View source for क्वांटम अवस्थाओं तद्रूपता

{{short description|Term in quantum mechanics}}
[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, विशेष रूप से [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] में, '''तद्रूपता'''(फिडेलिटी) दो क्वांटम अवस्थाओं की "निकटता" की एक माप है। यह संभावना व्यक्त करता है कि एक अवस्था दूसरे के रूप में पहचाने जाने के लिए एक परीक्षण उत्तीर्ण करेगा। तद्रूपता [[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)|घनत्व मैट्रिक्स]] के स्थान पर एक [[मीट्रिक (गणित)|मीट्रिक]] नहीं है, लेकिन इसका उपयोग इस स्थान पर ब्यूर्स मीट्रिक को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

दो [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व ऑपरेटरों]] <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> को देखते हुए, तद्रूपता को प्रायः मात्रा <math>F(\rho, \sigma) = \left(\operatorname{tr} \sqrt{\sqrt\rho \sigma\sqrt\rho}\right)^2</math>के रूप में परिभाषित किया जाता है। विशेष स्थिति में जहां <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> [[जितना राज्य|शुद्ध क्वांटम]] अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्थात्, <math>\rho=|\psi_\rho\rangle\!\langle\psi_\rho|</math> और <math>\sigma=|\psi_\sigma\rangle\!\langle\psi_\sigma|</math>, परिभाषा अवस्थाओं के बीच वर्ग ओवरलैप को कम करती है: <math>F(\rho, \sigma)=|\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|^2</math>। यदि दोनों में से कम से कम एक अवस्था शुद्ध है तो यह कम हो जाती है:(            ), जहां <math>\sigma</math> शुद्ध अवस्था है। जबकि सामान्य परिभाषा से यह स्पष्ट नहीं है, तद्रूपता सममित है: <math>F(\rho,\sigma)=F(\sigma,\rho)</math>।

== प्रेरणा ==

दो यादृच्छिक चर <math>X,Y</math> को मान <math>(1, ..., n)</math> (श्रेणीबद्ध यादृच्छिक चर) और संभावनाओं <math>p = (p_1,p_2,\ldots,p_n)</math> और <math>q = (q_1,q_2,\ldots,q_n)</math> के साथ देखते हुए, <math>X</math> और <math>Y</math> की तद्रूपता को मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है 

:<math>F(X,Y) = \left(\sum _i \sqrt{p_i q_i}\right)^2</math>.

तद्रूपता यादृच्छिक चर के [[सीमांत वितरण]] से संबंधित है। यह उन चरों के [[संयुक्त वितरण]] के बारे में कुछ नहीं कहता है। दूसरे शब्दों में, तद्रूपता <math>F(X,Y)</math> यूक्लिडियन समष्टि में वैक्टर के रूप में देखे गए <math>(\sqrt{p_1}, \ldots ,\sqrt{p_n})</math> और <math>(\sqrt{q_1}, \ldots ,\sqrt{q_n})</math> के आंतरिक उत्पाद का वर्ग है। ध्यान दें कि <math>F(X,Y) = 1</math> यदि और केवल यदि  <math>p = q</math> है। सामान्य रूप में, <math>0 \leq F(X,Y) \leq 1</math> है। [[माप (गणित)|माप]] <math>\sum _i \sqrt{p_i q_i}</math> [[भट्टाचार्य गुणांक]] के रूप में जाना जाता है।

