View source for घातीय प्रतिक्रिया सूत्र

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गणित में, '''घातीय प्रतिक्रिया सूत्र''' ('''ईआरएफ'''), जिसे घातीय प्रतिक्रिया और जटिल प्रतिस्थापन के रूप में भी जाना जाता है, किसी भी क्रम के गैर-सजातीय रैखिक साधारण अवकल समीकरण का विशेष समाधान खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि है।<ref name=MIT1>{{Citation | last1=Miller |first1=Haynes | last2=Mattuck | first2=Arthur |title=Differential Equations |volume=IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9 | date=June 2004 | pages=50–56 |hdl=1721.1/34888 }}</ref><ref name=wirkus>{{Citation | last1=Wirkus |first1=Stephen A. | last2=Swift | first2=Randal J. | last3=Szypowski | first3=Ryan S. |title=A Course in Differential Equations with Boundary Value Problems, Second Edition |series=Textbooks in Mathematics | publisher=Chapman and Hall/CRC | edition=2nd | year=2016 | isbn=978-1498736053 | pages=230–238 }}</ref> घातीय प्रतिक्रिया सूत्र निरंतर गुणांक वाले गैर-सजातीय रैखिक साधारण अवकल समीकरणों पर प्रयुक्त होता है यदि फलन बहुपद, ज्यावक्रीय, घातांकी या तीनों का संयोजन है।<ref name="wirkus" /> एक गैर-सजातीय रैखिक साधारण अवकल समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय ओडीई के सामान्य समाधान का एक अधिस्थापन है और गैर-सजातीय ओडीई का एक विशेष समाधान है।<ref name="MIT1" /> उच्च कोटि के साधारण अवकल समीकरणों को हल करने की वैकल्पिक विधियाँ अनिर्धारित गुणांकों की विधि और प्राचलों के विचरण की विधि हैं।

== संदर्भ और विधि ==

=== प्रयोज्यता ===
गैर-सजातीय अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि प्रयुक्त होती है यदि गैर-सजातीय समीकरण है या इसे <math>f(t)=B_1e^{\gamma_1 t}+B_2e^{\gamma_2 t} + \cdots + B_n e^{\gamma_n t}</math> रूप में परिवर्तित किया जा सकता है; जहां <math>B, \gamma</math> वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएं हैं और <math>f(t)</math> किसी भी क्रम का सजातीय रैखिक अवकल समीकरण है। फिर, इस तरह के समीकरण के दाईं ओर प्रत्येक पद के लिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र प्रयुक्त किया जा सकता है। रैखिकता के कारण, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र को तब तक प्रयुक्त किया जा सकता है जब तक कि दाईं ओर शर्तें हों, जो अधिस्थापन सिद्धांत द्वारा एक साथ जोड़ दी जाती हैं।

=== जटिल प्रतिस्थापन ===

जटिल प्रतिस्थापन समीकरण के गैर-सजातीय पद को एक जटिल घातांक फलन में परिवर्तित करने की एक विधि है, जो दिए गए अवकल समीकरण को एक जटिल घातीय बनाता है।

अवकल समीकरण <math>y''+ y = \cos(t)</math> पर विचार करें

जटिल प्रतिस्थापन करने के लिए, यूलर के सूत्र का उपयोग किया जा सकता है;

:<math>\begin{align}
\cos(t) &= \operatorname{Re}(e^{i t}) = \operatorname{Re}(\cos(t)+i \sin(t)) \\
\sin(t) &= \operatorname{Im}(e^{i t}) = \operatorname{Im}(\cos(t)+i \sin(t))
\end{align}</math>
इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण <math>z''+ z = e^{it}</math> में परिवर्तन होता है, जटिल अवकल समीकरण <math>z(t)</math> का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है, जिससे वास्तविक भाग मूल समीकरण का हल है।

