विरूपण के इतिहास पर निर्भर नहीं करता है या उस विरूपण को प्राप्त करने में लगने वाले समय या उस दर पर निर्भर करता है जिस पर विरूपण की स्थिति होती है। परिभाषा का तात्पर्य यह भी है कि [[संवैधानिक समीकरण|प्रलक्षित समीकरण]] स्थानिक रूप से स्थानीय होता हैं अर्थात्, जो तनाव केवल भौतिकी के विरूपण या गति के संबंध में, तनाव के बिंदु के एक अतिसूक्ष्म निकट में विरूपण की स्थिति से प्रभावित होता है। अतः एक कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक को [[भौतिक वस्तुनिष्ठता]] की आवश्यकताओं को पूर्ण करने की आवश्यकता होती है इसका तात्पर्य यह भी है कि भौतिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण) और जड़त्वीय बल भौतिकी के गुणों को प्रभावित नहीं कर सकते हैं। 

कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक का गणितीय निष्कर्ष यह हैं कि कोई भी वास्तविक भौतिकी इस परिभाषा को सभी प्रकार से प्रयुक्त नहीं कर सकती है। हालांकि, सामान्यतः कई प्रत्यास्थ भौतिकी, जैसे कि स्टील, प्लास्टिक, लकड़ी और कंक्रीट को प्रायः [[तनाव विश्लेषण]] के प्रयोजनों के लिए कॉची-प्रत्यास्थ माना जा सकता है।

== गणितीय परिभाषा ==
औपचारिक रूप से, एक भौतिकी को कॉची-प्रत्यास्थ कहा जाता है यदि [[कॉची तनाव टेन्सर]] <math> \boldsymbol{\sigma} </math> अकेले तनाव टेन्सर [[विरूपण ढाल]] <math>\boldsymbol{F}</math> का एक कार्य है:
:<math>\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}) </math>
यह परिभाषा यह स्वीकृत करती है कि तापमान के प्रभाव को उपेक्षित किया जा सकता है जो भौतिक रूप से सजातीय है। और कॉशी-प्रत्यास्थ भौतिकी के लिए प्रलक्षित समीकरण है।
 
ध्यान दें कि फलन <math>\mathcal{G}</math> संदर्भ विन्यास के चयनित मान पर निर्भर करता है। समान्यतः संदर्भ परिवर्तन को शून्य-तनाव विरूपण के रूप में माना जाता है, लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

[[सामग्री फ्रेम-उदासीनता|भौतिकी फ्रेम-उदासीनता]] की आवश्यकता होती है कि प्रलक्षित संबंध <math>\mathcal{G}</math> प्रेक्षक का स्थान परिवर्तित करने पर परिवर्तन नहीं होना चाहिए। इसलिए एक और अपेक्षाकृत विरूपण के लिए <math> \boldsymbol{\sigma}^* = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) </math> प्रलक्षित समीकरण लिखा जा सकता है यह जानते हुए कि [[तनाव (भौतिकी)|तनाव भौतिकी]] <math> \sigma </math> और विरूपण ढाल <math> F </math> वस्तुनिष्ठ राशियाँ हैं, सामान्यतः इसे कोई भी लिख सकता है:

:<math>
\begin{align} 
            & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) \\
    \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}) \\
    \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\mathcal{G}(\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F})
\end{align}
</math>
जहाँ <math>\boldsymbol{R}</math> एक उपयुक्त लंबकोणीय टेन्सर है।

उपरोक्त एक शर्त है कि प्रलक्षित समीकरण <math> \mathcal{G} </math> यह सुनिश्चित करने के लिए सम्मान करना होगा कि भौतिकी की प्रतिक्रिया पर्यवेक्षक से स्वतंत्र होगी। पहले या दूसरे [[पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर]] के विरूपण प्रवणता से संबंधित प्रलक्षित समीकरण के लिए समान स्थितियाँ प्राप्त की जा सकती हैं।

उपरोक्त एक शर्त यह है कि प्रलक्षित समीकरण <math> \mathcal{G} </math> को यह सुनिश्चित करने के लिए समान करना होता है जिससे भौतिकी की प्रतिक्रिया विरूपण से स्वतंत्र हो जाती है इसलिए पहले या दूसरे पिओला-किरचॉफ टेंसर के विरूपण प्रवणता से संबंधित प्रलक्षित समीकरणों के लिए समान स्थितियाँ प्राप्त की जा सकती हैं।

== समदैशिक कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक ==
समदैशिक भौतिकी के लिए तनाव भौतिकी <math> \boldsymbol{\sigma} </math> परिमित तनाव सिद्धांत के एक कार्य <math> \boldsymbol{B}=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T </math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है तब प्रलक्षित समीकरण लिखा जा सकता है:

:<math>\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{H}(\boldsymbol{B}). </math>
<math> h </math> पर प्रतिबंध लगाने के लिए जो भौतिकी फ्रेम-उदासीनता के सिद्धांत को सुनिश्चित करता है सामान्यतः इसे भी कोई लिख सकता है:

:<math>\ \begin{array}{rrcl} & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{B}^*) \\
\Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{F}^*\cdot(\boldsymbol{F}^*)^T) \\
\Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B}) \cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{R}^T) \\
\Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B})\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{R}^T). \end{array}</math>
उपरोक्त स्थिति का समान करने वाले एक प्रलक्षित समीकरण को [[समदैशिक]] कहा जाता है।

== गैर-रूढ़िवादी भौतिकी ==
यद्यपि कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक में तनाव केवल विरूपण की स्थिति पर निर्भर करता है तब तनाव द्वारा किया गया कार्य विरूपण के मार्ग पर निर्भर हो सकता है। इसलिए एक कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी में सामान्य रूप से एक गैर-रूढ़िवादी संरचना होती है और तनाव को आवश्यक रूप से अदिश "प्रत्यास्थ क्षमता" फलन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इस अर्थ में रूढ़िवादी भौतिकी को [[हाइपरलास्टिक सामग्री|हाइपरलास्टिक]] या "अतिप्रत्यास्थ भौतिकी" कहा जाता है।

== संदर्भ ==
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