View source for क्यू-पोछाम्मेर सिंबल

{{Short description|Concept in combinatorics (part of mathematics)}}
{{DISPLAYTITLE:''q''-Pochhammer symbol}}

साहचर्य के गणितीय क्षेत्र में, '''''क्यू''-पोछाम्मेर चिह्न''', जिसे ''क्यू''-शिफ्टेड फैक्टोरियल भी कहा जाता है, उत्पाद होता  है
<math display="block">(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}),</math>
जहाँ <math>(a;q)_0 = 1.</math>यह पोछाम्मेर चिह्न का क्यू-एनालॉग|क्यू-एनालॉग है <math>(x)_n = x(x+1)\dots(x+n-1)</math>, इस अर्थ में कि
<math display="block">\lim_{q\to1} \frac{(q^x;q)_n}{(1-q)^n} = (x)_n.</math>
क्यू-पोछाम्मेर चिह्न क्यू-एनालॉग्स के निर्माण में एक प्रमुख बिल्डिंग ब्लॉक है; उदाहरण के लिए, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, यह वह भूमिका निभाता है जो साधारण पोछाम्मेर चिह्न सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में निभाता है।

साधारण पोचहैमर चिह्न के विपरीत, क्यू-पोछाम्मेर चिह्न को एक अनंत उत्पाद में  विस्तारित किया जा सकता है:
<math display="block">(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).</math>
यह यूनिट डिस्क के अंदर क्यू के लिए एक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है, और इसे क्यू में एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] के रूप में भी माना जा सकता है। विशेष स्थिति में
<math display="block">\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>
यूलर के कार्य के रूप में जाना जाता है, और संयोजक, [[संख्या सिद्धांत]] और [[मॉड्यूलर रूप]] के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है।

== पहचान ==
अंतिम उत्पाद अनंत उत्पाद के शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है::
<math display="block">(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty}, </math>
जो नकारात्मक पूर्णांक n के लिए परिभाषा को विस्तारित करता है। इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक n के लिए, निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
<math display="block">(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}</math>
और
<math display="block">(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.</math>
वैकल्पिक रूप से,
<math display="block">\prod_{k=n}^\infty (1-aq^k)=(aq^n;q)_\infty = \frac{(a;q)_\infty} {(a;q)_n}, </math>
जो विभाजन कार्यों के कुछ जनरेटिंग कार्यों के लिए उपयोगी होता है।

क्यू-पोछाम्मेर चिह्न कई क्यू-श्रृंखला पहचानों का विषय है, विशेष रूप से अनंत श्रृंखला विस्तार
<math display="block">(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n</math>
और
<math display="block">\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},</math>
जो दोनों क्यू-बाइनोमियल सिद्धांत के विशेष स्थितिया हैं
<math display="block">\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.</math>
[[फ्रेडरिक कारपेलेविच]] ने निम्नलिखित पहचान का पता लगाया (प्रमाण के लिए {{harvs|txt|last1=ओलशनत्स्की|last2=रोगोव|year=1995}} देखें ):
<math display="block">\frac{(q;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^n)}, \ |z|<1.</math>


== मिश्रित व्याख्या ==

क्यू-पोछाम्मेर चिह्न विभाजनों के ज्ञातिकरणीय संख्यात्मक संगणना से गहराता संबंध रखता है।  
<math display="block">(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}</math>
<math>q^m a^n</math> के समकोण में अध्यक्षता के  के माध्यम से, यह m के बहुत से अंशों में विभाजनों की संख्या है? चूँकि विभाजनों के संयुक्तिकरण  के माध्यम से, यह m के n से अधिक नहीं होने वाले अंशों में विभाजनों की संख्या के समान होता है, जेनरेटिंग सीरीज की पहचान के  के माध्यम से हम इस तोते को प्राप्त करते हैं
<math display="block">(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k
                         = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}</math>
जैसा कि उपरोक्त खंड में है।

हमारे पास वह गुणांक भी है <math>q^m a^n</math> में
<math display="block">(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)</math>
यह m के n या n-1 अलग-अलग अंशों में विभाजनों की संख्या है।