जटिल प्रतिस्थापन का उपयोग अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है जब गैर-सजातीय पद एक ज्यावक्रीय फलन या एक घातीय फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे एक जटिल घातीय फलन अवकल और समाकल में परिवर्तित किया जा सकता है। मूल फलन की तुलना में इस तरह के जटिल घातीय फलन में कुशलतापूर्वक प्रयोग करना आसान है।

जब गैर-सजातीय पद को एक घातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो किसी [[विशेष समाधान]] को खोजने के लिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि या [[अनिर्धारित गुणांक विधि]] का उपयोग किया जा सकता है। यदि गैर-सजातीय पदों को जटिल घातीय फलन में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, तो पैरामीटरों की भिन्नता की लैग्रेंज विधि का समाधान खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

=== रैखिक समय-अपरिवर्तनीय संक्रियक ===

प्राकृतिक घटनाओं का अनुकरण करने में अवकल समीकरण महत्वपूर्ण हैं। विशेष रूप से, उच्च क्रम रैखिक अवकल समीकरणों के रूप में वर्णित कई घटनाएं हैं, उदाहरण के लिए स्प्रिंग कंपन, [[एलआरसी सर्किट|एलआरसी]] परिपथ, किरणपुंज [[विक्षेपण (इंजीनियरिंग)|विक्षेपण (अभियांत्रिकी)]], [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत प्रसंस्करण]], [[नियंत्रण सिद्धांत]] और प्रतिक्रिया पाश के साथ [[समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] सम्मिलित होते है।<ref name="MIT1" /> <ref name=signal>{{Citation | last1=Charles L |first1=Phillips |title=Signals, Systems, And Transforms | isbn =978-0-13-198923-8 | date= 2007 | pages=112–122 }}</ref>

गणितीय रूप से, प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय होता है यदि जब भी अंतर्गामी <math>f(t)</math> की प्रतिक्रिया <math>x(t)</math> होती है तो किसी स्थिरांक <math>f(t - a)</math> के लिए, अंतर्गामी <math>x(t - a)</math> की प्रतिक्रिया होती है। भौतिक रूप से, समय के व्युत्क्रम का तात्पर्य है कि प्रणाली की प्रतिक्रिया इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि अंतर्गामी किस समय प्रारंभ होता है। उदाहरण के लिए, यदि स्प्रिंग-केन्द्री प्रणाली संतुलन पर है, तो यह किसी दिए गए बल पर उसी तरह प्रतिक्रिया करेगा, फिर बल प्रयुक्त किया गया हो।

जब समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक होती है, तो इसे रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली (एलटीआई प्रणाली) कहा जाता है। इनमें से अधिकांश रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियाँ रेखीय अवकल समीकरणों से ली गई हैं, जहाँ गैर-सजातीय पद को अंतर्गामी संकेत कहा जाता है और गैर-सजातीय समीकरणों के समाधान को प्रतिक्रिया संकेत कहा जाता है। यदि अंतर्गामी संकेत घातीय रूप से दिया जाता है, तो संबंधित प्रतिक्रिया संकेत भी घातीय रूप से बदलता है।

निम्नलिखित <math>n</math>वें क्रम रैखिक अवकल समीकरण को ध्यान में रखते हुए

:<math>a_n \frac{d^n y}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+ \cdots +a_1 \frac{dy}{dt}+a_0 y = f(t) \qquad \qquad \quad (1)</math>
और संकेतन

:<math>L = a_n D^n+a_{n-1}D^{n-1}+ \cdots +a_1 D^1 +a_0 I,</math>
:<math>D^k = \frac{d^k}{dt^k} (k =1,2,\ldots,n),</math>
जहाँ <math>a_0,\ldots,a_n</math> निरंतर गुणांक हैं, अवकल संक्रियक <math>L</math> उत्पन्न करता है, जो रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय है और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय संक्रियक के रूप में जाना जाता है। संकारक <math>L</math> इसके अभिलक्षणिक बहुपद से प्राप्त होता है;

