View source for गेज समूह (गणित)

{{Short description|Group of gauge symmetries in Yang–Mills theory}}
एक गेज समूह एक प्रमुख बंडल पर [[प्रमुख कनेक्शन|प्रमुख संबंध]] के यांग-मिल्स गेज सिद्धांत के गेज समरूपता का एक समूह है। झूठ समूह <math>G</math> के साथ एक प्रमुख बंडल <math>P\to X </math> दिया गया है, एक गेज समूह को इसके ऊर्ध्वाधर ऑटोमोर्फिज़्म के एक समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। यह समूह संबद्ध समूह बंडल <math> \widetilde P\to X</math> के वैश्विक वर्गों के समूह <math>G(X) </math> के लिए समरूप है, जिसका विशिष्ट फाइबर एक समूह <math>G</math> है जो आसन्न प्रतिनिधित्व द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। <math>G(X) </math> का इकाई तत्व <math> \widetilde P\to X</math> का एक स्थिर इकाई-मान खंड <math>g(x)=1</math> है।

इसी समय, [[गेज गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत]] [[सहसंयोजक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत|सहसंयोजक मौलिक क्षेत्र सिद्धांत]] को एक प्रमुख [[फ्रेम बंडल]] पर उदाहरण देता है, जिसकी गेज समरूपता [[सामान्य सहसंयोजक परिवर्तन]] हैं जो एक गेज समूह के तत्व नहीं हैं।

[[गेज सिद्धांत]] पर भौतिक साहित्य में, मुख्य बंडल के एक संरचना समूह को प्रायः गेज समूह कहा जाता है।

[[क्वांटम गेज सिद्धांत]] में, गेज समूह <math>G(X) </math> के एक सामान्य उपसमूह <math>G^0(X) </math> पर विचार किया जाता है जो स्टेबलाइजर है

: <math>G^0(X)=\{g(x)\in G(X)\quad : \quad g(x_0)=1\in \widetilde P_{x_0}\} </math>
समूह बंडल <math>1\in \widetilde P_{x_0} </math> के किसी बिंदु <math> \widetilde P\to X</math> का। इसे बिंदु गेज समूह कहा जाता है। यह समूह प्रमुख संबंध के स्थान पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। जाहिर है, <math> G(X)/G^0(X)=G</math> एक प्रभावी गेज समूह <math> \overline G(X)=G(X)/Z</math> का भी परिचय देता है जहां <math>Z</math> एक गेज समूह <math>G(X) </math> का केंद्र है। यह समूह <math> \overline G(X)</math> अलघुकरणीय प्रमुख संयोजनों के स्थान पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है।

यदि एक संरचना समूह <math> G</math> एक जटिल अर्ध-सरल आव्यूह समूह है, तो गेज समूह <math> G(X)</math> के सोबोलेव समापन <math>\overline G_k(X)</math> को प्रस्तुत किया जा सकता है। यह एक झूठ समूह है। एक मुख्य बिंदु यह है कि मुख्य संबंध के एक स्थान के सोबोलेव पूर्णता <math>A_k</math> पर <math>\overline G_k(X)</math> की क्रिया सुचारू है, और एक कक्षा स्थान <math>A_k/\overline G_k(X)</math> [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थान]] है। यह क्वांटम गेज सिद्धांत का विन्यास स्थान है।
== संदर्भ ==
* Mitter, P., Viallet, C., On the bundle of connections and the gauge orbit manifold in Yang – Mills theory, ''Commun. Math. Phys.'' '''79''' (1981) 457.
* Marathe, K., Martucci, G., ''The Mathematical Foundations of Gauge Theories'' (North Holland, 1992) {{ISBN|0-444-89708-9}}.
* Mangiarotti, L., [[Gennadi Sardanashvily|Sardanashvily, G.]], ''Connections in Classical and Quantum Field Theory'' (World Scientific, 2000) {{ISBN|981-02-2013-8}}


== यह भी देखें ==
* गेज समरूपता (गणित)
* गेज सिद्धांत
* [[गेज सिद्धांत (गणित)]]
*प्रिंसिपल बंडल

श्रेणी:विभेदक ज्यामिति

श्रेणी:गेज सिद्धांत

श्रेणी:सैद्धांतिक भौतिकी



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