View source for चेबिशेव बहुपद

{{Short description|Polynomial sequence}}
{{distinguish|असतत चेबिशेव बहुपद}}

'''चेबिशेव [[बहुपद]]''' [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय]] फलन साइन और कोसाइन से संबंधित बहुपदों के दो अनुक्रम हैं जिन्हें <math>T_n(x)</math> और <math>U_n(x)</math> के रूप में प्रदर्शित किया गया है। इन्हे कई अन्य समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से एक त्रिकोणमितीय फलन से प्रारम्भ होता है:

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद <math>T_n</math> द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
: <math>T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).</math>
इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपद <math>U_n</math> द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
: <math>U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big).</math>
ये व्यंजक बहुपदों को परिभाषित करते हैं और <math>\cos\theta</math> पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद से स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन पुनर्लेखन के बाद <math>\cos(n\theta)</math> और <math>\sin\big((n+1)\theta\big)</math> होता है और डीमोइवर (गणितज्ञ) के सूत्र का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची का उपयोग करके कोण योग और अवकल सर्वसमिकाओं के लिए <math>\cos</math> और <math>\sin</math> के समीकरण के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची युग्म कोण सूत्र जो कोण योग सूत्रों से प्रत्यक्ष रूप से अनुसरण करते हैं तथा <math>T_2(\cos\theta)=\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1</math> और <math>U_1(\cos\theta)\sin\theta=\sin(2\theta)=2\cos\theta\sin\theta</math>, का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो क्रमशः <math>\cos\theta</math> में बहुपद और <math>\cos\theta</math> में <math>\sin\theta</math> से गुणा किए गए बहुपद हैं। इस प्रकार <math>T_2(x)=2x^2-1</math> और <math>U_1(x)=2x</math>. {{math| ''T<sub>n</sub>''(''x'')}} की एक महत्वपूर्ण और सुविधाजनक धारणा यह है कि वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय हैं:
: <math>\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}},</math>
और {{math| ''U''<sub>''n''</sub>(''x'')}} नीचे दिए गए अन्य समान आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय फलन हैं।

चेबिशेव बहुपद {{math| ''T<sub>n</sub>''}} बहुपद हैं जिनमें सबसे बड़ा संभावित प्रमुख गुणांक है जिसका अंतराल पर निरपेक्ष मान {{closed-closed|−1, 1}} 1 से सम्बद्ध है। वे कई अन्य गुणों के लिए पूर्ण बहुपद हैं।<ref>{{cite book |last=Rivlin |first=Theodore J. |year=1974 |title=चेबिशेव बहुपद|edition=1st |chapter=Chapter &nbsp;2, Extremal properties |pages=56–123 |series=Pure and Applied Mathematics |publisher=Wiley-Interscience [John Wiley & Sons] |place=New York-London-Sydney |isbn=978-047172470-4}}</ref>

[[सन्निकटन सिद्धांत]] में चेबिशेव बहुपद महत्वपूर्ण हैं क्योंकि {{math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}} की घात जिन्हें [[चेबीशेव नोड्स|चेबिशेव नोड्स]] भी कहा जाता है बहुपद अंतःक्षेप को अनुकूलित करने के लिए मिलान बिंदु के रूप में उपयोग की जाती हैं। जो परिणामी अंतर्वेशन बहुपद की घटना की समस्या को न्यूनतम करता है और एक सन्निकटन प्रदान करता है जो [[अधिकतम मानदंड]] के अंतर्गत एक सतत फलन के लिए सबसे अच्छा बहुपद सन्निकटन है, जिसे [[अल्पमहिष्ठ|अल्प न्यूनतम बहुपद]] कहा जाता है। इसको सन्निकटन सिद्धान्त मे प्रत्यक्ष क्लेंशॉ-कर्टिस चतुर्भुज की विधि के रूप मे प्रयुक्त किया जाता है।

इन बहुपदों का नाम [[Pafnuty Chebyshev|"पफन्युटी चेबिशेव]]" के नाम पर रखा गया था।<ref>Chebyshev polynomials were first presented in {{cite journal |last = Chebyshev |first= P. L. |year= 1854 |title= Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes |language= fr |journal= Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg |volume= 7 |pages= 539–586 }}</ref> बहुपद {{mvar|T}} का उपयोग चेबिशेव नाम के वैकल्पिक [[लिप्यंतरण]] के कारण {{lang|fr|चेबीचेफ}}, {{lang|fr|चेबीशेव}} (फ्रेंच) या {{lang|de|शेबीशॉ}} (जर्मन) के रूप में किया जाता है।

== परिभाषाएँ ==

=== पुनरावृत्ति परिभाषा ===
[[File:Chebyshev Polynomials of the First Kind.svg|thumb|पहले पांच का प्लॉट {{mvar|T<sub>n</sub>}} चेबिशेव बहुपद (प्रथम प्रकार के बहुपद)]]प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपद पुनरावर्तन संबंध से प्राप्त किए जाते हैं।
:<math>\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}</math>
पुनरावृत्ति आकार {{mvar|T<sub>n</sub>}} के एक त्रिकोणीय आव्यूह के निर्धारक के रूप में उन्हें स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की स्वीकृति देता है।

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\,t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.</math>
चेबिशेव बहुपदों के लिए कई अन्य फलन [[घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन|घातीय फलन]] है

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\!\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right)
= e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right).</math>
2-आयामी [[संभावित सिद्धांत]] और [[बेलनाकार मल्टीपोल क्षण|बेलनाकार बहुध्रुव विस्तार]] के लिए प्रासंगिक घातीय फलन है

:<math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}(x)\,\frac{t^n}{n} = \ln\left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - 2tx + t^2 }}\right).</math>

[[File:Chebyshev Polynomials of the Second Kind.svg|thumb|पहले पांच संयुक्त राष्ट्र चेबिशेव बहुपदों का प्लॉट {{mvar|U<sub>n</sub>}} (दूसरे प्रकार के बहुपद)]]दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।

:<math>\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}</math>
माना कि पुनरावृत्ति संबंधों के दो समुच्चय समान हैं <math>T_1(x) = x</math>, {{nowrap|<math>U_1(x) = 2x</math>.}} के लिए सामान्य {{mvar|U<sub>n</sub>}} घातीय फलन है:

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\,t^n = \frac{1}{1 - 2 t x+t^2},</math>
और घातीय फलन है:

:<math>\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\!\left(\!\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\!\right).</math>
=== त्रिकोणमितीय परिभाषा ===
जैसा कि ऊपर में बताया गया है कि पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को अद्वितीय बहुपदों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

:<math>T_n(x) = \begin{cases}
\cos(n \arccos x)                          & \text{ if }~ |x| \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh} x)           & \text{ if }~ x \ge 1 \\ 
(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1  
\end{cases}</math>
या दूसरे शब्दों में, अद्वितीय बहुपद संतोषजनक के रूप में
:<math>T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)</math>
{{math|1=''n'' = 0, 1, 2, 3, …}} के लिए जो एक तकनीकी बिंदु के रूप में श्रोडर के समीकरण का एक प्रकार समतुल्य स्थानान्तरण है। अर्थात्, {{math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}} कार्यात्मक रूप से {{mvar|n x}} से संयुग्मित है, जो नीचे नेस्टिंग गुण में संहिताबद्ध है।

और दूसरे प्रकार के बहुपद संतुष्ट करता हैं:
:<math>U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),</math>
या
:<math>U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},</math>
जो संरचनात्मक रूप से [[डिरिचलेट कर्नेल]] {{math|''D''<sub>''n''</sub>(''x'')}} के समान है:
:<math>D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}} 
= U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right).</math>
[[डिरिचलेट कर्नेल]], वास्तव में चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपद के रूप में जाना जाता है जो उसके अनुरूप है। वह {{math|cos ''nx''}}, {{math|cos ''x''}} में एक n<sup>th</sup>-घात बहुपद है, यह देखा जा सकता है कि {{math|cos ''nx''}} डी मोइवर के सूत्र के एक पक्ष का वास्तविक भाग है। दूसरे पक्ष का वास्तविक भाग cos x और sin x में एक बहुपद है जिसमें {{math|sin ''x''}} की सभी घात समान हैं और इस प्रकार पहचान {{math|1=cos<sup>2</sup> ''x'' + sin<sup>2</sup> ''x'' = 1}} के माध्यम से परिवर्तित की सकती हैं। उसी तर्क से, sin nx काल्पनिक है बहुपद का एक भाग, जिसमें {{math|sin ''x''}} की सभी घात विषम होती हैं और इस प्रकार, यदि {{math|sin ''x''}} का एक गुणनखंड निकाल दिया जाता है तो शेष गुणकों को {{math|cos ''x''}} में {{math|(''n''−1)}}st बहुपद बनाने के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

