View source for गुणांक का प्रदिश गुणनफल

गणित में, मॉड्यूल का [[टेंसर उत्पाद]] निर्माण है जो [[मॉड्यूल समरूपता]] के संदर्भ में बिलिनियर मानचित्र मानचित्रों (जैसे गुणा) के बारे में तर्क करने की अनुमति देता है। मॉड्यूल निर्माण सदिश रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद के निर्माण के समान है, किन्तु [[ क्रमविनिमेय वलय |क्रमविनिमेय वलय]] पर [[मॉड्यूल (गणित)]] की जोड़ी के लिए किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप तीसरा मॉड्यूल होता है, और दाएं-मॉड्यूल की जोड़ी के लिए भी किया जा सकता है और किसी भी वलय (गणित) पर बायाँ-मॉड्यूल, जिसके परिणामस्वरूप [[एबेलियन समूह]] होता है। टेन्सर उत्पाद [[अमूर्त बीजगणित|एबस्ट्रेक्ट बीजगणित]], होमोलॉजिकल बीजगणित, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]], [[बीजगणितीय ज्यामिति]], ऑपरेटर बीजगणित और [[गैर-अनुवांशिक ज्यामिति]] के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं। सदिश स्थानों के टेंसर उत्पाद की [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] एबस्ट्रेक्ट बीजगणित में अधिक सामान्य स्थितियों तक फैली हुई है। बीजगणित और मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग अदिश के विस्तार के लिए किया जा सकता है। क्रमविनिमेय वलय के लिए, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद को मॉड्यूल के [[टेंसर बीजगणित]] बनाने के लिए पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिससे किसी को सार्वभौमिक विधि से मॉड्यूल में गुणन को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है।

==संतुलित उत्पाद==
{{main|युग्मन}}

एक वलय आर, दाएं R-मॉड्यूल ''M'', बाएं R-मॉड्यूल एन, और एबेलियन समूह ''G'' के लिए, मानचित्र φ: ''M'' × ''N'' → ''G'' को R-संतुलित, R-मध्य-रैखिक या R कहा जाता है। -संतुलित उत्पाद यदि ''m'', ''m''′ में ''M'', ''n'', ''n''′ में ''N'' और ''r'' में ''R'' के लिए निम्नलिखित धारण करें:{{refn|{{citation |author=Nathan Jacobson |title=Basic Algebra II |edition=2nd |year=2009 |publisher=[[Dover Publications]] }}}}{{rp|126}}

<math display="block">\begin{align}
\varphi (m, n+n') &= \varphi (m, n) + \varphi (m, n') && \text{Dl}_{\varphi} \\
\varphi (m +m', n) &= \varphi (m, n) + \varphi (m', n) && \text{Dr}_{\varphi} \\
\varphi (m \cdot r, n) &= \varphi (m, r \cdot n) && \text{A}_{\varphi} \\
\end{align}</math>



''M'' × ''N'' से जी तक ''R'' पर ऐसे सभी संतुलित उत्पादों का सेट L<sub>''R''</sub>(''M'', ''N''; ''G'') द्वारा दर्शाया गया है।

यदि φ, ψ संतुलित उत्पाद हैं, तो बिंदुवार परिभाषित प्रत्येक ऑपरेशन φ + ψ और −φ संतुलित उत्पाद है। यह समुच्चय {{math|L<sub>''R''</sub>(''M'', ''N''; ''G'')}} को एबेलियन समूह में बदल देता है।

''M'' और ''N'' के लिए, मानचित्र ''G'' ↦ L<sub>''R''</sub>(''M'', ''N''; ''G'') अपने आप में एबेलियन समूहों की श्रेणी से कारक है। रूपवाद भाग समूह समरूपता {{math|''g'' : ''G'' → ''G''′}} को फलन {{math|''φ'' ↦ ''g'' ∘ ''φ''}} में मैप करके दिया जाता है, जो {{math|L<sub>''R''</sub>(''M'', ''N''; ''G'')}} से {{math|L<sub>''R''</sub>(''M'', ''N''; ''G''′)}} तक जाता है।
;
;टिप्पणी
#गुण (Dl) और (Dr) φ की द्विअद्वितीयता को व्यक्त करते हैं, जिसे योग पर φ की वितरणशीलता के रूप में माना जा सकता है।
#गुण (a) φ के कुछ साहचर्य गुण से मिलती जुलती है।
#प्रत्येक वलय R R-बिमॉड्यूल है। तो वलय गुणन {{math|(''r'', ''r''′) ↦ ''r'' ⋅ ''r''′}} R में R-संतुलित उत्पाद {{math|''R'' × ''R'' → ''R''}}.है 

==परिभाषा==
वलय R के लिए, दाएं R -मॉड्यूल M, बाएं R -मॉड्यूल N, R पर 'टेंसर उत्पाद है 

<math display="block">M \otimes_R N</math>
एक संतुलित उत्पाद के साथ एबेलियन समूह है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है)

<math display="block">\otimes : M \times N \to M \otimes_{R} N</math>
जो निम्नलिखित अर्थों में सार्वभौमिक गुण है:<ref>Hazewinkel, et al. (2004), [https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC&pg=PA95 p. 95], Prop. 4.5.1</ref>

[[File:Tensor product of modules2.svg|200px|right]]:प्रत्येक एबेलियन समूह जी और प्रत्येक संतुलित उत्पाद के लिए <math display="block">f: M \times N \to G</math> एक अद्वितीय समूह समरूपता है <math display="block"> \tilde{f}: M \otimes_R N \to G</math> ऐसा है कि <math display="block">\tilde{f} \circ \otimes = f.</math>
सभी सार्वभौमिक गुणों की तरह , उपरोक्त गुण एक अद्वितीय समरूपता तक टेंसर उत्पाद को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती है : समान गुणों वाला कोई भी अन्य एबेलियन समूह और संतुलित उत्पाद {{math|''M'' ⊗<sub>''R''</sub> ''N''}} और ⊗ के लिए समरूपी होगा। वास्तव में , मैपिंग ⊗ को ''कैनोनिकल'' कहा जाता है , या अधिक स्पष्ट रूप से: टेंसर उत्पाद का कैनोनिकल मैपिंग (या संतुलित उत्पाद)।<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §3.1}}</ref>

परिभाषा के अस्तित्व को सिद्ध नहीं करती {{math|''M'' ⊗<sub>''R''</sub> ''N''}}; निर्माण के लिए नीचे देखें.

टेंसर उत्पाद को कारक {{math|''G'' → L<sub>''R''</sub>(''M'',''N'';''G'')}} के लिए एक प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तु के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है ; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि एक प्राकृतिक समरूपता है :

<math display="block">\begin{cases}\operatorname{Hom}_{\Z} (M \otimes_R N, G) \simeq \operatorname{L}_R(M, N; G) \\ g \mapsto g \circ \otimes \end{cases}</math>
यह ऊपर दी गई सार्वभौमिक मानचित्रण गुण को बताने का संक्षिप्त विधि है। (यदि किसी प्राथमिकता को यह प्राकृतिक समरूपता दी गई है, तो <math>\otimes</math> लेकर पुनः प्राप्त किया जा सकता है <math>G = M \otimes_R N</math> और फिर पहचान मानचित्र मैप करना।)


इसी प्रकार, प्राकृतिक पहचान <math>\operatorname{L}_R(M, N; G) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_{\Z}(N, G))</math> को देखते हुए, <ref>First, if <math>R=\Z,</math> then the claimed identification is given by <math>f \mapsto f'</math> with <math>f'(x)(y) = f(x, y)</math>. In general, <math>\operatorname{Hom}_{\Z }(N, G)</math> has the structure of a right ''R''-module by <math>(g \cdot r)(y) = g(r y)</math>. Thus, for any <math>\Z</math>-bilinear map ''f'', ''f''′ is ''R''-linear <math>\Leftrightarrow f'(xr) = f'(x) \cdot r \Leftrightarrow f(xr, y) = f(x, ry).</math></ref> कोई सूत्र द्वारा {{math|''M'' ⊗<sub>''R''</sub> ''N''}} को भी परिभाषित कर सकता है

<math display="block">\operatorname{Hom}_{\Z} (M \otimes_R N, G) \simeq \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_{\Z}(N, G)).</math>
इसे [[टेंसर-होम एडजंक्शन]] के रूप में जाना जाता है; यह सभी देखें {{section link||Properties}}.