:<math>P(s)=a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0</math>
यहाँ औपचारिक रूप से अनिश्चित s को अवकलन संकारक <math>D</math> से प्रतिस्थापित करके
:<math>L=P(D)</math>
:<math>P(D) = a_n D^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_0 I</math>
इसलिए, समीकरण (1) को इस रूप में लिखा जा सकता है

:<math>P(D)y=f(t) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)</math>


=== समस्या समायोजन और घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि ===

उपरोक्त एलटीआई अवकल समीकरण को ध्यान में रखते हुए, घातीय निर्दिष्ट <math>f(t) = Be^{\gamma t}</math> के साथ जहाँ <math>B</math> और <math>\gamma</math> संख्याएं दी गई हैं। फिर, एक विशेष माप है

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>y_p = \frac{B e^{\gamma t}}{P(\gamma)} \qquad </math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF6}}
केवल वही <math>P(\gamma)\neq 0</math> प्रदान करें

प्रमाण: संकारक की [[रैखिकता]] के कारण <math>P(D)</math>, समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

: <math>P(D)(y_p)= P(D)\left( \frac{B e^{\gamma t}}{P(\gamma)}\right)=\frac{B}{P(\gamma)} P(D)(e^{\gamma t}) \qquad \qquad (3)</math>
दूसरी ओर, चूंकि

:<math>P(D) \left (e^{\gamma t} \right ) = P(\gamma) e^{\gamma t},</math>
इसे समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करते हुए, उत्पादन करता है

:<math>P(D)(y_p)= P(D) \left( \frac{B e^{\gamma t}}{P(\gamma)}\right)=\frac{B}{P(\gamma)} P(D) \left(e^{\gamma t} \right) = \frac{B}{P(\gamma)} P(\gamma) e^{\gamma t} = B e^{\gamma t}. </math>
इसलिए, <math>y_p</math> असमघात अवकल समीकरण का एक विशेष हल है।

इस प्रकार, एक विशेष प्रतिक्रिया के लिए उपरोक्त समीकरण <math>y_p</math> दिए गए घातीय अंतर्गामी के लिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र (ईआरएफ) कहा जाता है।

विशेष रूप से, <math>P(\gamma) = 0 </math> की स्थिति में, समीकरण का समाधान (2) द्वारा दिया गया है

:<math>y_p = \frac{Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma)}, \qquad P'(\gamma) \neq 0</math>
और अनुनादी प्रतिक्रिया सूत्र कहा जाता है।

== उदाहरण ==

आइए दूसरे क्रम के रैखिक गैर-सजातीय ओडीई का विशेष समाधान खोजें;

:<math> 2x''+x'+x = 1 + 2e^t + e^{-t}\cos(t).</math>
विशेषता बहुपद <math>P(s) = 2s^2+s+1</math> है । इसके अतिरिक्त, गैर-सजातीय पद, <math>f(t) = 1+2e^t+e^{-t}\cos(t)</math> इस प्रकार लिखा जा सकता है

:<math> f(t) = f_1(t)+f_2(t)+f_3(t), f_1(t) = 1, f_2(t) = 2e^t, f_3(t)=e^{-t}\cos(t).</math>
फिर, संबंधित विशेष समाधान <math>f_1(t), f_2(t)</math> और <math> f_3(t)</math>, क्रमशः पाए जाते हैं।

सबसे पहले, गैर-सजातीय पद पर <math>f_1(t)=1</math> विचार करते हुए इस स्थिति में, <math>f_1(t)=1=e^{0 \cdot t}, \gamma = 0</math> और <math>P(\gamma) = P(0) = 1 \neq 0</math> के बाद से

घातीय प्रतिक्रिया सूत्र से, एक विशेष समाधान के अनुरूप <math>f_1(t)</math> पाया जा सकता है।

: <math> x_{1p} = \frac{f_1(t)}{P(0)} = \frac{1}{1} = 1</math>.

