View source for त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

{{short description|Mathematical process of finding the derivative of a trigonometric function}}
{{Trigonometry}}
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF; margin:1em 0 1em 1em" align="right" hspace="3" 
! '''फलन'''
! '''अवकलज'''
|-
| <math>\sin(x)</math>
| <math>\cos(x)</math>
|-
|<math>\cos(x)</math>
|<math>-\sin(x)</math>
|-
|<math>\tan(x)</math>
|<math>\sec^2(x)</math>
|-
|<math>\cot(x)</math>
|<math>-\csc^2(x)</math>
|-
|<math>\sec(x)</math>
|<math>\sec(x)\tan(x)</math>
|-
|<math>\csc(x)</math>
|<math>-\csc(x)\cot(x)</math>
|-
|<math>\arcsin(x)</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arccos(x)</math>
|<math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|<math>\arctan(x)</math>
|<math>\frac{1}{x^2+1}</math>
|-
|<math>\arccot(x)</math>
|<math>-\frac{1}{x^2+1}</math>
|-
|<math>\arcsec(x)</math>
|<math>\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
|<math>\arccsc(x)</math>
|
|}

'''त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन''',एक [[त्रिकोणमितीय फलन]] के [[अवकलज]] या एक चर के संबंध में उसके परिवर्तन की दर का पता लगाने की गणितीय प्रक्रिया है।उदाहरण के लिए,ज्या फलन का अवकलज sin'(a) = cos(a) के रूप में लिखा जाता है,इसका अर्थ है कि एक विशेष कोण x = a पर sin(x) की परिवर्तन दर को उस कोण के कोज्या से दिया जाता है।

वृत्तीय त्रिकोणमितीय फलनों के सभी अवकलज sin(x) और cos(x) से tan(x) = sin(x)/cos(x) जैसे फलनों पर लागू होने वाले [[भागफल नियम]] के माध्यम से पाए जा सकते हैं।इन अवकलजों को जानने के लिए,[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों]] के अवकलजों को [[अंतर्निहित अवकलन|अप्रत्य्क्ष विभेदन]] का उपयोग करके पाया जाता है।

==त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के प्रमाण==

=== जब θ,0 की ओर प्रवृत्त होता है,तो sin(θ)/θ की सीमा ===
[[File:limit circle FbN.jpeg|{{center|वृत्त, केंद्र''O'', त्रिज्या 1}}|frame]]दायीं ओर आरेख केंद्र o और त्रिज्या r = 1 के साथ एक वृत्त दिखाता है।दो त्रिज्याएँ OA और OB,θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं।चूंकि हम सीमा को शून्य मान रहे हैं,इसलिए हम मान सकते हैं कि θ एक छोटी धनात्मक संख्या है,अर्थात्,0 < θ < ½ π पहले चतुर्थांश में है।

आरेख में,OAB त्रिभुज को R1,OAB [[वृत्तीय क्षेत्र]] को R2 और OAC त्रिभुज को R3 लें।OAB [[त्रिभुज का क्षेत्रफल]] है:

:<math> \mathrm{Area}(R_1
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB|  \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . </math>
OAB [[वृत्तीय क्षेत्र का क्षेत्रफल]] <math>\mathrm{Area}(R_2) 
=\tfrac{1}{2}\theta</math> है,जबकि OAC त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया है
:<math> \mathrm{Area}(R_3
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . </math>
चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले क्षेत्र में निहित है,इसलिए एक निम्न विधि होती है:<math>\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies 
\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \, . </math>

इसके अतिरिक्‍त,चूँकि पहले चतुर्थांश में sin θ > 0 होता है,हम ½ sin θ से भाग कर सकते हैं:
:<math>1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . </math>
अंतिम चरण में,असमिका को उलटते हुए,हमने तीन सकारात्मक मानों के प्रतिलोम मान लिए हैं।