''M'' में प्रत्येक ''x'' , ''N'' में ''y'' के लिए, लिखता है
{{block indent|em=1.5|text=''x'' ⊗ ''y''}}


विहित मानचित्र <math>\otimes: M \times N \to M \otimes_R N</math> के अंतर्गत (x, y) की छवि के लिए। इसे अधिकांशत: शुद्ध टेंसर कहा जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, सही संकेतन ''x'' ⊗<sub>''R''</sub> ''y'' होगा किन्तु यहां R को छोड़ना पारंपरिक है। फिर, परिभाषा से तुरंत, संबंध हैं:

{|
|-
| style="width:24em;" | ''x'' ⊗ (''y'' + ''y''′) = ''x'' ⊗ ''y'' + ''x'' ⊗ ''y''′ || (Dl<sub>⊗</sub>)
|-
| (''x'' + ''x''′) ⊗ ''y'' = ''x'' ⊗ ''y'' + ''x''′ ⊗ ''y'' || (Dr<sub>⊗</sub>)
|-
| (''x'' ⋅ ''r'') ⊗ ''y'' = ''x'' ⊗ (''r'' ⋅ ''y'') || (A<sub>⊗</sub>)
|}
टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक गुण के निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं:

{{math_theorem|name=Proposition|Every element of <math>M \otimes_R N</math> can be written, non-uniquely, as
<math display="block">\sum_i x_i \otimes y_i, \, x_i \in M, y_i \in N.</math>
In other words, the image of <math>\otimes</math> generates <math>M \otimes_R N</math>. Furthermore, if ''f'' is a function defined on elements <math>x \otimes y</math> with values in an abelian group ''G'', then ''f'' extends uniquely to the homomorphism defined on the whole <math>M \otimes_R N</math> if and only if <math>f(x \otimes y)</math> is <math>\Z</math>-bilinear in ''x'' and ''y''.}}


प्रमाण: पहले कथन के लिए, मान लें कि L, प्रश्न में रूप के अवयवो द्वारा उत्पन्न <math>M \otimes_R N</math> का उपसमूह है, <math>Q = (M \otimes_R N) / L</math> और q, Q का भागफल मानचित्र है। हमारे पास है: <math>0 = q \circ \otimes</math> के साथ-साथ <math>0 = 0 \circ \otimes</math> कभी-कभी। इसलिए, सार्वभौमिक गुण के विशिष्टता भाग द्वारा, q = 0. दूसरा कथन यह है कि एक मॉड्यूल समरूपता को परिभाषित करने के लिए, इसे मॉड्यूल के जेनरेटिंग सेट पर परिभाषित करना पर्याप्त है।
==टेंसर उत्पादों की सार्वभौमिक गुण का अनुप्रयोग==

===यह निर्धारित करना कि मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद शून्य है===

व्यवहार में, कभी-कभी यह दिखाना अधिक कठिन होता है कि R-मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद <math> M \otimes_R N </math> यह दिखाने के लिए कि यह शून्य नहीं है, यह 0 है। सार्वभौमिक गुण इसे जाँचने का सुविधाजनक विधि देता है।

यह जांचने के लिए कि एक टेंसर उत्पाद <math> M \otimes_R N </math> गैर-शून्य है, कोई एबेलियन समूह <math> G </math> के लिए एक R-बिलिनियर मानचित्र <math> f:M \times N \rightarrow G </math> का निर्माण कर सकता है जैसे कि <math> f(m,n) \neq 0 </math>। यह काम करता है क्योंकि यदि <math> m \otimes n = 0 </math>, तो <math> f(m,n) = \bar{f}(m \otimes n) = \bar{(f)}(0) = 0</math>.

उदाहरण के लिए, यह देखने के लिए कि <math> \Z/p\Z \otimes_Z \Z/p\Z </math>, शून्येतर है, <math> G </math> को <math> \Z / p\Z </math> और <math> (m,n) \mapsto mn </math> मानें। यह कहता है कि शुद्ध टेंसर <math> m \otimes n \neq 0</math> जब तक कि <math> mn </math> <math> \Z / p\Z</math> में गैर-शून्य है

=== समतुल्य मॉड्यूल के लिए ===

प्रस्ताव कहता है कि कोई भी हर बार सीधे सार्वभौमिक गुण का आह्वान करने के अतिरिक्त टेंसर उत्पादों के स्पष्ट अवयवो के साथ काम कर सकता है। यह व्यवहार में बहुत सुविधाजनक है. उदाहरण के लिए, यदि R क्रमविनिमेय है और मॉड्यूल पर R द्वारा बाएँ और दाएँ कार्यों को समतुल्य माना जाता है, तो <math>M \otimes_R N </math> को स्वाभाविक रूप से विस्तार करके R-स्केलर गुणन से सुसज्जित किया जा सकता है

<math display="block">r \cdot (x \otimes y) := (r \cdot x) \otimes y = x \otimes (r \cdot y)</math>
पिछले प्रस्ताव के अनुसार पूरे <math>M \otimes_R N</math> के लिए (सख्ती से कहें तो, जो आवश्यक है वह एक द्विमॉड्यूल संरचना है न कि कम्यूटेटिविटी; नीचे एक पैराग्राफ देखें)। इस R-मॉड्यूल संरचना से सुसज्जित, <math>M \otimes_R N</math> उपरोक्त के समान एक सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है: किसी भी R-मॉड्यूल जी के लिए, एक प्राकृतिक समरूपता है:

<math display="block">\begin{cases} \operatorname{Hom}_R(M \otimes_R N, G) \simeq \{R\text{-bilinear maps } M \times N \to G \}, \\ g \mapsto g \circ \otimes \end{cases}</math>
यदि R आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, किन्तु यदि M के पास वलय S (उदाहरण के लिए, R) द्वारा बायीं ओर क्रिया है, तो <math>M \otimes_R N</math> ऊपर की तरह, सूत्र द्वारा बाईं एस-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है

<math display="block">s \cdot (x \otimes y) := (s \cdot x) \otimes y.</math>
अनुरूप रूप से, यदि ''N'' की वलय S द्वारा सही कार्रवाई होती है, तो <math>M \otimes_R N</math> सही एस-मॉड्यूल बन जाता है।



===रैखिक मानचित्रों का टेंसर उत्पाद और बेस वलय का परिवर्तन===
रेखीय मानचित्र दिए गए <math>f: M \to M'</math> वलय R पर सही मॉड्यूल की और <math>g: N \to N'</math> बाएँ मॉड्यूल में, अद्वितीय समूह समरूपता है

<math display="block">\begin{cases}f \otimes g: M \otimes _R N \to M' \otimes_R N' \\ x \otimes y \mapsto f(x) \otimes g(y) \end{cases}</math>
निर्माण का परिणाम यह है कि टेंसरिंग फ़ंक्टर है: प्रत्येक सही R-मॉड्यूल m ऑपरेटर को निर्धारित करता है

<math display="block">M \otimes_R -: R\text{-Mod} \longrightarrow \text{Ab}</math>
बाएं मॉड्यूल की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक जो ''N'' को {{math|''M'' ⊗ ''N''}} और एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म ''f'' को समूह होमोमोर्फिज्म {{math|1 ⊗ ''f''}} भेजता है।

यदि <math>f: R \to S</math> एक वलय समरूपता है और यदि M एक दायां S-मॉड्यूल है और N एक बायां S-मॉड्यूल है, तो विहित विशेषण समरूपता है:

<math display="block">M \otimes_R N \to M \otimes_S N</math>
प्रेरक

 <math display="block">M \times N \overset{\otimes_S} \longrightarrow M \otimes_S N.</math>परिणामी मानचित्र विशेषणात्मक है क्योंकि शुद्ध टेंसर x ⊗ y संपूर्ण मॉड्यूल उत्पन्न करता है। विशेष रूप से, R को Z मानने से पता चलता है कि मॉड्यूल का प्रत्येक टेंसर उत्पाद एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद का एक भागफल है।
{{see also|टेन्सर उत्पाद या रैखिक मानचित्रों का टेन्सर उत्पाद}}