दो संभाव्यता वितरणों की भिन्नता के [[शास्त्रीय भौतिकी|चिरप्रतिष्ठित]] माप को देखते हुए, कोई दो क्वांटम अवस्थाओं की भिन्नता के माप को निम्नानुसार प्रेरित कर सकता है। यदि कोई प्रयोगकर्ता यह निर्धारित करने का प्रयास कर रहा है कि क्या क्वांटम अवस्था दो संभावनाओं <math>\rho</math> या <math>\sigma</math> में से एक है, तो वे अवस्था पर वे जो सबसे सामान्य संभावित माप कर सकते हैं वह एक [[ POVM |पीओवीएम]] है, जिसे [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन]] [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक अर्धनिश्चित]] [[ऑपरेटर (गणित)|ऑपरेटरों]] <math>\{F_i\} </math> के एक समुच्चय द्वारा वर्णित किया गया है। यदि प्रयोगकर्ता को दी गई स्थिति <math>\rho</math> है, वे परिणाम <math>i</math> को संभाव्यता <math>p_i = \operatorname{tr}( \rho F_i )</math> के साथ देखेंगे, और इसी तरह <math>\sigma</math> के लिए संभाव्यता के साथ <math>q_i = \operatorname{tr}( \sigma F_i )</math> के साथ देखेंगे।  क्वांटम अवस्थाओं  <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> के बीच अंतर करने की उनकी क्षमता चिरप्रतिष्ठित संभाव्यता वितरण  <math>p</math> और <math>q</math> के बीच अंतर करने की उनकी क्षमता के बराबर है। स्वाभाविक रूप से, प्रयोगकर्ता सबसे अच्छा पीओवीएम चुनेंगे जो वे पा सकते हैं, इसलिए यह सभी संभावित पीओवीएम<math>\{F_i\} </math> पर चरम होने पर वर्ग भट्टाचार्य गुणांक के रूप में क्वांटम तद्रूपता को परिभाषित करने के लिए प्रेरित करता है:

:<math>F(\rho,\sigma) = \min_{\{F_i\}} F(X,Y) = \min_{\{F_i\}} \left(\sum _i \sqrt{\operatorname{tr}( \rho F_i ) \operatorname{tr}( \sigma F_i )}\right)^{2}.</math>
फुच्स और केव्स द्वारा यह दिखाया गया कि यह स्पष्ट रूप से सममित परिभाषा अगले भाग में दिए गए सरल असममित सूत्र के बराबर है।<ref>C. A. Fuchs, C. M. Caves: [http://prl.aps.org/abstract/PRL/v73/i23/p3047_1 "Ensemble-Dependent Bounds for Accessible Information in Quantum Mechanics"], ''[[Physical Review Letters]]'' 73, 3047(1994)</ref>


== परिभाषा ==

दो घनत्व मैट्रिक्स ρ और σ दिए जाने पर, '''तद्रूपता''' को परिभाषित किया गया है<ref name=JozsaJMO1994>R. Jozsa, ''Fidelity for Mixed Quantum States'', [[Journal of Modern Optics|J. Mod. Opt.]] '''41''', 2315--2323 (1994).  DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171</ref>
:<math>F(\rho, \sigma) = \left(\operatorname{tr} \sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\right)^2,</math>
जहां, एक धनात्मक अर्धनिश्चित मैट्रिक्स <math>M</math> के लिए, <math>\sqrt{M}</math> इसके अद्वितीय [[मैट्रिक्स वर्गमूल|धनात्मक वर्गमूल]] को दर्शाता है, जैसा कि [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] द्वारा दिया गया है। चिरप्रतिष्ठित परिभाषा से यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद को हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

क्वांटम अवस्था तद्रूपता के कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:

* '''समरूपता'''. <math>F(\rho,\sigma)=F(\sigma,\rho)</math>.
* '''परिबद्ध मान'''. किसी भी <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> के लिए <math>0\le F(\rho,\sigma) \le 1</math>, और <math>F(\rho,\rho)=1</math> है।
* '''संभाव्यता वितरणों के बीच तद्रूपता के साथ संगति.''' यदि <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> [[कम्यूटेटर|अंतर्वतन]] करते हैं,, तो परिभाषा सरल हो जाती है<math display="block">F(\rho,\sigma) =
\left[\operatorname{tr}\sqrt{\rho\sigma}\right]^2 =
\left(\sum_k \sqrt{p_k q_k} \right)^2 =
F(\boldsymbol p, \boldsymbol q),</math>जहां <math>p_k, q_k</math> के क्रमशः  <math>\rho,\sigma</math> के अभिलक्षणिक मान हैं। इसे देखने के लिए याद रखें कि यदि <math>[\rho,\sigma]=0</math> तो उन्हें उसी आधार पर विकर्णीय किया जा सकता है: <math display="block"> \rho = \sum_i p_i | i \rangle \langle i |
\text{ and }
\sigma = \sum_i q_i | i \rangle \langle i |,</math>इसलिए <math> \operatorname{tr}\sqrt{\rho\sigma} =
\operatorname{tr}\left(\sum_k \sqrt{p_k q_k} |k\rangle\!\langle k|\right) =
\sum_k \sqrt{p_k q_k}.</math>
* '''शुद्ध अवस्थाओं के लिए सरलीकृत अभिव्यक्तियाँ.''' यदि <math>\rho</math> [[शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)|शुद्ध]] है, <math>\rho=|\psi_\rho\rangle\!\langle\psi_\rho|</math>, तब <math>F(\rho,\sigma) = \langle\psi_\rho|\sigma|\psi_\rho\rangle</math> है। यह  <math display="block">
F(\rho, \sigma) = \left(\operatorname{tr} \sqrt{ | \psi_\rho \rangle \langle \psi_\rho |  \sigma | \psi_\rho \rangle \langle \psi_\rho |} \right)^2
= \langle \psi_\rho | \sigma | \psi_\rho \rangle \left(\operatorname{tr} \sqrt{ | \psi_\rho \rangle \langle \psi_\rho |} \right)^2
= \langle \psi_\rho | \sigma | \psi_\rho \rangle
</math>से अनुसरण करता है।
*यदि दोनों <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> शुद्ध हैं, तो <math>\rho=|\psi_\rho\rangle\!\langle\psi_\rho|</math> और <math>\sigma=|\psi_\sigma\rangle\!\langle\psi_\sigma|</math>तब <math>F(\rho, \sigma) = |\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|^2</math> है। यह <math>\rho</math> उपरोक्त अभिव्यक्ति का तुरंत अनुसरण करता है।