चेबिशेव बहुपद सूत्र के संयोजन के साथ पहचान अपेक्षाकृत उपयोगी है, क्योंकि यह आधार [[कोण]] के कोसाइन के संदर्भ में किसी कोण के किसी भी पूर्णांक गुणक के कोसाइन की गणना करने में सक्षम बनाता है।

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों की गणना प्रत्यक्ष यूलर की समरूपता से की जा सकती है:
:<math>T_0(\cos\theta) = \cos(0\theta) = 1</math>
और
:<math>T_1(\cos\theta) = \cos\theta ,</math>
जबकि अन्य बहुलक के मूल्यांकन उत्पाद से योग पहचान की विशेषज्ञता का उपयोग करके किया जा सकता है:
:<math>2\cos n\theta\cos\theta = \cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos\lbrack (n-1)\theta\rbrack</math>
उदाहरण के लिए,
:<math>\begin{align}
T_2(\cos\theta) &= \cos 2 \theta = 2\cos\theta\cos\theta - 1 = 2\cos^2\theta -1. \\
T_3(\cos\theta) &= \cos 3 \theta = 2\cos\theta \cos 2\theta - \cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.
\end{align}</math>
इसके विपरीत, त्रिकोणमितीय फलन की अपेक्षकृत [[पूर्णांक]] घात को चेबिशेव बहुपदों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलन के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
: <math>\cos^n \theta
 = 2^{1-n}\!\mathop{\mathop{{\sum}'}^n_{j=0}}_{n-j\,\text{even}}\!\! 
\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\,T_j(\cos \theta),</math>
जहां योग प्रतीक पर अभाज्य संकेत करता है कि {{math|1=''j'' = 0}} के योग को आधा करने की आवश्यकता है, यदि <math>T_j(\cos\theta) = \cos(j\theta)</math> होता है,

चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में जटिल घातांक की अभिव्यक्ति एक अनुमानित परिणाम है दिया गया है कि {{math|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}},
:<math>\begin{align}
z^n & = |z|^n \!\left(\cos \left(n\arccos \frac{a}{|z|}\right) + i \frac{b}{|b|} \sin \left(n \arccos \frac{a}{|z|}\right)\right) \\
& = |z|^n\, T_n\!\!\!\;\left(\frac{a}{|z|}\right) + ib |z|^{n - 1}\ U_{n-1}\!\!\!\;\left(\frac {a}{|z|}\right).
\end{align}</math>
===कम्यूटिंग बहुपद परिभाषा ===

चेबिशेव बहुपदों को निम्नलिखित प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।<ref>{{cite news|first=J.F. |last=Ritt |doi=10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 |title=प्रधान और समग्र बहुपद|journal=Trans. Amer. Math. Soc. |year=1922|pages=51–66 | url=https://www.ams.org/journals/tran/1922-023-01/S0002-9947-1922-1501189-9 |doi-access=free}}</ref> 

यदि <math> F_n(x)</math> विशेषता के क्षेत्र में गुणांक वाले मोनिक बहुपदों का एक समूह है जो कि <math> \deg F_n(x) = n</math> के के लिए सभी m और n फिर सभी n या <math> F_m(F_n(x)) = F_n(F_m(x))</math> के लिए या तो <math>F_n(x) = 2*T_n(x/2)</math> चर (वेरिएबल्स) का साधारण रूपांतरण <math> n</math> है। 
=== [[पेल समीकरण]] परिभाषा ===
चेबिशेव बहुपदों को पेल समीकरण के समाधान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

:<math>T_n(x)^2 - \left(x^2 - 1\right) U_{n-1}(x)^2 = 1</math>
इस प्रकार, {{math|''R''[''x'']}} मे वे मौलिक समाधान की घात को प्राप्त करने के लिए पेल समीकरणों की मानक तकनीक द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं:<ref>{{cite thesis |first=Jeroen |last=Demeyer |url=http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf |title=बहुपद के छल्ले पर डायोफैंटाइन सेट और फंक्शन फील्ड्स के लिए हिल्बर्ट की दसवीं समस्या|archive-url=https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf |archive-date=2007-07-02 |degree=Ph.D. |year=2007 |page=70}}</ref>

:<math>T_n(x) + U_{n-1}(x)\,\sqrt{x^2-1} = \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)^n~. </math>
== दो प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के बीच संबंध ==
पहले और दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपद [[लुकास अनुक्रम|लुकास अनुक्रमो]] {{math|''Ṽ<sub>n</sub>''(''P'', ''Q'')}} और {{math|''Ũ<sub>n</sub>''(''P'', ''Q'')}} के पैरामीटर {{math|1=''P'' = 2''x''}} और {{math|1=''Q'' = 1}} के साथ अनुरूप हैं:
: <math>\begin{align}
{\tilde U}_n(2x,1) &= U_{n-1}(x), \\
{\tilde V}_n(2x,1) &= 2\, T_n(x).
\end{align}</math>
ये बहुपद इस प्रकार है कि वे पारस्परिक पुनरावृत्ति समीकरणों की एक जोड़ी को भी संतुष्ट करते हैं:<ref name=BatemanVol2>{{cite book |editor-last=Erdélyi |editor-first=Arthur |editor-link=Arthur Erdélyi <!-- Director: -->|author-last1=Erdélyi |author-first1=Arthur |author-link1=Arthur Erdélyi <!-- Research associates: -->|author-last2=Magnus |author-first2=(Hans Heinrich) Wilhelm |author-link2=Hans Heinrich Wilhelm Magnus |author-last3=Oberhettinger |author-first3=Fritz |author-link3=:de:Fritz Oberhettinger |author-last4=Tricomi |author-first4=Francesco Giacomo |author-link4=Francesco Giacomo Tricomi <!-- Research assistants: -->|author-first5=David |author-last5=Bertin |author-first6=Watson B. |author-last6=Fulks |author-first7=Albert Raymond |author-last7=Harvey |author-first8=Donald L. |author-last8=Thomsen, Jr. |author-first9=Maria A. |author-last9=Weber |author-first10=Eoin Laird |author-last10=Whitney |author-link10=:d:Q102128557 <!-- Vari-typist: -->|author-first11=Rosemarie |author-last11=Stampfel |title=हायर ट्रान्सेंडैंटल फंक्शंस - वॉल्यूम II - आंशिक रूप से हैरी बेटमैन द्वारा छोड़े गए नोट्स पर आधारित।|series=Bateman Manuscript Project |volume=II |publisher=[[McGraw-Hill Book Company, Inc.]] |publication-place=New York / Toronto / London |date=1953 |edition=1 |lccn=53-5555 |id=Contract No. N6onr-244 Task Order XIV. Project Designation Number: NR 043-045. Order No. 19546 |url=http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf<!-- print run "7 8 9 10 11 12 13 HL 9 8 7 6" 1981 with 1 errata page (14 entries) --> |access-date=2020-07-23 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170409113446/http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf |archive-date=2017-04-09
|page=184:(3),(4)}} [https://authors.library.caltech.edu/43491/7/Volume%202.pdf<!-- print run "IV 19546" without errata pages --><!-- https://web.archive.org/web/20200704144437/https://authors.library.caltech.edu/43491/7/Volume%202.pdf -->][https://resolver.caltech.edu/CaltechAUTHORS:20140123-104529738<!-- https://web.archive.org/web/20190119121233/https://authors.library.caltech.edu/43491/ -->]<!-- https://authors.library.caltech.edu/43491/ --> (xvii+1 errata page<!-- (14 entries) in print run "III 19546" -->+396 pages, red cloth hardcover) (NB. Copyright was renewed by [[California Institute of Technology]] in 1981.); Reprint: Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Melbourne, Florida, USA. 1981. {{ISBN|0-89874-069-X}}; Planned Dover reprint: {{ISBN|0-486-44615-8}}.
</ref>
:<math>\begin{align}
T_{n+1}(x) &= x\,T_n(x) - (1 - x^2)\,U_{n-1}(x), \\
U_{n+1}(x) &= x\,U_n(x) + T_{n+1}(x).
\end{align}</math>
इनमें से दूसरे को दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के लिए पुनरावर्तन परिभाषा का उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
:<math>T_n(x) = \frac{1}{2} \big(U_n(x) - U_{n-2}(x)\big).</math>
इस सूत्र का पुनरावृत्त रूप से योग सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
:<math>
U_n(x) = \begin{cases}2\sum_{\text{ odd }j}^n T_j(x)      & \text{ for odd }n.\\
2\sum_{\text{ even }j}^n T_j(x) - 1      & \text{ for even }n,\end{cases}
</math>
जबकि <math>U_n(x)</math> और <math>U_{n-2}(x)</math> के स्थान पर <math>T_n(x)</math> के व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके <math>T_n</math> के व्युत्पन्न के लिए पुनरावृत्ति संबंध देता है:

:<math>2\,T_n(x) = \frac{1}{n+1}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n-1}(x), \qquad n=2,3,\ldots</math>
अवकल समीकरणों को हल करने के चेबिशेव बहुलक विधि में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।

चेबिशेव बहुपदों के लिए तुरान (गणितज्ञ) की असमानताएँ हैं:<ref>{{citation|mr=0040487
|last=Beckenbach|first= E. F.| last2= Seidel|first2= W.| last3= Szász|first3= Otto
|title=Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials
|journal=Duke Math. J.|volume= 18|year=1951|pages= 1–10|doi=10.1215/S0012-7094-51-01801-7}}</ref>
:<math>\begin{align}
T_n(x)^2 - T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&= 1-x^2 > 0 &&\text{ for } -1<x<1 &&\text{ and }\\
U_n(x)^2 - U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&= 1 > 0~.
\end{align}</math>
चेबिशेव बहुलक के [[अभिन्न]] संबंध{{r|BatemanVol2|p=187(47)(48)}}{{sfn|Mason|Handscomb|2002}}

:<math>\begin{align}
\int_{-1}^1\frac{T_n(y)}{(y-x)\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm{d}y &= \pi\,U_{n-1}(x)~, \\
\int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-y^2}\,U_{n-1}(y)}{y-x}\,\mathrm{d}y &= -\pi\,T_n(x)
\end{align}</math>
जहां समाकलन एकीकरण को प्रमुख अनुमानित मान के रूप मे माना जाता है।

== स्पष्ट विस्तार ==
चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण अलग-अलग स्पष्ट विस्तार के होते हैं जैसे कि:

:<math>\begin{align}
T_n(x)  & = \begin{cases}
\cos(n\arccos x) \qquad & \text{ for }~ |x| \le 1 \\
\\
 \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg)  \qquad & \text{ for }~ |x| \ge 1 \\
\end{cases} \\
\\
 & = \begin{cases}
\cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ for }~ -1 \le x \le 1 \\
\\
\cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ for }~ 1 \le x \\
\\
(-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ for }~ x \le -1 \\
\end{cases} \\
\\
\\
T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left  \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k}  \qquad\qquad \text{ for }~ n > 0 \\
\\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ for }~ n > 0 \\
\\
& = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\
\end{align}</math>
व्युत्क्रम के साथ<ref name=Cody>{{cite journal |first1=W. J. |last1=Cody |title=कार्यों के व्यावहारिक तर्कसंगत और बहुपद सन्निकटन का सर्वेक्षण|year=1970 |journal=SIAM Review |volume=12 |number=3 |pages=400–423 |doi=10.1137/1012082}}</ref><ref name=Mathar>{{cite journal |first1=R. J. |last1=Mathar |year=2006 |arxiv=math/0403344 |title=व्युत्क्रम बहुपदों का चेबिशेव श्रृंखला विस्तार|journal=J. Comput. Appl. Math. |volume=196 |number=2 |pages=596–607 |doi=10.1016/j.cam.2005.10.013 |bibcode=2006JCoAM..196.596M|s2cid=16476052 }}</ref>
:<math>x^n = 2^{1-n}\mathop{{\sum}'}^n_{j=0\atop j \,\equiv\, n \pmod 2} \!\!\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\!\;T_j(x),</math>
जहां योग प्रतीक पर मूल संकेत दर्शाता है कि j = 0 के योग को प्रकट होने पर मान को आधा करने की आवश्यकता होती है।

:<math>\begin{align}
U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ for }~ n > 0 \\
& = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right) \\
\end{align}</math>
जहाँ {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>}} एक [[हाइपरज्यामितीय समारोह|अतिज्यामितीय फलन]] है।

== गुण ==

=== समरूपता ===

:<math>\begin{align}
 T_n(-x) &= (-1)^n\, T_n(x)
 = \begin{cases}
 T_n(x)  \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\
\\
 -T_n(x) \quad  & ~\text{ for }~n~\text{ odd}
 \end{cases} \\
\\
\\
U_n(-x) &= (-1)^n\, U_n(x)
= \begin{cases}
 U_n(x)  \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\
\\
 -U_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ odd}
 \end{cases} \\
\end{align}</math>
अर्थात्, सम अनुक्रम के चेबिशेव बहुपदों में सम समरूपता होती है और इसलिए केवल {{mvar|x}} की सम घातें होती हैं। विषम अनुक्रम के चेबीशेव बहुपदों में विषम समरूपता होती है और इसलिए इसमें x की केवल विषम घात होती हैं।

=== घात और न्यूनतम मान ===
अंतराल {{closed-closed|−1, 1}} में घात {{mvar|n}} के साथ किसी भी प्रकार के चेबीशेव बहुपद में {{mvar|n}} अलग सरल घात होती हैं, जिन्हें चेबीशेव घात कहा जाता है। पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद की घातों को कभी-कभी चेबीशेव नोड कहा जाता है क्योंकि वे बहुपद अंतःक्षेप में नोड्स के रूप में उपयोग किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय परिभाषा और इस तथ्य का उपयोग करना कि:

:<math>\cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)=0</math>
कोई प्रदर्शित कर सकता है कि {{mvar|T<sub>n</sub>}} का वर्ग हैं:

:<math> x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.</math>
इसी प्रकार {{mvar|U<sub>n</sub>}} हैं:

:<math> x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.</math>
अंतराल {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} पर {{mvar|T<sub>n</sub>}} का न्यूनतम मान स्थित है

:<math> x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.</math>
पहली तरह के चेबिशेव बहुपदों की एक अनूठी संपत्ति अंतराल पर है {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} मैक्सिमा और मिनिमा के सभी मान हैं जो या तो -1 या 1 हैं। इस प्रकार इन बहुपदों में केवल दो परिमित महत्वपूर्ण मूल्य हैं, शबत बहुपदों की परिभाषित संपत्ति। चेबिशेव बहुपद के पहले और दूसरे दोनों प्रकार के समापन बिंदुओं पर एक्स्ट्रेमा है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:

पहले प्रकार के चेबीशेव बहुपदों का अंतराल यह है कि अंतराल पर {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} सभी न्यूनतम के मान हैं जो या तो −1 या 1 हैं। इस प्रकार इन बहुपदों में केवल दो परिमित महत्वपूर्ण मान हैं जो अंतराल परिभाषित को चेबिशेव बहुपद के पहले और दूसरे दोनों प्रकार के समापन बिंदुओं पर स्थित है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:

:<math>T_n(1) = 1</math>
:<math>T_n(-1) = (-1)^n</math>
:<math>U_n(1) = n+1</math>
:<math>U_n(-1) = (-1)^n (n+1).</math>
अधिकतम और न्यूनतम <math>T_n(x)</math> अंतराल पर <math>-1 \leq x \leq 1</math> जहाँ <math>n>0</math> पर स्थित हैं <math>n+1</math> के मान <math>x</math> हैं <math> \pm 1</math> या <math>  \cos\left(\frac{2\pi k}{d}\right)</math> ,जहाँ <math>d > 2</math>, <math>d \;|\; 2n</math>, <math>0 < k < d/2</math> और <math>(k, d) = 1</math>, अर्थात, <math>k</math> और <math>d</math>अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ हैं।

विशेष रूप से जब <math>n</math> सम है<ref name="Gurtas">{{cite journal |first1=Y. Z. |last1=Gürtaş |title=Chebyshev Polynomials and the minimal polynomial of <math>\cos (2 \pi/n)</math> |year=2017 |journal=American Mathematical Monthly |volume=124 |number=1 |pages=74--78 |doi=10.4169/amer.math.monthly.124.1.74}}</ref><ref name="Wolfram0">{{cite journal |first1=D. A. |last1=Wolfram |title=Factoring Chebyshev polynomials of the first and second kinds with minimal polynomials of <math>\cos (2 \pi /d )</math> |year=2022 |journal=American Mathematical Monthly |volume=129 |number=2 |pages=172--176 |doi=10.1080/00029890.2022.2005391}}</ref> 
* <math>T_n(x) = 1</math> यदि <math>x = \pm 1</math>, या <math>d > 2</math> और <math>2n/d</math> सम है। वहाँ <math>n/2 + 1</math> का मान <math>x</math> होता है।
* <math>T_n(x) = -1</math> यदि <math>d > 2</math> और <math>2n/d</math> भिन्न है। वहाँ <math>n/2</math> मान <math>x</math> होता है। 

