View source for ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय

{{short description|Property of perpendicular lines through orthocenters}}
[[File:Droz-Farny line.svg|400px|right|thumb|<math>A_0,B_0,C_0</math> के माध्यम से रेखा ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा है]][[यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय एक स्वेच्छाचारी त्रिकोण के [[orthocenter|लम्बकेन्द्र]] के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की विशेषता है।

मान लीजिए कि <math>T</math> शीर्ष <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> वाला एक त्रिभुज है, और <math>H</math> को इसका लंबकेन्द्र (इसकी तीन शीर्ष रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु) होने दें। मान लीजिए <math>L_1</math>और <math>L_2</math> <math>H</math> से होकर जाने वाली दो परस्पर लंब रेखाएँ हैं। मान लीजिए <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> वे बिंदु हों जहां <math>L_1</math> पार्श्व रेखाओं <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math> को क्रमश काटता है। इसी तरह, मान लीजिए  <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, और <math>C_2</math> वे बिंदु हों जहां <math>L_2</math> उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु <math>A_1A_2</math>, <math>B_1B_2</math>, और <math>C_1C_2</math> संरेख हैं।<ref name=droz1899/><ref name=ayme2004/><ref name=wolfram/>

प्रमेय 1899 में [[अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी]] द्वारा कहा गया था,<ref name=droz1899/> लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास प्रमाण था या नहीं।<ref name=hismat/>


==गुर्माघटघ का सामान्यीकरण==
ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref name=goorm1930/>

ऊपर की तरह, मान लीजिए कि <math>T</math> एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math>  हैं। मान लीजिए कि P, <math>A</math>, <math>B</math> और <math>C</math> से अलग कोई बिंदु है, और <math>L</math>, <math>P</math> से होकर जाने वाली कोई रेखा है।मान लीजिए <math>A_1</math>, <math>B_1</math>, और <math>C_1</math> भुजा रेखाओं <math>BC</math>, <math>CA</math>, और <math>AB</math> पर क्रमशः बिंदु हैं, जैसे कि रेखाएँ <math>PA_1</math>, <math>PB_1</math>, और <math>PC_1</math> लाइन <math>L</math> के खिलाफ प्रतिबिंब द्वारा क्रमशः <math>PA</math>, <math>PB</math> और <math>PC</math> लाइनों की छवियां हैं

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष स्तिथि है, जब <math>P</math> त्रिभुज का लंबकेन्द्र है <math>T</math>.

== दाओ का सामान्यीकरण ==
[[चाकू थान ओई]] द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, ''P'' समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और ''P'' संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB'' से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।<ref name=hoang2014/>

 [[File:Daotheoremonconic1.svg|thumb|right|350px|दाओ का दूसरा सामान्यीकरण]]दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक [[बिंदु (ज्यामिति)]] P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub> P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; B, B '; C, C 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A<sub>0</sub>; DB' ∩ AC = B<sub>0</sub>; DC' ∩ AB= C<sub>0</sub>. फिर A<sub>0</sub>, B<sub>0</sub>, C<sub>0</sub> संरेख हैं। <ref name=G.Ng.Nguyen2015/><ref name=GeoffSmith2015/><ref name=O.T.Dao_cutheknot2013/>


== संदर्भ ==
<references>
<!-- Please do not convert these references to <nowiki>{{cite }}</nowiki> templates. There is no gain, the template only makes the references harder to enter, edit, and read, especially by nonspecialist readers.  The notation "44(10)112-117" was invented to save paper, which is no concern of Wikipedia.-->
<ref name=ayme2004>Jean-Louis Ayme (2004), "[http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426index.html A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem]". ''Forum Geometricorum'', volume 14, pages 219–224, {{ISSN|1534-1178}}</ref>
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<ref name=G.Ng.Nguyen2015>[http://gjarcmg.geometry-math-journal.ro/ Nguyen Ngoc Giang, ''A proof of Dao theorem'', Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141006193110/http://gjarcmg.geometry-math-journal.ro/ |date=2014-10-06 }}, {{ISSN|2284-5569}}</ref> 
<ref name=GeoffSmith2015>[http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fileId=S0025557215020549 Geoff Smith (2015). ''99.20 A projective Simson line''. The Mathematical Gazette, 99, pp 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47]</ref>
<ref name=O.T.Dao_cutheknot2013>O.T.Dao 29-July-2013, [http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/DoublePascalConic.shtml Two Pascals merge into one], [[Cut-the-Knot]]</ref>

</references>

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