*'''समतुल्य अभिव्यक्ति.'''
<div डिस्प्ले= ब्लॉक >
[[मैट्रिक्स मानदंड|ट्रेस मानदंड]] का उपयोग करके तद्रूपता के लिए एक समकक्ष अभिव्यक्ति लिखी जा सकती है

:<math>F(\rho, \sigma)= \lVert \sqrt{\rho}  \sqrt{\sigma} \rVert_\operatorname{tr}^2 = \Big(\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|\Big)^2,</math>
जहां एक ऑपरेटर का निरपेक्ष मान यहां <math>|A|\equiv \sqrt{A^\dagger A}</math>  के रूप में परिभाषित किया गया है।
</div>

* '''क्यूबिटस् के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति.'''
<div डिस्प्ले= ब्लॉक >
यदि <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> दोनों [[qubit|क्यूबिट]] अवस्थाएँ हैं, तो तद्रूपता की गणना इस प्रकार की जा सकती है<ref name=JozsaJMO1994></ref><ref name=HubnerPLA1992>M. Hübner, ''Explicit Computation of the Bures Distance for Density Matrices'', [[Physics Letters|Phys. Lett. A]] '''163''', 239--242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B</ref>
:<math>F(\rho, \sigma) = \operatorname{tr}(\rho\sigma)+2\sqrt{\det(\rho)\det(\sigma)}.</math>
क्यूबिट अवस्था का अर्थ है कि <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> द्वि-आयामी मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है। यह परिणाम इस बात पर ध्यान देता है कि <math>M=\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}</math>  एक धनात्मक अर्धनिश्चित ऑपरेटर है, इसलिए <math>\operatorname{tr}\sqrt{M}=\sqrt{\lambda_1}+\sqrt{\lambda_2}</math>, जहां <math>\lambda_1</math> और <math>\lambda_2</math>, <math>M</math> के (गैरनकारात्मक) अभिलक्षणिक मान हैं। यदि <math>\rho</math> (या <math>\sigma</math>) शुद्ध है, इस परिणाम को <math>F(\rho,\sigma) = \operatorname{tr}(\rho\sigma)</math> तक सरलीकृत किया जाता है क्योंकि शुद्ध अवस्था के लिए <math>\mathrm{Det}(\rho) = 0</math> होता है।

