View source for क्लेन ज्यामिति

{{Short description|Type of geometry}}
गणित में, क्लेन [[ज्यामिति]] [[फेलिक्स क्लेन]] द्वारा अपने प्रभावशाली [[एर्लांगेन कार्यक्रम|एर्लांगेन फलन]] के रूप में प्रेरित ज्यामिति का प्रकार है और विशेष रूप से यह एक [[सजातीय स्थान|सजातीय क्षेत्र]] 'X' के रूप में होती है, जो [[झूठ समूह|ली समूह]]'' G'' द्वारा'' X'' पर [[सकर्मक क्रिया]] के रूप में कार्य करता है और जो ज्यामिति के [[समरूपता समूह]] के रूप में कार्य करता है।

गणितीय पृष्ठभूमि और अभिप्रेरण के लिए एर्लांगेन फलन को चित्र द्वारा दर्शाया गया है।

== औपचारिक परिभाषा ==
क्लेन ज्यामिति एक जोड़ी {{nowrap|(''G'', ''H'')}} के रूप में है, जहां G एक लाइ समूह है और H G का एक [[बंद सेट|संवृत समुच्चय]] ली उपसमूह है जैसे कि (बाएं) [[कोसेट स्पेस|कोसेट क्षेत्र]] G/H से[[ जुड़ा हुआ स्थान | जुड़ा हुआ स्थान]] है और इस प्रकार समूह G को ज्यामिति का मुख्य समूह' कहा जाता है और G/H को ज्यामिति का क्षेत्र या शब्दावली के दुरुपयोग के द्वारा क्लेन ज्यामिति कहा जाता है

और इस प्रकार क्लेन ज्यामिति का क्षेत्र X = G/H का आयाम एक [[स्मूथ मैनिफोल्ड]] के रूप में होता है 
: dim ''X'' = dim ''G'' − dim ''H''.

X द्वारा दिए गए G पर की एक प्राकृतिक चिकनी समूह क्रिया के रूप में होती है, जो इसके द्वारा दी गई है
:<math>g \cdot (aH) = (ga)H.</math>
स्पष्ट रूप से यह क्रिया सकर्मक रूप में होती है ({{nowrap|1=''a'' = 1}}) जिसे कि X को G की क्रिया के लिए एक सजातीय समष्टि के रूप में मान सकते है और इस प्रकार इकाई कोसेट {{nowrap|''H'' ∈ ''X''}} के [[स्टेबलाइजर]] H समूह सिद्धांत के रूप में होते है।

किसी भी संबद्ध स्मूथ मैनिफोल्ड X और एक ली समूह G द्वारा X पर एक स्मूथ सकर्मक क्रिया को देखते है और इस प्रकार हम एक संबद्ध क्लेन ज्यामिति का निर्माण कर सकते हैं {{nowrap|(''G'', ''H'')}} आधार बिंदु x<sub>0</sub> पर स्थिर करके X में और H को x<sub>0</sub> का स्टेबलाइजर उपसमूह के रूप में G होते है। जो समूह H के आवश्यक रूप से G और एक्स का एक संवृत उपसमूह होता है, जो ''G''/''H'' के लिए स्वाभाविक रूप से भिन्न रूप में होता है।

दो क्लेन ज्यामिति {{nowrap|(''G''<sub>1</sub>, ''H''<sub>1</sub>)}} और {{nowrap|(''G''<sub>2</sub>, ''H''<sub>2</sub>)}} ज्यामितीय रूप से आइसोमॉर्फिक होता है। यदि कोई [[लाई समूह|ली समूह]] {{nowrap|''φ'' : ''G''<sub>1</sub> → ''G''<sub>2</sub>}} आइसोमोर्फिज्म है, तो {{nowrap|1=''φ''(''H''<sub>1</sub>) = ''H''<sub>2</sub>}}. विशेष रूप से यदि φ एक तत्व द्वारा [[संयुग्मन वर्ग]] है और इस प्रकार {{nowrap|''g'' ∈ ''G''}}, हमने देखा कि {{nowrap|(''G'', ''H'')}} और {{nowrap|(''G'', ''gHg''<sup>−1</sup>)}} आइसोमॉर्फिक हैं। एक सजातीय स्थान X से जुड़ी क्लेन ज्यामिति तब समरूपता तक अद्वितीय होती है अर्थात यह चुने गए आधार बिंदु x<sub>0</sub> से स्वतंत्र रूप में है।

