View source for चक्रवृद्धि ब्याज

{{short description|Compounding sum paid for the use of money}}
[[File:Compound interest (English).gif|thumb|300px|प्रभावी ब्याज दरें]]
[[File:Compound Interest with Varying Frequencies.svg|thumb|right|310px|विभिन्न चक्रवृद्धि आवृत्तियों पर प्रारंभिक $1,000 निवेश पर 20% वार्षिक ब्याज अर्जित करने का प्रभाव]]


'''चक्रवृद्धि ब्याज''' एक ऋण या जमा की मूल राशि में ब्याज का योग है, या दूसरे शब्दों में, मूलधन पर ब्याज के साथ ब्याज। यह ब्याज को फिर से निवेश करने या इसे चुकाने के बजाय उधार ली गई पूंजी में जोड़ने, या उधारकर्ता से भुगतान की आवश्यकता का परिणाम है, ताकि अगली अवधि में ब्याज मूल राशि और पहले से संचित ब्याज पर अर्जित हो। [[वित्त]] और [[अर्थशास्त्र]] में चक्रवृद्धि ब्याज मानक है।

चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना साधारण ब्याज से की जाती है, जहां पहले से जमा हुआ ब्याज वर्तमान अवधि की मूल राशि में नहीं जोड़ा जाता है, इसलिए कोई चक्रवृद्धि नहीं होती है। साधारण वार्षिक ब्याज दर प्रति वर्ष अवधियों की संख्या से गुणा की जाने वाली ब्याज राशि है। साधारण वार्षिक ब्याज दर को [[मामूली ब्याज दर]] के रूप में भी जाना जाता है (मुद्रास्फीति के लिए समायोजित नहीं की जाने वाली ब्याज दर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उसी नाम से जाती है)।

== कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी (यौगिक आवृत्ति) ==
चक्रवृद्धि आवृत्ति प्रति वर्ष (या शायद ही कभी, समय की एक और इकाई) की संख्या है, जो नियमित आधार पर संचित ब्याज का भुगतान या पूंजीकरण (खाते में जमा) किया जाता है। बारंबारता वार्षिक, अर्धवार्षिक, त्रैमासिक, मासिक, साप्ताहिक, दैनिक या लगातार (या परिपक्वता तक बिल्कुल नहीं) हो सकती है।

उदाहरण के लिए, वार्षिक दर के रूप में अभिव्यक्त ब्याज के साथ मासिक पूंजीकरण का मतलब है कि चक्रवृद्धि आवृत्ति 12 है, जिसकी समय अवधि महीनों में मापी जाती है।

संयोजन का प्रभाव निम्न पर निर्भर करता है:
# नाममात्र की ब्याज दर जो लागू की जाती है और
# आवृत्ति ब्याज चक्रवृद्धि है।

== [[वार्षिक समतुल्य दर]] ==
अलग-अलग चक्रवृद्धि आवृत्तियों वाले ऋणों के बीच मामूली दर की सीधे तुलना नहीं की जा सकती। ब्याज देने वाले वित्तीय साधनों की तुलना करने के लिए नाममात्र ब्याज दर और चक्रवृद्धि आवृत्ति दोनों की आवश्यकता होती है।

उपभोक्ताओं को खुदरा वित्तीय उत्पादों की अधिक निष्पक्ष और आसानी से तुलना करने में मदद करने के लिए, कई देशों को वित्तीय संस्थानों को जमा या अग्रिम पर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर को तुलनीय आधार पर प्रकट करने की आवश्यकता होती है। वार्षिक समतुल्य आधार पर ब्याज दर को विभिन्न बाजारों में प्रभावी वार्षिक प्रतिशत दर (ईएपीआर), वार्षिक समतुल्य दर (एईआर), [[प्रभावी ब्याज दर]], [[प्रभावी वार्षिक दर]], वार्षिक प्रतिशत उपज और अन्य शर्तों के रूप में विभिन्न रूप से संदर्भित किया जा सकता है। प्रभावी वार्षिक दर कुल संचित ब्याज है जो एक वर्ष के अंत तक देय होगा, जिसे मूल राशि से विभाजित किया जाता है।

