View source for डेटिंग नंबर

[[साहचर्य|'''साहचर्य''']] गणित में, '''डेटिंग संख्याएं''' [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के एक [[त्रिकोणीय सरणी|त्रिकोणीय क्रम]] हैं, जो [[निश्चित बिंदु (गणित)]] की निर्दिष्ट संख्या के साथ सेट { 1, ..., ''n'' } के [[परिवर्तन|क्रमपरिवर्तन]] की गणना करती हैं: दूसरे शब्दों में, इसे '''आंशिक विचलन''' कह सकते है। कुछ (लेखों के अनुसार, इस समस्या का नाम [[ त्यागी | एकरत्नी]] गेम के नाम पर रखा गया है।) ''n'' ≥ 0 और 0 ≤ ''k'' ≤ ''n' ''के लिए ', डेटिंग संख्या Dn,&nbsp;k { 1, ..., n } के क्रमपरिवर्तन की संख्या है, जिनके k निश्चित बिंदु हैं।

उदाहरण के लिए, यदि सात अलग-अलग लोगों को सात उपहार दिए जाते हैं, लेकिन केवल दो को ही सही उपहार मिलना निश्चित है, तो D<sub>7,&nbsp;2</sub>= 924 प्रकार से ऐसा हो सकता है। एक और प्रायः उद्धृत उदाहरण एक नृत्य विद्यालय का है, जहां 7 जोड़ों के साथ चाय-ब्रेक के बाद प्रतिभागियों को क्रमविहीन प्रकार से एक साथी को खोजने के लिए कहा जाता है, फिर एक बार D<sub>7,&nbsp;2</sub>= 924 संभावनाएं हैं कि 2 पिछले जोड़े संयोग से फिर से मिलें।

== संख्यात्मक मान ==

यहाँ इस क्रम का आरंभ है {{OEIS|A008290}}:


{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|k}}}} !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8
|-
! 0
| 1
| || || || || || || ||
|-
! 1
| 0
| 1
| || || || || || ||
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! 2
| 1
| 0
| 1
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! 3
| 2
| 3
| 0
| 1
| || || || ||
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! 4
| 9
| 8
| 6
| 0
| 1
| || || ||
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| 44
| 45
| 20
| 10
| 0
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| || ||
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| 265
| 264
| 135
| 40
| 15
| 0
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| ||
|-
! 7
| 1854
| 1855
| 924
| 315
| 70
| 21
| 0
| 1
|
|-
! 8
| 14833
| 14832
| 7420
| 2464
| 630
| 112
| 28
| 0
| 1
|}

{| class="collapsible collapsed" style="border: 1px solid gray;"
|-
!colspan="2"| ordered by number of moved elements
|-
|colspan="2" style="padding-left: 20px; padding-right: 20px;"|
The usual way (table above) to show the rencontres numbers is in columns corresponding to the number of fixed points <math>k</math>.<br>
But one can also order them in columns corresponding to the number of moved elements <math>i = n-k</math> {{OEIS|A098825}}.<br>
Each entry in the table below on the left can be factored into two terms given in the table below on the right: the product of a [[binomial coefficient]] (given first in <span style="color: #a00;">red</span>) and a [[subfactorial]] (given second in <span style="color: #22f;">blue</span>).<br>
In this order each column corresponds to one subfactorial: <math>~~~T(n, i) = \binom{n}{i} ~\cdot~ !i</math>
|-
|style="padding-left: 20px;"|

{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|i}}}} !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 || 8
|-
! 0
| 1
| || || || || || || ||
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! 1
| 1
| 0
| || || || || || ||
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! 2
| 1
| 0
| 1
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! 3
| 1
| 0
| 3
| 2
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| 1
| 0
| 6
| 8
| 9
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| 1
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| 1
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| 15
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| ||
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| 1
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| 1854
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| 7420
| 14832
| 14833
|}
|style= पैडिंग-लेफ्ट: 120px; पैडिंग-राइट: 20px; |

{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
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! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|i}}}} !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 || 8
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! 0
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| || || || || || || ||
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">0</span>
| || || || || || ||
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| || || || || ||
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! 3
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">3</span>⋅<span style="color: #22f;">0</span>
| <span style="color: #a00;">3</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">2</span>
| || || || ||
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! 4
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">4</span>⋅<span style="color: #22f;">0</span>
| <span style="color: #a00;">6</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">4</span>⋅<span style="color: #22f;">2</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">9</span>
| || || ||
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! 5
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">5</span>⋅<span style="color: #22f;">0</span>
| <span style="color: #a00;">10</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">10</span>⋅<span style="color: #22f;">2</span>
| <span style="color: #a00;">5</span>⋅<span style="color: #22f;">9</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">44</span>
| || ||
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
| <span style="color: #a00;">6</span>⋅<span style="color: #22f;">0</span>
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| <span style="color: #a00;">20</span>⋅<span style="color: #22f;">2</span>
| <span style="color: #a00;">15</span>⋅<span style="color: #22f;">9</span>
| <span style="color: #a00;">6</span>⋅<span style="color: #22f;">44</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">265</span>
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
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| <span style="color: #a00;">35</span>⋅<span style="color: #22f;">9</span>
| <span style="color: #a00;">21</span>⋅<span style="color: #22f;">44</span>
| <span style="color: #a00;">7</span>⋅<span style="color: #22f;">265</span>
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| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">1</span>
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| <span style="color: #a00;">70</span>⋅<span style="color: #22f;">9</span>
| <span style="color: #a00;">56</span>⋅<span style="color: #22f;">44</span>
| <span style="color: #a00;">28</span>⋅<span style="color: #22f;">265</span>
| <span style="color: #a00;">8</span>⋅<span style="color: #22f;">1854</span>
| <span style="color: #a00;">1</span>⋅<span style="color: #22f;">14833</span>
|}
|}