जब <math>n</math> भिन्न है,
* <math>T_n(x) = 1</math> यदि <math>x = 1</math>, या <math>d > 2</math> और <math>2n/d</math> सम है। वहाँ हैं <math>(n+1)/2</math> <math>x</math> के ऐसे मान हैं।
* <math>T_n(x) = -1</math> अगर <math>x = -1</math>, या <math>d > 2</math> और <math>2n/d</math> अजीब है। वहाँ <math>(n+1)/2</math> <math>x</math> के ऐसे मान हैं।

इस परिणाम को <math>U_n(x) \pm 1 = 0</math> और <math>V_n(x) \pm 1 = 0</math> और <math>W_n(x) \pm 1 = 0</math> क्रमशः तीसरे और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया गया है।<ref name="Wolfram1">{{cite journal |first1=D. A. |last1=Wolfram |title=Factoring Chebyshev polynomials with minimal polynomials of <math>\cos (2 \pi /d)</math> |year=2022 |journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society |doi=10.1017/S0004972722000235|arxiv=2106.14585 }}</ref>
=== अवकलन और समाकलन ===
बहुपदों के व्युत्पन्न मान प्रत्यक्ष रूप से कम हो सकते हैं। बहुपदों को उनके त्रिकोणमितीय रूपों में अवकलन करके, यह दिखाया जा सकता है कि:

:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\
\frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\
\frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.
\end{align}</math>
{{math|1=''x'' = 1}} और {{math|1=''x'' = −1}} पर शून्य अनिश्चित रूप से विभाजन के कारण अंतिम दो सूत्र संख्यात्मक रूप से विभाजित वाले हो सकते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि:

:<math>\begin{align}
\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = 1} \!\! &= \frac{n^4 - n^2}{3}, \\
\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = -1} \!\! &= (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.
\end{align}</math>

{{math proof|proof=
The [[second derivative]] of the Chebyshev polynomial of the first kind is

:<math>T''_n = n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1}</math>

which, if evaluated as shown above, poses a problem because it is [[indeterminate form|indeterminate]] at {{math|1=''x'' = ±1}}. Since the function is a polynomial, (all of) the derivatives must exist for all [[real number]]s, so the taking to [[limit of a function|limit]] on the expression above should yield the desired values – taking the limit as {{math|''x'' → 1}}:

:<math>T''_n(1) = \lim_{x \to 1} n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1}</math>

Factoring the denominator:

:<math>T''_n(1) = \lim_{x \to 1} n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{(x + 1)(x - 1)} =
\lim_{x \to 1} n\, \frac{\dfrac{n T_n - x U_{n - 1}}{x - 1}}{x + 1}.</math>

Since the limit as a whole must exist, the limit of the numerator and denominator must independently exist, and

:<math>T''_n(1) = n\, \frac{\displaystyle{\lim_{x \to 1}}\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x - 1}}{\displaystyle{\lim_{x \to 1}}\, (x + 1)} =
\frac{n}{2} \lim_{x \to 1} \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x - 1}.</math>

The denominator (still) limits to zero, which implies that the numerator must be limiting to zero, i.e. {{math|1=''U''<sub>''n'' − 1</sub>(1) = ''nT<sub>n</sub>''(1) = ''n''}} which will be useful later on. Since the numerator and denominator are both limiting to zero, [[L'Hôpital's rule]] applies:

:<math>\begin{align}
 T''_n(1) & = \frac{n}{2}\,\lim_{x \to 1}\,\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(n\,T_n - x\,U_{n - 1}\right)\,}{\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 1)} \\
 & = \frac{n}{2} \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(n\,T_n - x\,U_{n - 1}\right) \\
 & = \frac{n}{2} \lim_{x \to 1} \left(\;n^2\,U_{n - 1} - U_{n - 1} - x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(U_{n - 1}\right)\;\right) \\
 & = \frac{n}{2} \left(\,n^2\,U_{n - 1}(1) - U_{n - 1}(1) - \lim_{x \to 1} x\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(U_{n - 1}\right)\,\right) \\
 & = \frac{n^4}{2} - \frac{n^2}{2} - \frac{1}{2} \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(n\,U_{n - 1}\right) \\
 & = \frac{n^4}{2} - \frac{n^2}{2} - \frac{T''_n(1)}{2} \\
 T''_n(1) & = \frac{n^4 - n^2}{3}. \\
\end{align}</math>

The [[mathematical proof|proof]] for {{math|1=''x'' = −1}} is similar, with the fact that {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(−1) = (−1)<sup>''n''</sup>}} being important.
}}

अधिक सामान्य सूत्र बताता है कि:
:<math>\left.\frac{d^p T_n}{d x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,</math>
जो आइगेन मान समस्याओं के संख्यात्मक समाधान बहुत उपयोगी होते है। जैसे कि 
:<math>\frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}\,T_n(x) = 2^p\,n\mathop{{\sum}'}_{0\le k\le n-p\atop k \,\equiv\, n-p \pmod 2}
\binom{\frac{n+p-k}{2}-1}{\frac{n-p-k}{2}}\frac{\left(\frac{n+p+k}{2}-1\right)!}{\left(\frac{n-p+k}{2}\right)!}\,T_k(x),~\qquad p \ge 1,</math>
जहां योग प्रतीकों पर अभाज्य का अर्थ है कि k = 0 द्वारा योग दिया गया पद आधा किया जाना है, यदि यह प्रकट होता है। तब 

समाकलन के संबंध में पहला व्युत्पन्न {{mvar|T<sub>n</sub>}} इसका आशय है कि:

:<math>\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}</math>
और व्युत्पन्न वाले पहले प्रकार के बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध यह स्थापित करता है कि {{math|''n'' ≥ 2}} के लिए

:<math>\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.</math>
केवल पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के फलन के रूप में {{mvar|T<sub>n</sub>}} के अभिन्न समीकरण को व्यक्त करने के लिए अंतिम सूत्र में और परिवर्तन किया जा सकता है:
:<math>\begin{align}
\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\
&= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\
&= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}.
\end{align}</math>
इसके अतिरिक्त 
:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ if }~ n \ne 1 \\
0                          & \text{ if }~ n = 1.
\end{cases}</math>


=== चेबिशेव बहुपदों के गुणनफल ===
पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद संबंध को संतुष्ट करते हैं:
:<math>T_m(x)\,T_n(x) = \tfrac{1}{2}\!\left(T_{m+n}(x) + T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n \ge 0,</math>
जो आसानी से त्रिकोणमितीय कोसाइन के उत्पाद-से-योग सूत्र से सिद्ध होता है:
:<math>2 \cos \alpha \, \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta).</math>
{{math|1=''n'' = 1}} के लिए यह पहले से ही ज्ञात पुनरावृत्ति सूत्र में परिणामित होता है, केवल अलग तरीके से व्यवस्थित किया जाता है और {{math|1=''n'' = 2}} के साथ यह सभी सम या सभी विषम अनुक्रमित चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध बनाता है यह सामान्यतः न्यूनतम {{mvar|m}} की समानता पर निर्भर करता है जिसका अर्थ समता है या इन बहुपदों की विषमता इस उत्पाद विस्तार से चेबिशेव बहुपदों के मूल्यांकन के लिए तीन और उपयोगी सूत्र निकाले जा सकते हैं:
:<math>\begin{align}
  T_{2n}(x) &= 2\,T_n^2(x)           - T_0(x) &&= 2 T_n^2(x) - 1, \\
T_{2n+1}(x) &= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - x, \\
T_{2n-1}(x) &= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - x .
\end{align}</math>
दूसरे प्रकार के बहुपद समान संबंध को संतुष्ट करते हैं
:<math> T_m(x)\,U_n(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) + U_{n-m}(x)\right),  & ~\text{ if }~ n \ge m-1,\\
\\
\frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) - U_{m-n-2}(x)\right), & ~\text{ if }~ n \le m-2.
\end{cases} </math>
{{math|''U''<sub>−1</sub> ≡ 0}} के साथ सामान्यतः वे संतुष्ट भी होते हैं:
:<math> U_m(x)\,U_n(x) = \sum_{k=0}^n\,U_{m-n+2k}(x) = \sum_\underset{\text{ step 2 }}{p=m-n}^{m+n} U_p(x)~.</math>
{{math|''m'' ≥ ''n''}} के लिए {{math|1=''n'' = 2}} के लिए यह पुनरावृत्ति कम हो जाती है
:<math> U_{m+2}(x) = U_2(x)\,U_m(x) - U_m(x) - U_{m-2}(x) = U_m(x)\,\big(U_2(x) - 1\big) - U_{m-2}(x)~,</math>
जो इस पर निर्भर करते हुए कि दूसरे प्रकार के {{mvar|m}} 2 या 3 से प्रारम्भ होता है, दूसरे प्रकार के सम या विषम अनुक्रमित चेबिशेव बहुपदों की समता या विषमता को स्थापित करता है।

