View source for गुरुत्वाकर्षण क्षमता

{{Short description|Fundamental study of potential theory}}
{{redirect|गुरुत्वाकर्षण क्षमता|पृथ्वी की गुरुत्वाकर्षण क्षमता|भू-क्षमता|गुरुत्वाकर्षण क्षमता का क्षेत्र|गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र}}

[[File:GravityPotential.jpg|thumb|300px|एक समान गोलाकार पिंड में और उसके आसपास गुरुत्वाकर्षण क्षमता के द्वि-आयामी स्लाइस का प्लॉट। अनुप्रस्थ काट के विभक्ति बिंदु शरीर की सतह पर होते है।]][[शास्त्रीय यांत्रिकी|यांत्रिकी]] में, एक बिंदु पर '''गुरुत्वाकर्षण क्षमता''' प्रति इकाई द्रव्यमान के [[कार्य (भौतिकी)|कार्य]] के बराबर होती है, जो किसी वस्तु को एक निश्चित संदर्भ बिंदु से उस बिंदु पर ले जाने के लिए आवश्यक होती है। यह आवेश की भूमिका निभाने वाले द्रव्यमान के साथ विद्युत क्षमता के [[अनुरूप]] होती है। संदर्भ बिंदु, जहां क्षमता शून्य होती है, परिपाटी के अनुसार किसी भी द्रव्यमान से [[असीम]] रूप से दूर होती है, जिसके परिणामस्वरूप किसी भी परिमित दूरी पर नकारात्मक क्षमता होती है।

गणित में, गुरुत्वाकर्षण क्षमता को [[न्यूटोनियन क्षमता]] के रूप में भी जाना जाता है और [[संभावित सिद्धांत]] के अध्ययन में वास्तविक होता है। इसका उपयोग समान रूप से आवेशित या ध्रुवीकृत दीर्घवृत्त निकायों द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रोस्टैटिक और मैग्नेटोस्टैटिक क्षेत्रों को हल करने के लिए भी किया जाता है।<ref>{{cite book|title=Electrostatics and magnetostatics of polarized ellipsoidal bodies: the depolarization tensor method|first1=C.E.|last1=Solivérez|edition=1st English|year=2016|publisher=Free Scientific Information| isbn=978-987-28304-0-3}}</ref>
== संभावित ऊर्जा ==
{{main|गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा}}
किसी स्थान पर गुरुत्वीय विभव (वी) प्रति इकाई द्रव्यमान में उस स्थान पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (यू) है:

<math display="block">V = \frac{U}{m},</math>
जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है। स्थितिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है जो किसी पिंड को उसकी दी गई स्थिति तक ले जाती है। यदि पिंड का द्रव्यमान 1 किलोग्राम है, तो उस पिंड को सौंपी जाने वाली संभावित ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षमता के बराबर होती है। तो क्षमता की व्याख्या अनंत से एक इकाई द्रव्यमान को स्थानांतरित करने वाले गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक के रूप में की जा सकती है।

