View source for ज्यामितीय माध्य प्रमेय

{{short description|Relates the altitude on the hypotenuse in a right triangle and the 2 line segments created}}
[[File:Hoehensatz2.svg|thumb|upright=1.2|ग्रे वर्ग का क्षेत्रफल = ग्रे आयत का क्षेत्रफल: <math> h^2=pq \Leftrightarrow h=\sqrt{pq}</math>]]समकोण त्रिभुज की ऊंचाई प्रमेय या [[कर्ण|ज्यामितीय माध्य प्रमेय]] प्राथमिक ज्यामिति में एक संभावित परिणाम है जो किसी समकोण त्रिभुज में [[कर्ण]] पर [[ऊंचाई (त्रिकोण)]] और कर्ण पर बनने वाले दो रेखा खंडों के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसमें कहा गया है कि दो खंडों की ज्यामितीय माध्य उसकी ऊंचाई के बराबर है। 

== प्रमेय और अनुप्रयोग ==
[[File:Root_construction_geometric_mean5.svg|thumb|upright=1.2|q को 1 पर सेट करके √p का निर्माण]]यदि h किसी समकोण त्रिभुज में ऊँचाई को दर्शाता है तथा p और q कर्ण पर खंडों को दर्शाता है तो प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है:<ref name="HW"/>:<math>h=\sqrt{pq} </math>
या क्षेत्रों की अवधि में:
:<math>h^2=pq.</math>

[[File:Am gm half circle3.svg|thumb|upright=1.2|एएम-जीएम असमानता]]क्रमिक संस्करण [[कम्पास और सीधा निर्माण|कम्पास और सरल निर्माण]] के साथ किसी आयत को वर्गाकार करने के लिए एक विधि देता है, जो कि किसी दिए गए आयत के बराबर क्षेत्र के वर्ग का निर्माण करना है। पक्षों P और Q के साथ इस तरह के एक आयत के लिए हम D के साथ अपने बाएं [[वर्टेक्स (ज्यामिति)|शीर्ष (ज्यामिति)]] को निरूपित करते हैं। अब हम खंड Q को इसके बाईं ओर P (D पर केंद्रित वृत्तांश AE के उपयोग करके) का विस्तार करते हैं और अंतिम बिंदु A और B के साथ एक अर्ध वृत्त बनाते हैं। इसके व्यास के रूप में नए खंड p+q के साथ फिर हम D में व्यास के लिए एक लंबी रेखा बनाते हैं जो C में अर्ध वृत्त को काटती है। थेल्स के प्रमेय C और व्यास रेखा खंड के कारण DC के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है, इसलिए DC एक वर्ग की वह भुजा है जो आयत का क्षेत्रफल निरूपित करती है। यह विधि वर्गमूलों के निर्माण की भी अनुमति देती है ([[यूक्लिड|रचनात्मक संख्याएं]] देखें), चूंकि एक आयत से प्रारम्भ करना जिसकी चौड़ाई 1 है, निर्मित वर्ग एक भुजा की लंबाई होगी जो आयत की लंबाई के वर्गमूल के बराबर होगी। <ref name="HW">*Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie''. Springer, 2009, {{ISBN|9783834808561}}, pp. 76-77 (German, {{Google books|cFzWcl9xiGcC|online copy|page=76}}) </ref>
इसका एक अन्य अनुप्रयोग दो संख्याओं के प्रकरण में [[यूक्लिड|AM-GM असमानता]] का ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। संख्या p और q के लिए एक व्यास p+q के साथ एक अर्ध वृत्त बनाता है। अब ऊंचाई ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करती है और त्रिज्या दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है। चूंकि ऊंचाई सदैव त्रिज्या के बराबर या उससे कम होती है, इससे असमानता उत्पन्न होती है। <ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''[[Icons of Mathematics|Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images]]''. MAA 2011, {{ISBN|9780883853528}}, pp.&nbsp;31–32 ({{Google books|4DavMl7-aFgC|online copy|page=31}}) </ref> 

