View source for त्रिकोणमितीय अभिन्न

{{for|त्रिकोणमितीय कार्यों के सरल अभिन्न|त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न की सूची}}
[[File:Plot of the hyperbolic sine integral function Shi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the hyperbolic sine integral function Shi(z) कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+2i तक मेथेमेटिका 13.1 फंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|प्लॉट ऑफ हाइपरबॉलिक साइन इंटीग्रल फंक्शन शि(जेड) कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+ के साथ बनाए गए रंगों के साथ 2i मैथमैटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट 3 डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ|147x147px]]
{{Short description|Special function defined by an integral}}
[[Image:sine cosine integral.svg|thumb|Si(x) (नीला) और Ci(x) (हरा) ही प्लॉट पर प्लॉट किए गए हैं।]]

[[File:Integral sine in the complex plain.svg|thumb|[[डोमेन रंग]] के प्रकार के साथ प्लॉट किए गए जटिल विमान में अभिन्न साइन होते है।]]

[[File:Cosc.svg|thumb|जटिल विमान में अभिन्न कोसाइन नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ कटी हुई शाखा पर ध्यान दीजिए।]]गणित में, '''त्रिकोणमितीय अभिन्न''' त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े अभिन्नो का [[अनुक्रमित परिवार|अनुक्रमित संबंधी]] है।

== ज्या अभिन्न ==
[[Image:Sine integral.svg|thumb|{{math|0 ≤ ''x'' ≤ 8 ''π''}} के लिए Si(''x'') का प्लॉट।]]
[[File:Plot of the cosine integral function Ci(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the cosine integral function Ci(z) कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+2i तक मेथेमेटिका 13.1 फंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|थंब|कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+2i तक कोसाइन इंटीग्रल फंक्शन Ci(z) के साथ बनाए गए रंगों के साथ मैथमैटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट 3 डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ]]विभिन्न ज्या अभिन्न परिभाषाएँ हैं।
<math display="block">\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math><math display="block">\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.</math>
ध्यान दीजिए कि अभिन्नित {{frac|{{math|sin ''t''}} | {{math|''t''}} }} sin c फलन है और शून्य गोलाकार बेसेल फलन jn.2C yn भी है।

चूँकि {{math| sinc}} सम संपूर्ण फलन है (संपूर्ण जटिल तल पर [[ होलोमार्फिक |होलोमार्फिक]]), {{math| Si}} संपूर्ण विषम है, और इसकी परिभाषा में अभिन्न को अंतबिंदुओं को जोड़ने वाले किसी भी पथ के साथ लिया जा सकता है।

परिभाषा के अनुसार, {{math| Si(''x'')}} {{math|sin ''x'' / ''x''}} का प्रतिपक्षी है। जिसका मान {{math|1=''x'' = 0}} शून्य है, और {{math|si(''x'')}} प्रतिपक्षी है जिसका मान {{math|1=''x'' = ∞}} शून्य पर है। उनका अंतर [[ डिरिचलेट अभिन्न |डिरिचलेट अभिन्न]] द्वारा दिया गया है।
<math display="block">\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ or } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.</math>
सामान्यतः [[ संकेत आगे बढ़ाना |संकेत आगे बढ़ाने]] में, साइन अभिन्न के दोलनों के कारण sin c फिल्टर का उपयोग करते समय [[ ओवरशूट (संकेत) |ओवरशूट (संकेत)]] और [[ बजती हुई कलाकृतियाँ |बजती हुई कलाकृतियाँ]], और [[लो पास फिल्टर]] के रूप में ट्रंकेटेड sin c फिल्टर का उपयोग करने पर [[ आवृत्ति डोमेन |आवृत्ति डोमेन]] [[ बजती हुई कलाकृतियाँ |बजती]] है।

चूँकि संबंधित [[गिब्स घटना]] है। यदि साइन अभिन्न को [[भारी कदम समारोह]] के साथ sin c फ़ंक्शन के [[कनवल्शन]] के रूप में माना जाता है। तब यह फूरियर श्रृंखला को छोटा करने के अनुरूप है। जो गिब्स घटना का कारण है।

== कोसाइन अभिन्न ==
[[Image:Cosine integral.svg|thumb|{{nowrap|0 < {{mvar|x}} ≤ 8{{mvar|π}} .}} के लिए {{math|Ci(''x'')}} का आलेख।]]विभिन्न [[कोज्या]] अभिन्न परिभाषाएँ हैं।
<math display="block">\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt~,</math><math display="block">\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt
\qquad ~\text{ for } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,</math>
जंहा {{math|1=''γ'' ≈ 0.57721566 ...}} यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। कुछ ग्रंथ {{math|ci}} के अतिरिक्त {{math|Ci}}. उपयोग करते हैं।