कुछ स्थितियों में, एक ऐसा क्षेत्र मानकर समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है जो स्थिति से लगभग स्वतंत्र होता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह के करीब के क्षेत्र में, गुरुत्वाकर्षण त्वरण, g, को स्थिर माना जा सकता है। उस स्थिति में, संभावित ऊर्जा में एक ऊंचाई से दूसरे तक का अंतर, एक अच्छा सन्निकटन होता है, रैखिक रूप से ऊंचाई में अंतर से संबंधित है:
<math display="block">\Delta U \approx mg \Delta h.</math>
== गणितीय रूप ==
द्रव्यमान M के एक [[बिंदु कण]] द्रव्यमान से दूरी x पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता V को उस कार्य W के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे बाहरी एजेंट द्वारा एक इकाई द्रव्यमान को अनंत से उस बिंदु तक लाने के लिए करने की आवश्यकता होती है:<ref>{{cite book|title=कणों और प्रणालियों की शास्त्रीय गतिशीलता|first1=J.B.|last1=Marion|first2=S.T.|last2=Thornton| edition=4th|page=[https://archive.org/details/classicaldynamic00mari_0/page/192 192]|year=1995|publisher=Harcourt Brace & Company |isbn=0-03-097302-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/classicaldynamic00mari_0/page/192}}</ref><ref>{{cite book |title=भौतिकविदों अंतर्राष्ट्रीय छात्र संस्करण के लिए गणितीय तरीके|edition=6th |first1=George B. |last1=Arfken |first2=Hans J. |last2=Weber |publisher=[[Academic Press]] |year=2005 |isbn=978-0-08-047069-6 |page=72 |url=https://books.google.com/books?id=tNtijk2iBSMC&pg=PA72}}</ref><ref>{{cite book |title=कैम्ब्रिज इंटरनेशनल एएस और ए लेवल फिजिक्स कोर्सबुक|edition=illustrated |first1=David |last1=Sang |first2=Graham |last2=Jones |first3=Gurinder |last3=Chadha |first4=Richard |last4=Woodside |first5=Will |last5=Stark |first6=Aidan |last6=Gill |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2014 |isbn=978-1-107-69769-0 |page=276 |url=https://books.google.com/books?id=SjsDBAAAQBAJ&pg=PA276}}</ref><ref>{{cite book |title=ए-लेवल फिजिक्स|edition=illustrated |first1=Roger |last1=Muncaster |publisher=[[Nelson Thornes]] |year=1993 |isbn=978-0-7487-1584-8 |page=106 |url=https://books.google.com/books?id=Knov8XAyf2cC&pg=PA106}}</ref>

<math display="block">V(\mathbf{x}) = \frac{W}{m} = \frac{1}{m} \int_{\infty}^{x} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \frac{1}{m} \int_{\infty}^{x} \frac{G m M}{x^2} dx = -\frac{G M}{x},</math>
जहाँ G [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक]] है, और 'F' गुरुत्वाकर्षण बल है। उत्पाद जीएम [[मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर]] है और अक्सर जी या एम की तुलना में अलग से उच्च परिशुद्धता के लिए जाना जाता है। क्षमता में प्रति द्रव्यमान ऊर्जा की इकाइयाँ होती है, उदाहरण के लिए, MKS प्रणाली ऑफ़ यूनिट्स प्रणाली में J/kg। परिपाटी के अनुसार, जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, यह हमेशा ऋणात्मक होता है, और जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, यह शून्य की ओर बढ़ता है।

[[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]], और इस प्रकार विशाल वस्तु के चारों ओर एक छोटे से पिंड का त्वरण, गुरुत्वाकर्षण क्षमता का नकारात्मक ढाल है। इस प्रकार एक नकारात्मक ढाल का नकारात्मक एक विशाल वस्तु की ओर सकारात्मक त्वरण उत्पन्न करता है। क्योंकि विभव का कोई कोणीय घटक नहीं है, इसकी प्रवणता है
<math display="block">\mathbf{a} = -\frac{GM}{x^3} \mathbf{x} = -\frac{GM}{x^2} \hat{\mathbf{x}},</math>
जहां x लंबाई 'x' का वेक्टर है जो बिंदु द्रव्यमान से छोटे शरीर की ओर इशारा करता है और <math>\hat{\mathbf{x}}</math> एक इकाई वेक्टर है जो बिंदु द्रव्यमान से छोटे शरीर की ओर इशारा करता है। इसलिए त्वरण का परिमाण एक [[व्युत्क्रम वर्ग नियम]] का पालन करता है:
<math display="block">|\mathbf{a}| = \frac{GM}{x^2}.</math>
[[बड़े पैमाने पर वितरण]] से जुड़ी क्षमता बिंदु द्रव्यमान की क्षमता का सुपरपोजिशन है। यदि द्रव्यमान वितरण बिंदु द्रव्यमान का एक परिमित संग्रह है, और यदि बिंदु द्रव्यमान बिंदुओं एक्स<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> पर स्थित है और द्रव्यमान एम<sub>1</sub>, ..., एम<sub>''n''</sub> है, तो बिंदु एक्स पर वितरण की क्षमता है
<math display="block">V(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n -\frac{Gm_i}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i|}.</math>