=== संरचना और विभाज्यता गुण ===
{{math|''T''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''U''<sub>''n''</sub>}} की त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ संरचना या नेस्टिंग गुणों को दर्शाती हैं<ref>{{citation|last1=Rayes|first1=M. O.|last2=Trevisan|first2=V.|last3=Wang|first3=P. S.|title=Factorization properties of chebyshev polynomials|journal=Computers & Mathematics with Applications|volume=50|issue=8–9|year=2005|pages=1231–1240|doi=10.1016/j.camwa.2005.07.003|doi-access=free}}</ref>
:<math>\begin{align}
T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)),\\
U_{mn-1}(x) &= U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x).
\end{align}
</math>
{{math|''T''<sub>''mn''</sub>}} के लिए रचना के क्रम को व्युत्क्रम किया जा सकता है जिससे बहुपद फलन का समुच्चय {{math|''T''<sub>''n''</sub>}} संरचना के अंतर्गत एक कम्यूटेटिव [[ विनिमेय |विनिमेय]] समूह बन जाता है। चूँकि {{math|''T''<sub>''m''</sub>(''x'')}} से विभाज्य है यदि {{mvar|m}} विषम है, तो यह अनुसरण करता है कि {{math|''T''<sub>''mn''</sub>(''x'')}} से विभाज्य है यदि {{mvar|m}} विषम है। इसके अतिरिक्त {{math|''U''<sub>''mn''−1</sub>(''x'')}} से विभाज्य है, और उस स्थिति में जहां {{mvar|m}} सम है और Tn(x)Un−1(x) से विभाज्य है।

===लंबकोणीयता ===
{{mvar|T<sub>n</sub>}} और {{mvar|U<sub>n</sub>}} दोनों लंबकोणीय बहुपदों का एक क्रम बनाते हैं। पहले प्रकार के {{mvar|T<sub>n</sub>}} बहुपद भार के संबंध में लंबकोणीय हैं:

:<math>\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},</math>
अंतराल {{closed-closed|−1, 1}}, अर्थात

:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)\,T_m(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = 
\begin{cases}
0             & ~\text{ if }~ n \ne m, \\
\\
\pi           & ~\text{ if }~ n=m=0, \\
\\
\frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n=m \ne 0.
\end{cases}</math>
यह {{math|1=''x'' = cos ''θ''}} देकर और परिभाषित पहचान {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(cos ''θ'') = cos(''nθ'')}} का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के बहुपद {{mvar|U<sub>n</sub>}} भार के संबंध में लंबकोणीय हैं
:<math>\sqrt{1-x^2}</math>
अंतराल {{closed-closed|−1, 1}}, अर्थात

:<math>\int_{-1}^1 U_n(x)\,U_m(x)\,\sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
0             & ~\text{ if }~ n \ne m, \\
\frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n = m.
\end{cases}</math>
पैमाना {{math|{{sqrt|1 − ''x''<sup>2</sup>}} d''x''}} एक सामान्य स्थिरांक के भीतर, विग्नेर अर्धवृत्त वितरण है। ये लंबकोणीयता के गुण इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि चेबिशेव बहुपद चेबिशेव समीकरण को हल करते हैं:
: <math>(1 - x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0,</math>
: <math>(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n + 2) y = 0,</math>
जो स्टर्म-लिउविल अवकल समीकरण हैं। यह इस प्रकार के अवकल समीकरणों की एक सामान्य विशेषता है कि समाधानों का एक विशिष्ट लंबकोणीय समुच्चय है। चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका उन समीकरणों के समाधान के रूप में है। और {{mvar|T<sub>n</sub>}b>}} असतत लंबकोणीयता की स्थिति को भी संतुष्ट करता है:

:<math>\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)\,T_j(x_k)} =
\begin{cases}
0           & ~\text{ if }~ i \ne j, \\ 
N           & ~\text{ if }~ i = j = 0, \\ 
\frac{N}{2} & ~\text{ if }~ i = j \ne 0,
\end{cases} </math>
जहाँ {{mvar|N}} से बड़ा कोई पूर्णांक {{math|max(''i'', ''j'')}} है{{sfn|Mason|Handscomb|2002}} और यह {{math|''x''<sub>''k''</sub>}} हैं {{mvar|N}} चेबिशेव नोड्स (ऊपर देखें)। {{math|''T''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}}:

और {{math|''x''<sub>''k''</sub>}} के {{mvar|N}} चेबिशेव बहुपद {{math|''T''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}} हैं: इसके लिए (ऊपर देखें)

:<math>x_k = \cos\left(\pi\,\frac{2k+1}{2N}\right) \quad ~\text{ for }~ k = 0, 1, \dots, N-1.</math>
दूसरे प्रकार के बहुपदों और किसी पूर्णांक के लिए {{math|''N'' > ''i'' + ''j''}} समान चेबिशेव बहुपद के साथ {{math|''x''<sub>''k''</sub>}}, समान योग हैं:

:<math>\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(x_k)\,U_j(x_k)\left(1-x_k^2\right)} =
\begin{cases}
0           & \text{ if }~ i \ne j, \\ 
\frac{N}{2} & \text{ if }~ i = j,
\end{cases}</math>
और भारित फलन के अतिरिक्त

:<math>\sum_{k=0}^{N-1}{ U_i(x_k) \, U_j(x_k) } =
\begin{cases}
0                         & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\
N \cdot (1 + \min\{i,j\}) & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases} </math>
{{math|''U''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}} के {{mvar|N}} शून्यों पर आधारित किसी पूर्णांक {{math|''N'' > ''i'' + ''j''}} के लिए:

:<math>y_k = \cos\left(\pi\,\frac{k+1}{N+1}\right) \quad ~\text{ for }~ k=0, 1, \dots, N-1,</math>
राशि मिल सकती है:

:<math>\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)(1-y_k^2)} =
\begin{cases}
0 & ~\text{ if } i \ne j, \\ 
\frac{N+1}{2} & ~\text{ if } i = j,
\end{cases}</math>

:<math>\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)} =
\begin{cases}
0  & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\
\bigl(\min\{i,j\} + 1\bigr)\bigl(N-\max\{i,j\}\bigr)  & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases}</math>
=== न्यूनतम {{math|∞}} नियम ===
किसी दिए गए {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए, प्रमुख गुणांक 1 ([[मोनिक बहुपद]]) के साथ घात {{mvar|n}} के बहुपदों के बीच,

:<math>f(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x)</math>
इनमें से एक अंतराल [-1, 1] पर अधिकतम निरपेक्ष मान न्यूनतम है।

यह अधिकतम निरपेक्ष मान है

:<math>\frac1{2^{n-1}}</math>
और {{math|{{abs|''f''(''x'')}}}} यह अधिकतम {{math|''n'' + 1}} बार न्यूनतम होता है

: <math>x = \cos \frac{k\pi}{n}\quad\text{for }0 \le k \le n.</math>

{{Math proof|proof=
Let's assume that {{math|''w<sub>n</sub>''(''x'')}} is a polynomial of degree {{mvar|n}} with leading coefficient 1 with maximal absolute value on the interval {{closed-closed|−1, 1}} less than {{math|1&thinsp;/&thinsp;2<sup>''n''&nbsp;−&thinsp;1</sup>}}.