===कई मॉड्यूल===
(इस अनुभाग को अद्यतन करने की आवश्यकता है। अभी के लिए, देखें {{section link||Properties}} अधिक सामान्य विचार के लिए।)

एक ही क्रमविनिमेय वलय पर किसी भी संख्या में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद तक परिभाषा का विस्तार करना संभव है। उदाहरण के लिए, की सार्वभौमिक गुण है  
{{block indent|em=1.5|text=''M''<sub>1</sub> ⊗ ''M''<sub>2</sub> ⊗ ''M''<sub>3</sub>}}
क्या वह प्रत्येक त्रिरेखीय मानचित्र पर है
{{block indent|em=1.5|text=''M''<sub>1</sub> × ''M''<sub>2</sub> × ''M''<sub>3</sub> → ''Z''}}
एक अद्वितीय रेखीय मानचित्र से मेल खाता है
{{block indent|em=1.5|text=''M''<sub>1</sub> ⊗ ''M''<sub>2</sub> ⊗ ''M''<sub>3</sub> → ''Z''.}}

बाइनरी टेंसर उत्पाद साहचर्य है: (''M''<sub>1</sub> ⊗ ''M''<sub>2</sub>) ⊗ ''M''<sub>3</sub> ) (''M''<sub>1</sub> ⊗ (''M''<sub>2</sub> ⊗ ''M''<sub>3</sub>).के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है त्रिरेखीय मानचित्रों की सार्वभौमिक गुण द्वारा परिभाषित तीन मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद इन दोनों पुनरावृत्त टेंसर उत्पादों के लिए आइसोमोर्फिक है।

==गुण==

===सामान्य वलयो पर मॉड्यूल===
चलो ''R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub>, ''R''<sub>3</sub>, ''R'' वलय हो, आवश्यक नहीं कि क्रमविनिमेय हो।

*आर के लिए<sub>1</sub>-आर<sub>2</sub>-बिमॉड्यूल एम<sub>12</sub> और बायां आर<sub>2</sub>-मॉड्यूल एम<sub>20</sub>, <math>M_{12}\otimes_{R_2} M_{20}</math> बायाँ R है<sub>1</sub>-मापांक।
** ''R''<sub>1</sub>-''R''<sub>2</sub>-बिमॉड्यूल के लिए ''M''<sub>12</sub> और बायां ''R''<sub>2</sub>-module ''M''<sub>20</sub>, <math>M_{12}\otimes_{R_2} M_{20}</math> बायाँ t ''R''<sub>1</sub>-मापांक.
* एक सही ''R''<sub>2</sub>-मॉड्यूल ''M''<sub>02</sub> और ''R''<sub>2</sub>-''R''<sub>3</sub>-बिमॉड्यूल ''M''<sub>23</sub>, <math>M_{02}\otimes_{R_2} M_{23}</math> सही ''R''<sub>3</sub> -मापांक है।
*(साहचर्य) सही ''R''<sub>1</sub>के लिए -मॉड्यूल ''M''<sub>01</sub>, ''R''<sub>1</sub>-''R''<sub>2</sub>-बिमॉड्यूल ''M''<sub>12</sub>, और बायां ''R''<sub>2</sub>-मॉड्यूल ''M''<sub>20</sub> हमारे पास है:<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §3.8}}</ref> 
*(:<math display="block">\left (M_{01} \otimes_{R_1} M_{12} \right ) \otimes_{R_2} M_{20} = M_{01} \otimes_{R_1} \left (M_{12} \otimes_{R_2} M_{20} \right ).</math>
*चूँकि R R-R-बिमॉड्यूल है, हमारे पास है <math>R\otimes_R R = R</math> वलय गुणन के साथ <math>mn =: m \otimes_R n</math> इसके विहित संतुलित उत्पाद के रूप में है।

===क्रमविनिमेय वलय पर मॉड्यूल===
मान लीजिए R क्रमविनिमेय वलय है, और M, N और P R-मॉड्यूल हैं। तब
; पहचान :<math display=block>R \otimes_R M = M.</math>
; साहचर्य :<math display=block>(M \otimes_R N) \otimes_R P = M \otimes_R (N \otimes_R P).</math> पहले तीन गुण (आकारवाद पर प्लस पहचान) कहते हैं कि R-मॉड्यूल की श्रेणी, R कम्यूटेटिव के साथ, [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] बनाती है। इस प्रकार <math>M \otimes_R N \otimes_R P</math> अच्छी तरह से परिभाषित है.
; समरूपता :<math display=block>M \otimes_R N = N \otimes_R M.</math> वास्तव में, सेट {1, ..., n} के किसी भी क्रमपरिवर्तन σ के लिए, अद्वितीय समरूपता है: <math display="block">\begin{cases} M_1 \otimes_R \cdots \otimes_R M_n \longrightarrow M_{\sigma(1)} \otimes_R \cdots \otimes_R M_{\sigma(n)} \\ x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \longmapsto x_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes x_{\sigma(n)} \end{cases}</math>
; प्रत्यक्ष राशियों पर वितरण :<math display=block>M \otimes_R (N \oplus P) = (M \otimes_R N) \oplus (M \otimes_R P).</math> वास्तव में, <math display="block">M \otimes_R \left (\bigoplus\nolimits_{i \in I} N_i \right ) = \bigoplus\nolimits_{i \in I}  \left ( M \otimes_R N_i \right ),</math> मनमानी [[प्रमुखता]] के [[सूचकांक सेट]] I के लिए। चूँकि परिमित उत्पाद परिमित प्रत्यक्ष योगों से मेल खाते हैं, इसका अर्थ यह है:
*; परिमित उत्पादों पर वितरण:किसी भी बहुत से <math>N_i</math> के लिए.<math display="block">M \otimes_R \prod_{i = 1}^n N_i = \prod_{i = 1}^nM \otimes_R N_i.</math>
; आधार विस्तार:यदि S एक R-बीजगणित है, तो <math>-_{S} = S \otimes_R -</math> लिखें।<math display="block">(M \otimes_R N)_S = M_S \otimes_S N_S;</math><ref>Proof: (using associativity in a general form) <math>(M \otimes_R N)_S = (S \otimes_R M) \otimes_R N = M_S \otimes_R N = M_S \otimes_S S \otimes_R N = M_S \otimes_S N_S</math></ref> cf {{section link||Extension of scalars}}. परिणाम यह है:
*; एक मॉड्यूल के स्थानीयकरण पर वितरण: ''R'' के किसी भी गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय ''S'' के लिए, <math display="block">S^{-1}(M \otimes_R N) = S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R} S^{-1}N</math> के रूप में <math>S^{-1} R</math>-मापांक। तब से <math>S^{-1} R</math> R-बीजगणित है और <math>S^{-1} - = S^{-1} R \otimes_R -</math>, यह विशेष स्थिति है:
; [[प्रत्यक्ष सीमा]] के साथ रूपान्तरण: R-मॉड्यूल ''M<sub>i</sub>'' की किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली के लिए, <math display="block">(\varinjlim M_i) \otimes_R N = \varinjlim (M_i \otimes_R N).</math>
; टेंसर-होम एडजंक्शन:<math display=block>\operatorname{Hom}_R(M \otimes_R N, P) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_R(N, P))\text{.}</math> परिणाम यह है:
*; सही-सटीकता: यदि <math display="block">0 \to N' \overset{f}\to N \overset{g}\to N'' \to 0</math> तो, R-मॉड्यूल का स्पष्ट अनुक्रम है <math display="block">M \otimes_R N' \overset{1 \otimes f}\to M \otimes_R N \overset{1 \otimes g}\to M \otimes_R N'' \to 0</math> R-मॉड्यूल का स्पष्ट अनुक्रम है, जहां <math>(1 \otimes f)(x \otimes y) = x \otimes f(y).</math> ; टेन्सर-होम संबंध: विहित R-रेखीय मानचित्र है: <math display="block">\operatorname{Hom}_R(M, N) \otimes P \to \operatorname{Hom}_R(M, N \otimes P),</math> जो समरूपता है यदि ''M'' या ''P'' [[अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य मॉड्यूल]] है (देखें)। {{section link||As linearity-preserving maps}} गैर-कम्यूटेटिव स्थिति के लिए);<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §4.4}}</ref> अधिक सामान्यतः, विहित R-रैखिक मानचित्र है: <math display="block">\operatorname{Hom}_R(M, N) \otimes \operatorname{Hom}_R(M', N') \to \operatorname{Hom}_R(M \otimes M', N \otimes N')</math> जो कि समरूपता है यदि दोनों में से कोई है <math>(M, N)</math> या <math>(M, M')</math> परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल की जोड़ी है।