[[File:Squeeze FbN.png|thumb|{{center|संकुचन: वक्र {{nowrap|1=''y'' = 1}} और {{nowrap|1=''y'' = cos ''θ''}} लाल रंग में दिखाए गए हैं, वक्र {{nowrap|1=''y'' = sin(''θ'')/''θ''}} नीले लाल रंग में दिखाए गए हैं।}}]]हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए,राशि sin(θ)/θ हमेशा 1 से कम और हमेशा cos(θ) से अधिक होती है। इस प्रकार,जब θ,0 के नजदीक जाता है, sin(θ)/θ को 1 ऊँचाई पर छत और cos θ ऊँचाई पर फर्श के बीच "[[संकुचित]]" किया जाता है,जो 1 की ओर उठता है;इसलिए θ के धनात्मक दिशा से 0 की ओर पहुंचते ही sin(θ)/θ 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए:

<math>\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . </math>

इस मामले के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या हो -½ π < θ < 0,तब हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि साइन एक [[विषम फलन|विषम]] [[फलन]] है:<math>\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 
 1 \, . </math>
===जब θ,0 की ओर प्रवृत्त होता है,तो (cos(θ)-1)/θ की सीमा ===
अंतिम खंड हमें इस नई सीमा की अपेक्षाकृत आसानी से गणना करने में सक्षम बनाता है।इसे एक सरल चाल का उपयोग करके किया जाता है।इस गणना में, θ का चिह्न महत्त्वहीन है। 

<math> \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . </math> 

{{nowrap|1=cos<sup>2</sup>''θ'' – 1 = –sin<sup>2</sup>''θ''}} का उपयोग करते हुए,तथ्य यह है कि एक गुणांक की सीमा सीमाओं का गुणांक होती है,और पिछले खंड से सीमा परिणाम मिलता है,हम पाते हैं कि:<math> \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} 
\ =\ 
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . </math> 

=== जब θ,0 की ओर प्रवृत्त होता है,तो tan(θ)/θ की सीमा ===
[[ज्या]] फलन के लिए सीमा,स्पर्शज्या फलन विषम होने के तथ्य,और एक गुणांक की सीमा सीमाओं का गुणांक के तथ्य का उपयोग करते हुए,हम पाते हैं:
:<math>
  \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
  \ =\ 
 \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
 \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
 \ =\ 
 (1)(1)
 \ =\ 
  1 \, . </math>
===ज्या फलन का अवकलज ===
हम [[ज्या फलन|ज्या]] फलन के अवकलज की गणना [[सीमा परिभाषा]] से करते हैं:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0}  \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . </math>
[[कोण समीकरण सूत्र|कोण जोड़ सूत्र]] sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α का उपयोग करते हुए,हमें  मिलता है:

<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . </math>

[[Sine|ज्या]] और [[कोज्या]] फलनों के लिए सीमाओं का उपयोग करते हुए:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . </math>
===कोज्या फलन का अवकलज ===

====अवकलज की परिभाषा से====
हम पुनः सीमा परिभाषा से [[कोसाइन फ़ंक्शन|कोज्या]] फलन के अवकलज की गणना करते हैं:

:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} . </math>
कोण जोड़ सूत्र {{nowrap|1=cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β}} का उपयोग करते हुए,हमें  मिलता है:

<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . </math>

[[ज्या]] और [[कोज्या]] फलनों के लिए सीमाओं का उपयोग करते हुए:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 = (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . </math>
====श्रृंखला नियम से====
कोज्या फलन के अवकलज की गणना श्रृंखला नियम से करने के लिए,पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का ध्यान दें:
:<math>\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
:<math>\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta</math>
पहला और दूसरा तथ्य [[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं|त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं]] है,और तीसरा ऊपर प्रमाणित है।इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)</math>
हम इसका [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके विभेदन कर सकते हैं।यदि <math>f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta</math>,तो हमें मिलता है:

:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta</math>.

इसलिए,हमने यह सिद्ध किया है कि
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta</math>.