Define

:<math>f_n(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x) - w_n(x)</math>

Because at extreme points of {{mvar|T<sub>n</sub>}} we have

:<math>\begin{align}
|w_n(x)| &< \left|\frac1{2^{n-1}}T_n(x)\right| \\
f_n(x) &> 0 \qquad \text{ for }~ x = \cos \frac{2k\pi}{n} ~&&\text{ where } 0 \le 2k \le n \\
f_n(x) &< 0 \qquad \text{ for }~ x = \cos \frac{(2k + 1)\pi}{n} ~&&\text{ where } 0 \le 2k + 1 \le n
\end{align}</math>

From the [[intermediate value theorem]], {{math|''f<sub>n</sub>''(''x'')}} has at least {{mvar|n}} roots.  However, this is impossible, as {{math|''f<sub>n</sub>''(''x'')}} is a polynomial of degree {{math|''n'' − 1}}, so the [[fundamental theorem of algebra]] implies it has at most {{math|''n'' − 1}} roots.
}}

==== टिप्पणी ====
[[समदोलन प्रमेय|संतुलन प्रमेय]] द्वारा, घात {{math|≤&thinsp;''n''}} के सभी बहुपदों के बीच, बहुपद f न्यूनतम करता है || f ||∞ on [−1, 1] यदि और केवल यदि n + 2 बिंदु हैं −1 ≤ x0 < x1 < ⋯ < xn + 1 ≤ 1 ऐसा कि {{math|1={{abs|&thinsp;''f''(''x<sub>i</sub>'')}} = {{norm|&thinsp;''f''&thinsp;}}<sub>∞</sub>}}

इसके अतिरिक्त अंतराल {{closed-closed|−1, 1}} पर अशक्त बहुपद को स्वयं अनुमानित किया जा सकता है जो {{math|∞}} मानदंड को न्यूनतम करता है।

हालांकि, ऊपर {{math|{{abs|&thinsp;''f''&thinsp;}}}} केवल {{math|''n'' + 1}} बार अपने अधिकतम तक पहुंचता है क्योंकि हम घात {{math|''n'' ≥ 1}} के सर्वश्रेष्ठ बहुपद की खोज कर रहे हैं इसलिए पहले प्रमेय का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

=== अधिक सामान्य बहुपद समूहों की विशेष स्थितियों के रूप में चेबिशेव बहुपद ===
चेबिशेव बहुपद परागोलीय या [[गेगेनबॉयर बहुपद|गेगेनबॉयर बहुपदों]] की एक विशेष स्थिति <math>C_n^{(\lambda)}(x)</math> है जो स्वयं [[जैकोबी बहुपद|जैकोबी]] [[गेगेनबॉयर बहुपद|बहुपदों]] की एक विशेष स्थिति <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)</math> है:
:<math>\begin{align}
T_n(x) &= \frac{n}{2} \lim_{q \to 0}  \frac{1}{q}\,C_n^{(q)}(x) \qquad ~\text{ if }~ n \ge 1, \\
 &= \frac{1}{\binom{n-\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x)~,
\\
U_n(x) & = C_n^{(1)}(x)\\
 &= \frac{n+1}{\binom{n+\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n+1}}{\binom{2n+2}{n+1}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)~.
\end{align}</math>
चेबिशेव बहुपद भी [[डिक्सन बहुपद|डिक्सन]] [[गेगेनबॉयर बहुपद|बहुपदों]] की एक विशेष स्थिति है:

<math>D_n(2x\alpha,\alpha^2)= 2\alpha^{n}T_n(x) \, </math> ::<math>E_n(2x\alpha,\alpha^2)= \alpha^{n}U_n(x). \, </math>

विशेष रूप से, जब <math>\alpha=\tfrac{1}{2}</math>, से संबंधित हैं तब 

<math>D_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{1-n}T_n(x)</math> और <math>E_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{-n}U_n(x)</math>.

=== अन्य गुण ===
{{math|''y'' {{=}} ''T''<sub>''n''</sub>(''x'')}} या समकक्ष रूप से पैरामीट्रिक समीकरण {{math|''y'' {{=}} ''T''<sub>''n''</sub>(cos ''θ'') {{=}} cos ''nθ''}}, {{math|''x'' {{=}} cos ''θ''}} द्वारा दिए गए वक्र, {{mvar|n}} के बराबर आवृत्ति अनुपात के साथ लिसाजू वक्र की एक विशेष स्थिति है।

सूत्र के समान

:<math>T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta),</math>
हमारे पास समान सूत्र है:

:<math>T_{2n+1}(\sin\theta) = (-1)^n \sin\left(\left(2n+1\right)\theta\right).</math>
जिसमे {{math|''x'' ≠ 0}} के लिए ,
:<math>T_n\!\left(\frac{x + x^{-1}}{2}\right) = \frac{x^n+x^{-n}}{2}</math>
और
:<math>x^n = T_n\! \left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right)
+ \frac{x-x^{-1}}{2}\ U_{n-1}\!\left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right),</math>
जो इस तथ्य का अनुसरण करता है कि यह {{math|1=''x'' = ''e<sup>iθ</sup>''}} की परिभाषा के अनुसार है।

== उदाहरण ==
[[File:Chebyshev Polynomials of the 1st Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|thumb|297x297px|डोमेन में प्रथम प्रकार के कुछ चेबिशेव बहुपद −1 < ''x'' < 1 समतल ''T''<sub>0</sub>, ''T''<sub>1</sub>, ''T''<sub>2</sub>, ''T''<sub>3</sub>, ''T''<sub>4</sub> और ''T''<sub>5</sub>. है।

]]

=== प्रथम प्रकार के बहुपद ===
प्रथम प्रकार के कुछ चेबिशेव बहुपद निम्न हैं {{OEIS2C|A028297}}

:<math> \begin{align}
T_0(x) &= 1 \\
T_1(x) &= x \\
T_2(x) &= 2x^2 - 1 \\
T_3(x) &= 4x^3 - 3x \\
T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\
T_5(x) &= 16x^5 - 20x^3 + 5x \\
T_6(x) &= 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \\
T_7(x) &= 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \\
T_8(x) &= 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \\
T_9(x) &= 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \\
T_{10}(x) &= 512x^{10} - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2-1 \\
T_{11}(x) &= 1024x^{11} - 2816x^9 + 2816x^7 - 1232x^5 +220x^3 - 11x
\end{align}</math>
=== दूसरे प्रकार के बहुपद ===
दूसरे प्रकार के बहुपद कुछ चेबिशेव बहुपद निम्न हैं {{OEIS2C|A053117}}

:[[File:Chebyshev Polynomials of the 2nd Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|thumb|डोमेन में दूसरी तरह के कुछ चेबिशेव बहुपद {{math|−1 < ''x'' < 1}} समतल ''U''<sub>0</sub>, ''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub>, ''U''<sub>3</sub>, ''U''<sub>4</sub> और ''U''<sub>5</sub> है {{math|1=''U''<sub>''n''</sub>(1) = ''n''&nbsp;+&thinsp;1}} और {{math|1=''U''<sub>''n''</sub>(−1) = (''n''&nbsp;+&thinsp;1)(−1)<sup>''n''</sup>}} हालांकि छवि में दिखाई नहीं दे रहा है। ]]<math>\begin{align}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\
U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\
U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x
\end{align}</math>
== समुच्चय के रूप में ==
[[Image:ChebyshevExpansion.png|thumb|right|240px|गैर-समरूपी फलन (शीर्ष) {{math|1=''y'' = −''x''<sup>3</sup>''H''(−''x'')}}, जहाँ {{mvar|H}} [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड स्तर फलन]] है और (नीचे) इसके चेबिशेव विस्तार का 5वां आंशिक योग है। आरेख के विश्लेषण पर मूल फलन से 7 वां योग अप्रभेदनीय या अविशेषणीय है।]]उपयुक्त [[सोबोलेव स्पेस|सोबोलेफ समष्टि]] में चेबिशेव बहुपदों का समुच्चय एक आर्थोनार्मल विश्लेषण आधार बनाता है, ताकि एक ही समष्टि में फलन {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} पर विस्तार के माध्यम से व्यक्त किया जा सके।<ref name="boyd">{{cite book|title = चेबीशेव और फूरियर स्पेक्ट्रल तरीके|first = John P.|last = Boyd|isbn = 0-486-41183-4|edition = second|year = 2001|publisher = Dover|url = http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/aaabook_9500may00.pdf|access-date = 2009-03-19|archive-url = https://web.archive.org/web/20100331183829/http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/aaabook_9500may00.pdf|archive-date = 2010-03-31|url-status = dead}}</ref>
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).</math>
इसके अतिरिक्त, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि चेबिशेव बहुपद एक [[ओर्थोगोनल|आर्थोनार्मल]] आधार बनाते हैं जिसका (अन्य निर्देशों के अतिरिक्त) अर्थ है कि गुणांक एक आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को चेबिशेव श्रृंखला या चेबिशेव विस्तार कहा जाता है।

चूंकि चेबिशेव श्रृंखला चर (गणित) के परिवर्तन के माध्यम से एक [[फूरियर कोसाइन श्रृंखला]] से संबंधित है फूरियर श्रृंखला पर प्रयुक्त होने वाली सभी प्रमेय, सर्वसमिका आदि में एक चेबिशेव प्रतिरूप है।<ref name=boyd/> जिसमे निम्न विशेषताए सम्मिलित हैं:

* चेबिशेव बहुपद एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण आव्यूह समष्टि]] आर्थोनार्मल श्रृंखला बनाते हैं।
* चेबिशेव श्रृंखला {{math|''f''(''x'')}} में परिवर्तित हो जाती है यदि फलन सतत और निरंतर है। अधिकांश स्थितियों में समरूपता की आवश्यकता को स्थित कर दिया जा सकता है जब तक कि {{math|''f''(''x'')}} और इसके व्युत्पन्न में सीमित संख्या असपष्ट हो।
* एक अंतराल पर श्रृंखला दाएं और बाएं सीमा के औसत में परिवर्तित हो जाती है। 