इसी प्रकार, एक विशेष समाधान <math>f_2(t)</math> के अनुरूप पाया जा सकता है।

: <math> x_{2p} = \frac{f_2(t)}{P(1)} = \frac{2e^t}{4} = \frac{e^t}{2}.</math>
:आइए तीसरे पद के संगत डीई का एक विशेष हल ज्ञात करें;

:<math>2x''+x'+x = e^{-t}\cos(t).</math>
ऐसा करने के लिए, समीकरण को जटिल-मान समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसका यह वास्तविक भाग है:

:<math>2z''+z'+z = e^{(-1+i)t}.</math>
घातीय प्रतिक्रिया सूत्र (ईआरएफ) को प्रयुक्त करने से उत्पादन होता है

:<math>\begin{align}
z_p &= \frac{e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)} \\
&=\frac{ie^{(-1+i)t}}{3} && P(-1+i)=2(-1+i)^2+(-1+i)+1=-3i
\end{align}</math>
और वास्तविक भाग है

:<math>x_{3p}=-\frac{1}{3}e^{-t}\sin(t).</math>
इसलिए, दिए गए समीकरण <math>x_p</math>का विशेष समाधान है

: <math> x_p=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+\frac{e^t}{2}-\frac{1}{3}e^{-t}\sin(t).</math>


== अनिर्धारित गुणांकों की विधि के साथ तुलना ==

अनिर्धारित गुणांक विधि गैर-सजातीय पद के रूप के अनुसार एक समाधान प्रकार का उपयुक्त रूप से चयन करने और अनिर्धारित स्थिरांक का निर्धारण करने की एक विधि है, ताकि यह गैर-सजातीय समीकरण को संतुष्ट करे।<ref name=ode2>{{Citation | last1=Coddington |first1=Earl A. | last2=Carlson | first2=Robert |title=Linear Ordinary Differential Equations|isbn=0-89871-388-9 | date=1997 | pages=3–80 | url=http://gibbs.if.usp.br/~marchett/fismat2/linear-ode_coddington-carlson.pdf}}</ref> दूसरी ओर, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि अवकल संक्रियक के आधार पर एक विशेष समाधान प्राप्त करती है।<ref name="wirkus" /> दोनों विधियों के लिए समानता यह है कि स्थिर गुणांक वाले गैर-सजातीय रैखिक अवकल समीकरणों के विशेष समाधान प्राप्त किए जाते हैं, जबकि विचाराधीन समीकरण का रूप दोनों विधियों में समान है।

उदाहरण के लिए <math>y''+y=e^t</math> अनिर्धारित गुणांकों की विधि के साथ एक विशेष समाधान खोजने के लिए विशेषता समीकरण <math>\lambda^2 + 1=0,  \lambda = \pm i</math> को हल करने की आवश्यकता है। गैर सजातीय पद <math>f(t)=Be^{\gamma t},  B=1, \gamma = 1</math> तब माना जाता है और तब से <math>\gamma =1</math> एक अभिलाक्षणिक मूल नहीं है, यह <math>y_p(t) = Ae^{\gamma t}</math> के रूप में एक विशेष समाधान रखता है, जहां A अनिर्धारित स्थिरांक है। अनंतिम स्थिर प्रतिफल निर्धारित करने के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करना

:<math>\lambda^2 A e^{\lambda t}+Ae^{\lambda t} = e^{\lambda t}</math> इसलिए

:<math>A = \frac{1}{\lambda^2+1}.</math>
विशेष समाधान के रूप में पाया जा सकता है:<ref name="Grimaldi">Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics''. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. {{isbn|0-8493-0149-1}}.</ref>
:<math>y_p(t) = Ae^{\lambda t} = \frac{e^{\lambda t}}{\lambda^2+1}.</math>
दूसरी ओर, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि के लिए विशिष्ट बहुपद<math>P(s)=s^2+1</math> की आवश्यकता होती है, जिसके बाद गैर-सजातीय पद <math>f(t)=Be^{\gamma t}, B=1, \gamma = 1</math> जटिल प्रतिस्थापित है। विशेष समाधान तब सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है

:<math>y_p(t) = \frac{e^{\lambda t}}{P(\lambda)}= \frac{e^{\lambda t}}{\lambda^2+1}.</math>


== सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र ==
<math>P(\gamma ) \neq 0</math> की स्थिति में घातीय प्रतिक्रिया सूत्र विधि पर चर्चा की गई थी, <math>P(\gamma ) = 0,  P'(\gamma ) \neq 0</math> की स्थिति मे अनुनादी प्रतिक्रिया सूत्र भी माना जाता है।

<math>P(\gamma)=P'(\gamma)=\cdots=P^{(k-1)}(\gamma)=0, P^k(\gamma)\neq 0 </math> की स्थिति मे, हम चर्चा करेंगे कि इस खंड में घातीय प्रतिक्रिया सूत्र पद्धति का वर्णन कैसे किया जाएगा।

मान लीजिए कि <math>P(D)</math> स्थिर गुणांक वाला एक बहुपद संकारक है, और <math>P^{(m)}</math> इसका <math>m</math>-वें अवकल हो । फिर ओडीई
:<math>P(D)y = Be^{\gamma t}</math>, जहाँ <math>\gamma</math> वास्तविक या जटिल है।
निम्नलिखित के रूप में विशेष समाधान है।
 
*<math>P(\gamma)\neq 0</math> इस स्थिति में, <math>y_p(t)=\tfrac{Be^{\gamma t}}{P(\gamma)}</math>(प्रतिपादक प्रतिक्रिया सूत्र) द्वारा एक विशेष समाधान दिया जाएगा

*<math>P(\gamma)=0</math> लेकिन <math> P'(\gamma)\neq 0</math> इस स्थिति में, <math>y_p(t) =\tfrac{Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma)}</math>(अनुनादी प्रतिक्रिया सूत्र) द्वारा एक विशेष समाधान दिया जाएगा

*<math>P(\gamma)=P'(\gamma)=\cdots=P^{(k-1)}(\gamma)=0</math> लेकिन <math> P^k(\gamma)\neq 0</math> इस स्थिति में, एक विशेष समाधान दिया जाएगा
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>y_p(t)=\frac{Bt^k e^{\gamma t}}{P^{(k)}(\gamma)},  k=2,\ldots,m</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF6}}

उपरोक्त समीकरण को सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र कहा जाता है।

=== उदाहरण ===

निम्नलिखित ओडीई का एक विशेष समाधान खोजने के लिए;
:<math>y'''-3y'+2y = 6e^t.</math>
विशेषता <math>P(s) = s^3-3s+2</math> बहुपद है

गणना करके, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

: <math> P(1)=0,P'(1)=0, P''(1)=6 \neq 0.</math>
शून्य से विभाजन के कारण मूल घातीय प्रतिक्रिया सूत्र इस स्थिति पर प्रयुक्त नहीं होता है। इसलिए, सामान्यीकृत घातीय प्रतिक्रिया सूत्र और परिकलित स्थिरांक का उपयोग करके, विशेष समाधान है

:<math>y_p(t)=\frac{6t^2 e^t}{P''(1)}=\frac{6t^2 e^t}6 = t^2 e^t.</math>


== अनुप्रयोग उदाहरण ==

=== स्प्रिंग से विलम्बन वस्तु की गति ===
विस्थापन के साथ स्प्रिंग से विलम्बन वस्तु <math>d</math> व्यवहार करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण, स्प्रिंग बल, वायु प्रतिरोध और कोई अन्य बाहरी बल है।
 
हुक के नियम से, वस्तु की गति का समीकरण इस प्रकार व्यक्त किया जाता है;<ref name=ode1>{{Citation | last1=Edwards |first1=C. Henry | last2=Penney | first2=David E. |title=ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS|isbn=978-0-13-239730-8  | date=2008 | pages=100–193 }}</ref><ref name=ode2/>

:<math> m \frac{d^2 x}{dt^2}+r\frac{dx}{dt}+kx = F(t),</math>
जहाँ <math>F(t)</math> बाह्य बल है।