===स्पर्शज्या फलन का अवकलज ===

====अवकलज की परिभाषा से====
हम [[पहले सिद्धांतों]] का उपयोग [[स्पर्शज्या फलन]] tan θ के अवकलज की गणना करने के लिए करते हैं। परिभाषा के अनुसार:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .
</math>
प्रसिद्ध कोण सूत्र {{nowrap|1=tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)}} का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .
</math>

इस तथ्य एक गुणांक की सीमा सीमाओं का गुणांक होती है का उपयोग करते हुए:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .
</math>
[[स्पर्शज्या]] फलन के लिए सीमा और तथ्य का उपयोग करते हुए कि जैसे δ 0 की ओर प्रवृत्त होता है tan δ 0 की ओर प्रवृत्त होता है:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .
</math>
हम तुरंत देखते हैं कि:
:<math>
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{1}{\cos^2\theta}
 = \sec^2\theta \, .
</math>
====भागफल नियम से====
एक [[भागफल नियम]] का उपयोग करके स्पर्शज्या फलन के अवकलज की भी गणना कर सकते है।

<math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta 
 = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
 = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
 = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}
</math>

अंश को 1 के रूप में [[पायथागॉरियन सर्वसमिका]] द्वारा सरलित किया जा सकता है,जिससे हमें मिलता है:
:<math>\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta</math>
इसलिए,
:<math>\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta</math>

== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों का प्रमाण ==
निम्नलिखित अवकलजों को एक [[चर (गणित)|चर]] y को उस [[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]] के बराबर रखकर प्राप्त करते हैं जिसे हम अवकलज लेना चाहते हैं।[[अंतर्निहित अवकलन|अप्रत्य्क्ष विभेदन]] का उपयोग करके और फिर dy/dx के लिए हल करके,प्रतिलोम फलन के अवकलज y के रूप में प्राप्त किया जाता है।dy/dx को पुनः x के रूप में प्रकट करने के लिए,हम एक इकाई वृत्त पर संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं,जहां y को θ के रूप में लेते हैं।[[पाइथागोरस प्रमेय]] और नियमित त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा का उपयोग करके,हम अंततः dy/dx को x के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं।

===प्रतिलोम ज्या फलन का विभेदन करना===
हम 

:<math>y=\arcsin x\,\!</math>
लेते हैं,जहां

:<math>-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}</math>
फिर

:<math>\sin y=x\,\!</math>
दोनों ओर से <math>x</math> के संबंध में अवकलज लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:

:<math>{d \over dx}\sin y={d \over dx}x</math>
:<math>\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!</math>
प्रतिस्थापन <math> \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}</math> ऊपर से,

:<math>\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>
प्रतिस्थापन <math>x=\sin y</math> ऊपर से,

:<math>\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>
:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
===प्रतिलोम कोज्या फलन का विभेदन करना===
हम 

:<math>y=\arccos x\,\!</math>
लेते हैं,जहां

:<math>0 \le y \le \pi</math>
फिर

:<math>\cos y=x\,\!</math>
दोनों पक्षों से <math>x</math> के संबंध में अवकलज लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:

:<math>{d \over dx}\cos y={d \over dx}x</math>
:<math>-\sin y \cdot {dy \over dx} =1</math>
प्रतिस्थापन <math>\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!</math> ऊपर से,

:<math>-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1</math>
प्रतिस्थापन <math>x=\cos y\,\!</math> ऊपर से, 

:<math>-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1</math>
:<math>{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
वैकल्पिक रूप से,एक बार जब <math>\arcsin x</math> का अवकलज स्थापित हो जाता है,तो सर्वसमिका <math>\arcsin x+\arccos x=\pi/2</math> का विभेदन करने से <math>\arccos x</math> का अवकलज तुरंत अनुसरण करता है,ताकि <math>(\arccos x)'=-(\arcsin x)'</math>हो।

===प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन का विभेदन करना===

हम 

:<math>y=\arctan x\,\!</math>
लेते हैं,जहां

:<math>-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}</math>
फिर,

:<math>\tan y=x\,\!</math>
दोनों पक्षों से <math>x</math> के संबंध में अवकलज लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:

:<math>{d \over dx}\tan y={d \over dx}x</math>
बाईं तरफ:

:<math>
 {d \over dx}\tan y
 = \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
 = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
</math>,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करके 

दाईं तरफ:

:<math>{d \over dx}x = 1</math>
इसलिए,

:<math>(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1</math>
प्रतिस्थापन <math>x=\tan y\,\!</math> ऊपर से, हमें मिलता है

:<math>(1+x^2){dy \over dx}=1</math>
:<math>{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}</math>
===प्रतिलोम कोस्पर्शज्या फलन का विभेदन करना ===