</div>

=== वैकल्पिक परिभाषा ===
कुछ लेखक वैकल्पिक परिभाषा <math>F':=\sqrt{F}</math> का उपयोग करते हैं और इस मात्रा को तद्रूपता कहते हैं।<ref name="Nielsen Chuang">{{cite book|title=क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना|first1=Michael A.|last1=Nielsen|first2=Isaac L.|last2=Chuang|year=2000|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521635035|url=http://www.michaelnielsen.org/qcqi/|doi=10.1017/CBO9780511976667}}</ref> हालाँकि <math>F</math> की परिभाषा अधिक सामान्य है।<ref>{{cite book | last=Bengtsson | first=Ingemar | title=Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge, United Kingdom New York, NY | year=2017 | isbn=978-1-107-02625-4}}</ref><ref>{{cite book | last1=Walls | first1=D. F. | last2=Milburn | first2=G. J. | title=क्वांटम ऑप्टिक्स| publisher=Springer | location=Berlin | year=2008 | isbn=978-3-540-28573-1}}</ref><ref>{{cite book | last=Jaeger | first=Gregg | title=Quantum Information: An Overview | publisher=Springer | location=New York London | year=2007 | isbn=978-0-387-35725-6}}</ref> भ्रम की स्थिति से बचने के लिए <math>F'</math> को <nowiki>''वर्गमूल तद्रूपता''</nowiki> कहा जा सकता है। किसी भी स्थिति में यह सलाह दी जाती है कि जब भी तद्रूपता का प्रयोग किया जाए तो अपनाई गई परिभाषा को स्पष्ट किया जाए।

== अन्य गुण ==

=== एकल अपरिवर्तन ===

प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि तद्रूपता [[एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी)|एकल विकास]] द्वारा संरक्षित है, अर्थात।

:<math>\; F(\rho, \sigma) = F(U \rho \; U^*, U \sigma U^*) </math>
किसी भी एकल ऑपरेटर <math>U</math> के लिए है।

=== उहल्मन का प्रमेय ===

हमने देखा कि दो शुद्ध अवस्थाओं के लिए, उनकी तद्रूपता ओवरलैप के साथ मेल खाती है। उहल्मन का प्रमेय<ref name="Uhlmann1976">{{cite journal |last1=Uhlmann |first1=A. |title=The "transition probability" in the state space of a ∗-algebra |journal=Reports on Mathematical Physics |volume=9 |issue=2 |year=1976 |pages=273–279 |issn=0034-4877 |doi=10.1016/0034-4877(76)90060-4 |url=http://www.physik.uni-leipzig.de/~uhlmann/PDF/Uh76a.pdf|bibcode=1976RpMP....9..273U }}</ref> इस कथन को मिश्रित अवस्थाओं में उनकी शोधन के संदर्भ में सामान्यीकृत किया गया है:

'''प्रमेय''' मान लीजिए कि ρ और σ, '''C'''<sup>n</sup> पर कार्य करने वाले घनत्व आव्यूह हैं। मान लीजिए ρ<sup>{{frac|1|2}}</sup>, ρ का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल हो और

<math display="block">
| \psi _{\rho} \rangle = \sum_{i=1}^n (\rho^{{1}/{2}} | e_i \rangle) \otimes | e_i \rangle \in \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}^n 
</math>
ρ का शोधन हो (इसलिए <math>\textstyle \{|e_i\rangle\}</math> एक लंबात्मक आधार है), तो निम्नलिखित समानता स्थापित है:

:<math>F(\rho, \sigma) = \max_{|\psi_{\sigma} \rangle} | \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |^2</math>
जहां <math>| \psi _{\sigma} \rangle</math>, σ का शोधन है। इसलिए, सामान्यतः, शोधन के बीच तद्रूपता अधिकतम ओवरलैप है।

====प्रमाण का रेखाचित्र====
एक साधारण प्रमाण को इस प्रकार रेखांकित किया जा सकता है। मान लीजिए <math>\textstyle |\Omega\rangle</math> सदिश को निरूपित करता है

:<math>| \Omega \rangle= \sum_{i=1}^n | e_i \rangle \otimes | e_i \rangle </math>
और σ<sup>{{frac|1|2}}</sup>, σ का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल हो। हम देखते हैं कि, [[मैट्रिक्स गुणनखंडन|वर्गमूल गुणनखंडों]] में एकल स्वतंत्रता और [[ऑर्थोनॉर्मल आधार|लंबात्मक आधार]] चुनने के कारण, σ का एक यादृच्छिक शोधन रूप का होता है

:<math>| \psi_{\sigma} \rangle = ( \sigma^{{1}/{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle </math>
जहां ''V''<sub>i</sub> एकल ऑपरेटर हैं। अब हम सीधे आँकलन करते हैं