[[File:Sehnensatz hoehensatz.svg|thumb|upright=1.2|इंटरसेक्टिंग कॉर्ड प्रमेय के एक विशेष प्रकरण के रूप में ज्यामितीय माध्य प्रमेय:<br/><math>|CD||DE|=|AD||DB| \Leftrightarrow h^2=pq</math>]]प्रमेय को एक वृत्त के लिए [[यूक्लिड|अन्तर्विभाजक जीवा प्रमेय]] के एक विशेष प्रकरण के रूप में भी माना जा सकता है, क्योंकि [[यूक्लिड|थेल्स प्रमेय]] का व्युत्क्रम यह सुनिश्चित करता है कि समकोण त्रिभुज का कर्ण इसके [[परिवृत्त]] का व्यास है। <ref name="HW"/>

व्युत्क्रम कथन भी सत्य है क्योकि कोई भी त्रिभुज, जिसमें ऊँचाई उसके द्वारा बनाए गए दो रेखा खंडों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है, जो कि एक समकोण त्रिभुज है। 

== इतिहास ==
प्रमेय को सामान्यतः [[यूक्लिड]] (सीए 360-280 ईसा पूर्व) के लिए उत्तरदायी ठहराया जाता है, जिन्होंने इसे अपने यूक्लिड के [[यूक्लिड|तत्वों]] की पुस्तक VI में प्रस्ताव 8 के परिणाम के रूप में बताया। पुस्तक II के प्रस्ताव 14 में यूक्लिड एक आयत का वर्ग करने के लिए एक विधि देता है, जो अनिवार्य रूप से यहाँ दी गई विधि से समानता रखती है। यूक्लिड हालांकि ज्यामितीय माध्य प्रमेय पर भरोसा करने के बजाय निर्माण की यथार्थता के लिए कुछ अधिक जटिल प्रमाण प्रदान करता है। ऊंचाई ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करती है और त्रिज्या दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है।<ref name="HW"/><ref>[[Euclid]]: [[Euclid's Elements|''Elements'']],  book II – prop. 14, book VI – pro6767800hshockedmake ,me uoppppp. 8, ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html online copy]) </ref>


== प्रमाण ==

=== समानता के आधार पर ===
[[File:Hoehensatz.svg|thumb|upright=1.2|{{center|<math>\triangle ABC \sim \triangle ADC \sim \triangle DBC</math>}}]]'''प्रमेय का प्रमाण:'''

त्रिकोण <math>\triangle ADC </math> और <math>\triangle BCD</math> समरूप त्रिभुज हैं समान त्रिभुज हैं, चूँकि:
* त्रिभुज पर विचार करें <math>\triangle ABC, \triangle ACD</math>,  यहाँ <math>\angle ACB=\angle ADC=90^\circ</math> और <math>\angle BAC=\angle CAD</math> है, इसलिए [[एए अभिधारणा|AA अभिधारणा]] द्वारा <math>\triangle ABC \sim \triangle ACD </math> है।
* आगे, त्रिभुजों पर विचार कीजिए <math>\triangle ABC, \triangle BCD</math>, यहाँ <math>\angle ACB=\angle BDC= 90^\circ</math> और <math>\angle ABC=\angle CBD</math> है, इसलिए AA अभिधारणा द्वारा <math>\triangle ABC \sim \triangle BCD</math> है।
इसलिए दोनों त्रिकोण <math>\triangle ACD</math> और <math>\triangle BCD</math>, <math>\triangle ABC</math> के समान हैं अर्थात <math>\triangle ACD \sim \triangle ABC \sim \triangle BCD</math>.