दो परिभाषाओं से संबंधित हैं। {{math|Ci(''x'')}} का प्रतिपक्षी है {{math|cos ''x'' / ''x''}} (जो विलुप्त हो जाता है <math>x \to \infty</math>)।
<math display="block">\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~.</math>

{{math|Cin}} [[सम और विषम कार्य]] संपूर्ण कार्य है। इसी कारण से, कुछ ग्रंथ {{math|Cin}} को प्राथमिक कार्य के रूप में मानते है और {{math|Ci}} को {{math|Cin}} के संदर्भ में प्राप्त करते हैं।

== [[ अतिशयोक्तिपूर्ण साइन | अतिशयोक्तिपूर्ण साइन]] अभिन्न ==
अतिशयोक्तिपूर्ण साइन अभिन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है।
<math display="block">\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.</math>
यह साधारण साइन अभिन्न से संबंधित है।
<math display="block">\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).</math>
== अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन अभिन्न ==
[[अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन]] अभिन्न है।

[[File:Plot of the hyperbolic cosine integral function Chi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the hyperbolic cosine integral function Chi(z) कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+2i तक मैथेमेटिका 13.1 फंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|प्लॉट ऑफ हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल फंक्शन ची(जेड) कॉम्प्लेक्स प्लेन में -2-2i से 2+ के साथ बनाए गए रंगों के साथ 2i मैथमैटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट 3 डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ|394x394px]]
<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \text{ for } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,</math>
जंहा <math>\gamma</math> यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

इसकी श्रृंखला विस्तार है।
<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).</math>
== सहायक कार्य ==
त्रिकोणमितीय अभिन्नो को तथाकथित सहायक फलनों के संदर्भ में समझा जा सकता है।
<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& \quad \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \qquad \text{ and }  \\
g(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}
</math>
इन कार्यों का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय अभिन्न को फिर से व्यक्त किया जा सकता है।

(cf. अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_232.htm पृष्ठ 232])
<math display="block">\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}</math>
== नीलसन का सर्पिल ==
[[Image:Nielsen's spiral.png|thumb|नीलसन का सर्पिल।]]नीलसन के सर्पिल {{math|si , ci}} के पैरामीट्रिक प्लॉट द्वारा निर्मित सर्पिल को नीलसन के सर्पिल के रूप में जाना जाता है।
<math display="block">x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)</math><math display="block">y(t) = a \times \operatorname{si}(t)</math>
सामान्यतः सर्पिल [[फ्रेस्नेल अभिन्न]] और [[यूलर सर्पिल]] से निकटता से संबंधित है। अतः नीलसन के सर्पिल में दृष्टि प्रसंस्करण, सड़क और ट्रैक निर्माण और अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।<ref>{{Cite book|last=Gray|title=वक्रों और सतहों की आधुनिक विभेदक ज्यामिति।|publisher=|year=1993|isbn=|location=Boca Raton|pages=119}}</ref>
== विस्तार ==
तर्क की सीमा के आधार पर त्रिकोणमितीय अभिन्नो के मूल्यांकन के लिए विभिन्न विस्तारों का उपयोग किया जा सकता है।

=== स्पर्शोन्मुख श्रृंखला (बड़े तर्क के लिए) ===
<math display="block">\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)</math><math display="block">\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.</math>
यह श्रृंखला [[स्पर्शोन्मुख श्रृंखला]] और भिन्न हैं। चूंकि अनुमानों और यहां तक कि त्रुटिहीन मूल्यांकन के लिए {{math|ℜ(''x'') ≫ 1}} भी उपयोग किया जा सकता है।

=== अभिसरण श्रृंखला ===
<math display="block">\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math><math display="block">\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>
ये श्रृंखलाएँ किसी भी जटिल {{mvar|x}} पर अभिसारी होती हैं {{mvar|x}}, चूंकि के लिए {{math|{{mabs|''x''}} ≫ 1}}, श्रृंखला प्रारंभ में धीरे-धीरे अभिसरित होती है। जिसके लिए उच्च परिशुद्धता के लिए कई शब्दों की आवश्यकता होती है।

=== श्रृंखला विस्तार की व्युत्पत्ति ===
ज्या के मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार से,<math display="block">\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots</math><math display="block">\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots</math><math display="block">\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots </math>
== काल्पनिक तर्क के घातीय अभिन्न के साथ संबंध ==
कार्यक्रम,<math display="block">\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 </math>