:<math>
| \langle \psi _{\rho}| \psi _{\sigma} \rangle |^2
= | \langle \Omega | ( \rho^{{1}/{2}} \otimes I) ( \sigma^{{1}/{2}} V_1 \otimes V_2 ) | \Omega \rangle |^2
= | \operatorname{tr} ( \rho^{{1}/{2}} \sigma^{{1}/{2}} V_1 V_2^T )|^2.
</math>
लेकिन सामान्यतः, किसी भी वर्ग मैट्रिक्स ''A'' और एकल ''U'' के लिए, यह सच है कि |tr(AU)| ≤ tr((''A''<sup>*</sup>''A'')<sup>{{frac|1|2}}</sup>) है। इसके अलावा, समानता तब प्राप्त होती है जब ''U''<sup>*</sup> ''A'' के [[ध्रुवीय अपघटन]] में एकल ऑपरेटर है। इससे सीधे उहल्मन की प्रमेय का अनुसरण होता है।

==== स्पष्ट विघटन के साथ प्रमाण ====
हम यहां उहल्मन के प्रमेय को प्रमाणित करने के लिए एक वैकल्पिक, स्पष्ट तरीका प्रदान करेंगे।

माना कि <math>|\psi_\rho\rangle</math> और <math>|\psi_\sigma\rangle</math> क्रमशः <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> का शोधन हो। आरंभ करने के लिए, आइए दिखाते हैं <math>|\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|\le\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|</math> है।

अवस्थाओं की शोधन का सामान्य रूप है:<math display="block">\begin{align}
  |\psi_\rho\rangle   &=\sum_k\sqrt{\lambda_k}|\lambda_k\rangle\otimes|u_k\rangle, \\
  |\psi_\sigma\rangle &=\sum_k\sqrt{\mu_k}|\mu_k\rangle\otimes|v_k\rangle,
\end{align}</math><math>|\lambda_k\rangle, |\mu_k\rangle</math>, <math>\rho,\ \sigma</math> के [[आइजन्वेक्टर|अभिलक्षणिकसदिश]] हैं, और <math>\{u_k\}_k, \{v_k\}_k</math> यादृच्छिक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं। शोधन के बीच ओवरलैप है<math display="block">\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle =
\sum_{jk}\sqrt{\lambda_j\mu_k} \langle\lambda_j|\mu_k\rangle\,\langle u_j|v_k\rangle =
\operatorname{tr}\left(\sqrt\rho\sqrt\sigma U\right),</math>जहां एकल मैट्रिक्स <math>U</math> परिभाषित किया गया है<math display="block">U=\left(\sum_k |\mu_k\rangle\!\langle u_k| \right)\,\left(\sum_j |v_j\rangle\!\langle \lambda_j|\right).</math>अब असमानता <math>|\operatorname{tr}(AU)|\le \operatorname{tr}(\sqrt{A^\dagger A})\equiv\operatorname{tr}|A|</math> का उपयोग करके निष्कर्ष पर पहुंचा गया है : <math display="block">|\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|=
|\operatorname{tr}(\sqrt\rho\sqrt\sigma U)| \le
\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|.</math>ध्यान दें कि यह असमानता मैट्रिक्स के एकल मानों पर लागू त्रिकोण असमानता है। सचमुच में, एक सामान्य मैट्रिक्स <math>A\equiv \sum_j s_j(A)|a_j\rangle\!\langle b_j|</math>और एकल <math>U=\sum_j |b_j\rangle\!\langle w_j|</math> के लिए  हमारे पास है<math display="block">\begin{align}
|\operatorname{tr}(AU)| &=
\left|\operatorname{tr}\left(\sum_j s_j(A)|a_j\rangle\!\langle b_j| \,\,\sum_k |b_k\rangle\!\langle w_k| \right)\right| \\ &= 
\left|\sum_j s_j(A)\langle 
w_j|a_j\rangle\right|\\ &\le
\sum_j s_j(A) \,|\langle  w_j|a_j\rangle| \\
&\le
\sum_j s_j(A) \\
&= \operatorname{tr}|A|,
\end{align}</math>