फूरियर श्रृंखला मे सम्मिलित प्रमेय और पहचानों की प्रचुरता चेबिशेव बहुपदों को [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में महत्वपूर्ण उपकरण बनाती है उदाहरण के लिए, वे निर्देशित विधि में उपयोग किए जाने वाले सबसे लोकप्रिय सामान्य आधार फलन हैं<ref name=boyd/> प्रायः त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अक्ष में निरंतर फलन लिए सामान्यतः तीव्रता से अभिसरण के कारण गिब्स की घटना अभी भी बहुपद की एक समस्या है।

=== उदाहरण 1 ===
{{math|log(1&thinsp;+&nbsp;''x'')}} के चेबिशेव प्रसार पर विचार करें कि कोई व्यक्त कर सकता है:

:<math> \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)~. </math>
कोई गुणांक {{math|''a<sub>n</sub>''}} या तो एक आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से असतत लंबकोणीयता की स्थिति द्वारा प्राप्त कर सकता है। या आंतरिक उत्पाद के लिए,

:<math>\int_{-1}^{+1}\,\frac{T_m(x)\,\log(1 + x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x,</math>
जिससे निम्न परिणाम प्राप्त होता है:
:<math>a_n = \begin{cases}
-\log 2            & \text{ for }~ n = 0, \\
\frac{-2(-1)^n}{n} & \text{ for }~ n > 0.
\end{cases}</math>
सामान्यतः जब अनुमानित किए जा रहे फलन के आंतरिक उत्पाद का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है तब असतत लंबकोणीयता की स्थिति अनुमानित गुणांक के लिए प्रायः उपयोगी परिणाम प्रदान करती है,

:<math>a_n \approx \frac{\,2-\delta_{0n}\,}{N}\,\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\,\log(1+x_k),</math>
हाँ {{mvar|δ<sub>ij</sub>}} [[क्रोनकर डेल्टा]] फलन है और {{math|''T''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}} के {{mvar|N}} गॉस-चेबिशेव शून्य हैं:

:<math> x_k = \cos\left(\frac{\pi\left(k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right) .</math>
किसी भी {{mvar|N}} के लिए, ये अनुमानित गुणांक उन बिंदुओं के बीच नियंत्रित त्रुटि के साथ {{mvar|x<sub>k</sub>}} फलन के लिए एक सन्निकटन मान दान करते हैं। जो उपयुक्त गुणांक {{math|1=''N'' = ∞}} के साथ प्राप्त किए जाते हैं, इस प्रकार {{closed-closed|−1,1}} में सभी बिंदुओं पर फलन का समुचित प्रतिनिधित्व करते हैं। अभिसरण की दर फलन और उसकी समरूपता पर निर्भर करती है। यह हमें असतत कोज्या परिवर्तन के माध्यम से अनुमानित {{mvar|a<sub>n</sub>}} गुणांकों की कुशलता से गणना करने की स्वीकृति देता है। तब

:<math>a_n \approx \frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(\,k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).</math><br />
=== उदाहरण 2 ===
एक और उदाहरण देने के लिए

:<math>\begin{align}
(1-x^2)^\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x)\\
 &= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x).
\end{align}</math>
===आंशिक योग===
:<math>f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)</math> का आंशिक योग विभिन्न फलन के सन्निकटन सिद्धांत और अवकल समीकरणों के समाधान में बहुत उपयोगी हैं (स्पेक्ट्रम विधि देखें) गुणांक निर्धारित करने के लिए दो सामान्य तरीके {{mvar|a<sub>n</sub>}} गैलेर्किन की विधि के रूप में आंतरिक उत्पाद के उपयोग के माध्यम से और [[ प्रक्षेप |प्रक्षेप]] से संबंधित सहसंबंध विधि के उपयोग के माध्यम से होता हैं। इंटरप्लांट बहुपद के रूप में, (''N'' − 1)st आंशिक योग के {{mvar|N}} गुणांक समान्यतः चेबिशेव-गॉस-लोबैटो बिन्दु या लोबेटो ग्रिड पर प्राप्त किए जाते हैं<ref>{{Cite web |url=http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html |title=Chebyshev Interpolation: An Interactive Tour |access-date=2016-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170318214311/http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html |archive-date=2017-03-18 |url-status=dead }}</ref> जिसके परिणामस्वरूप न्यूनतम त्रुटि होती है और एक समान ग्रिड से संबद्ध घात की घटना से बचा जाता है। अंकों का यह आंशिक योग उच्चतम क्रम बहुपद के पूर्णांक के साथ-साथ समापन बिंदुओं से अनुरूप है और इसके द्वारा दिया गया है:

:<math>x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.</math>
=== चेबिशेव रूप में बहुपद ===
पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में {{mvar|N}} घात के एक बहुपद को {{math|''p''(''x'')}} बहुपद के रूप मे लिखा जा सकता है।{{sfn|Mason|Handscomb|2002}}

<math>p(x) = \sum_{n=0}^N a_n T_n(x).</math>
चेबिशेव रूप में बहुपदों का मूल्यांकन [[क्लेंशॉ एल्गोरिथम]] का उपयोग करके किया जा सकता है।

== चेबिशेव बहुपदों से संबंधित बहुपदों के समूह ==
चेबिशेव बहुपदों से निकटता से संबंधित <math>C_n(x)</math> और <math>S_n(x)</math> को दर्शाने वाले बहुपदों का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। इनके द्वारा परिभाषित किया गया है। वे <ref name = अब्रामोविट्ज़ स्टेगन रेफ|22|778> द्वारा परिभाषित किए गए हैं। {{Abramowitz Stegun ref|22|778}}</ref>
:<math>C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)</math>
और संतुष्ट
:<math>C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).</math>
ए. एफ. होराडम ने बहुपदों को <math>C_n(x)</math> बहुपद कहा और <math>v_n(x)</math> बहुपद के निरूपित किया। और वीटा-लुकास ने बहुपदों को <math>S_n(x)</math> बहुपद कहा और उन्हें <math>V_n(x)</math> बहुपद के रूप मे निरूपित किया।<ref>{{citation|last=Horadam|first=A. F.|title=Vieta polynomials|journal=Fibonacci Quarterly|volume=40|issue=3|year=2002|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/40-3/horadam2.pdf|pages=223–232}}</ref> बहुपदों के दोनों समूहों की सूची फ़्राँस्वा विएते के ओपेरा गणितीय अध्याय IX, प्रमेयों VI और VII में दी गई है।<ref>{{cite book|last=Viète|first=François|title=Francisci Vietae Opera mathematica : in unum volumen congesta ac recognita / opera atque studio Francisci a Schooten|year=1646|publisher=Bibliothèque nationale de France|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.pdf}}</ref> वास्तविक तर्क के वीटा-लुकास और वीटा-फिबोनैकी बहुपद, <math>i</math> की घात तक और बाद वाले की स्थिति में सूचकांक में रूपान्तरण काल्पनिक तर्क के वीटा लुकास और [[फाइबोनैचि बहुपद|फिबोनैकी बहुपद]] {{math|''L''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''F''<sub>''n''</sub>}} के बराबर हैं।

पहले और दूसरे प्रकार के स्थानांतरित चेबिशेव बहुपद, चेबिशेव बहुपदों से संबंधित हैं:<ref name= Abramowitz Stegun ref|22|778 />