एक व्यावहारिक उदाहरण देने के लिए, मान लीजिए कि M, N आधार <math>e_i, i \in I</math> और<math>f_j, j \in J</math> के साथ मुक्त मॉड्यूल हैं। तब M सीधा योग <math>M = \bigoplus_{i \in I} R e_i</math> है और N के लिए भी यही है। वितरणात्मक गुण के द्वारा, किसी के पास है:

<math display="block">M \otimes_R N = \bigoplus_{i, j} R(e_i \otimes f_j);</math>
अर्थात, <math>e_i \otimes f_j, \, i \in I, j \in J</math> <math>M \otimes_R N</math> का R-आधार है। तथापि ''M'' मुफ़्त नहीं है, M की एक मुफ़्त प्रस्तुति का उपयोग टेंसर उत्पादों की गणना के लिए किया जा सकता है।

टेंसर उत्पाद, सामान्य रूप से , व्युत्क्रम सीमा के साथ आवागमन नहीं करता है: ओर,

<math display="block">\Q \otimes_{\Z} \Z /p^n = 0</math>
(सीएफ. उदाहरण ). वहीं दूसरी ओर,

<math display="block"> \left (\varprojlim \Z /p^n \right ) \otimes_{\Z} \Q = \Z_p \otimes_{\Z} \Q = \Z_p \left [p^{-1} \right ] = \Q_p</math>
जहाँ <math>\Z_p, \Q_p</math> पी-एडिक पूर्णांकों का वलय और [[पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र]] हैं। समान भावना में उदाहरण के लिए [[अनंत पूर्णांक]] भी देखें।

यदि R क्रमविनिमेय नहीं है, तो टेंसर उत्पादों का क्रम निम्नलिखित विधि से मायने रख सकता है: हम टेंसर उत्पाद <math>M \otimes_R N</math> बनाने के लिए M की दाहिनी क्रिया और N की बाईं क्रिया का "उपयोग" करते हैं; विशेष रूप से, कभी-कभी <math>N \otimes_R M</math> को परिभाषित भी नहीं किया जाएगा। यदि M, N द्वि-मॉड्यूल हैं, तो <math>M \otimes_R N</math> में बाईं क्रिया M की बाईं क्रिया से आती है और दाईं क्रिया N की दाईं क्रिया से आती है; उन क्रियाओं का <math>N \otimes_R M</math> के बाएँ और दाएँ कार्यों के समान होना आवश्यक नहीं है।

साहचर्यता गैर-कम्यूटेटिव वलयो के लिए अधिक सामान्यतः प्रयुक्त होती है: यदि M दायां R-मॉड्यूल है, ''N'' a (''R'', ''S'')-मॉड्यूल और पी बायां एस-मॉड्यूल है, तो

<math display="block">(M \otimes_R N) \otimes_S P = M \otimes_R (N \otimes_S P)</math>
एबेलियन समूह के रूप में।

टेंसर उत्पादों के सहायक संबंध का सामान्य रूप कहता है: यदि R आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है, M एक सही R-मॉड्यूल है, N एक (R, S)-मॉड्यूल है, P एक सही S-मॉड्यूल है, तो एबेलियन समूह के रूप में है <ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch.II §4.1 Proposition 1}}</ref>

<math display="block">\operatorname{Hom}_S(M \otimes_R N, P) = \operatorname{Hom}_R(M, \operatorname{Hom}_S(N, P)), \, f \mapsto f'</math>
जहाँ <math>f'</math> द्वारा दिया गया है <math>f'(x)(y) = f(x \otimes y).</math> {{See also|टेंसर-होम एडजंक्शन}}

===अंश क्षेत्र के साथ R-मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद===
मान लीजिए कि R, भिन्न K के क्षेत्र के साथ अभिन्न डोमेन है।

*किसी भी R-मॉड्यूल M के लिए, <math>K \otimes_R M \cong K \otimes_R (M / M_{\operatorname{tor}})</math> R-मॉड्यूल के रूप में, जहां <math>M_{\operatorname{tor}}</math> M का मरोड़ उपमॉड्यूल है।
*यदि M मरोड़ R-मॉड्यूल है तो <math>K \otimes_R M = 0</math> और यदि M मरोड़ मॉड्यूल नहीं है तो <math>K \otimes_R M \ne 0</math>.
*यदि N, M का सबमॉड्यूल है जैसे कि <math>M/N</math> तो फिर मरोड़ मॉड्यूल है <math>K \otimes_R N \cong K \otimes_R M</math> R-मॉड्यूल के रूप में <math>x \otimes n \mapsto x \otimes n</math>.
*में <math>K \otimes_R M</math>, <math>x \otimes m = 0</math> यदि और केवल यदि <math>x = 0</math> या <math>m \in M_{\operatorname{tor}}</math>. विशेष रूप से, <math>M_{\operatorname{tor}} = \operatorname{ker}(M \to K \otimes_R M)</math> जहाँ <math>m \mapsto 1 \otimes m</math>.
*<math>K \otimes_R M \cong M_{(0)}</math> जहाँ <math>M_{(0)}</math> मॉड्यूल का स्थानीयकरण है <math>M</math> प्रमुख आदर्श पर <math>(0)</math> (अथार्त , गैर-शून्य अवयवो के संबंध में स्थानीयकरण)।

===अदिशों का विस्तार===
{{main|अदिश का विस्तार}}
{{See also|वेइल प्रतिबंध}}


सामान्य रूप में संयुक्त संबंध में एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति है: किसी भी ''R''-बीजगणित एस के लिए, ''M'' एक सही ''R''-मॉड्यूल, ''P'' एक सही ''S''-मॉड्यूल, <math>\operatorname{Hom}_S (S, -) = -</math> का उपयोग करते हुए -, हमारे पास प्राकृतिक समरूपता है:

<math display="block">\operatorname{Hom}_S (M \otimes_R S, P) = \operatorname{Hom}_R (M, \operatorname{Res}_R(P)).</math>
यह कहता है कि फ़ंक्टर <math>-\otimes_R S</math> S, भुलक्कड़ फ़ंक्टर <math>\operatorname{Res}_R</math> का बायाँ जोड़ है, जो S-एक्शन को R-एक्शन तक सीमित करता है। इस वजह से, <math>- \otimes_R S</math> को अधिकांशत: R से S तक अदिशों का विस्तार कहा जाता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, जब R, S समूह बीजगणित होते हैं, तो उपरोक्त संबंध फ्रोबेनियस पारस्परिकता बन जाता है।

====उदाहरण====

*<math>R^n \otimes_R S = S^n,</math> किसी भी R-बीजगणित एस के लिए (अथार्त , स्केलर का विस्तार करने के बाद मुक्त मॉड्यूल मुक्त रहता है।)
*एक क्रमविनिमेय वलय के लिए <math>R</math> और क्रमविनिमेय R-बीजगणित एस, हमारे पास है: <math display="block">S \otimes_R R[x_1, \dots, x_n] = S[x_1, \dots, x_n];</math> वास्तव में, अधिक सामान्यतः, <math display="block">S \otimes_R (R[x_1, \dots, x_n]/I) = S[x_1, \dots, x_n]/ IS[x_1, \dots, x_n],</math> जहाँ <math>I</math> आदर्श है.
*उपयोग करना <math>\Complex = \R [x]/(x^2 + 1),</math> पिछला उदाहरण और [[चीनी शेषफल प्रमेय]], हमारे पास वलय के रूप में हैं <math display="block">\Complex \otimes_{\R} \Complex = \Complex [x]/(x^2 + 1) = \Complex [x]/(x+i) \times \Complex[x]/(x-i) = \Complex^2.</math> यह उदाहरण देता है जब टेंसर उत्पाद [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] होता है।
*<math>\R \otimes_{\Z} \Z[i] = \R[i] = \Complex.</math>