जहां <math>s_j(A)\ge 0</math>, <math>A</math>के (हमेशा वास्तविक और गैर-नकारात्मक) [[एकवचन मान|एकल मान]] हैं, जैसा कि एकल मूल्य अपघटन में होता है। असमानता संतृप्त हो जाती है और <math>\langle w_j|a_j\rangle=1</math>, यानी जब <math>U=\sum_k |b_k\rangle\!\langle a_k|,</math> और इस प्रकार <math>AU=\sqrt{AA^\dagger}\equiv |A|</math> होने पर समानता बन जाती है। उपरोक्त <math>|\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|=
\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|</math> दर्शाता है कि जब शोधन <math>|\psi_\rho\rangle</math> और <math>|\psi_\sigma\rangle</math> ऐसे <math>\sqrt\rho\sqrt\sigma U=|\sqrt\rho\sqrt\sigma|</math> होते हैं। चूँकि यह विकल्प अवस्थाओं की परवाह किए बिना संभव है, हम अंततः यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि<math display="block">\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|=\max|\langle\psi_\rho|\psi_\sigma\rangle|.</math>

==== परिणाम ====
उहलमैन के प्रमेय के कुछ तात्कालिक परिणाम हैं
* तद्रूपता अपने तर्कों में सममित है, अर्थात F (ρ,σ) = F (σ,ρ)। ध्यान दें कि यह मूल परिभाषा से स्पष्ट नहीं है।
* F (ρ,σ) कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा [0,1] में निहित है।
* F (ρ,σ) = 1 यदि और केवल यदि ρ = σ, चूँकि Ψ<sub>ρ</sub> = Ψ<sub>σ</sub> का तात्पर्य ρ = σ है।

तो हम देख सकते हैं कि तद्रूपता लगभग एक मीट्रिक की तरह व्यवहार करती है। इसे परिभाषित करके औपचारिक एवं उपयोगी बनाया जा सकता है
:<math> \cos^2 \theta_{\rho\sigma} = F(\rho,\sigma) \,</math>
अवस्थाओं  <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> के बीच के [[कोण]] के रूप में है। उपरोक्त गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि <math>\theta_{\rho\sigma}</math> गैर-नकारात्मक है, अपने इनपुट में सममित है, और शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि  <math>\rho = \sigma</math> है। इसके अलावा, यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह त्रिभुज असमानता का पालन करता है,<ref name="Nielsen Chuang" />इसलिए यह कोण अवस्था स्थान पर एक मीट्रिक है: फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है।<ref>K. Życzkowski, I. Bengtsson, ''Geometry of Quantum States'', Cambridge University Press, 2008, 131</ref>


=== संगत संभाव्यता वितरण के बीच तद्रूपता के साथ संबंध ===
मान लीजिए <math>\{E_k\}_k</math> एक यादृच्छिक धनात्मक ऑपरेटर-मूल्य माप (पीओवीएम) है; अर्थात्, धनात्मक अर्धनिश्चित ऑपरेटरों का एक समूह <math>E_k</math> संतोषजनक <math>\sum_k E_k=I</math> है। फिर, अवस्थाओं <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> के किसी भी जोड़े के लिए, हमारे पास है
<math display="block">
  \sqrt{F(\rho,\sigma)} \le \sum_k \sqrt{\operatorname{tr}(E_k\rho)}\sqrt{\operatorname{tr}(E_k\sigma)} \equiv \sum_k \sqrt{p_k q_k},
</math>
जहां अंतिम चरण में हमने पीओवीएम <math>\{E_k\}_k</math> के साथ <math>\rho,\ \sigma</math> को मापकर प्राप्त संभाव्यता वितरण को  <math>p_k \equiv \operatorname{tr}(E_k \rho)</math> और <math>q_k \equiv \operatorname{tr}(E_k \sigma)</math> से दर्शाया है।




इससे पता चलता है कि दो क्वांटम अवस्थाओं के बीच तद्रूपता का वर्गमूल किसी भी संभावित पीओवीएम में संबंधित संभाव्यता वितरण के बीच भट्टाचार्य गुणांक द्वारा ऊपरी सीमा पर है। सचमुच में, यह अधिक सामान्यतः सत्य है <math display="block">F(\rho,\sigma)=\min_{\{E_k\}} F(\boldsymbol p,\boldsymbol q),</math> जहां <math>F(\boldsymbol p, \boldsymbol q)\equiv\left(\sum_k\sqrt{p_k q_k}\right)^2</math>, और सभी संभावित पीओवीएम पर न्यूनतम लिया जाता है। अधिक विशेष रूप से, कोई यह प्रमाणित कर सकता है कि ऑपरेटर <math>\sigma^{-1/2}|\sqrt\sigma\sqrt\rho|\sigma^{-1/2}</math> के अभिलक्षणिक आधार में माप के अनुरूप प्रोजेक्टिव पीओवीएम द्वारा न्यूनतम प्राप्त किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Watrous |first=John |url=http://dx.doi.org/10.1017/9781316848142 |title=क्वांटम सूचना का सिद्धांत|date=2018-04-26 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-316-84814-2}}</ref>