== सूत्र ==

K = 0 पंक्ति में संख्याएँ अव्यवस्थाओं की गणना करते हैं। इस प्रकार
 
:<math>D_{0,0} = 1, \!</math>
:<math>D_{1,0} = 0, \!</math>
:<math>D_{n+2,0} = (n + 1)(D_{n+1,0} + D_{n,0}) \!</math>
गैर-नकारात्मक n के लिए, यह पता चलता है कि

:<math>D_{n,0} = \left\lceil\frac{n!}{e}\right\rfloor,</math>
जहाँ अनुपात को सम n के लिए पूर्णांकित किया जाता है और विषम n के लिए नीचे की ओर पूर्णांकित किया जाता है। n ≥ 1 के लिए, यह निकटतम पूर्णांक देता है।

अधिक समान्यतः, किसी  <math>k\geq 0</math>, के लिए हमारे पास है

:<math>D_{n,k} = {n \choose k} \cdot D_{n-k,0}.</math>
प्रमाण आसान है जब कोई जानता है कि विचलन की गणना कैसे करनी है: n में से k निश्चित बिंदुओं को चुनें; फिर अन्य n − k बिंदुओं का विचलन चुनें।

संख्या {{math|D<sub><VAR>n</VAR>,0</sub>/(<VAR>n</VAR>!)}} [[ बिजली की श्रृंखला |घात श्रेणी]] {{math|e<sup>&minus;<VAR>z</VAR></sup>/(1 &minus; <VAR>z</VAR>)}} द्वारा उत्पन्न होते है, इसलिए,

d <sub>''n'',&nbsp;''m''</sub> के लिए एक स्पष्ट सूत्र निम्नानुसार व्युत्पन्न किया जा सकता है:
:<math> D_{n, m}
= \frac{n!}{m!} [z^{n-m}] \frac{e^{-z}}{1-z}
= \frac{n!}{m!} \sum_{k=0}^{n-m} \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
इसका तुरंत तात्पर्य है

:<math> D_{n, m} = {n \choose m} D_{n-m, 0} \; \; \mbox{ and } \; \;
\frac{D_{n, m}}{n!} \approx \frac{e^{-1}}{m!}</math>
N बड़े के लिए, m निश्चित।

== संभाव्यता वितरण ==

''"संख्यात्मक मान"'' में तालिका के लिए प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग { 1, ..., ''n'' } के क्रमचय की कुल संख्या है, और इसलिए ''n'' ! है। यदि कोई ''n''वीं पंक्ति की सभी प्रविष्टियों को ''n''<nowiki>!</nowiki> से विभाजित करता है, तो उसे { 1 , ..., ''n'' } के समान रूप से वितरित यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन के निश्चित बिंदुओं की संख्या का संभाव्यता वितरण प्राप्त होता है। संभावना है कि निश्चित बिंदुओं की संख्या 'k' है

:<math>{D_{n,k} \over n!}.</math>
n ≥ 1 के लिए, निश्चित बिंदुओं की अपेक्षित मान संख्या 1 है (एक तथ्य जो अपेक्षा की रैखिकता से अनुसरण करता है)।

अधिक समान्यतः, i ≤ n के लिए, इस संभाव्यता वितरण का iवां क्षण (गणित) अपेक्षित मान 1 के साथ प्वासों वितरण का iवां क्षण है।<ref>Jim Pitman, "Some Probabilistic Aspects of [[partition of a set|Set Partitions]]", [[American Mathematical Monthly]], volume&nbsp;104, number&nbsp;3, March 1997, pages&nbsp;201&ndash;209.</ref> i > n के लिए, iवां क्षण उस प्वासों वितरण से छोटा होता है। विशेष रूप से, i ≤ n के लिए, iवां क्षण iवां [[बेल नंबर|बेल संख्या]] है, यानी आकार i के सेट के विभाजन की संख्या।

=== संभाव्यता वितरण को सीमित करना ===

जैसे-जैसे अनुमत सेट का आकार बढ़ता है, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है

:<math>\lim_{n\to\infty} {D_{n,k} \over n!} = {e^{-1} \over k!}. </math>
यह केवल संभावना है कि अपेक्षित मान 1 वाला पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर k के बराबर है। दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे n बढ़ता है आकार n के एक सेट के यादृच्छिक क्रमचय के निश्चित बिंदुओं की संख्या का प्रायिकता वितरण अपेक्षित मान 1 के साथ पॉइसन वितरण तक पहुंचता है।

== यह भी देखें ==
*ओबरवॉल्फ समस्या, एक अलग गणितीय समस्या जिसमें टेबल पर भोजन करने वालों की व्यवस्था समिलित है
*Probleme des ménages, इसी तरह की एक समस्या जिसमें आंशिक अव्यवस्था समिलित है

==संदर्भ==
{{reflist}}
* [[John Riordan (mathematician)|Riordan, John]], ''An Introduction to Combinatorial Analysis'', New York, Wiley, 1958, pages 57, 58, and&nbsp;65.
* {{mathworld|title=Partial Derangements|urlname=PartialDerangement}}
[[Category: क्रमपरिवर्तन]] [[Category: असतत वितरण]] [[Category: निश्चित अंक (गणित)]] [[Category: संख्याओं का त्रिकोण]] [[Category: संभाव्यता वितरण का सिद्धांत]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]