View source for डिरिचलेट ऊर्जा

{{Short description|A mathematical measure of a function's variability}}
गणित में, डिरिचलेट ऊर्जा इस बात का माप है कि कोई फलन (गणित) कितना वेरिएबल है। अधिक संक्षेप में, यह सोबोलिव अंतरिक्ष {{math|''H''<sup>1</sup>}} पर एक द्विघात कार्य [[कार्यात्मक (गणित)]] है। डिरिचलेट ऊर्जा लाप्लास के समीकरण से घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई है और इसका नाम जर्मन गणितज्ञ [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] के नाम पर रखा गया है।
== परिभाषा ==

एक [[खुला सेट]] {{math|Ω ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup>}} और एक फलन {{math|''u'' : Ω → '''R'''}} दिया गया है, फलन {{math|''u''}} की डिरिचलेट ऊर्जा [[वास्तविक संख्या]] है

:<math>E[u] = \frac 1 2 \int_\Omega \| \nabla u(x) \|^2 \, dx,</math>
जहाँ {{math|∇''u'' : Ω → '''R'''<sup>''n''</sup>}} फलन {{math|''u''}} के ढाल [[वेक्टर क्षेत्र]] को दर्शाता है।

== गुण और अनुप्रयोग ==

चूँकि यह एक गैर-नकारात्मक मात्रा का अभिन्न अंग है, इसलिए डिरिचलेट ऊर्जा स्वयं गैर-ऋणात्मक है, अर्थात {{math|''E''[''u''] ≥ 0}} प्रत्येक कार्य {{math|''u''}} के लिए।

लाप्लास के समीकरण को हल करना <math>-\Delta u(x) = 0</math> सभी <math>x \in \Omega</math> के लिए, उचित सीमा शर्तों के अधीन, एक फलन {{math|''u''}} खोजने की विविधताओं की कलन को हल करने के समान है जो सीमा की स्थितियों को संतुष्ट करता है और न्यूनतम डिरिचलेट ऊर्जा रखता है।

इस तरह के समाधान को [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक]] फलन कहा जाता है और ऐसे समाधान [[संभावित सिद्धांत]] में अध्ययन का विषय हैं।

अधिक सामान्य सेटिंग में, जहाँ {{math|Ω ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup>}} को किसी भी [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन मैनिफोल्ड]] {{math|''M''}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और {{math|''u'' : Ω → '''R'''}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|''u'' : ''M'' → Φ}} दूसरे (अलग) रीमैनियन मैनिफोल्ड {{math|Φ}} के लिए, डिरिचलेट ऊर्जा [[सिग्मा मॉडल]] द्वारा दी गई है। सिग्मा मॉडल [[Lagrangian (क्षेत्र सिद्धांत)|लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)]] के लिए [[लैग्रेंज समीकरण]] के समाधान वे कार्य हैं जो डिरिचलेट ऊर्जा को न्यूनतम/अधिकतम करता है। इस सामान्य स्थितियों को {{math|''u''}} के विशिष्ट स्थितियों में वापस प्रतिबंधित करना: {{math|''u'' : Ω → '''R'''}} सिर्फ दिखाता है कि लैग्रेंज समीकरण (या, समतुल्य, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण) चरम समाधान प्राप्त करने के लिए मूलभूत उपकरण प्रदान करते हैं।

== यह भी देखें                                            ==
* डिरिक्लेट का सिद्धांत
* [[डिरिचलेट आइगेनवैल्यू]]
* [[कुल भिन्नता]]
* [[परिबद्ध माध्य दोलन]]
[[हार्मोनिक नक्शा]] मानचित्र

==संदर्भ==
*{{cite book | author=Lawrence C. Evans | title=Partial Differential Equations | publisher=American Mathematical Society | year=1998 | isbn=978-0821807729 }}

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