सामान्यतः इन दरों को परिभाषित करने वाले नियमों के दो पहलू हैं:

# दर वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर है, और
#ब्याज के अलावा अन्य प्रभार भी हो सकते हैं। शुल्क या करों का प्रभाव जो ग्राहक से वसूला जाता है, और जो सीधे उत्पाद से संबंधित हैं, सम्मिलित हो सकते हैं। वास्तव में कौन से शुल्क और कर सम्मिलित या बहिष्कृत किए गए हैं, यह देश के अनुसार भिन्न होता है, और विभिन्न न्यायालयों के बीच तुलनीय हो भी सकता है और नहीं भी, क्योंकि ऐसी शर्तों का उपयोग असंगत हो सकता है, और स्थानीय अभ्यास के अनुसार भिन्न हो सकता है।

== '''उदाहरण''' ==
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 | caption1 = Compound interest of 15% on initial $10,000 investment over 40 years
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 | caption2 = Annual [[dividend]] of 1.5% on initial $10,000 investment <br> $266,864 in total dividend payments over 40 years <br> Dividends were not reinvested in this scenario
}}
[[File:Inflation compounded over 40 years.webp|alt=|thumb|मुद्रास्फीति 40 वर्षों में विभिन्न दरों पर मिश्रित हुई]]
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* 1,000 ब्राज़ीलियाई रियल (बीआरएल) को एक ब्राज़ीलियाई बचत खाते में जमा किया जाता है, जिसमें सालाना 20% का भुगतान किया जाता है, जिसे सालाना संयोजित किया जाता है। एक वर्ष के अंत में, 1,000 × 20% = 200 बीआरएल ब्याज खाते में जमा किया जाता है। खाते को दूसरे वर्ष में 1,200 × 20% = 240 बीआरएल की कमाई होती है।
* प्रति माह 1% की दर 12% की साधारण वार्षिक ब्याज दर (नाममात्र दर) के बराबर है, लेकिन चक्रवृद्धि के प्रभाव की अनुमति देते हुए, वार्षिक समतुल्य चक्रवृद्धि दर 12.68% प्रति वर्ष (1.01<sup>12</sup> − 1) है।
* कॉर्पोरेट बॉन्ड और सरकारी बॉन्ड पर ब्याज सामान्यतः साल में दो बार देय होता है। भुगतान की गई ब्याज की राशि (हर छह महीने में) मूल राशि से दो गुणा करके व्यक्त की गई ब्याज दर है। वार्षिक चक्रवृद्धि दर स्पष्ट दर से अधिक है।
* कनाडा के गिरवी ऋण सामान्यतः मासिक (या अधिक लगातार) भुगतानों के साथ अर्ध-वार्षिक रूप से मिश्रित होते हैं।<ref>http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6{{Dead link|date=February 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} Interest Act (Canada), ''Department of Justice''. The Interest Act specifies that interest is not recoverable unless the mortgage loan contains a statement showing the rate of interest chargeable, "calculated yearly or half-yearly, not in advance." In practice, banks use the half-yearly rate.</ref>
* अमेरिकी गिरवी एक [[परिशोधन ऋण]] का उपयोग करते हैं, न कि चक्रवृद्धि ब्याज का। इन ऋणों के साथ, एक परिशोधन अनुसूची का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि मूलधन और ब्याज के लिए भुगतान कैसे लागू किया जाए। इन ऋणों पर उत्पन्न ब्याज मूलधन में नहीं जोड़ा जाता है, लेकिन मासिक भुगतान किया जाता है क्योंकि भुगतान देय होते हैं।
*यह कभी-कभी गणितीय रूप से सरल होता है, उदाहरण के लिए डेरिवेटिव के मूल्यांकन में, निरंतर कंपाउंडिंग का उपयोग करने के लिए, जो कि कंपाउंडिंग टर्म के दृष्टिकोण की सीमा शून्य है। इन उपकरणों के मूल्य निर्धारण में निरंतर कंपाउंडिंग आईटीओ कैलकुलस का एक स्वाभाविक परिणाम है, जहां वित्तीय डेरिवेटिव की कीमत एक सीमा तक पहुंचने तक बढ़ती आवृत्ति पर होती है और डेरिवेटिव की कीमत निरंतर समय में होती है।