== बंडल विवरण ==
ली समूह G और संवृत उपसमूह H को देखते हुए सही गुणन द्वारा दिए गए G पर H की प्राकृतिक समूह क्रिया होती है। यह क्रिया स्वतंत्र और उचित दोनों प्रकार की क्रिया है और इस प्रकार [[कक्षा (समूह सिद्धांत)|समूह सिद्धांत कक्षा]] G में H के बाएं सहसमुच्चय के रूप में होता है। कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि G में बाएँ कोसेट स्थान G/H पर एक चिकने सिद्धांत H बंडल की संरचना है।

:<math>H\to G\to G/H .</math>

== क्लेन ज्यामिति के प्रकार ==

=== प्रभावी ज्यामिति ===
G की क्रिया {{nowrap|1=''X'' = ''G''/''H''}} के रूप में प्रभावी होने के लिए आवश्यक नहीं है। क्लेन ज्यामिति के कर्नेल को ''X'' पर ''G'' की क्रिया के कर्नेल के रूप में परिभाषित करके इस प्रकार दिखाया गया'है 
:<math>K = \{k \in G : g^{-1}kg \in H\;\;\forall g \in G\}.</math>
कर्नेल K को G में H के कोर समूह के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है अर्थात H का सबसे बड़ा उपसमूह जो G में [[सामान्य उपसमूह]] के रूप में होता है। यह G के सभी सामान्य उपसमूहों द्वारा उत्पन्न समूह है जो H में स्थित होता है।

क्लेन ज्यामिति को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि {{nowrap|1=''K'' = 1}} और स्थानीय रूप से प्रभावी होता है, यदि ''K'' [[असतत समूह]] के रूप में होते है। यदि{{nowrap|(''G'', ''H'')}} तब कर्नेल K के साथ एक क्लेन ज्यामिति है, तब {{nowrap|(''G''/''K'', ''H''/''K'')}} एक प्रभावी क्लेन ज्यामिति है जो प्रामाणिक रूप{{nowrap|(''G'', ''H'')}} से संबद्ध है।

=== ज्यामितीय रूप से उन्मुख ज्यामिति ===
क्लेन ज्यामिति {{nowrap|(''G'', ''H'')}} ज्यामितीय रूप से उन्मुख होती है, यदि ''G'' संबद्ध क्षेत्र के रूप में है। इसका अर्थ ''नहीं'' है कि ''G''/''H'' एक [[उन्मुखता]] के रूप में है। यदि ''H'' इससे जुड़ा हुआ है तो इसका अर्थ है कि ''G'' भी जुड़ा हुआ है ऐसा इसलिए है क्योंकि ''G''/''H'' जुड़ा हुआ माना जाता है और {{nowrap|''G'' → ''G''/''H''}} एक [[कंपन]] है।

किसी भी क्लेन ज्यामिति को देखते हुए {{nowrap|(''G'', ''H'')}}, एक ज्यामितीय रूप से उन्मुख ज्यामिति के रूप में है। जो प्रामाणिक रूप से जुड़ी हुई है {{nowrap|(''G'', ''H'')}} समान आधार समष्टि G/H के साथ है। यह {{nowrap|(''G''<sub>0</sub>, ''G''<sub>0</sub> ∩ ''H'')}} ज्यामिति है, जहां G<sub>0</sub> , G का तत्समक घटक है। ध्यान दें कि {{nowrap|1=''G'' = ''G''<sub>0</sub> ''H''}}.के रूप में होता है

=== रिडक्टिव ज्यामिति ===
क्लेन ज्यामिति {{nowrap|(''G'', ''H'')}} को रिडक्टिव और ''G''/''H'' को रिडक्टिव सजातीय क्षेत्र कहा जाता है यदि [[झूठ बीजगणित|ली बीजगणित]] <math>\mathfrak h</math> के H में अपरिवर्तनीय पूरक <math>\mathfrak g</math>.है।

== उदाहरण ==
निम्न तालिका में मौलिक ज्यामिति का वर्णन होता है, जिसे क्लेन ज्यामिति के रूप में प्रतिरूपित किया गया है।