इस प्रकार के एक विभाजन से n − 1 अंशों के साथ एक त्रिकोणीय विभाजन को हटाकर, हम अधिकांश n अंशों वाले एक अनिश्चित विभाजन के साथ छोड़ दिया जाता है। यह n या n − 1 अलग-अलग भागो में विभाजन के सेट और n − 1 अंशों वाले त्रिकोणीय विभाजन वाले जोड़े के सेट और अधिकांश n अंशों वाले विभाजन के बीच एक वजन-संरक्षण आक्षेप देता है। जनरेटिंग सीरीज़ की पहचान करके, यह पहचान की ओर ले जाता है
<math display="block">(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)
                     = \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k
                     = \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k</math>
उपरोक्त खंड में भी वर्णित है।फलन का व्युत्क्रम <math>(q)_{\infty} := (q; q)_{\infty}</math> उसी प्रकारसे, [[विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत)|विभाजन फ़ंक्शन(संख्या सिद्धांत)]] <math>p(n)</math> के लिए जनरेटिंग कार्य के रूप में उत्पन्न होता है, , जिसे नीचे दिए गए दूसरे दो क्यू-श्रृंखला विस्तारों  के माध्यम से भी विस्तारित किया गया है:<ref>{{cite web|last1=Berndt|first1=B. C.|title=What is a q-series?|url=http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/q.pdf}}</ref>
<math display="block">\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{n \geq 0} p(n) q^n = \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q; q)_n} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n^2}}{(q; q)_n^2}. </math>
क्यू-बाइनोमियल उद्धरण खुद एक थोड़ी और विस्तृत संख्यात्मक तर्क के  के माध्यम से उठाया जा सकता है जो एक इसी प्रकार का स्वाद रखता है (अगले उपखण्ड में दिए गए विस्तारों को देखें)।

इसी तरह,<math display="block">(q; q)_{\infty} = 1 - \sum_{n \geq 0} q^{n+1}(q; q)_n = \sum_{n \geq 0} q^{\frac{n(n+1)}{2}}\frac{(-1)^n}{(q; q)_n}.</math>


== एकाधिक तर्क सम्मेलन ==

चूंकि क्यू-पोचहैमर चिह्नों से संबंधित उद्धरण अक्सर कई प्रतीकों के उत्पादों को सम्मलित  करते हैं, इसलिए मानक अनुशासन एक उपकरण के रूप में एक उत्पाद को कई तर्कों का एक एकल प्रतीक लिखना है::
<math display="block">(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n.</math>


== क्यू-श्रृंखला ==

क्यू-श्रृंखला एक [[श्रृंखला (गणित)]] है जिसमें गुणांक एक क्यू के फ़ंक्शन होते हैं, फ़ंक्शन  <math>(a; q)_{n}</math>.<ref>Bruce C. Berndt, [http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/q.pdf What is a ''q''-series?], in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51</ref> इसके पहले परिणाम [[यूलर]], [[गॉस]] और [[कॉची]] के लिए हैं। संगठित अध्ययन [[एडवर्ड हेन]] (1843) के साथ प्रारंभ  होता है।<ref>{{cite web|last1=Heine|first1=E.|title=Untersuchungen über die Reihe|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0034?tify=%7B%22view%22%3A%22info%22%2C%22pages%22%3A%5B299%5D%7D}} J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328</ref>


== अन्य क्यू-फ़ंक्शंस से संबंध ==

n का क्यू-एनालॉग, जिसे n का 'क्यू-ब्रैकेट' या 'क्यू-संख्या' भी कहा जाता है, को परिभाषित किया गया है
<math display="block">[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.</math>
इससे [[ कारख़ाने का ]] के क्यू-एनालॉग को 'क्यू-फैक्टोरियल' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
<math display="block"> [n]!_q = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q . </math>
इसे कई समकक्ष तरीकों से फिर से लिखा जा सकता है, जिसमें सम्मलित  हैं <math>\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math>, <math>1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1})</math>, और <math>\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>ये संख्याएँ इस अर्थ में अनुरूप हैं जिसका अर्थ है कि
<math display="block">\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q = n,</math>
और इसलिए भी
 <math display="block">\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n!.</math>
सीमा मूल्य n! n-तत्व सेट S के क्रम [[परिवर्तन]] की गिनता है। समान रूप से, इसके समकक्ष रूप से, यह n-अंश वाले समन्वित सेट के नेस्टेड सेटों की शृंखलाओं की संख्या को गिनता है <math>E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n = S</math> जो इस प्रकार हो कि <math>E_i</math> में बिल्कुल i तत्व हों।<ref name="EC1">{{citation | last = Stanley | first = Richard P. | authorlink = Richard P. Stanley | title = Enumerative Combinatorics | volume = 1 | edition = 2 | publisher = Cambridge University Press | year = 2011}}, Section 1.10.2.</ref> समानता करने पर, जब क्यू एक प्राइम पावर हो और V क्यू तत्वों वाले फ़ील्ड पर एक n-विमानित वेक्टर अंतरिक्ष हो, तो क्यू-अनुशंष <math>V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n = V</math> में पूर्ण झंडों की संख्या है, अर्थात यह उप-स्थान की शृंखला है <math>V_i</math> का आयाम i होता है।<ref name = "EC1" /> पिछली विचारों से यह सुझाव देते हैं कि कोई एक तत्व वाली फ़ील्ड के उपर एक नेस्टेड सेट की शृंखला को एक झंडे के रूप में देखा जा सकता है।

ऋणात्मक पूर्णांक क्यू-कोष्ठकों के गुणनफल को क्यू-फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block">\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]!_q}{q^{n(n+1)/2}}</math>
क्यू-फैक्टोरियल्स से, कोई क्यू-बिनोमियल गुणांक परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसे गौसियन द्विपद गुणांक के रूप में भी जाना जाता है, जैसा कि
<math display="block">
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q}, 
</math>
जहाँ इसे समझना बहुत आसान होता है कि इन कोईफिशिएं का त्रिकोण सममित होता है, अर्थात इस अर्थ में कि

<math>\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q</math> सभी के लिए <math>0 \leq m \leq n</math>.