अब, अवरोध (भौतिकी) को <math> F(t) = F_0\cos(\omega t)</math> उपेक्षित माना जाता है और, जहाँ <math> \omega =\sqrt{\tfrac{k}{m}}</math> बाह्य बल आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ समतुल्य है। इसलिए, ज्यावक्रीय प्रणोदन बल के साथ [[लयबद्ध दोलक|सरल आवर्ती दोलक]] निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

: <math>m \frac{d^2 x}{dt^2}+kx = F(t).</math>
फिर, एक विशेष माप है

: <math>x_p = \frac{F_0}{2\sqrt{km}}t\sin(\omega t).</math>
जटिल प्रतिस्थापन और घातीय प्रतिक्रिया सूत्र प्रयुक्त करना: यदि <math>z_p</math> जटिल डीई का समाधान है

:<math>m \frac{d^2 z}{dt^2}+kz = F_0 e^{i\omega t},</math>
तब <math>x_p=\operatorname{Re}(z_p)</math> दिए गए डीई का समाधान होगा।

विशिष्ट बहुपद <math>P(s) = m s^2+k</math>, और <math>\gamma = i\omega</math> ताकि <math>P(\gamma) = 0</math> प्राप्त है। हालाँकि <math>P'(s) = 2ms</math>, तब <math>P'(\gamma)=P'(i\omega)=2m\omega i \neq 0</math> प्राप्त होता है। इस प्रकार, घातीय प्रतिक्रिया सूत्र का अनुनादी स्थिति देता है

:<math>\begin{align}
y_p & = \operatorname{Re}\left( \frac{F_0 te^{i\omega t}}{P'(\gamma)}\right) \\[4pt]
&= \operatorname{Re}\left( \frac{F_0 t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega}\right) \\[4pt]
& = \operatorname{Re}\left( \frac{-F_0 t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega}\right) \\[4pt]
& = \frac{F_0 t \sin(\omega t)}{2m\omega} \\[4pt]
&=\frac{F_0}{2\sqrt{km}}t\sin(\omega t).
\end{align}</math>


=== विद्युत परिपथ ===
विद्युत परिपथ के माध्यम से प्रवाहित विद्युत धारा को ध्यान में रखते हुए, जिसमें एक प्रतिरोध (<math>R</math>), एक संधारित्र (<math>C</math>), एक कुंडल तार (<math>L</math>), और एक बैटरी (<math>E</math>) होता है, जो श्रृंखला में जुड़ा हुआ है। <ref name=signal/><ref name=ode1/>

इस प्रणाली का वर्णन किरचॉफ द्वारा किरचॉफ के विद्युत-दाब नियम (केवीएल) नामक समाकल-अवकल समीकरण द्वारा किया गया है जो प्रतिरोधी से संबंधित <math>R</math>, संधारित्र <math>C</math>, प्रेरक <math>L</math>, बैटरी <math>E</math>, और धारा <math>I</math> एक परिपथ में इस प्रकार है,

:<math>LI'(t)+RI(t)+\frac 1 C \int_{t_0}^t I(s) \, ds = \int_{t_0}^t E(s)\,ds</math>
उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को अलग करने से निम्नलिखित ओडीई उत्पन्न होता है।

:<math> LI''(t)+RI'(t)+\frac{1}{C} I(t) = E(t) </math>
अब <math>E(t)=E_0\sin(\omega_0 t)</math> मानते हुए, जहाँ <math>\omega_0=\sqrt{\tfrac{1}{LC}}</math> है। एलआरसी परिपथ <math>\omega_0</math> में अनुनाद आवृत्ति कहा जाता है। उपरोक्त धारणा के अंतर्गत, अंतर्गामी के अनुरूप निर्गम (विशेष समाधान) <math>E(t)</math> पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, दिए गए अंतर्गामी को जटिल रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

:<math> E(t)=E_0 \sin(\omega_0 t) = \operatorname{Im}(E_0 e^{i \omega_0 t})</math>
विशेषता <math>P(s) = Ls^2+Rs+\frac{1}{s}</math> बहुपद है, जहाँ <math>P(i\omega_0)=i\omega_0 R\neq 0</math> प्राप्त है, इसलिए घातीय प्रतिक्रिया सूत्र से, एक विशेष समाधान निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है;

