View source for गेंगेंबोइर बहुपद

{{Use American English|date = March 2019}}
{{Short description|Polynomial sequence}}
[[गणित]] में, गेंगेंबोइर  [[बहुपद]] या [[परागोलीय]] बहुपद C(α) n(x) भार फलन (1 − x2)α–1/2 के संबंध में अंतराल [−1,1] पर लाम्बिक बहुपद हैं। वे लीजेंड्रे बहुपदों और चेबिशेव बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं, और जैकोबी बहुपदों के विशेष प्रकरण हैं। उनका नाम लियोपोल्ड गेगेनबॉयर के नाम पर रखा गया है।

== विवरण ==
<gallery widths="300" heights="200" class="float-right">
File:Plot of the Gegenbauer polynomial C n^(m)(x) with n=10 and m=1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|गणित 13.1 फ़ंक्शन काम्प्लेक्स प्लॉट3D के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक जटिल विमान में गेगेनबॉयर बहुपद C n^(m)(x) के साथ n=10 और m=1 का प्लॉट
File:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|''α'' के साथ गेगेनबॉयर बहुपद=1
File:Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|''α''=2 के साथ गेगेनबॉयर बहुपद
File:Mplwp gegenbauer Cn05a3.svg|''α''=3 के साथ गेगेनबॉयर बहुपद
File:Gegenbauer polynomials.gif|''n'' के पहले 4 मानों के लिए ''xα''-प्लेन पर बहुपदों को दर्शाने वाला एनिमेशन।
</gallery>

गेंगेंबोइर  बहुपदों के विभिन्न प्रकार के लक्षण उपलब्ध हैं।

* बहुपदों को उनके जनन फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (स्टीन एंड वेइस 1971, §IV.2):

::<math>\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n \qquad (0 \leq |x| < 1, |t| \leq 1, \alpha > 0)</math>
* बहुपद पुनरावर्तन संबंध को संतुष्ट करते हैं {{harv|Suetin|2001}}:

::<math>
\begin{align}
C_0^{(\alpha)}(x) & = 1 \\
C_1^{(\alpha)}(x) & = 2 \alpha x \\
(n+1) C_{n+1}^{(\alpha)}(x) & = 2(n+\alpha) x C_{n}^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(x).
\end{align}
</math>
* गेंगेंबोइर  बहुपद गेंगेंबोइर अवकल समीकरण के विशेष समाधान हैं {{harv|Suetin|2001}}:

::<math>(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0.\,</math>
:जब α = 1/2, समीकरण लीजेंड्रे समीकरण में कम हो जाता है, और गेगेनबॉयर बहुपद लीजेंड्रे बहुपद में कम हो जाता है।
:जब α = 1, समीकरण घट कर चेबिशेव अवकल समीकरण बन जाता है, और गेगेनबाउर बहुपद दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद बन जाते हैं।<ref>Arfken, Weber, and Harris (2013) "Mathematical Methods for Physicists", 7th edition; ch. 18.4</ref>
* उन्हें कुछ मामलों में [[गॉसियन हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] के रूप में दिया जाता है जहां श्रृंखला वास्तव में परिमित होती है:

::<math>C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right).</math>
:(अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm पृष्ठ 561])। यहाँ (2α)<sub>''n''</sub> [[बढ़ती फैक्टोरियल]] है। स्पष्ट रूप से,
::<math>
C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.
</math>
* वे जैकोबी बहुपदों के विशेष प्रकरण हैं {{harv|Suetin|2001}}:
::<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\alpha-1/2)}(x).</math>
:जिसमें <math>(\theta)_n</math> के बढ़ते फैक्टोरियल का प्रतिनिधित्व करता है <math>\theta</math>.
: इसलिए एक के पास [[रोड्रिग्स तैयार करता है]] भी है
::<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!}\frac{\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(2\alpha)\Gamma(\alpha+n+\frac{1}{2})}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right].</math>












== लंबकोणीयता और सामान्यीकरण ==

निश्चित α के लिए, बहुपद भार फलन के संबंध में [−1, 1] पर लाम्बिक हैं (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_774.htm p. 774) ])

:<math> w(z) = \left(1-z^2\right)^{\alpha-\frac{1}{2}}.</math>
समझ के लिए, n ≠ m के लिए,

:<math>\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = 0.</math>
द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है

:<math>\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(x)\right]^2(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.</math>


== अनुप्रयोग ==
गेंगेंबोइर  बहुपद स्वाभाविक रूप से [[संभावित सिद्धांत]] और [[हार्मोनिक विश्लेषण]] के संदर्भ में लेजेंड्रे बहुपदों के विस्तार के रूप में प्रकट होते हैं। 

Rn में न्यूटोनियन क्षमता का विस्तार है, α = (n - 2)/2 के साथ मान्य है,

:<math>\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{n-2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\mathbf{x}|^k}{|\mathbf{y}|^{k+n-2}}C_k^{(\alpha)}(\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}||\mathbf{y}|}).</math>
जब n = 3, यह गुरुत्वीय क्षमता का लेजेंड्रे बहुपद विस्तार देता है। एक गेंद में [[पोइसन कर्नेल]] के विस्तार के लिए इसी तरह के भाव उपलब्ध हैं {{harv|Stein|Weiss|1971}}.

यह इस प्रकार है कि मात्रा <math>C^{((n-2)/2)}_k(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})</math> [[गोलाकार हार्मोनिक्स]] हैं, जब केवल x के कार्य के रूप में माना जाता है। वास्तव में, वे सामान्यीकरण स्थिरांक तक बिल्कुल [[आंचलिक गोलाकार हार्मोनिक|आंचलिक गोलाकार]] हॉर्मोनिक्स हैं।

गेंगेंबोइर  बहुपद भी [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|सकारात्मक-निश्चित फलनों]] के सिद्धांत में दिखाई देते हैं।

आस्की-गैस्पर असमानता पढ़ती है
:<math>\sum_{j=0}^n\frac{C_j^\alpha(x)}{{2\alpha+j-1\choose j}}\ge 0\qquad (x\ge-1,\, \alpha\ge 1/4).</math>
विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय विधियों में, यदि किसी फलन को चेबिशेव बहुपदों के आधार पर विस्तारित किया जाता है और इसके व्युत्पन्न को गेगेनबॉयर/अल्ट्रास्फियरिकल आधार पर दर्शाया जाता है, तो व्युत्पन्न संकारक एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] बन जाता है, जिससे बड़ी समस्याओं के लिए तेजी से बंधी हुई मैट्रिक्स विधियाँ बन जाती हैं।<ref name="OlverTownsend2013">{{cite journal | last1 = Olver | first1 = Sheehan | last2 = Townsend | first2 = Alex | title = एक तेज और अच्छी तरह से वातानुकूलित स्पेक्ट्रल विधि| journal = SIAM Review | date = January 2013 | volume = 55 | issue = 3 | pages = 462–489 | issn = 0036-1445 | eissn = 1095-7200 | doi = 10.1137/120865458 | arxiv = 1202.1347 }}</ref>


== यह भी देखें ==

* [[रोजर्स बहुपद]], गेंगेंबोइर  बहुपदों का क्यू-एनालॉग
* चेबिशेव बहुपद
* [[रोमानोव्स्की बहुपद]]

== संदर्भ ==

* {{Abramowitz_Stegun_ref|22|773}}*{{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontofo0000stei}}.
* {{springer|title=Ultraspherical polynomials|id=U/u095030|first=P.K.|last=Suetin}}.

;Specific
<references />

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