इससे हम देख सकते हैं कि
<math display="block">
\begin{align}
\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
 & =
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q \\ 
 & = 
\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.
\end{align}
</math>
पिछले रिकरेंट रिश्तों से हम देख सकते हैं कि <math>q</math> बाइनोमियल थियोरी के अगले रूप भी इन कोईफिशिएं के आधार पर विस्तारित किए जाते हैं जैसे निम्नलिखित होते हैं।:<ref>{{cite book|last1=Olver |display-authors=et al.|title=गणितीय कार्यों की एनआईएसटी हैंडबुक|date=2010|section=Section 17.2|page=421|url=http://dlmf.nist.gov/}}</ref>
<math display="block">
\begin{align} 
(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\ 
(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\ 
(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\ 
\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n. 
\end{align}
</math>
इन्हें और आगे बढ़ाकर क्यू-बहुपद गुणांकों की परिभाषा भी की जा सकती है।
<math display="block">
\begin{bmatrix}
n\\
k_1, \ldots ,k_m
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q}, 
</math>
यहाँ तर्क  <math>k_1, \ldots, k_m</math> गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जो संतुष्ट करते हैं <math>
\sum_{i=1}^m k_i = n 
</math>. उपरोक्त गुणांक झंडे की संख्या की गणना करता है
<math>
V_1 \subset  \dots \subset V_m
</math> क्यू तत्वों के साथ क्षेत्र पर एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में उप-स्थानों की संख्या <math>
\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j
</math>.

सीमा <math>q\to 1</math> सामान्य बहुराष्ट्रीय गुणांक देता है <math>{n\choose k_1,\dots ,k_m}</math>, जो शब्दों को अलग-अलग चिह्नों में गिनता है <math>\{s_1,\dots,s_m\}</math> ऐसा है कि प्रत्येक <math>s_i</math> दिखाई पड़ना <math>k_i</math> बार।

एक व्यक्ति गामा फलन का क्यू-एनालॉग भी प्राप्त करता है, जिसे 'क्यू-गामा फलन' कहा जाता है, और इसे इस रूप में परिभाषित किया जाता है
<math display="block">\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}</math>
यह सामान्य गामा कार्य में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि क्यू यूनिट डिस्क के अंदर से 1 तक पहुंचता है। ध्यान दें कि
<math display="block">\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)</math>
किसी भी एक्स और के लिए
<math display="block">\Gamma_q(n+1)=[n]!_q</math>
यह गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए होता है। या फिर, इसे वास्तविक संख्या प्रणाली के लिए q-फैक्टरियल फ़ंक्शन का विस्तार माना जा सकता है।

== यह भी देखें ==

* बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला
* [[अण्डाकार गामा समारोह]]
* [[थीटा समारोह]]
* [[लैम्बर्ट श्रृंखला]]
* पंचकोणीय संख्या प्रमेय
* क्यू-व्युत्पन्न|क्यू-व्युत्पन्न
* क्यू-थीटा कार्य | क्यू-थीटा कार्य
* क्यू-वंडरमोंडे की पहचान|क्यू-वंडरमोंडे की पहचान
* रोजर्स-रामानुजन पहचान
* रोजर्स-रामानुजन ने अंश जारी रखा

==संदर्भ==
{{Reflist}}
* George Gasper and [[Mizan Rahman]], ''Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition'', (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, '''96''', Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-83357-4}}.
* Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, ''[http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/askey/ The Askey scheme of orthogonal polynomials and its क्यू-analogues]'', section 0.2.
* Exton, H. (1983), ''क्यू-Hypergeometric Functions and Applications'', New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, {{ISBN|0853124914}},  {{ISBN|0470274530}}, {{ISBN|978-0470274538}}
*M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified क्यू-Bessel Functions and the क्यू-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:क्यू-alg/9509013.


==बाहरी संबंध==
* {{MathWorld|urlname=q-Analog|title=''q''-Analog}}
* {{MathWorld|urlname=q-Bracket|title=''q''-Bracket}}
* {{MathWorld|urlname=q-Factorial|title=''q''-Factorial}}
* {{MathWorld|urlname=q-Factorial|title=''q''-Series}}
* {{MathWorld|urlname=q-BinomialCoefficient|title=''q''-Binomial Coefficient}}

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