==उदाहरण==
बिल्कुल सामान्य मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद की संरचना अप्रत्याशित हो सकती है।

मान लीजिए G एक एबेलियन समूह है जिसमें प्रत्येक अवयव का क्रम सीमित है (अर्थात् G एक मरोड़ वाला एबेलियन समूह है; उदाहरण के लिए G एक परिमित एबेलियन समूह हो सकता है या <math>\Q/\Z</math> फिर:<ref>Example 3.6 of http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf</ref><math display="block">\Q \otimes_{\Z} G = 0.</math>
वास्तव में, कोई भी <math>x \in \Q \otimes_{\Z} G</math> स्वरूप का है
<math display="block">x = \sum_i r_i \otimes g_i, \qquad r_i \in \Q , g_i \in G.</math>
यदि <math>n_i</math> <math>g_i</math> का क्रम है, फिर हम गणना करते हैं:
<math display="block">x = \sum (r_i / n_i )n_i \otimes g_i = \sum r_i / n_i \otimes n_i g_i = 0.</math>
वैसे ही कोई देखता है
<math display="block">\Q /\Z \otimes_{\Z} \Q /\Z = 0.</math>
यहां गणना के लिए उपयोगी कुछ पहचान दी गई हैं: मान लीजिए कि R क्रमविनिमेय वलय है, I, J आदर्श, M, N R-मॉड्यूल हैं। तब
#<math>R/I \otimes_R M = M/IM</math>. यदि M [[फ्लैट मॉड्यूल|समतल मॉड्यूल]] है तो <math>IM = I \otimes_R M</math>.<ref group="proof">Tensoring with ''M'' the exact sequence <math>0 \to I \to R \to R/I \to 0</math> gives
<math display="block">I \otimes_R M \overset{f}\to R \otimes_R M = M \to R/I \otimes_R M \to 0</math>
where ''f'' is given by <math>i \otimes x \mapsto ix</math>. Since the image of ''f'' is ''IM'', we get the first part of 1. If ''M'' is flat, ''f'' is injective and so is an isomorphism onto its image.</ref>
#<math>M/IM \otimes_{R/I} N/IN = M \otimes_R N \otimes_R R/I</math> (क्योंकि टेंसरिंग बेस एक्सटेंशन के साथ चलती है)
#<math>R/I \otimes_R R/J = R/(I + J)</math>.<ref group="proof">
<math display="block">R/I \otimes_R R/J = {R/J \over I(R/J) }= {R/J \over (I + J)/J} = R/(I+J).</math> Q.E.D.</ref>
उदाहरण: यदि G एबेलियन समूह है, <math>G \otimes_{\Z } \Z /n = G/nG</math>; यह 1 से अनुसरण करता है।

उदाहरण: <math>\Z /n \otimes_{\Z } \Z /m = \Z /{\gcd(n, m)}</math>; यह 3 से अनुसरण करता है। विशेष रूप से, विशिष्ट अभाज्य संख्याओं के लिए p, q,
<math display="block">\Z / p\Z \otimes \Z / q\Z=0.</math>
समूहों के अवयवो के क्रम को नियंत्रित करने के लिए टेंसर उत्पादों को प्रयुक्त किया जा सकता है। मान लीजिए G एबेलियन समूह है। फिर 2 इंच के गुणज
<math display="block">G \otimes \Z / 2\Z</math>
शून्य हैं.

उदाहरण: चलो <math>\mu_n</math> एकता की n-वीं जड़ों का समूह बनें। यह [[चक्रीय समूह]] है और चक्रीय समूहों को क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। इस प्रकार, गैर-विहित रूप से, <math>\mu_n \approx \Z /n</math> और इस प्रकार, जब g, n और m की gcd है,
<math display="block">\mu_n \otimes_{\Z } \mu_m \approx \mu_g.</math>
उदाहरण: <math>\Q \otimes_{\Z} \Q.</math> को बीच में <math>\Q \otimes_{\Q } \Q</math>-रैखिकता निरंतर , <math>\Q \otimes_{\Z } \Q </math> , <math>\Q </math>से प्राप्त किया जाता है, हमारे पास अनुमान है

<math display="block">\Q \otimes_{\Z } \Q \to \Q \otimes_{\Q } \Q </math>
जिसका कर्नेल प्रपत्र के अवयवो द्वारा <math>{r \over s} x \otimes y - x \otimes {r \over s} y</math> उत्पन्न होता है 

जहाँ r, s, x, u पूर्णांक हैं और s अशून्य है। तब से

<math display="block">{r \over s} x \otimes y = {r \over s} x \otimes {s \over s} y = x \otimes {r \over s} y,</math>
कर्नेल वास्तव में गायब हो जाता है; इस तरह, <math>\Q \otimes_{\Z } \Q = \Q \otimes_{\Q } \Q = \Q .</math>

चूँकि , विचार करें <math>\C \otimes_{\R} \C </math> और <math>\C \otimes_{\C } \C </math>. जैसा <math>\R</math>-सदिश स्थल, <math>\C \otimes_{\R} \C </math> आयाम 4 है, किन्तु <math>\C \otimes_{\C } \C </math> आयाम 2 है.

इस प्रकार, <math>\C \otimes_{\R} \C </math> और <math>\C \otimes_{\C } \C </math> समरूपी नहीं हैं.

उदाहरण: हम '''<math>\R \otimes_{\Z} \R </math>''' और '''<math>\R \otimes_{\R } \R </math>''' की तुलना करने का प्रस्ताव करते हैं। पिछले उदाहरण की तरह, हमारे पास है: <math>\R \otimes_{\Z} \R = \R \otimes_{\Q} \R </math> एबेलियन समूह के रूप में और इस प्रकार <math>\Q</math>-सदिश स्पेस के रूप में (<math>\Z</math> सदिश स्पेस के बीच कोई भी <math>\Q</math>-रैखिक मानचित्र <math>\Q</math>-रैखिक है)। चूँकि <math>\Q</math> -<math>\R </math> में सातत्य का आयाम (आधार की प्रमुखता) है। इस तरह, सदिश स्पेस,<math>\R \otimes_{\Q } \R </math>में सातत्य के उत्पाद द्वारा अनुक्रमित <math>\Q</math>-आधार है; इस प्रकार इसका <math>\Q</math>-आयाम सातत्य है। इसलिए, आयाम कारण के लिए, <math>\Q</math> -सदिश रिक्त स्थान का एक गैर-विहित समरूपता है:<math display="block">\R \otimes_{\Z } \R \approx \R \otimes_{\R } \R .</math>

मॉड्यूल पर विचार करें <math>M=\Complex [x,y,z]/(f),N=\Complex [x,y,z]/(g)</math> के लिए <math>f,g\in \Complex[x,y,z]</math> अघुलनशील बहुपद जैसे कि <math>\gcd(f,g)=1.</math> तब,

<math display="block">\frac{\Complex [x,y,z]}{(f)}\otimes_{\Complex [x,y,z]}\frac{\Complex [x,y,z]}{(g)} \cong \frac{\Complex [x,y,z]}{(f,g)}</math>
उदाहरणों का और उपयोगी वर्ग अदिश परिवर्तन से आता है। नोटिस जो

<math display="block">\frac{\Z [x_1,\ldots,x_n]}{(f_1,\ldots,f_k)} \otimes_\Z R \cong \frac{R[x_1,\ldots,x_n]}{(f_1,\ldots,f_k)}</math>
इस घटना के अच्छे उदाहरण <math>R = \Q, \Complex, \Z/(p^k), \Z_p, \Q_p.</math>कजब ेखने योग्य हैं 



