View source for गतिशील लॉट-आकार मॉडल

{{Short description|Mathematical model in economics}}
[[इन्वेंट्री सिद्धांत]] में '''गतिशील लॉट-आकार''' मॉडल आर्थिक क्रम मात्रा मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि प्रोडक्ट की मांग समय के साथ भिन्न-भिन्न होती रहती है। इस मॉडल को 1958 में हार्वे एम वैगनर और थॉमसन एम. व्हिटिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref name="WW1958">[[Harvey M. Wagner]] and [[Thomson M. Whitin]], "Dynamic version of the economic lot size model," Management Science, Vol. 5, pp.&nbsp;89–96, 1958</ref><ref>[[Albert Wagelmans|Wagelmans, Albert]], [[Stan Van Hoesel]], and [[Antoon Kolen]]. "[http://repub.eur.nl/res/pub/2310/eur_wagelmans_22.pdf Economic lot sizing: an O (n log n) algorithm that runs in linear time in the Wagner-Whitin case]." Operations Research 40.1-Supplement - 1 (1992): S145-S156.</ref>
==प्रॉब्लम सेटअप==
हम एक प्रासंगिक समय क्षितिज t=1,2,...,N पर [[प्रोडक्ट]] की मांग {{math|<VAR >d</VAR ><SUB ><VAR >t</VAR ></sub>}} का [[पूर्वानुमान]] उपलब्ध होता है, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि अगले 52 सप्ताहों के लिए प्रत्येक सप्ताह कितने [[विजेट]] की आवश्यकता होती है। प्रत्येक ऑर्डर के लिए एक सेटअप लागत {{math|<VAR >s</VAR ><SUB ><VAR >t</VAR ></sub>}} होती है और इसमें प्रत्येक आइटम प्रति अवधि के लिए एक इन्वेंट्री होल्डिंग लागत {{math|<VAR >i</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}} होती है और इस प्रकार यदि वांछित हो तो {{math|<VAR >s</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}} और {{math|<VAR >i</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}} समय के साथ भिन्न रूप में भी हो सकती है। इस प्रकार प्रॉब्लम यह है कि सेटअप लागत और [[इन्वेंट्री]] लागत के योग को कम करने के लिए अभी कितनी यूनिट {{math|<VAR >x</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}} का ऑर्डर दिया जाता है। आइए हम इन्वेंट्री को निरूपित करते है।


<math>I=I_{0}+\sum_{j=1}^{t-1}x_{j}-\sum_{j=1}^{t-1}d_{j}\geq0</math>

न्यूनतम लागत नीति का प्रतिनिधित्व करने वाला फंक्शनल समीकरण को संदर्भित करता है।

<math>f_{t}(I)=\underset{x_{t}\geq 0 \atop I+x_{t}\geq d_{t}}{\min}\left[ i_{t-1}I+H(x_{t})s_{t}+f_{t+1}\left( I+x_{t}-d_{t} \right) \right]</math>

जहां H() [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन]] के रूप में होते है जबकि वैगनर और व्हिटिन ने,<ref name="WW1958" />निम्नलिखित चार प्रमेय इस प्रकार सिद्ध किये

* एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि I<var>x<sub>t</sub></var>=0; ∀t
* एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि ∀t: या तो {{math|<VAR >x</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}}=0 या <math>x_{t}=\textstyle \sum_{j=t}^{k} d_{j}</math> कुछ k (t≤k≤N) के रूप में होते है
* एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि यदि {{math|<VAR >d</VAR ><SUB ><VAR >t*</VAR ></sub>}} कुछ से संतुष्ट है {{math|<VAR >x</VAR ><SUB ><VAR >t**</VAR ></sub>}}, t**<t*, फिर {{math|<VAR >d</VAR ><SUB><VAR >t</VAR ></sub>}}, t=t**+1,...,t*-1, से भी संतुष्ट है {{math|<VAR >x</VAR ><SUB ><VAR >t**</VAR ></sub>}}
* यह देखते हुए कि अवधि t के लिए I = 0 है और अवधि 1 से t - 1 पर स्वयं कंसीडर करना ऑप्टिमल है

==योजना क्षितिज प्रमेय==

नियोजन क्षितिज प्रमेय के प्रमाण में पूर्ववर्ती प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।<ref name="WW1958"/> माना,

<math>F(t)= \min\left[ {\underset{1\leq j < t}{\min}\left[ s_{j}+ \sum_{h=j}^{t-1}\sum_{k=h+1}^{t}i_{h}d_{k}+F(j-1) \right] \atop s_{t}+F(t-1)} \right]</math>