====असमानता का प्रमाण ====
जैसा कि पहले दिखाया गया था, तद्रूपता का वर्गमूल <math>\sqrt{F(\rho,\sigma)}=\operatorname{tr}|\sqrt\rho\sqrt\sigma|</math> के रूप में लिखा जा सकता है, जो एकल ऑपरेटर <math>U</math> के अस्तित्व के बराबर है जैसे कि

<math display="block">\sqrt{F(\rho,\sigma)}=\operatorname{tr}(\sqrt\rho\sqrt\sigma U).</math>यह याद रखते हुए कि <math>\sum_k E_k=I</math> किसी भी पीओवीएम के लिए मान्य है, फिर हम लिख सकते हैं<math display="block">\sqrt{F(\rho,\sigma)}=\operatorname{tr}(\sqrt\rho\sqrt\sigma U)=
\sum_k\operatorname{tr}(\sqrt\rho E_k \sqrt\sigma U)=\sum_k\operatorname{tr}(\sqrt\rho \sqrt{E_k} \sqrt{E_k}\sqrt\sigma U) \le
\sum_k\sqrt{\operatorname{tr}(E_k\rho)\operatorname{tr}(E_k \sigma)},</math>जहां अंतिम चरण में हमने <math>|\operatorname{tr}(A^\dagger B)|^2\le\operatorname{tr}(A^\dagger A)\operatorname{tr}(B^\dagger B)</math> कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग किया था।

=== क्वांटम संचालन के तहत व्यवहार ===
जब गैर-चयनात्मक [[क्वांटम ऑपरेशन]] <math>\mathcal E</math> को दो अवस्थाओं पर लागू किया जाता है, तो दो अवस्थाओं के बीच निष्ठा कभी कम नहीं होती है:<ref>{{Cite journal|last=Nielsen|first=M. A.|date=1996-06-13|title=उलझाव निष्ठा और क्वांटम त्रुटि सुधार|arxiv=quant-ph/9606012|bibcode=1996quant.ph..6012N}}</ref><math display="block">F(\mathcal E(\rho),\mathcal E(\sigma)) \ge
F(\rho,\sigma),</math> किसी भी ट्रेस-संरक्षित [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र|पूरी तरह से धनात्मक मानचित्र]] <math>\mathcal E</math> के लिए है।

=== ट्रेस दूरी से संबंध ===
हम दो मैट्रिक्स ए और बी के बीच ट्रेस दूरी को ट्रेस मानदंड के संदर्भ में परिभाषित कर सकते हैं

:<math>
D(A,B) = \frac{1}{2}\| A-B\|_{\rm tr} \, .
</math>
जब ए और बी दोनों घनत्व ऑपरेटर हैं, तो यह [[सांख्यिकीय दूरी]] का एक क्वांटम सामान्यीकरण है। यह प्रासंगिक है क्योंकि ट्रेस दूरी ''फुच्स-वैन डे ग्रेफ असमानताओं'' द्वारा निर्धारित तद्रूपता पर ऊपरी और निचली सीमाएं प्रदान करती है,<ref>C. A. Fuchs and J. van de Graaf, "Cryptographic Distinguishability Measures for Quantum Mechanical States", ''IEEE Trans. Inf. Theory'' 45, 1216 (1999).  arXiv:quant-ph/9712042</ref>
:<math>
1-\sqrt{F(\rho,\sigma)} \le D(\rho,\sigma) \le\sqrt{1-F(\rho,\sigma)} \, .
</math>
प्रायः ट्रेस दूरी की गणना करना या तद्रूपता की तुलना में इसे परिबद्ध करना आसान होता है, इसलिए ये रिश्ते काफी उपयोगी होते हैं। इस स्थिति में कि कम से कम एक अवस्था [[शुद्ध अवस्था]] Ψ है, निचली सीमा को कड़ा किया जा सकता है।

:<math>
1-F(\psi,\rho) \le D(\psi,\rho) \, .
</math>


== संदर्भ ==

<references/>


* Quantiki: [https://quantiki.org/wiki/fidelity Fidelity]

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