==निर्माण==
{{math|''M'' ⊗ ''N''}} का निर्माण प्रतीकों {{math|''m'' ∗ ''n''}} के आधार पर एक मुक्त एबेलियन समूह का भागफल लेता है, जिसका उपयोग सभी अवयवो द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा M में M और ''n'' में ''N'' के लिए क्रमित जोड़ी ({{math|(''m'', ''n'')}}) को दर्शाने के लिए किया जाता है। रूप का
## −''m'' ∗ (''n'' + ''n''′) + ''m'' ∗ ''n'' + ''m'' ∗ ''n''′
## −(''m'' + ''m''′) ∗ ''n'' + ''m'' ∗ ''n'' + ''m''′ ∗ ''n''
## (''m'' · ''r'') ∗ ''n'' − ''m'' ∗ (''r'' · ''n'')
जहां ''m'', ''m''′ में ''M'', ''n'', ''n''′ में ''N'', और ''r'' में ''R''. भागफल मानचित्र जो {{math|''m'' ∗ ''n''}} वाले सहसमुच्चय में {{math|1=''m'' ∗ ''n'' = (''m'', ''n'')}} लेता है; वह है,

<math display="block">\otimes: M \times N \to M \otimes_R N, \, (m, n) \mapsto [m * n]</math>
संतुलित है, और उपसमूह को न्यूनतम रूप से चुना गया है जिससे यह मानचित्र संतुलित हो। जिसका ⊗ का सार्वभौमिक गुण मुक्त एबेलियन समूह और भागफल के सार्वभौमिक गुणों से अनुसरण करता है।

यदि S, वलय R का एक उप-वलय है, तो <math>M \otimes_R N</math>, <math>xr \otimes_S y - x \otimes_S ry, \, r \in R, x \in M, y \in N</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा <math>M \otimes_S N</math> का भागफल समूह है, जहां <math>x \otimes_S y</math>, <math>\otimes: M \times N \to M \otimes_{S} N.</math> के अनुसार <math>(x, y)</math> की छवि है। विशेष रूप से, R-मॉड्यूल का कोई भी टेंसर उत्पाद हो सकता है यदि वांछित हो, तो R-संतुलित उत्पाद गुण को प्रयुक्त करके एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद के भागफल के रूप में निर्मित किया जा सकता है।

अधिक श्रेणी-सैद्धांतिक रूप से, मान लीजिए कि M पर R की दी गई सही क्रिया σ है; अथार्त , σ(m, r) = m · r और τ N के R की बाईं क्रिया। फिर, बशर्ते कि एबेलियन समूहों का टेंसर उत्पाद पहले से ही परिभाषित हो, R पर M और N के टेंसर उत्पाद को [[सहतुल्यकारक]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है :
<math display="block">M \otimes R \otimes N {{{} \atop \overset{\sigma \times 1}\to}\atop{\underset{1 \times \tau} \to \atop {}}} M \otimes N \to M \otimes_R N</math>
जहाँ <math>\otimes</math> बिना सबस्क्रिप्ट के एबेलियन समूहों के टेंसर उत्पाद को संदर्भित करता है।

एक क्रमविनिमेय वलय '''R''' पर टेंसर उत्पाद के निर्माण में, सामान्य निर्माण के लिए ऊपर दिए गए अवयवो द्वारा उत्पन्न सबमॉड्यूल द्वारा एक मुक्त '''R''' -मॉड्यूल के भागफल का निर्माण करके '''R''' -मॉड्यूल संरचना को प्रारंभ से ही बनाया जा सकता है। अवयवो द्वारा {{math|''r'' ⋅ (''m'' ∗ ''n'') − ''m'' ∗ (''r'' ⋅ ''n'')}} वैकल्पिक रूप से, सामान्य निर्माण को {{math|1=''r'' ⋅ (''m'' ⊗ ''n'') = ''m'' ⊗ (''r'' ⋅ ''n'')}} द्वारा अदिश क्रिया को परिभाषित करके Z(R)-मॉड्यूल संरचना दी जा सकती है, जब यह अच्छी तरह से परिभाषित होता है, जो ठीक तब होता है जब r ∈ Z(R), R का केंद्र है ।

''M'' और ''N'' का प्रत्यक्ष उत्पाद ''M'' और ''N'' के टेंसर उत्पाद के लिए संभवत: ही कभी आइसोमॉर्फिक होता है। जब आर क्रमविनिमेय नहीं होता है, तो टेंसर उत्पाद के लिए आवश्यक है कि ''M'' और ''N'' विपरीत दिशाओं में मॉड्यूल हों, जबकि प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आवश्यक है कि वे मॉड्यूल हों। उसी तरफ़। सभी स्थितियों में {{math|''M'' × ''N''}} से जी तक एकमात्र फलन जो रैखिक और द्विरेखीय दोनों है, शून्य मानचित्र है।

==रैखिक मानचित्रों के रूप में==
सामान्य स्थिति में, सदिश रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद के सभी गुण मॉड्यूल तक विस्तारित नहीं होते हैं। फिर भी, टेंसर उत्पाद के कुछ उपयोगी गुण, जिन्हें मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म माना जाता है, बने हुए हैं।

===दोहरा मॉड्यूल===
{{see also|द्वैत (गणित) या दोहरी वस्तुएँ}}


दाएं R-मॉड्यूल ई के दोहरे मॉड्यूल को विहित बाएं R-मॉड्यूल संरचना के साथ {{math|Hom<sub>''R''</sub>(''E'', ''R'')}} के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसे E ∗ दर्शाया गया है।<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §2.3}}</ref> विहित संरचना जोड़ और अदिश गुणन की बिंदुवार संक्रिया है। इस प्रकार, E∗ सभी R-रैखिक मानचित्रों E → R (जिन्हें रैखिक रूप भी कहा जाता है) का समुच्चय है, संचालन के साथ
<math display="block">(\phi + \psi)(u) = \phi(u) + \psi(u), \quad \phi, \psi \in E^*, u \in E</math>
<math display="block">(r \cdot \phi) (u) = r \cdot \phi(u), \quad \phi \in E^*, u \in E, r \in R,</math>
बाएं R-मॉड्यूल के दोहरे को समान संकेतन के साथ अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है।

E से इसके दूसरे दोहरे तक सदैव एक विहित समरूपता {{math|''E'' → ''E''<sup>∗∗</sup>}} होती है। यदि E परिमित रैंक का एक मुक्त मॉड्यूल है तो यह एक समरूपता है। सामान्य रूप से , E को रिफ्लेक्सिव मॉड्यूल कहा जाता है यदि कैनोनिकल होमोमोर्फिज्म एक आइसोमोर्फिज्म है।

===द्वैत युग्म===
हम इसके दोहरे E<sup>∗</sup> के प्राकृतिक युग्म को निरूपित करते हैं और दायां R-मॉड्यूल ई, या बायां R-मॉड्यूल एफ और इसका दोहरा ''F''<sup>∗</sup> जैसे
<math display="block"> \langle \cdot , \cdot \rangle : E^* \times E \to R : (e', e) \mapsto \langle e', e \rangle = e'(e) </math>
<math display="block"> \langle \cdot , \cdot \rangle : F \times F^* \to R : (f, f') \mapsto \langle f, f' \rangle = f'(f) .</math>
यह युग्मन अपने बाएँ तर्क में बाएँ R-रैखिक है, और दाएँ तर्क में दाएँ R-रैखिक है:
<math display="block"> \langle r \cdot g, h \cdot s \rangle = r \cdot \langle g, h \rangle \cdot s, \quad r, s \in R .</math>


===एक (द्वि)रेखीय मानचित्र के रूप में तत्व===
सामान्य स्थिति में, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का प्रत्येक अवयव बाएं R-रेखीय मानचित्र, दाएं R-रेखीय मानचित्र और R-बिलिनियर रूप को जन्म देता है। क्रमविनिमेय स्थिति के विपरीत, सामान्य स्थिति में टेंसर उत्पाद R-मॉड्यूल नहीं है, और इस प्रकार स्केलर गुणन का समर्थन नहीं करता है।