इसे घातीय अभिन्नन कहा जाता है। यह {{math|Si}} और {{math|Ci}}, से घनिष्ठ रूप से संबंध है।
<math display="block">
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.
</math>
चूंकि तर्क के नकारात्मक मूल्यों में कटौती को छोड़कर प्रत्येक संबंधित कार्य विश्लेषणात्मक है। अतः संबंध की वैधता के क्षेत्र को विस्तारित किया जाता है। (इस सीमा के बाहर, अतिरिक्त शर्तें जो पूर्णांक कारक हैं) {{math|''π''}} अभिव्यक्ति में दिखाई देते हैं।)

सामान्यीकृत इंटीग्रो-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के काल्पनिक तर्क की स्थिति हैं।
<math display="block">
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,
</math>
जिसका वास्तविक भाग है।
<math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}  ~.
</math>
उसी प्रकार,
<math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 
 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
 + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.
</math>
== कुशल मूल्यांकन ==
अभिसरण टेलर श्रृंखला के पैड सन्निकटन छोटे तर्कों के लिए कार्यों का मूल्यांकन करने में कुशल विधि प्रदान करते हैं। रोवे एट अल द्वारा दिए गए निम्नलिखित सूत्र (2015),<ref name=RoweEtAl2015>{{cite journal |last1=Rowe |first1=B. |display-authors=etal |title=GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit |journal=Astronomy and Computing |year=2015 |volume=10 |page=121 |doi=10.1016/j.ascom.2015.02.002 |arxiv=1407.7676 |bibcode=2015A&C....10..121R|s2cid=62709903 }}</ref> {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 4}} के लिए {{math|10<sup>−16</sup>}} से उत्तम के लिए त्रुटिहीन हैं।

अभिन्न का मूल्यांकन अप्रत्यक्ष रूप से सहायक कार्यों के माध्यम से किया जा सकता है। जिसे <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math>द्वारा परिभाषित किया गया है।

{|
|<math display="block">\operatorname{Si}(x)=\frac{\pi}{2}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)</math>
| &nbsp; &nbsp;
|<math display="block">\operatorname{Ci}(x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x) </math>
|-
|colspan="3" align="center"| या समकक्ष 
|-
|<math display="block">f(x) \equiv \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x)\right] \cos(x) + \operatorname{Ci}(x) \sin(x)</math>
| &nbsp; &nbsp;
|<math display="block">g(x) \equiv \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x)\right] \sin(x) - \operatorname{Ci}(x) \cos(x)</math>
|}
<math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> के लिए <math>x \ge 4</math> Padé approximant|Padé तर्कसंगत फ़ंक्शन नीचे दिए गए 10<sup>−16</sup> से कम त्रुटि के साथ अनुमानित हैं।<ref name=RoweEtAl2015/>

== यह भी देखें ==
* [[लॉगरिदमिक इंटीग्रल|लॉगरिदमिक अभिन्न]]
*[[टैंक समारोह]]
* [[तनहक समारोह]]
*[[सिंह समारोह]]
* [[कोश फ़ंक्शन]]

== संदर्भ ==
{{reflist|25em}}

* {{AS ref|5|231}}


== अग्रिम पठन ==
* {{cite arXiv |first1=R.J. |last1=Mathar |eprint=0912.3844 |title=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''i{{pi}}x'')&middot;''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and ∞ |year=2009 |class=math.CA |at=Appendix B}}
* {{cite book |last1=Press |first1=W.H. |last2=Teukolsky |first2=S.A. |last3=Vetterling |first3=W.T. |last4=Flannery |first4=B.P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd  |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section&nbsp;6.8.2 – Cosine and Sine Integrals |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300}}
* {{cite web |first=Dan |last=Sloughter |url=http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf |title=Sine Integral Taylor series proof |website=Difference Equations to Differential Equations}}
* {{dlmf |id=6 |title=Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals |first=N.M. |last=Temme}}


==बाहरी संबंध==
* http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
* {{springer|title=Integral sine|id=p/i051650}}
* {{springer|title=Integral cosine|id=p/i051370}}
{{DEFAULTSORT:Trigonometric Integral}}

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[[Category:Templates that generate short descriptions|Trigonometric Integral]]
[[Category:Templates using TemplateData|Trigonometric Integral]]
[[Category:अभिन्न|Trigonometric Integral]]
[[Category:त्रिकोणमिति|Trigonometric Integral]]
[[Category:विशेष कार्य|Trigonometric Integral]]
[[Category:विशेष हाइपरज्यामितीय कार्य|Trigonometric Integral]]