[[Image:Mass distribution line segment.svg|right|thumb|अंक x और r, r के साथ वितरित द्रव्यमान (ग्रे) और अंतर द्रव्यमान ''dm''(r) बिंदु r पर स्थित है।]]यदि द्रव्यमान वितरण को त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन]] आर<sup>3</sup> पर द्रव्यमान माप डीएम के रूप में दिया जाता है, तो क्षमता {{math|−''G''/{{abs|'''r'''}}}} डीएम के साथ विभव का [[कनवल्शन]] होता है।<ref>{{harvnb|Vladimirov|1984|loc=§7.8}}</ref> अच्छे स्थितयों में यह अभिन्न के बराबर है
<math display="block">V(\mathbf{x}) = -\int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x} - \mathbf{r}|}\,dm(\mathbf{r}),</math>
जहाँ {{math|{{abs|'''x''' − '''r'''}}}} बिंदु x और r के बीच की [[यूक्लिडियन दूरी]] है। यदि r पर वितरण के घनत्व का प्रतिनिधित्व करने वाला कोई फ़ंक्शन ''ρ''(r) है, जिससे कि {{math|1=''dm''('''r''') = ''ρ''('''r''') ''dv''('''r''')}}, जहाँ dv('r') यूक्लिडियन आयतन तत्व है, तो गुरुत्वाकर्षण क्षमता आयतन अभिन्न है
<math display="block">V(\mathbf{x}) = -\int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|}\,\rho(\mathbf{r})dv(\mathbf{r}).</math>
यदि V एक सतत द्रव्यमान वितरण ρ('r') से आने वाला एक संभावित कार्य है, तो [[लाप्लास ऑपरेटर]] का उपयोग करके ρ को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, {{math|Δ}}:
<math display="block">\rho(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi G}\Delta V(\mathbf{x}).</math>
जब भी ρ निरंतर होता है और एक बंधे हुए सेट के बाहर शून्य होता है, तो यह बिंदुवार होता है। सामान्यतः, बड़े पैमाने पर माप डीएम को उसी तरह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है यदि लाप्लास ऑपरेटर को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में लिया जाता है। परिणामस्वरूप, गुरुत्वाकर्षण क्षमता के समीकरण को संतुष्ट करती है। तीन चर लाप्लास समीकरण और न्यूटोनियन क्षमता के लिए ग्रीन का कार्य भी देखें।

सममित और पतित सहित सभी दीर्घवृत्ताकार आकृतियों के लिए ज्ञात पारलौकिक कार्यों के संदर्भ में अभिन्न को व्यक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=क्षमता का सिद्धांत|first1=W.D. |last1=MacMillan|year=1958|publisher=Dover Press}}</ref> इनमें गोला सम्मलित है, जहां तीन अर्ध अक्ष बराबर है, चपटा और लम्बी गोलभ, जहां दो अर्द्ध अक्ष बराबर है, पतित वाले जहां एक अर्ध अक्ष अनंत और असीमित शीट जहां दो अर्ध अक्ष अनंत है। इन सभी आकृतियों का व्यापक रूप से विद्युत चुंबकत्व के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षमता अभिन्न (स्थिर G के अलावा, 𝜌 एक स्थिर आवेश घनत्व होने के कारण) के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।

== गोलाकार समरूपता ==
एक गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान वितरण वितरण के बाहर पूरी तरह से एक पर्यवेक्षक के साथ व्यवहार करता है जैसे कि सभी द्रव्यमान केंद्र में केंद्रित थे, और इस प्रकार प्रभावी रूप से एक [[बिंदु द्रव्यमान]] के रूप में होता है। पृथ्वी की सतह पर, त्वरण तथाकथित मानक गुरुत्व g द्वारा दिया जाता है, लगभग 9.8 m/s<sup>2</sup>, चूंकि यह मान अक्षांश और ऊंचाई के साथ थोड़ा भिन्न होता है। त्वरण का परिमाण भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर थोड़ा बड़ा होता है क्योंकि पृथ्वी एक चपटी गोलाकार है।