== डिस्काउंट इंस्ट्रूमेंट्स (छूट के साधन) ==
* यूएस और कैनेडियन टी-बिल्स (लघु अवधि के सरकारी ऋण) का एक अलग सम्मेलन है। उसके ब्याज की गणना (100 - पी)/पीबीएनएम के रूप में छूट के आधार पर की जाती है, {{clarify|date=July 2013}} जहां पी कीमत का भुगतान है। इसे सामान्य करने के बजाय एक वर्ष के लिए, ब्याज दिनों की संख्या  ''t'': (365/''t'')×100 के अनुपात में होता है। (दिन गणना सम्मेलन देखें)।

== गणना (हिसाब) ==
{{See also|धन का सामयिक मूल्य|ब्याज गणना}}

=== आवधिक कंपाउंडिंग (आवधिक संयोजन) ===
मूल राशि <math>P</math> और चक्रवृद्धि ब्याज सहित कुल संचित मूल्य <math>I</math>, सूत्र द्वारा दिया गया है:<ref>{{Cite web|url=https://qrc.depaul.edu/StudyGuide2009/Notes/Savings%20Accounts/Compound%20Interest.htm|title=चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र|website=qrc.depaul.edu|access-date=2018-12-05}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.investopedia.com/terms/c/continuouscompounding.asp|title=निरंतर कंपाउंडिंग|author=Investopedia Staff| date=2003-11-19|website=Investopedia| language=en|access-date=2018-12-05}}</ref>
<math display="block">A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}</math>

जहां पे:
*A अंतिम राशि है
*P मूल मूल राशि है
*
*r सांकेतिक वार्षिक ब्याज दर है
*n कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी है
*t ब्याज लागू होने की कुल अवधि है (r के रूप में एक ही समय इकाइयों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है, सामान्यतः वर्ष)।

उत्पन्न कुल चक्रवृद्धि ब्याज अंतिम मूल्य घटा प्रारंभिक मूलधन है:<ref>{{Cite web| url=https://www.thecalculatorsite.com/articles/finance/compound-interest-formula.php|title=चक्रवृद्धि ब्याज फॉर्मूला - समझाया| website=www.thecalculatorsite.com|access-date=2018-12-05}}</ref>

<math display="block">I=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}-P</math>
====उदाहरण 1====
मान लीजिए कि 1,500 डॉलर की मूल राशि एक बैंक में जमा की जाती है, जो त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि 4.3% की वार्षिक ब्याज दर का भुगतान करती है।<br>फिर 6 वर्षों के बाद शेष राशि P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 4, और t = 6 के साथ ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है:

<math display="block">A=1500\times\left(1+\frac{0.043}{4}\right)^{4\times 6}\approx 1938.84</math>
तो 6 साल बाद राशि A लगभग 1,938.84 डॉलर है।

मूल मूलधन को इस राशि से घटाकर प्राप्त ब्याज की राशि प्राप्त की जाती है:<math display="block">1938.84-1500=438.84</math>

====उदाहरण 2====

मान लीजिए कि 1,500 डॉलर की समान राशि द्विवार्षिक रूप से (प्रत्येक 2 वर्ष) में संयोजित होती है। (यह अभ्यास में बहुत असामान्य है।)। फिर ऊपर दिए गए सूत्र का उपयोग करके 6 वर्षों के बाद शेष राशि पाई जाती है, जिसमें P = 1500, r = 0.043 (4.3%), n = 1/2 (ब्याज हर दो साल में संयोजित होता है), और t = 6 :<math display="block">A=1500\times(1+(0.043\times 2))^{\frac{6}{2}}\approx 1921.24</math>तो, 6 साल बाद शेष राशि लगभग 1,921.24 डॉलर है।

प्राप्त ब्याज की राशि की गणना इस राशि से मूल राशि घटाकर की जा सकती है।<math display="block">1921.24-1500=421.24</math>कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी (चक्रवृद्धि आवृत्ति) कम होने के कारण ब्याज पिछले मामले की तुलना में कम है।