हम 

:<math>y=\arccot x</math>
लेते हैं,जहां <math>0<y<\pi</math> 

फिर,

:<math>\cot y=x</math>
दोनों पक्षों से <math>x</math> के संबंध में अवकलज लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:

:<math>\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x</math>
बाईं तरफ:

:<math>
 {d \over dx}\cot y
 = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
 = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
</math>,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करके

दाईं तरफ:

:<math>{d \over dx}x = 1</math>
इसलिए,

:<math>-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1</math>
<math>x=\cot y</math> प्रतिस्थापन करते हुए,

:<math>-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1</math>
:<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math>
वैकल्पिक रूप से,जैसा कि ऊपर दिखाया गया है वैसे ही  <math>\arctan x</math>  का अवकलज व्युत्पन्न किया गया,फिर सर्वसमिका <math>\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}</math> का उपयोग करके उसका तुरंत अनुसरण करता है<math display="block">\begin{align}
\dfrac{d}{dx}\arccot x 
&=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\
&=-\dfrac{1}{1+x^2}
\end{align}   </math>

===प्रतिलोम व्युत्क्रम-कोज्या फलन का विभेदन करना===

====अप्रत्य्क्ष विभेदन का उपयोग करना ====
माना

:<math> y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1</math>
लेते हैं,जहां

:<math> x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]
</math>फिर,
:<math> \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}</math>
(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में व्युत्क्रम-कोज्या और स्पर्शज्या का गुणांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार करणी <math>\sqrt{x^2-1}</math>  हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किये जाते हैं।)
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
====श्रृंखला नियम का उपयोग करना====
वैकल्पिक रूप से,प्रतिलोम व्युत्क्रम-कोज्या का अवकलज [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके प्रतिलोम कोज्या के अवकलज से व्युत्पन्न किया जा सकता है।

माना

:<math> y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math>
लेते हैं,जहां

:<math> |x| \geq 1 </math> और <math> y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] </math>
फिर, <math> \arccos \left(\frac{1}{x}\right) </math>के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:

:<math> \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} </math>
===प्रतिलोम व्युत्क्रमज्या फलन का विभेदन करना===

====अप्रत्य्क्ष विभेदन का उपयोग करना  ====
माना

:<math>y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1</math>
लेते हैं,जहां

:<math> x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]</math> 
:फिर,
:<math> \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}</math>
(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में व्युत्क्रमज्या और कोस्पर्शज्या का गुणांक हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार करणी <math>\sqrt{x^2-1}</math>  हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किये जाते हैं।)
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}</math>
====श्रृंखला नियम का उपयोग करना====
वैकल्पिक रूप से,प्रतिलोम व्युत्क्रमज्या का अवकलज [[श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके प्रतिलोम-ज्या के अवकलज से व्युत्पन्न किया जा सकता है।

माना

:<math> y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>
लेते हैं,जहां

:<math> |x| \geq 1 </math> और <math> y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] </math>
फिर, <math> \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) </math>के लिए श्रृंखला नियम को लागू करके

:<math> \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} </math>
==यह भी देखें==

* {{annotated link|Calculus}}
* {{annotated link|Derivative}}
* {{annotated link|Differentiation rules}}
* {{annotated link|General Leibniz rule}}
* {{annotated link|Inverse functions and differentiation}}
* {{annotated link|Linearity of differentiation}}
* {{annotated link|List of integrals of inverse trigonometric functions}}
* {{annotated link|List of trigonometric identities}}
* {{annotated link|Table of derivatives}}
* {{annotated link|Trigonometry}}

==संदर्भ==
{{Reflist}}


==ग्रन्थसूची==

*''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]'', Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)

{{DEFAULTSORT:Differentiation Of Trigonometric Functions}}

[[Category:Created On 04/07/2023|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
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[[Category:Pages with broken file links|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Pages with script errors|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:Templates using TemplateData|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:अंतर कलन|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:गणितीय पहचान|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:प्रमाण युक्त लेख|Differentiation Of Trigonometric Functions]]
[[Category:विभेदक समीकरण|Differentiation Of Trigonometric Functions]]