* दाएं R-मॉड्यूल ''E'' और दाएं R-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, विहित समरूपता है {{math|''θ'' : ''F'' ⊗<sub>''R''</sub> ''E''<sup>∗</sup> → Hom<sub>''R''</sub>(''E'', ''F'')}} ऐसा है कि {{math|''θ''(''f'' ⊗ ''e''′)}} मानचित्र {{math|''e'' ↦ ''f'' ⋅ {{langle}}''e''′, ''e''{{rangle}}}} है .<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §4.2 eq. (11)}}</ref>
* बाएं R-मॉड्यूल ''E'' और दाएं R-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, विहित समरूपता है {{math|''θ'' : ''F'' ⊗<sub>''R''</sub> ''E'' → Hom<sub>''R''</sub>(''E''<sup>∗</sup>, ''F'')}} ऐसा है कि {{math|''θ''(''f'' ⊗ ''e'')}} मानचित्र {{math|''e''′ ↦ ''f'' ⋅ {{langle}}''e'', ''e''′{{rangle}}}} है .<ref>{{harvnb|Bourbaki|loc=ch. II §4.2 eq. (15)}}</ref>
दोनों स्थिति सामान्य मॉड्यूल के लिए हैं, और समरूपता बन जाते हैं यदि मॉड्यूल ''E'' और f को सीमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल (विशेष रूप से परिमित पद के मुक्त मॉड्यूल) तक सीमित कर दिया जाता है। इस प्रकार, वलय R पर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का अवयव R-रैखिक मानचित्र पर कैनोनिक रूप से मैप होता है, चूँकि सदिश रिक्त स्थान के साथ, ऐसे रैखिक मानचित्रों के पूर्ण स्थान के समान होने के लिए मॉड्यूल पर बाधाएं प्रयुक्त होती हैं।

*दाएं R-मॉड्यूल ''E'' और बाएं R-मॉड्यूल एफ को देखते हुए, एक विहित समरूपता है {{math|''θ'' : ''F''<sup>∗</sup> ⊗<sub>''R''</sub> ''E''<sup>∗</sup> → L<sub>''R''</sub>(''F'' × ''E'', ''R'')}} जैसे कि {{math|''θ''(''f''′ ⊗ ''e''′)}} नक्शा है {{math|(''f'', ''e'') ↦ ⟨''f'', ''f''′⟩ ⋅ ⟨''e''′, ''e''⟩}} इस प्रकार, एक टेंसर उत्पाद ξ ∈ F∗ ⊗R E∗ को R-बिलिनियर मानचित्र {{math|''F'' × ''E'' → ''R''}} को जन्म देने या उसके रूप में कार्य करने के बारे में सोचा जा सकता है

===ट्रेस===
माना R क्रमविनिमेय वलय है और ई R-मॉड्यूल। फिर विहित R-रेखीय मानचित्र है:

<math display="block">E^* \otimes_R E \to R</math>
द्वारा रैखिकता के माध्यम से प्रेरित <math>\phi \otimes x \mapsto \phi(x)</math>; यह प्राकृतिक युग्मन के अनुरूप अद्वितीय R-रैखिक मानचित्र है।

यदि E अंतिम रूप से उत्पन्न प्रक्षेप्य R-मॉड्यूल है, तो कोई पहचान सकता है <math>E^* \otimes_R E = \operatorname{End}_R(E)</math> ऊपर उल्लिखित विहित समरूपता के माध्यम से और फिर ऊपर ट्रेस मानचित्र है:

<math display="block">\operatorname{tr}: \operatorname{End}_R(E) \to R.</math>
जब R क्षेत्र है, तो यह रैखिक परिवर्तन का सामान्य [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] है।

==अवकल ज्यामिति से उदाहरण: टेंसर फ़ील्ड==
अवकल ज्यामिति में मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का सबसे प्रमुख उदाहरण सदिश क्षेत्र और अवकल रूपों के रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि R स्मूथ मैनिफोल्ड M पर स्मूथ कार्यों की (कम्यूटिव) वलय है, तो कोई डालता है

<math display="block">\mathfrak{T}^p_q = \Gamma(M, T M)^{\otimes p} \otimes_R \Gamma(M, T^* M)^{\otimes q}</math>
जहां Γ का अर्थ है अनुभागों का स्थान और सुपरस्क्रिप्ट <math>\otimes p</math> का अर्थ है R पर p गुना टेंसरिंग। परिभाषा के अनुसार, <math>\mathfrak{T}^p_q</math> (p, q)का एक अवयव प्रकार का एक टेंसर क्षेत्र है

R -मॉड्यूल के रूप में, <math>\mathfrak{T}^q_p</math> , <math>\mathfrak{T}^p_q.</math> का दोहरा मॉड्यूल है।<ref>{{harvnb|Helgason|1978|loc=Lemma 2.3'}}</ref>

संकेतन को हल्का करने के लिए लगाएं <math>E = \Gamma(M, T M)</math> इसलिए <math>E^* = \Gamma(M, T^* M)</math>.<ref>This is actually the ''definition'' of differential one-forms, global sections of <math>T^*M</math>, in Helgason, but is equivalent to the usual definition that does not use module theory.</ref> जब p, q ≥ 1, प्रत्येक (k, l) के लिए 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q के साथ, R-बहुरेखीय मानचित्र होता है:

<math display="block">E^p \times {E^*}^q \to \mathfrak{T}^{p-1}_{q-1}, \, (X_1, \dots, X_p, \omega_1, \dots, \omega_q) \mapsto \langle X_k, \omega_l \rangle X_1\otimes \cdots\otimes \widehat{X_l}\otimes \cdots\otimes X_p \otimes \omega_1\otimes \cdots \widehat{\omega_l}\otimes \cdots\otimes \omega_q</math>
जहाँ <math>E^p</math> अर्थ <math>\prod_1^p E</math> और टोपी का अर्थ है कि शब्द छोड़ा गया है। सार्वभौमिक गुण के अनुसार, यह अद्वितीय R-रेखीय मानचित्र से मेल खाता है:

<math display="block">C^k_l: \mathfrak{T}^p_q \to \mathfrak{T}^{p-1}_{q-1}.</math>
इसे सूचकांक (k, l) में टेंसरों का [[टेंसर संकुचन]] कहा जाता है। सार्वभौमिक गुण जो कहती है उसे खोलकर कोई देखता है:

<math display="block">C^k_l(X_1 \otimes \cdots \otimes X_p \otimes \omega_1 \otimes \cdots \otimes \omega_q) = \langle X_k, \omega_l \rangle X_1 \otimes \cdots \widehat{X_l} \cdots \otimes X_p \otimes \omega_1 \otimes \cdots \widehat{\omega_l} \cdots \otimes \omega_q.</math>
टिप्पणी: पूर्ववर्ती विचार अवकल ज्यामिति पर पाठ्यपुस्तकों में मानक है (उदाहरण के लिए, हेल्गासन)). तरह से, शीफ-सैद्धांतिक निर्माण (अथार्त , मॉड्यूल के शीफ की भाषा) अधिक प्राकृतिक और तेजी से अधिक सामान्य है; उसके लिए, अनुभाग देखें {{section link||Tensor product of sheaves of modules}}.

==समतल मॉड्यूल से संबंध==
सामान्य रूप में,

 <math display="block">-\otimes_R-:\text{Mod-}R\times R\text{-Mod}\longrightarrow \mathrm{Ab}</math> एक [[द्विभाजक]] है जो दाएं और बाएं R मॉड्यूल जोड़ी को इनपुट के रूप में स्वीकार करता है, और उन्हें एबेलियन समूहों की श्रेणी में टेंसर उत्पाद को असाइन करता है।

एक सही ''R'' मॉड्यूल ''M'', एक फ़ंक्टर को ठीक करके

<math display="block">M\otimes_R-:R\text{-Mod} \longrightarrow \mathrm{Ab}</math> उत्पन्न होता है, और फ़ंक्टर बनाने के लिए सममित रूप से बाएं R मॉड्यूल ''N'' को तय किया जा सकता है

<math display="block">-\otimes_R N:\text{Mod-}R \longrightarrow \mathrm{Ab}.</math>
[[होम बिफंक्टर]] के विपरीत <math>\mathrm{Hom}_R(-,-),</math> टेंसर कारक दोनों इनपुट में सहसंयोजक कारक है।