=== [[संचय समारोह|संचय फंक्शन]] ===

चूँकि मूल p केवल एक गुणांक है, इसे प्रायः सरलता के लिए छोड़ दिया जाता है, और परिणामी संचयन फंक्शन का उपयोग इसके बजाय किया जाता है। संचय फंक्शन दिखाता है कि कितने समय के बाद 1 डॉलर  बढ़ता है।

सरल और चक्रवृद्धि ब्याज के लिए संचय कार्य हैं

<math display="block">a(t)=1 + r t</math><math display="block">a(t) = \left(1 + \frac {r} {n}\right) ^ {nt} </math>
यदि <math>n t = 1</math>, तो ये दोनों कार्य समान हैं।

=== निरंतर चक्रवृद्धि ===
<!-- This section is linked from [[Interest]] and from [[Continuously compounded interest]] -->
{{see also|लघुगणक वापसी (लॉगरिदमिक रिटर्न)}}

चूंकि n बिना किसी सीमा के प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या में वृद्धि करता है, इस स्थिति को सतत चक्रवृद्धि के रूप में जाना जाता है, जिस स्थिति में प्रभावी वार्षिक दर {{math|''e''<sup>''r''</sup> − 1}} की ऊपरी सीमा तक पहुँच जाती है, जहाँ {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}  [[गणितीय स्थिरांक]] है जो [[प्राकृतिक]] आधार है लघुगणक।

निरंतर चक्रवृद्धि को चक्रवृद्धि अवधि को असीम रूप से छोटा बनाने के बारे में सोचा जा सकता है, जिसे n के अनंत तक पहुंचने पर इसे सीमा तक ले जाकर प्राप्त किया जा सकता है। इस सीमा के गणितीय प्रमाण के लिए घातीय फलन की परिभाषाएँ देखें। निरंतर चक्रवृद्धि की अवधि के बाद की राशि को प्रारंभिक राशि ''P''<sub>0</sub> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<math display="block">P(t)=P_0 e ^ {rt}.</math>

===ब्याज का प्रभाव (फोर्स ऑफ़ इंटरेस्ट) ===
चूंकि चक्रवृद्धि अवधियों <math>n</math> की संख्या निरंतर चक्रवृद्धि में अनंत हो जाती है, इसलिए निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर को ब्याज <math>\delta</math> के बल के रूप में जाना जाता है।

गणित में, संचय फलन प्रायः आधार  ''e'' [[ई (गणितीय स्थिरांक)]], प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। यह ब्याज फ़ार्मुलों में हेरफेर करने के लिए कलन के उपयोग की सुविधा प्रदान करता है।

किसी भी सतत अवकलनीय संचय फलन के लिए a(t), ब्याज की शक्ति, या अधिक आम तौर पर लघुगणकीय या निरंतर चक्रवृद्धि रिटर्न समय का एक कार्य है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

<math display="block">\delta_{t}=\frac{a'(t)}{a(t)}=\frac{d}{dt} \ln a(t)</math>
यह संचयन फलन का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] है।

इसके विपरीत:<math display="block">a(t)=e^{\int_0^t \delta_s\, ds}\, ,</math>(जबसे <math>a(0) = 1</math>; इसे गुणन समाकलन के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।)

जब उपरोक्त सूत्र को अंतर समीकरण प्रारूप में लिखा जाता है, तो ब्याज की शक्ति केवल परिवर्तन की मात्रा का गुणांक होती है:<math display="block">da(t)=\delta_{t}a(t)\,dt</math>स्थिर वार्षिक ब्याज दर ''r'' के साथ चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, ब्याज की शक्ति एक स्थिर है, और ब्याज की शक्ति के संदर्भ में चक्रवृद्धि ब्याज का संचय कार्य e की एक साधारण शक्ति है:<math display="block">\delta=\ln(1+r)</math>या<math display="block">a(t)=e^{t\delta}</math>ब्याज की शक्ति वार्षिक प्रभावी ब्याज दर से कम होती है, लेकिन [[वार्षिक प्रभावी छूट दर]] से अधिक होती है। यह ई-फोल्डिंग समय का व्युत्क्रम है। ब्याज दरों की अधिसूचना भी देखें।

