View source for डिग्री मैट्रिक्स

बीजीय ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, [[अप्रत्यक्ष ग्राफ]] का '''डिग्री मैट्रिक्स ऐसा''' [[विकर्ण मैट्रिक्स]] होता है जिसमें प्रत्येक शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) की [[डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)]] के बारे में जानकारी होती है- अर्थात, प्रत्येक शीर्ष से जुड़े किनारों की संख्या होती है,<ref name="clv">{{citation
 | last1 = Chung | first1 = Fan | author1-link = Fan Chung
 | last2 = Lu | first2 = Linyuan
 | last3 = Vu | first3 = Van | author3-link = Van Vu
 | doi = 10.1073/pnas.0937490100
 | issue = 11
 | journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
 | mr = 1982145
 | pages = 6313–6318
 | title = Spectra of random graphs with given expected degrees
 | volume = 100
 | year = 2003 | pmid=12743375 | pmc=164443| bibcode = 2003PNAS..100.6313C | doi-access = free }}.</ref> ग्राफ़ के [[लाप्लासियन मैट्रिक्स]] का निर्माण करने के लिए इसका उपयोग आसन्न मैट्रिक्स के साथ किया जाता है: लाप्लासियन मैट्रिक्स डिग्री मैट्रिक्स और आसन्न मैट्रिक्स का अंतर है।<ref name="mohar">{{citation
 | last = Mohar | first = Bojan | authorlink = Bojan Mohar
 | editor1-last = Beineke | editor1-first = Lowell W.
 | editor2-last = Wilson | editor2-first = Robin J.
 | contribution = Graph Laplacians
 | isbn = 0-521-80197-4
 | mr = 2125091
 | pages = 113–136
 | publisher = Cambridge University Press, Cambridge
 | series = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
 | title = Topics in algebraic graph theory
 | url = https://books.google.com/books?id=z2K26gZLC1MC&pg=PA113
 | volume = 102
 | year = 2004}}.</ref>

== परिभाषा ==
ग्राफ <math>G=(V,E)</math> दिया गया और <math>|V|=n</math>, डिग्री मैट्रिक्स <math>D</math> के लिए <math>G</math> है <math>n \times n</math> विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है<ref name="clv"/>:

<math>D_{i,j}:=\left\{
\begin{matrix} 
\deg(v_i) & \mbox{if}\ i = j \\
0 & \mbox{otherwise}
\end{matrix}
\right.
</math>

डिग्री जहां <math>\deg(v_i)</math> किसी शीर्ष की संख्या यह गिनती है कि कोई किनारा उस शीर्ष पर कितनी बार समाप्त होता है। अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक लूप शीर्ष की [[डिग्री]] को दो से बढ़ा देता है। [[निर्देशित ग्राफ]] में, डिग्री शब्द या तो इंडिग्री (प्रत्येक शीर्ष पर आने वाले किनारों की संख्या) या [[आउटडिग्री]] (प्रत्येक शीर्ष पर आउटगोइंग किनारों की संख्या) को संदर्भित कर सकता है।

==उदाहरण==

निम्नलिखित अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में मानों के साथ 6x6 डिग्री मैट्रिक्स है:
 
{|class="wikitable"
![[Vertex labeled graph|वर्टेक्स लेबल ग्राफ़]]
!डिग्री मैट्रिक्स
|-
|[[Image:6n-graph2.svg|175px]]
|<math>\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
|}
ध्यान दें कि अप्रत्यक्ष ग्राफ़ की स्तिथि में, किनारा जो एक ही नोड में प्रारंभ और समाप्त होता है, संबंधित डिग्री मान को 2 से बढ़ा देता है (अर्थात इसे दो बार गिना जाता है)।

==गुण==
[[के-नियमित ग्राफ़]] के डिग्री मैट्रिक्स का स्थिर विकर्ण <math>k</math> होता है।

[[डिग्री योग सूत्र]] के अनुसार, डिग्री मैट्रिक्स का [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] विचारित ग्राफ के किनारों की संख्या से दोगुना है।

==संदर्भ==
{{reflist}}

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