1 से 1 तक की अवधि के लिए न्यूनतम लागत प्रोग्राम को निरूपित करते है। इस प्रकार यदि अवधि t* पर F(t) में न्यूनतम j = t** ≤ t* के लिए होता है, तो अवधि t > t* में केवल t** ≤ j ≤ t पर कंसीडर करना पर्याप्त होता है और इस प्रकार विशेष रूप से यदि t* = t** है तो ऐसे प्रोग्राम {{math|<VAR >x</VAR ><SUB ><VAR >t*</VAR ></sub>}} > 0.पर कंसीडर करना पर्याप्त होता है,

==[[कलन विधि]]==

वैगनर और व्हिटिन ने [[गतिशील प्रोग्रामिंग]] द्वारा ऑप्टिमल समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिदम दिया।<ref name="WW1958"/> t*=1 से प्रारंभ करते है,

# इस प्रकार अवधि t**, t** = 1, 2, ..., t* पर क्रमबद्ध रूप में {{math|<VAR >d</VAR ><SUB ><VAR >t</VAR ></sub>}} , t = t**, t** + 1, ... , t*, माँगें को पूरा करने की नीतियों पर कंसीडर करते है
# जोड़ें H(<var>x<sub>t**</sub></var>)<var>s<sub>t**</sub></var>+<var>i<sub>t**</sub>I<sub>t**</sub></var> कलन विधि के पिछले पुनरावृत्ति में निर्धारित अवधि 1 से t**-1 के लिए ऑप्टिमल रूप से कार्य करने की लागत निरूपित करता है
# इन t* विकल्पों में से, अवधि 1 से t* के लिए न्यूनतम लागत नीति का चयन करते है
# अवधि t*+1 पर आगे बढ़ते है या यदि t*=N के रूप में होते है 

चूँकि इस पद्धति को कुछ लोगों द्वारा [[कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत|कम्प्यूटेशनल सम्मिश्र सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता था, इसलिए कई लेखकों ने अनुमानित अनुमान भी विकसित किए है, जैसे, प्रॉब्लम के लिए सिल्वर-मील हेयरिस्टिक के रूप में होते है।<ref>EA Silver, HC Meal, A heuristic for selecting lot size quantities for the case of a deterministic time-varying demand rate and discrete opportunities for replenishment, Production and inventory management, 1973</ref> 

== यह भी देखें ==

* उत्पादित किए जा रहे भाग के लिए अनंत फील दर: इकनोमिक ऑर्डर क्वांटिटी के रूप में होती है
* उत्पादित किए जा रहे भाग के लिए निरंतर फील दर: [[इकनोमिक प्रोडक्शन क्वांटिटी]] के रूप में होती है
* मांग रैंडम रूप में होती है: मौलिक [[समाचार विक्रेता मॉडल]] के रूप में होते है
* एक ही मशीन पर उत्पादित कई प्रोडक्ट: [[इकनोमिक प्रोडक्शन क्वांटिटी|इकनोमिक]] [[लॉट शेड्यूलिंग समस्या]] के रूप में होती है
* [[पुनः आदेश बिंदु|रिकॉर्डर बिंदु]]

==संदर्भ==
{{reflist}}


== अग्रिम पठन ==
* Lee, Chung-Yee, Sila Çetinkaya, and [[Albert PM Wagelmans]]. "[http://repub.eur.nl/res/pub/7707/1999-0954.pdf A dynamic lot-sizing model with demand time windows]." ''[[Management Science (journal)|Management Science]]'' 47.10 (2001): 1384–1395.
* Federgruen, Awi, and Michal Tzur. "A simple forward algorithm to solve general dynamic lot sizing models with n periods in 0 (n log n) or 0 (n) time." ''[[Management Science (journal)|Management Science]]'' 37.8 (1991): 909–925.
* Jans, Raf, and Zeger Degraeve. "Meta-heuristics for dynamic lot sizing: a review and comparison of solution approaches." ''European Journal of Operational Research'' 177.3 (2007): 1855–1875.
* [[H.M. Wagner]] and T. Whitin, "Dynamic version of the economic lot size model," ''[[Management Science (journal)|Management Science]]'', Vol. 5, pp.&nbsp;89–96, 1958
* [[H.M. Wagner]]: "Comments on Dynamic version of the economic lot size model", ''[[Management Science (journal)|Management Science]]'', Vol. 50 No. 12 Suppl., December 2004


==बाहरी संबंध==
* [http://openresearch.wordpress.com/2009/09/03/solving-the-lot-sizing-problem-in-resolver-one-wagner-whitin-algorithm/ Solving the Lot Sizing Problem using the Wagner-Whitin Algorithm] 
* [http://eureka-operationresearch.blogspot.com/2011/09/dynamic-lot-size-model.html Dynamic lot size model]
* [https://gist.github.com/tommyod/7d3ee88b7c08fadab6de1ea1e615a925 Python implementation] of the Wagner-Whitin algorithm.

[[Category:Created On 09/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:इन्वेंटरी अनुकूलन]]