मुद्रास्फीति की शक्ति के मॉडलिंग का एक तरीका स्टूडली के सूत्र के साथ है:<math>\delta_t = p + {s \over {1+rse^{st}}}</math> जहां ''p, r'' और ''s'' का अनुमान है।<!-- c.f. Stochastic Modeling in Economics and Finance, By Jitka Dupacova, J. Hurt, J. Stepan -->
=== कंपाउंडिंग आधार ===
{{See also|डे काउंट कन्वेंशन }}

ब्याज दर को एक चक्रवृद्धि आधार से दूसरे चक्रवृद्धि आधार में परिवर्तित करने के लिए, प्रयोग करें<math display="block">r_2=\left[\left(1+\frac{r_1}{n_1}\right)^\frac{n_1}{n_2}-1\right]{n_2},</math>जहां ''r''<sub>1</sub> चक्रवृद्धि आवृत्ति ''n''<sub>1</sub> के साथ ब्याज दर है, और r<sub>2</sub> चक्रवृद्धि आवृत्ति ''n''<sub>2</sub> के साथ ब्याज दर है।


जब ब्याज लगातार चक्रवृद्धि हो, तो उपयोग करें<math display="block">\delta=n\ln{\left(1+\frac{r}{n}\right)},</math>जहां <math>\delta</math> निरंतर चक्रवृद्धि के आधार पर ब्याज दर है, और आर चक्रवृद्धि आवृत्ति n के साथ घोषित ब्याज दर है।

===मासिक परिशोधित ऋण या गिरवी भुगतान===
{{more citations needed|section|date=June 2019}}
{{See also|ऋण कैलकुलेटर और मासिक भुगतान सूत्र}}

परिशोधित किए गए ऋणों और गिरवी पर ब्याज—अर्थात्, जब तक ऋण का भुगतान नहीं हो जाता है—प्रायः मासिक चक्रवृद्धि होती है। भुगतान का सूत्र निम्नलिखित तर्क से पाया जाता है।

====मासिक भुगतान के लिए सटीक सूत्र====
मासिक भुगतान के लिए एक सटीक सूत्र (<math>c</math>) है<math display="block"> c = \frac{rP}{1-\frac{1}{(1+r)^n}} </math>या समकक्ष<math display="block"> c = \frac{rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}</math>जहाँ पे:
* <math>c</math> = मासिक भुगतान
* <math>P</math> = प्रिंसिपल
* <math>r</math> = मासिक ब्याज दर
* <math>n</math> = भुगतान अवधि की संख्या

यह इस बात पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है कि प्रत्येक माह के बाद कितना चुकाना बाकी है। <br>पहले महीने के बाद बचा मूलधन है<math display="block">P_1=(1+r)P - c,</math>यानी, प्रारंभिक राशि और ब्याज घटा भुगतान। <br>अगर पूरा कर्ज एक महीने के बाद चुकाया जाता है तो<math display="block">P_1=0,</math>इसलिए<math display="block">P=\frac{c}{1+r}</math>दूसरे महीने के बाद <math>P_2=(1+r) P_1 - c</math> रह गया है, इसलिए<math display="block">P_2=(1+r)((1+r)P-c)-c</math>यदि पूरा ऋण दो महीने के बाद चुकाया गया था,<math display="block">P_2 = 0,</math>इसलिए<math display="block">P = \frac{c}{1+r}+\frac{c}{(1+r)^2}</math>यह समीकरण n महीने की अवधि के लिए सामान्यीकृत होता है, <math display="inline"> P = c \sum_{j=1}^n \frac{1}{(1+r)^j} </math> एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योग है<math display="block">P=\frac{c}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right)</math>जिसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है<math display="block">c= \frac{Pr}{1-\frac{1}{(1+r)^n}}=\frac{Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}</math><br />

===== स्प्रेडशीट सूत्र =====
एक स्प्रेडशीट में, PMT (पीएमटी) () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। (सिंटैक्स) यह है:

 PMT(interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type]) / पीएमटी (ब्याज_दर, संख्या_भुगतान, वर्तमान_मूल्य, भविष्य_मूल्य, [प्रकार])
अधिक जानकारी के लिए एक्सेल, मैक नंबर, लिब्रे ऑफिस, ओपन ऑफिस, गूगल शीट देखें।

[https://support.office.com/en-us/article/PMT-function-0214da64-9a63-4996-bc20-214433fa6441 एक्सेल], [https://www.apple.com/ca/mac/numbers /compatibility/functions.html#financial Mac Numbers], [https://help.libreoffice.org/Calc/Financial_Functions_Part_Two#PMT LibreOffice], [https://wiki.openoffice.org/wiki/Documentation/How_Tos/Calc: _PMT_function Open Office], [https://support.google.com/docs/answer/3093185 Google पत्रक] 

उदाहरण के लिए, 6% (0.06/12) की ब्याज दर के लिए, 25 वर्ष * 12 प्रति वर्ष, डॉलर 150,000 का PV, 0 का FV, प्रकार 0 देता है:

 = PMT(0.06/12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
 = डॉलर 966.45

==== मासिक भुगतान के लिए अनुमानित सूत्र ====
एक सूत्र जो कुछ प्रतिशत के तक सटीक होता है, द्वारा पाया जा सकता है। यह ध्यान में रखते हुए पाया जा सकता है कि सामान्य यू.एस. नोट दरों के लिए (<math>I<8\%</math> और शर्तें <math>T</math>=10–30 वर्ष), मासिक नोट दर 1 की तुलना में छोटी है: <math>r << 1</math> ताकि <math>\ln(1+r)\approx r</math> जो एक सरलीकरण पैदा करता है ताकि<math display="block">c\approx \frac{Pr}{1-e^{-nr}}= \frac{P}{n}\frac{nr}{1-e^{-nr}}</math>जो सहायक चर को परिभाषित करने का सुझाव देता है<math display="block">Y\equiv n r = IT</math><math display="block">c_0\equiv \frac{P}{n} .</math>यहां <math>c_0</math> शून्य-ब्याज ऋण के भुगतान के लिए आवश्यक मासिक भुगतान है <math>n</math> किस्त। इन चरों के संदर्भ में समीपता लिखा जा सकता है<math display="block">c\approx c_0 \frac{Y}{1-e^{-Y}},</math>फंक्शन <math display="inline">f(Y)\equiv \frac{Y}{1-e^{-Y}}-\frac{Y}{2}</math> सम है:<math display="block">f(Y)=f(-Y)</math>इसका अर्थ है कि इसे <math>Y</math> की घातों में भी विस्तारित किया जा सकता है।

यह तुरंत अनुसरण करता है <math display="inline">\frac{Y}{1-e^{-Y}}</math> की घातों में भी विस्तारित किया जा सकता है <math>Y</math> साथ ही एकल शब्द: <math>Y/2 .</math> परिभाषित करना तब सुविधाजनक सिद्ध होगा<math display="block">X=\frac{1}{2}Y = \frac{1}{2}IT</math>ताकि<math display="block">c \approx c_0 \frac{2X}{1-e^{-2X}}</math>जिसका विस्तार किया जा सकता है:<math display="block"> c\approx c_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3} - \frac{1}{45} X^4 + \cdots\right) </math>जहां दीर्घवृत्त उन शब्दों को इंगित करते हैं जो समान घातों में उच्च क्रम के होते हैं <math>X</math>. विस्तार<math display="block"> P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{X^2}{3}\right)</math>प्रदान की गई 1% से बेहतर के लिए मान्य है <math>X\le 1 </math>.