समानता के कारण हमें अनुपातों की निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है और इसकी बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था से प्रमेय: <math> \frac{h}{p}=\frac{q}{h}\,\Leftrightarrow\,h^2=pq\,\Leftrightarrow\,h=\sqrt{pq}\qquad (h,p,q> 0)</math> प्राप्त होता है। <ref name="HW"/>:

'''व्युत्क्रम का प्रमाण:'''

व्युत्क्रमता के लिए हमारे पास एक त्रिभुज <math>\triangle ABC </math> है जिसमें <math>h^2=pq</math> धारण करता है और यह दिखाने की आवश्यकता है कि C पर कोण समकोण है। क्योकि अब से <math>h^2=pq</math> प्राप्त भी है, <math>\tfrac{h}{p}=\tfrac{q}{h} </math> के साथ साथ <math>\angle ADC=\angle CDB </math> त्रिकोण <math>\triangle ADC </math> और <math>\triangle BDC </math> समान आकार का एक कोण है और समान अनुपात के साथ पैरों के युग्म हैं। इसका अर्थ है कि त्रिकोण समान हैं, जो उत्पन्न करता है:
:<math>\angle ACB=\angle ACD +\angle DCB=\angle ACD+(90^\circ-\angle DBC)=\angle ACD+(90^\circ-\angle ACD)=90^\circ</math>


===पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित===
[[File:Hoehensatz beweis pythagoras.svg|thumb|upright=1.0|पायथागॉरियन प्रमेय के साथ प्रमाण]]ज्यामितीय माध्य प्रमेय की समायोजन में तीन समकोण त्रिभुज <math>\triangle ABC </math>, <math>\triangle ADC </math> और <math>\triangle DBC </math> हैं, जिसमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है:
:<math>h^2=a^2-q^2</math>, <math>h^2=b^2-p^2</math> और <math>c^2=a^2+b^2</math>
इसके आधार पर पहले दो समीकरणों को जोड़ना और फिर तीसरे का उपयोग करना:
:<math>2h^2=a^2+b^2-p^2-q^2=c^2-p^2-q^2=(p+q)^2-p^2-q^2=2pq</math>.
अंत में दो से विभाजन से ज्यामितीय माध्य प्रमेय का सूत्र प्राप्त होता है। ऊंचाई ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करती है और त्रिज्या दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है। <ref>[[Ilka Agricola]], Thomas Friedrich: ''Elementary Geometry''. AMS 2008, {{ISBN|9780821843475}}, p.&nbsp;25  ({{Google books|LLXxBwAAQBAJ|online copy|page=25}}) </ref>


===विच्छेदन और पुनर्व्यवस्था पर आधारित===
[[File:Geometrischer Höhensatzbeweis.svg]]समकोण त्रिभुज को उसकी ऊँचाई h के साथ विभाजित करने पर दो समान त्रिभुज प्राप्त होते हैं, जिन्हें दो वैकल्पिक तरीकों से एक बड़े समकोण त्रिभुज में लंबाई p+h और q+h के लंबवत पक्षों के साथ संवर्धित और व्यवस्थित किया जा सकता है। ऐसी एक व्यवस्था के लिए क्षेत्रफल h<sup>2</sup> के एक वर्ग की आवश्यकता होती है, इसे पूरा करने के लिए, दूसरा क्षेत्रफल pq का एक आयत जो कि दोनों व्यवस्थाओं से समान त्रिभुज प्राप्त करता है, इसलिए वर्ग और आयत का क्षेत्रफल समान होना चाहिए। 

=== विच्छेदन मानचित्रण के आधार पर ===
ऊंचाई के वर्ग को तीन विच्छेदन मानचित्रण की सहायता से P और Q के बराबर क्षेत्र के आयत में परिवर्तित किया जा सकता है:

[[File:Scherungen alle2.svg|thumb|center|upright=4.0|उनकी संबद्ध निश्चित रेखाओं (बिंदीदार) के साथ अपरुपण मैपिंग, मूल वर्ग के साथ प्रारम्भ होने वाली प्रीइमेज के रूप में प्रत्येक समांतर चतुर्भुज इसके बाईं ओर की आकृति के अपरुपण मानचित्रण की छवि प्रदर्शित करता है]]

==संदर्भ==
<references/>


== बाहरी संबंध ==
*[https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeometricMean.shtml ''गुणोत्तर माध्य''] at [[Cut-the-Knot|कट-द-नॉट]]

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