एक गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान वितरण के भीतर, गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम को हल करना संभव होता है। त्रिज्या R, घनत्व ρ, और द्रव्यमान m के एक समान गोलाकार शरीर के भीतर, गोले के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल g केंद्र से दूरी r के साथ रैखिक रूप से भिन्न होता है, जो गोले के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षमता देता है, जो है<ref>{{cite book |title=भूभौतिकीय समीकरणों के लिए एक छात्र की गाइड|first1=William Lowrie |last1=Lowrie |publisher=Cambridge University Press |year=2011 |isbn=978-1-139-49924-8 |page=69 |url=https://books.google.com/books?id=HPE1C9vtWZ0C}} [https://books.google.com/books?id=HPE1C9vtWZ0C&pg=PA68 Extract of page 68]</ref><ref>{{cite book |title=ग्रहों के वातावरण का परिचय|edition=illustrated |first1=Agustin |last1=Sanchez-Lavega |publisher=CRC Press |year=2011 |isbn=978-1-4200-6735-4 |page=19 |url=https://books.google.com/books?id=lCXYQ4phwbwC}} [https://books.google.com/books?id=lCXYQ4phwbwC&pg=PA19 Extract of page 19]</ref>
<math display="block">V(r) = \frac {2}{3} \pi G \rho \left[r^2 - 3 R^2\right] = \frac{Gm}{2R^3} \left[r^2 -3 R^2\right], \qquad r \leq R,</math>
जो भिन्न रूप से गोले के बाहर के लिए संभावित कार्य से जुड़ता है।

== सामान्य सापेक्षता ==
{{see also|गुरुत्वीय त्वरण#सामान्य सापेक्षता|गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र#सामान्य सापेक्षता}}

[[सामान्य सापेक्षता]] में, गुरुत्वाकर्षण क्षमता को [[मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)|मीट्रिक टेंसर]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र कमजोर होता है और प्रकाश-गति की तुलना में स्रोत बहुत धीमी गति से आगे बढ़ रहा होता है, तो सामान्य सापेक्षता न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में कम हो जाती है, और गुरुत्वाकर्षण क्षमता के संदर्भ में मीट्रिक टेंसर का विस्तार किया जा सकता है।<ref name="Newtonian or gravitoelectric potential">{{citation|last1=Grøn|first1=Øyvind|last2=Hervik|first2=Sigbjorn|title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology|url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA201|year=2007 |publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-69200-5|page=201}}</ref>
== मल्टीपोल विस्तार ==
{{main|गोलाकार बहुध्रुव क्षण|मल्टीपोल विस्तार}}
एक बिंदु पर क्षमता {{math|'''x'''}} द्वारा दिया गया है
<math display="block">V(\mathbf{x}) = - \int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|}\ dm(\mathbf{r}).</math>

[[File:Massdistribution xy.svg|right|thumb|सदिश x और r के मूल के रूप में द्रव्यमान के केंद्र के साथ एक बड़े पैमाने पर वितरण (ग्रे) का चित्रण और वह बिंदु जिस पर सदिश x के शीर्ष पर क्षमता की गणना की जा रही है।]][[लीजेंड्रे बहुपद|लीजेंड्रे बहुपदों]] की एक श्रृंखला में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है। द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष स्थिति वैक्टर के रूप में बिंदु x और r का प्रतिनिधित्व करता है। अभिन्न में भाजक को देने के लिए वर्ग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है
<math display="block">\begin{align}
V(\mathbf{x}) &= - \int_{\R^3} \frac{G}{ \sqrt{|\mathbf{x}|^2 -2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{r} + |\mathbf{r}|^2}}\,dm(\mathbf{r})\\
&=- \frac{1}{|\mathbf{x}|}\int_{\R^3} \frac{G} \sqrt{1 -2 \frac{r}{|\mathbf{x}|} \cos \theta + \left( \frac{r}{|\mathbf{x}|} \right)^2}\,dm(\mathbf{r})
\end{align}</math>
जहां, अंतिम अभिन्न में, {{math|1=''r'' = {{abs|'''r'''}}}} और {{mvar|θ}} x और r के बीच का कोण है।