:<math>T_n^*(x) = T_n(2x-1),\qquad U_n^*(x) = U_n(2x-1).</math>
जब चेबिशेव बहुपद का तर्क {{math|2''x'' − 1 ∈ {{closed-closed|−1, 1}}}} को संतुष्ट होता है तब स्थानांतरित चेबिशेव बहुपद का तर्क {{math|''x'' ∈ {{closed-closed|0, 1}}}} को संतुष्ट करता है इसी प्रकार सामान्य अंतराल के लिए स्थानांतरित किए गए बहुपदों को {{closed-closed|''a'', ''b''}} के रूप मे परिभाषित किया जा सकता है। 1990 के आसपास चेबिशेव बहुपदों के संबंध में तीसरी प्रकार की और चौथी प्रकार की शर्तें उपयोग में आईं, हालांकि इन शर्तों से निरूपित बहुपदों का पहले विकास समष्टि बहुपद नाम के अंतर्गत हुआ था। जे.सी. मेसन और जी.एच. इलियट के अनुसार, तीसरी प्रकार की और चौथी प्रकार की शब्दावली, आयतीय बहुपद के क्षेत्र में सहयोगियों के परामर्श से [[वाल्टर गौत्ची]] के कारण है।<ref name="MasonElliott1993">{{citation|last1=Mason|first1=J. C.|last2=Elliott|first2=G. H.|title=
Near-minimax complex approximation by four kinds of Chebyshev polynomial expansion|journal=J. Comput. Appl. Math.|volume=46|pages=291–300|year=1993|doi=10.1016/0377-0427(93)90303-S|doi-access=free}}</ref> तीसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है:
:<math>V_n(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}=\sqrt\frac{2}{1+x}T_{2n+1}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right)</math>
और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है::
:<math>W_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}=U_{2n}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right),</math>
जहाँ <math>\theta=\arccos x</math>.<ref name=MasonElliott1993/><ref name=DesmaraisBland1995>{{citation|last1=Desmarais|first1=Robert N.|last2=Bland|first2=Samuel R.|title=Tables of properties of airfoil polynomials|publisher=National Aeronautics and Space Administration|work=NASA Reference Publication 1343|url=https://ntrs.nasa.gov/citations/19960001864|year=1995}}</ref> चेबिशेव बहुपदों में <math>V_n(x)</math> और <math>W_n(x)</math> मे निरूपित <math>t_n(x)</math> और <math>u_n(x)</math> बहुपद समूह है <math>T_n(x)</math>, <math>U_n(x)</math>, <math>V_n(x)</math>, और <math>W_n(x)</math> के संबंध में आयतीय बहुपद हैं।
:<math>\left(1-x^2\right)^{-1/2},\quad\left(1-x^2\right)^{1/2},\quad(1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad(1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}</math>
और जैकोबी बहुपदों के समानुपाती होते हैं तथा <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)</math> के साथ
:<math>(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).</math> के सभी चार समूह पुनरावृत्ति बहुपद को संतुष्ट करते हैं।<ref name="DesmaraisBland1995" /> और <math>p_n(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)</math> के साथ <math>p_0(x)=1</math> एक बहुलक है, जहां <math>p_n = T_n</math>, <math>U_n</math>, <math>V_n</math>, या <math>W_n</math> लेकिन वे <math>p_1(x)</math> बराबर <math>x</math>, <math>2x</math>, <math>2x-1</math>, या <math>2x+1</math> के अनुसार भिन्न होते हैं।<ref name="MasonElliott1993" />
== यह भी देखें ==
* [[चेबिशेव फिल्टर]]
* [[चेबिशेव क्यूब रूट|चेबिशेव घनमूल]]
* [[डिक्सन बहुपद|डिक्सन (गणितज्ञ) बहुपद]]
* लेगेंद्रे (फ्रांसीसी गणितज्ञ) बहुपद
* [[हर्मिट बहुपद]]
*2cos(2pi/n) का न्यूनतम बहुपद
*रोमनोव्सकी बहुपद
* [[चेबिशेव तर्कसंगत कार्य|चेबिशेव तर्कसंगत फलन]]
* सन्निकटन सिद्धांत
*[[चेबफन|चेबफन प्रणाली]]
*असतत चेबिशेव रूपांतरण
* मार्कोव असमानता
*क्रेन्शॉ एल्गोरिथम

==संदर्भ==
{{Reflist|30em}}


== स्रोत ==
* {{Abramowitz Stegun ref|22|773}}
* {{cite journal
 |last1=Dette |first1=Holger
 |year=1995
 |title= चेबिशेव बहुपदों की कुछ अजीबोगरीब अरैखिक चरम घटनाओं पर एक नोट|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society
 |volume=38 |number=2 |pages=343–355
 |arxiv=math/9406222 |doi=10.1017/S001309150001912X
|s2cid=16703489
 }}
* {{cite journal
 |first1=David |last1=Elliott
 |year=1964
 |title=किसी फ़ंक्शन के चेबिशेव सीरीज़ विस्तार में गुणांकों का मूल्यांकन और अनुमान|journal=Math. Comp.
 | volume=18 | number=86 | pages=274–284
 |mr=0166903
 |doi=10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 |doi-access=free
}}
*{{cite journal
 | last1=Eremenko | first1=A.
 |last2=Lempert  |first2=L.
 |year =1994
 | url=http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/lempert.pdf
 |doi=10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1
 |mr=1207536
 |title=बहुपदों के लिए एक चरम समस्या| journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 |volume=122 |number=1 |pages=191–193
 |doi-access=free
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*{{cite journal
 | first1=M. A. | last1=Hernandez
 | title=चेबिशेव के सन्निकटन एल्गोरिदम और अनुप्रयोग| year=2001
 | journal=Computers & Mathematics with Applications
 | volume=41 | issue=3–4 |pages=433–445
 | doi=10.1016/s0898-1221(00)00286-8
 | doi-access=free
 }}
*{{cite book
 |first1=J. C. |last1=Mason
 |title=तर्कसंगत सन्निकटन और प्रक्षेप|year=1984
 |chapter=Some properties and applications of Chebyshev polynomial and rational approximation
 |series=Lecture Notes in Mathematics
 |volume=1105 |pages=27–48
 |doi=10.1007/BFb0072398 |doi-access=free |isbn=978-3-540-13899-0
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*{{cite book
 |last1=Mason |first1=J. C.
 |last2=Handscomb |first2=D.C.
 |year=2002
 |url={{Google books|8FHf0P3to0UC|Chebyshev Polynomials|plainurl=yes}}
 |title=चेबिशेव बहुपद|publisher=Chapman and Hall/CRC
 |isbn=978-1-4200-3611-4
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}}

*{{cite journal
 | first1= Richard J. | last1=Mathar
 | year=2006
 | title =व्युत्क्रम बहुपदों का चेबिशेव श्रृंखला विस्तार| journal=Journal of Computational and Applied Mathematics
 | volume=196 | issue=2 | pages=596–607
 | doi=10.1016/j.cam.2005.10.013 | doi-access=free
 | arxiv=math/0403344 | bibcode=2006JCoAM.196..596M
| s2cid=16476052
 }}
*{{dlmf
 |first=Tom H. |last=Koornwinder
 |first2=Roderick S. C. |last2= Wong
 |first3=Roelof |last3=Koekoek
 |first4=René F. |last4=Swarttouw
 |title=Orthogonal Polynomials
 |id=18
}}
* {{cite web
 |last=Remes |first=Eugene
 |title= चेबिशेव बहुपदों की एक चरम संपत्ति पर|url=https://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/remeztrans.pdf
}}
*{{cite journal
 |first1=Herbert E. |last1=Salzer
 | year=1976
 | title=पुनरावृत्ति सूत्रों द्वारा प्रक्षेप श्रृंखला को चेबिशेव श्रृंखला में परिवर्तित करना|journal=Mathematics of Computation
 | volume=30|number=134 | pages=295–302
 |doi=10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 |doi-access=free |mr=0395159
}}
*{{cite journal
 | first1=R.E. | last1=Scraton
 | year=1969
 | title=चेबिशेव श्रृंखला में अभिन्न समीकरणों का समाधान| journal=Mathematics of Computation
 | volume=23 | number=108 |pages=837–844
 | mr=0260224 | doi=10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 |doi-access=free
}}
*{{cite journal
 |first1=Lyle B. |last1=Smith
 |year=1966
 |title=चेबीशेव श्रेणी गुणांकों की गणना|id=Algorithm 277
 |journal=Comm. ACM
 |volume=9 | number=2 | pages=86–87
 |doi=10.1145/365170.365195|s2cid=8876563
 }}
*{{eom|title=Chebyshev polynomials|first=P. K.|last= Suetin}}

==बाहरी संबंध==
*{{Commons category-inline}}
* {{MathWorld
 |title=Chebyshev polynomial[s] of the first kind
 |urlname=ChebyshevPolynomialoftheFirstKind
}}
* {{cite web
 |first=John H. |last=Mathews
 |year=2003
 |title=Module for Chebyshev polynomials
 |series=Course notes for Math 340 ''Numerical Analysis'' & Math 440 ''Advanced Numerical Analysis''
 |publisher=California State University
 |place=Fullerton, CA
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}}
* {{cite web
 |title=Chebyshev interpolation: An interactive tour
 |publisher=Mathematical Association of America (MAA)
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}} – includes illustrative [[Java applet]].
* {{cite web
 |title=Numerical computing with functions
 |url=http://www.chebfun.org
 |website=The Chebfun Project 
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* {{cite web
 |title=Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?
 |website=Math Overflow
 |id=Question&nbsp;25534
 |url=https://mathoverflow.net/q/25534
}}
* {{cite web
 |title=Chebyshev polynomial evaluation and the Chebyshev transform
 |website=Boost
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{{Authority control}}

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