:<math>\begin{align}
I_p & = \operatorname{Im} \left( \frac{E_0 e^{i\omega_0 t}}{P(i\omega_0)} \right)  \\
&= \operatorname{Im} \left( \frac{E_0 e^{i\omega_0 t}}{i\omega_0 R} \right) \\
&= \operatorname{Im} \left( \frac{-E_0(i\cos(\omega_0 t)-\sin(\omega_0 t))}{\omega_0 R} \right) \\[4pt]
& = \frac{-E_0 \cos(\omega_0 t)}{\omega_0 R}
\end{align}</math>


=== सम्मिश्र लब्धि और मंदन प्रावस्था ===
सामान्य एलटीआई प्रणाली को ध्यान में रखते हुए

:<math> P(D)x = Q(D)f(t)</math>
जहाँ <math>f(t)</math> निर्दिष्ट है और <math>P(D), Q(D)</math> यह मानते हुए बहुपद संकारक <math>P(s)\neq 0</math> दिए गए हैं। उस स्थिति में <math>f(r) = F_0\cos(\omega t)</math> दिए गए समीकरण का एक विशेष समाधान है

:<math>x_p(t) = \operatorname{Re}\left ( F_0 \frac{Q(i\omega)}{P(i\omega)}e^{i\omega t}\right).</math>
मुख्य रूप से भौतिकी और संकेत प्रक्रमन में उपयोग की जाने वाली निम्नलिखित अवधारणाओं को ध्यान में रखते हुए।

* अंतर्गामी का आयाम <math>F_0</math> है इसमें अंतर्गामी मात्रा के समान इकाइयाँ हैं।
* अंतर्गामी की कोणीय आवृत्ति <math>\omega</math> है। इसमें रेडियन/समय की इकाई होती है। प्रायः इसे आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाएगा, तथापि तकनीकी रूप से आवृत्ति में चक्र/समय की इकाइयां हों।
* प्रतिक्रिया का आयाम <math>A = F_0|Q(i\omega)/P(i\omega)|</math> है। इसमें प्रतिक्रिया मात्रा के समान इकाइयाँ होती हैं।
*लब्धि <math>g(\omega) = |Q(i\omega)/P (i\omega)|</math> है। लब्धि वह कारक है जो प्रतिक्रिया के आयाम को प्राप्त करने के लिए अंतर्गामी आयाम को गुणा करता है। इसमें अंतर्गामी इकाइयों को निर्गम इकाइयों में बदलने के लिए आवश्यक इकाइयाँ होती हैं।
* मंदन प्रावस्था <math>\phi = -\operatorname{Arg}(Q(i\omega)/P(i\omega))</math> है। मंदन प्रावस्था में रेडियन की इकाइयाँ होती हैं, अर्थात यह आयाम रहित है।
*समय का अंतराल <math>\phi/ \omega</math> है। इसमें समय की इकाइयाँ हैं। यह वह समय है जब निर्गम का शीर्ष अंतर्गामी से पीछे रह जाता है।
* सम्मिश्र लब्धि <math>Q(i\omega)/P(i\omega)</math> है। यह वह कारक है जिससे जटिल निर्गम प्राप्त करने के लिए जटिल अंतर्गामी को गुणा किया जाता है।

==संदर्भ==
{{Reflist|30em}}


== बाहरी संबंध ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_10.pdf Operators and the exponential response formula]
* [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-equations-fall-2011/unit-ii-second-order-constant-coefficient-linear-equations/exponential-response/MIT18_03SCF11_s14_4btext.pdf Generalized exponential response formula]
* [http://course.study.cerbibo.com/NR/rdonlyres/Mathematics/18-03Spring2004/753B488E-4EFD-4AA3-943E-497D5771528E/0/sup_10.pdf Basics of LTI operators and ERF]{{Dead link|date=December 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

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