==== गिरवी भुगतान का उदाहरण ====
30 साल की अवधि के साथ डॉलर 10,000 गिरवी के लिए और वार्षिक देय 4.5% की नोट दर के लिए, हम पाते हैं:<math display="block">T=30</math><math display="block">I=0.045</math>जो देता है<math display="block">X=\frac{1}{2}IT=.675</math>ताकि<math display="block">P\approx P_0 \left(1 + X + \frac{1}{3}X^2 \right)=\$333.33 (1+.675+.675^2/3)=\$608.96</math>सटीक भुगतान राशि है <math>P=\$608.02</math> इसलिए समीपता एक प्रतिशत के लगभग छठे हिस्से का अनुमान है।

===निवेश: मासिक जमा ===
एक मूल (प्रारंभिक) जमा और एक आवर्ती जमा को देखते हुए, निवेश पर कुल रिटर्न की गणना समय की प्रति यूनिट अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज के माध्यम से की जा सकती है। यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त गैर-आवर्ती और आवर्ती जमा भी इसी सूत्र के तहत परिभाषित किए जा सकते हैं (नीचे देखें)।<ref>{{Cite web|url=https://www.wavesofpaper.com/finance/Using-Compound-Interest-to-Optimize-Investment-Spread|title=निवेश प्रसार को अनुकूलित करने के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग}}</ref>
* <math>P</math> = मूलधन जमा
* <math>r</math> = वापसी की दर (मासिक)
* <math>M</math> = मासिक जमा, और
* <math>t</math> = समय, महीनों में

प्रत्येक जमा के लिए चक्रवृद्धि ब्याज है:<math display="block">M'=M(1+r)^{t}</math>और कुल अवधि t में सभी आवर्ती जमाओं को जोड़ना (i 0 से प्रारम्भ होता है l यदि जमा राशि मूलधन के निवेश से प्रारम्भ होती है; i 1 से प्रारम्भ होती है यदि जमा अगले महीने से प्रारम्भ होती है):<math display="block">M'=\sum^{t-1}_{i=0}{M(1+r)^{t-i}}</math>ज्यामितीय श्रृंखला को पहचानना: <math>M'=M\sum^{t-1}_{i=0}(1+r)^{t}\frac{1}{(1+r)^{i}}</math> और क्लोज्ड-फॉर्म फॉर्मूला (सामान्य अनुपात) को लागू करने से हमें प्राप्त होता है:<math>1/(1+r)</math>) <math display="block">P' = M\frac{(1+r)^{t}-1}{r}+P(1+r)^t</math>यदि दो या दो से अधिक प्रकार के जमा (आवर्तक या अनावर्ती) होते हैं, तो अर्जित चक्रवृद्धि मूल्य को इस रूप में दर्शाया जा सकता है<math display="block">\text{Value}=M\frac{(1+r)^{t}-1}{r}+P(1+r)^t+k\frac{(1+r)^{t-x}-1}{r}+C(1+r)^{t-y}</math>जहां C प्रत्येक एकमुश्त राशि है और k एक गैर-मासिक आवर्ती जमा है, क्रमशः, और x और y एक नई जमा राशि और कुल अवधि t के बीच समय का अंतर है।<br />प्रत्येक आवर्ती जमा की सटीक तिथि और राशि ज्ञात नहीं होने पर वापसी की दर की रिवर्स गणना के लिए एक व्यावहारिक अनुमान है, एक सूत्र जो अवधि के दौरान एक समान आवर्ती मासिक जमा मानता है:<ref>http://moneychimp.com/features/portfolio_performance_calculator.htm  "recommended by The Four Pillars of Investing and The Motley Fool"</ref><math display="block">r=\left(\frac{P'-P-\sum{M}}{P+\sum{M}/2}\right)^{1/t}</math>या<math display="block">r=\left(\frac{P'-\sum{M}/2}{P+\sum{M}/2}\right)^{1/t}-1</math>

== इतिहास ==
{{further|ब्याज और इतिहास}}

साहूकारों द्वारा लगाए गए चक्रवृद्धि ब्याज को एक बार [[सूदखोरी]] का सबसे खराब रूप माना जाता था और रोमन कानून और कई अन्य देशों के सामान्य कानून द्वारा इसकी कड़ी निंदा की जाती थी।<ref name="r1728">{{1728}}</ref>