इंटीग्रैंड को [[टेलर श्रृंखला|श्रृंखला]] के रूप में विस्तारित किया जा सकता है {{math|1=''Z'' = ''r''/{{abs|'''x'''}}}}, गुणांकों की स्पष्ट गणना द्वारा किया जा सकता है। सामान्यीकृत [[द्विपद प्रमेय]] का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त करने का एक कम श्रमसाध्य विधि है।<ref name="AEM">{{cite book |first=C. R. Jr. |last=Wylie |date=1960 |title=उन्नत इंजीनियरिंग गणित|url=https://archive.org/details/advancedengineer00wyli |url-access=registration |location=New York |publisher=[[McGraw-Hill]] |edition=2nd |page=454 [Theorem 2, Section 10.8] }}</ref> परिणामी श्रृंखला लीजेंड्रे बहुपदों के लिए [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|उत्पादक फ़ंक्शन]] है:
<math display="block">\left(1- 2 X Z + Z^2 \right) ^{- \frac{1}{2}} \ = \sum_{n=0}^\infty Z^n P_n(X)</math>
|X| के लिए मान्य {{math|{{abs|''X''}} ≤ 1}} और {{math|{{abs|''Z''}} < 1}} गुणांक पी<sub>''n''</sub> घात n वाले लीजेंड्रे बहुपद है। इसलिए, समाकलन के गुणांकों को लेजेंड्रे बहुपदों द्वारा दिया जाता है {{math|1=''X'' = cos ''θ''}} तो क्षमता को एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है जो स्थिति x के लिए अभिसरण होता है जैसे कि {{math|''r'' < {{abs|'''x'''}}}} प्रणाली के सभी द्रव्यमान तत्वों के लिए (अर्थात, एक गोले के बाहर, द्रव्यमान के केंद्र पर केंद्रित, जो प्रणाली को घेरता है):
<math display="block"> \begin{align}
V(\mathbf{x}) &= - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|} \right)^n P_n(\cos \theta) \, dm(\mathbf{r})\\
&= - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \left(1 + \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right) \cos \theta + \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right)^2\frac {3 \cos^2 \theta - 1}{2} + \cdots\right)\,dm(\mathbf{r})
\end{align}</math>
अभिन्न <math display="inline">\int r \cos(\theta) \, dm</math> में द्रव्यमान के केंद्र का घटक है {{math|'''x'''}} दिशा है, यह गायब हो जाता है क्योंकि सदिश x द्रव्यमान के केंद्र से निकलता है। अत: समाकल को योग के चिन्ह के नीचे लाने पर प्राप्त होता है
<math display="block"> V(\mathbf{x}) = - \frac{GM}{|\mathbf{x}|} - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right)^2 \frac {3 \cos^2 \theta - 1}{2} dm(\mathbf{r}) + \cdots</math>
इससे पता चलता है कि अगर हम द्रव्यमान के केंद्र से समान दूरी वाले स्थितयों की तुलना करते है, तो एक गोलाकार द्रव्यमान के कारण क्षमता की तुलना में शरीर के बढ़ाव की दिशा में कम क्षमता और दिशाओं में उच्च क्षमता का कारण बनता है।

== संख्यात्मक मूल्य ==
पृथ्वी, सूर्य और [[आकाशगंगा]] वे से गुरुत्वाकर्षण के संबंध में कई स्थानों पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता का पूर्ण मूल्य निम्नलिखित तालिका में दिया गया है, यानी पृथ्वी की सतह पर एक वस्तु को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए 60 MJ/kg की आवश्यकता होती है, अन्य 900 MJ/kg को सूर्य के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए और आकाशगंगा के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए 130 GJ/kg से अधिक की आवश्यकता होती है। संभावित पलायन वेग का आधा वर्ग होता है।
{| class="wikitable"
|-
! rowspan="2" | जगह
! colspan="3" | इसके संबंध में
|-
! [[Earth|धरती]] !! [[Sun|सूर्य]] !! [[Milky Way|आकाशगंगा]]
|-
| पृथ्वी की सतह || 60 MJ/kg || 900 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| [[Low Earth orbit|लियो]] || 57 MJ/kg || 900 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| [[Voyager 1|वायेजर 1]] (पृथ्वी से 17,000 मिलियन किमी) || 23 J/kg || 8 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| पृथ्वी से 0.1 [[light-year|प्रकाश वर्ष]]|| 0.4 J/kg || 140 kJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|}
इन स्थानों पर गुरुत्वाकर्षण की तुलना होती है।
== यह भी देखें ==
* लीजेंड्रे बहुपद # लीजेंड्रे बहुपद के अनुप्रयोग
* मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर (जीएम)
* [[ जिओएड ]]
* [[ भू-क्षमता ]]
* [[भू-संभावित मॉडल]]