{| class="wikitable" border="1"; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em;"
|-
| 
| '''अंतर्निहित स्थान'''
| '''परिवर्तन समूह ''G'''''
| '''उपसमूह ''H'''''
|  '''निश्चर'''
|-
! ''[[Projective geometry|प्रक्षेपी ज्यामिति]]''
| [[Real projective space|वास्तविक प्रक्षेपीय क्षेत्र]] <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n</math> || [[Projective group|प्रक्षेपीय]] [[Lorentz group|समूह]] <math>\mathrm{PGL}(n+1)</math>|| एक उपसमूह <math>P</math> [[फ्लैग]]<math>\{0\}\subset V_1\subset V_n</math> के रूप में फिक्स है || [[Projective line|प्रक्षेपीय]] [[रेखाएँ]], क्रॉस-अनुपात 
|-
! ''गोले पर अनुरूप ज्यामिति''
| [[Sphere|गोला]] <math>S^n</math> || [[Lorentz group|लोरेंत्ज़ समूह]] <math>(n+2)</math>-विमीय क्षेत्र <math>\mathrm{O}(n+1,1)</math> के रूप में होते है || 𝑃 मिन्कोव्स्की मीट्रिक के [[रिक्त कोन]] में [[रेखाएँ]] फिक्स करता है || सामान्यीकृत वृत्त के कोण
|-
!  ''[[Hyperbolic geometry|अतिपरवलीय]] ज्यामिति''
| [[Hyperbolic space|अतिपरवलयिक क्षेत्र]] <math>H(n)</math>, modelled e.g. as time-like lines in the [[Minkowski space|मिंकोवस्की क्षेत्र]] <math>\R^{1,n}</math> || ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ समूह<math>\mathrm{O}(1,n)/\mathrm{O}(1)</math> || <math>\mathrm{O}(1)\times \mathrm{O}(n)</math> || रेखाएँ वृत्त, दूरियाँ, कोण
|-
! ''[[Elliptic geometry|दीर्घवृत्तीय ज्यामिति]]''
| Elliptic space, modelled e.g. as the lines through the origin in ''[[Euclidean space|यूक्लिडियन]]'' [[Euclidean space|क्षेत्र]] <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>|| <math>\mathrm{O}(n+1)/\mathrm{O}(1)</math> || <math>\mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(1)</math> || रेखाएँ वृत्त, दूरियाँ, कोण
|-
! ''[[Spherical geometry|गोलाकार ज्यामिति]]''
| [[Sphere|गोला]] <math>S^n</math> || आयतीय समूह <math>\mathrm{O}(n+1)</math> के रूप में होते है || ऑर्थोगोनल समूह <math>\mathrm{O}(n)</math> || रेखाएँ (बड़े वृत्त) बिंदुओं, कोणों की दूरियों को घेरती हैं
|-
! ''[[Affine geometry|एफ्फिन]][[Spherical geometry|ज्यामिति]]''
| ''[[Affine space|एफ्फिन]]'' [[Affine space|क्षेत्र]] <math>A(n)\simeq\R^n</math>|| ''[[Affine group|एफ्फिन]]'' [[Affine group|समूह]] <math>\mathrm{Aff}(n)\simeq \R^n \rtimes \mathrm{GL}(n)</math>|| [[General linear group|सामान्य रैखिक समूह]] <math>\mathrm{GL}(n)</math> || [[त्रिभुजों]] के द्रव्यमान के ज्यामितीय आकृतियों के [[केंद्र]] के सतह क्षेत्रों का भागफल रेखाएँ
|-
! ''[[Euclidean geometry|यूक्लिडियन]] [[Spherical geometry|ज्यामिति]]''
|  ''[[Euclidean space|यूक्लिडियन]]'' [[Euclidean space|क्षेत्र]] <math>E(n)</math>|| ''[[Euclidean group|यूक्लिडियन]]'' [[General linear group|समूह]] <math>\mathrm{Euc}(n)\simeq \R^n \rtimes \mathrm{O}(n)</math>|| [[Orthogonal group|ऑर्थोगोनल समूह]] <math>\mathrm{O}(n)</math> || [[सदिश]] क्षेत्रों के [[बिंदु कोणों]] की दूरियाँ
|-
|}


==संदर्भ==
*{{cite book | author=R. W. Sharpe | title=Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher=Springer-Verlag | year=1997 | isbn=0-387-94732-9}}

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