यह दिखाया जा सकता है कि <math>M\otimes_R-</math>- और <math>-\otimes_R N</math> सदैव सही स्पष्ट कारक होते हैं, किन्तु जरूरी नहीं कि स्पष्ट छोड़ दिया जाए <math>0\to \Z\to \Z\to \Z_n\to 0,</math> जहां पहला मानचित्र <math>n</math> द्वारा गुणा किया जाता है, स्पष्ट है किन्तु <math>\Z_n</math> के साथ टेंसर लेने के बाद नहीं)। परिभाषा के अनुसार, एक मॉड्यूल टी एक समतल मॉड्यूल है यदि <math>T\otimes_R-</math> एक स्पष्ट कारक है।

यदि <math> \{m_i \mid i\in I \}</math> और <math> \{n_j \mid j \in J\}</math> क्रमशः M और N के लिए सेट उत्पन्न कर रहे हैं, तो <math> \{m_i \otimes n_j \mid i\in I, j \in J\}</math> <math>M\otimes_R N.</math> के लिए एक जेनरेटिंग सेट होगा क्योंकि टेंसर फंक्टर <math>M\otimes_R-</math> कभी-कभी स्पष्ट छोड़ने में विफल रहता है, यह न्यूनतम जेनरेटिंग नहीं हो सकता है सेट करें, तथापि मूल जनरेटिंग सेट न्यूनतम हों। यदि M एक समतल मॉड्यूल है, तो फंक्टर<math>M\otimes_R-</math> एक समतल मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार स्पष्ट है। यदि टेंसर उत्पादों को क्षेत्र F पर लिया जाता है, तो हम ऊपर दिए गए सदिश रिक्त स्थान के स्थिति में हैं। चूँकि सभी F मॉड्यूल समतल हैं, द्विभाजक <math>-\otimes_R-</math> दोनों स्थितियों में स्पष्ट है, और दिए गए दो जनरेटिंग सेट आधार हैं, तो '''<math> \{m_i \otimes n_j \mid i\in I, j \in J\}</math>''' वास्तव में '''<math>M\otimes_F N.</math>''' के लिए एक आधार बनाता है।

{{See also|शुद्ध उपमॉड्यूल}}

==अतिरिक्त संरचना==
{{see also|साहचर्य बीजगणित का निःशुल्क उत्पाद}}

यदि S और T क्रमविनिमेय R-बीजगणित हैं, तो, समतुल्य मॉड्यूल के समान, {{math|''S'' ⊗<sub>''R''</sub> ''T''}} भी क्रमविनिमेय R-बीजगणित होगा, जिसमें {{math|1=(''m''<sub>1</sub> ⊗ ''m''<sub>2</sub>) (''n''<sub>1</sub> ⊗ ''n''<sub>2</sub>) = (''m''<sub>1</sub>''n''<sub>1</sub> ⊗ ''m''<sub>2</sub>''n''<sub>2</sub>)}}और रैखिकता द्वारा विस्तारित। इस सेटिंग में, टेंसर उत्पाद क्रमविनिमेय R-बीजगणित की श्रेणी में एक फाइबरयुक्त सहउत्पाद बन जाता है। (किन्तु यह R-बीजगणित की श्रेणी में एक सहउत्पाद नहीं है।)

यदि M और N दोनों क्रमविनिमेय वलय पर R -मॉड्यूल हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद फिर से R -मॉड्यूल है। यदि R वलय है, <sub>R</sub>M बायां R -मॉड्यूल और [[कम्यूटेटर]] है

{{block indent|em=1.5|text=''rs'' − ''sr''}}
R के किन्हीं दो अवयवो r और s, M के एनीहिलेटर (वलय सिद्धांत) में हैं, तो हम सेटिंग करके M को सही R मॉड्यूल में बना सकते हैं
{{block indent|em=1.5|text=''mr'' = ''rm''.}}

M पर R की कार्रवाई भागफल क्रमविनिमेय वलय की कार्रवाई के माध्यम से होती है। इस स्थिति में R के ऊपर M का टेंसर उत्पाद फिर से R-मॉड्यूल है। क्रमविनिमेय बीजगणित में यह बहुत ही सामान्य तकनीक है।

==सामान्यीकरण==

===मॉड्यूल के कॉम्प्लेक्स का टेंसर उत्पाद===
यदि ''X'', ''Y'' R-मॉड्यूल (आर क्रमविनिमेय रिंग) के कॉम्प्लेक्स हैं, तो उनका टेंसर उत्पाद द्वारा दिया गया कॉम्प्लेक्स है
<math display="block">(X \otimes_R Y)_n = \sum_{i + j = n} X_i \otimes_R Y_j,</math>
दिए गए अंतर के साथ: ''X<sub>i</sub>'' में ''X<sub>i</sub>'' के लिए और Y में Y<sub>''j''</sub>,
<math display="block">d_{X \otimes Y} (x \otimes y) = d_X(x) \otimes y + (-1)^i x \otimes d_Y(y).</math><ref>{{harvnb|May|1999|loc=ch. 12 §3}}</ref>
उदाहरण के लिए, यदि C समतल एबेलियन समूहों का एक श्रृंखला परिसर है और यदि G एक एबेलियन समूह है, तो <math>C \otimes_{\Z } G</math> का होमोलॉजी समूह G में गुणांक के साथ C का होमोलॉजी समूह है (यह भी देखें: सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय।)

===मॉड्यूल के ढेरों का टेंसर उत्पाद===
{{main|Sheaf of modules}}

मॉड्यूल के शीव्स का टेंसर उत्पाद विवृत उपसमुच्चय पर अनुभागों के मॉड्यूल के टेंसर उत्पादों के प्री-शीफ से जुड़ा शीफ है।

इस सेटअप में, उदाहरण के लिए, कोई स्मूथ मैनिफोल्ड M पर टेंसर क्षेत्र को टेंसर उत्पाद के (वैश्विक या स्थानीय) अनुभाग के रूप में परिभाषित कर सकता है (जिसे 'टेंसर बंडल' कहा जाता है)
<math display="block">(T M)^{\otimes p} \otimes_{O} (T^* M)^{\otimes q}</math>
जहां O, M पर सुचारु कार्यों के वलयो का शीफ है और बंडल <math>TM, T^*M</math> को M पर स्थानीय रूप से मुक्त शीव के रूप में देखा जाता है।<ref>See also [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Tensor_bundle Encyclopedia of Mathematics - Tensor bundle]</ref>

M पर बाहरी [[सबबंडल]] टेंसर बंडल का उपबंडल है जिसमें सभी एंटीसिमेट्रिक सहसंयोजक टेंसर सम्मिलित हैं। बाहरी बंडल का खंड (फाइबर बंडल) M पर भिन्न रूप हैं।

{{See also|टेंसर उत्पाद बंडल}}

एक महत्वपूर्ण स्थिति जब कोई गैर-कम्यूटेटिव वलयो के समूह पर टेंसर उत्पाद बनाता है तो डी-मॉड्यूल या डी-मॉड्यूल के सिद्धांत में प्रकट होता है; अथार्त , डिफरेंशियल ऑपरेटरों के शीफ पर टेंसर उत्पाद है ।

==यह भी देखें==
*[[टोर काम करता है]]
*[[बीजगणित का टेंसर उत्पाद]]
*क्षेत्रों का टेंसर उत्पाद
*[[व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद]]

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=proof}}


==संदर्भ==
<references/>
* {{citation |author=Bourbaki |title=Algebra}}
*{{citation|first=Sigurdur|last=Helgason|title=Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces|year=1978| publisher=Academic Press| isbn=0-12-338460-5}}
*{{citation|first1=D.G.|last1=Northcott|authorlink1=Douglas Northcott|title=Multilinear Algebra|publisher=Cambridge University Press| year=1984|isbn=613-0-04808-4}}.
*{{citation|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|authorlink1=Michiel Hazewinkel|first2=Nadezhda Mikhaĭlovna| last2=Gubareni |authorlink2 =Nadezhda Mikhaĭlovna|first3=Nadiya|last3=Gubareni|authorlink3=Nadiya Gubareni|first4=Vladimir V.| last4=Kirichenko |authorlink4= Vladimir V. Kirichenko|title=Algebras, rings and modules|publisher=Springer|year=2004|isbn=978-1-4020-2690-4}}.
* {{cite book |first=Peter |last=May |date=1999 |title=A concise course in algebraic topology |url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maybook.pdf |publisher=University of Chicago Press}}

{{tensors}}
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