फ्लोरेंटाइन व्यापारी [[फ्रांसेस्को बाल्डुची पेगोलोटी]] ने अपनी लगभग 1340 की किताब [[Pratica della mercatura|प्रैटिका डेला मर्कट्यूरा]] में [http://www.medievalacademy.org/resource/resmgr/maa_books_online/evans_0024.htm#hd_ma0024_head_755 चक्रवृद्धि ब्याज की तालिका] प्रदान की। यह 100 लीयर पर 20 साल तक 1% से 8% की दर से ब्याज देती है।<ref>{{cite book | last = Evans |first = Allan | title = फ्रांसेस्को बाल्डुची पेगोलोटी, द प्रैक्टिस ऑफ़ ट्रेडिंग| place = Cambridge, Massachusetts | year = 1936 |pages = 301–2}}</ref> [[लुका पैसिओली]] (1494) का सुम्मा डे [[अंकगणित का सारांश]] [[72 का नियम]] देता है, जिसमें कहा गया है कि चक्रवृद्धि ब्याज पर किसी निवेश को दोगुना करने के लिए वर्षों की संख्या का पता लगाने के लिए, ब्याज दर को 72 से विभाजित किया जाना चाहिए।

[[रिचर्ड विट]] की पुस्तक अंकगणितीय प्रश्न, 1613 में प्रकाशित, चक्रवृद्धि ब्याज के इतिहास में एक मील का पत्थर थी। यह पूरी तरह से इस विषय के लिए समर्पित था (जिसे पहले अनातोखिज्म कहा जाता था), जबकि पिछले लेखकों ने सामान्यतः गणितीय पाठ्यपुस्तक में केवल एक अध्याय में चक्रवृद्धि ब्याज का संक्षिप्त रूप से इलाज किया था। विट की पुस्तक ने 10% (ऋणों पर स्वीकार्य ब्याज की अधिकतम दर) और संपत्ति के पट्टों जैसे विभिन्न उद्देश्यों के लिए अन्य दरों पर वैल्यूएशन के आधार पर टेबल दिए। विट एक लंदन गणितीय व्यवसायी थे और उनकी पुस्तक अभिव्यक्ति की स्पष्टता, अंतर्दृष्टि की गहराई और गणना की सटीकता के लिए उल्लेखनीय है, जिसमें 124 कार्य उदाहरण सम्मिलित हैं।<ref>{{cite journal | last = Lewin | first = C G | year = 1970 | title = चक्रवृद्धि ब्याज पर एक प्रारंभिक पुस्तक - रिचर्ड विट के अंकगणितीय प्रश्न| journal = Journal of the Institute of Actuaries | volume = 96 | issue = 1 | pages = 121–132 | doi = 10.1017/S002026810001636X }}</ref><ref>{{cite journal | last = Lewin | first = C G | year = 1981 | title = सत्रहवीं शताब्दी में चक्रवृद्धि ब्याज| journal = Journal of the Institute of Actuaries | volume = 108 | issue = 3 | pages = 423–442 | doi = 10.1017/S0020268100040865 }}</ref>

[[जैकब बर्नौली]] ने चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में एक प्रश्न का अध्ययन करके 1683 में स्थिरांक e की खोज की थी

19वीं शताब्दी में, और संभवतः पहले, फ़ारसी व्यापारियों ने मासिक भुगतान सूत्र के लिए थोड़ा संशोधित रेखीय टेलर सन्निकटन का उपयोग किया था जिसकी उनके सिर में आसानी से गणना की जा सकती थी।<ref>{{cite journal | last = Milanfar | first = Peyman | year = 1996 | title = एक फारसी लोक पद्धति ब्याज लगाने की| journal = Mathematics Magazine | volume = 69 | issue = 5 | pages = 376 | doi = 10.1080/0025570X.1996.11996479 }}</ref>


== यह भी देखें ==
{{wikiquote}}
* [[क्रेडिट कार्ड ब्याज]]
* [[घातीय वृद्धि]]
* [[फिशर समीकरण]]
* ब्याज
* [[ब्याज दर]]
* प्रतिफल दर
* [[निवेश पर वापसी की दर]]
* वास्तविक बनाम नाममात्र मूल्य (अर्थशास्त्र)
* [[यील्ड कर्व]]
==संदर्भ==
{{Reflist}}

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