==टिप्पणियाँ==
<references />


==संदर्भ==
{{Refbegin|2}}
* {{Citation | last1=Vladimirov | first1=V. S. | title=Equations of mathematical physics | publisher=Marcel Dekker Inc. | location=New York | series=Translated from the Russian by Audrey Littlewood. Edited by Alan Jeffrey. Pure and Applied Mathematics | mr=0268497 | date=1971 | volume=3}}.
* {{cite journal|first1=W. X. | last1=Wang | title=The potential for a homogeneous spheroid in a spheroidal coordinate system. I. At an exterior point|  journal= J. Phys. A: Math. Gen. | year=1988| volume=21 | issue=22 | page=4245-4250| doi=10.1088/0305-4470/21/22/026 |bibcode=1988JPhA...21.4245W }}
* {{cite journal|first1=T. | last1=Milon | title= A note on the potential of a homogenous ellipsoid in ellipsoidal coordinates | journal=J. Phys. A: Math. Gen. | year=1990 |volume=23 | issue=4 | pages=581–584|doi=10.1088/0305-4470/23/4/027}}
* {{cite book |title=Postprincipia: Gravitation for Physicists and Astronomers | first = Peter|last=Rastall|publisher=[[World Scientific]]|date=1991|isbn=981-02-0778-6|pages=7ff}}
* {{cite journal| first1=John T. | last1=Conway | title = Exact solutions for the gravitational potential of a family of heterogeneous spheroids| journal=Mon. Not. R. Astron. Soc. | year=2000 | volume=316 | issue=3 | pages=555–558 | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x |bibcode=2000MNRAS.316..555C| doi-access=free }}
* {{cite journal| first1=H. S. |last1=Cohl | first2=J. E. |last2=Tohline | first3=A. R. P. | last3=Rau |title=Developments in determining the grativational potential using toroidal functions | journal = Astron. Nachr. | year=2000 | volume=321 | number= 5/6 | pages=363–372 | doi=10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X | bibcode=2000AN....321..363C}}
* {{Citation | last1=Thornton | first1=Stephen T. | last2=Marion | first2=Jerry B. | title=Classical Dynamics of Particles and Systems | publisher=Brooks Cole | edition=5th | isbn=978-0-534-40896-1 | date=2003}}.
* {{cite web |url=http://www.eas.slu.edu/People/LZhu/teaching/eas437/gravity.ppt |title=Gravity and Earth's Density Structure |access-date=2009-03-25 |first1=Lupeia|last1=Zhu|year=1988| agency=California Institute of Technology |publisher=Saint Louis University |department=Department of Earth and Atmospheric Sciences|work=EAS-437 Earth Dynamics}}
* {{cite web|url=http://surveying.wb.psu.edu/sur351/geoid/grava.htm|title=The Gravity Field of the Earth|access-date=2009-03-25 |author=Charles D. Ghilani|publisher=Penn State Surveying Engineering Program|date=2006-11-28|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110718143144/http://surveying.wb.psu.edu/sur351/geoid/grava.htm|archive-date=2011-07-18}}
* {{cite journal|first1=Toshio | last1=Fukushima | title= Prolate spheroidal harmonic expansion of gravitational field | journal= Astrophys. J. | year=2014 | volume=147 | page=152 |number=6| doi=10.1088/0004-6256/147/6/152|bibcode=2014AJ....147..152F}}
{{Refend}}

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[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:ऊर्जा (भौतिकी)]]
[[Category:क्षमता]]
[[Category:गुरुत्वाकर्षण]]