View source for दीर्घ रेखा (टोपोलॉजी)

{{Short description|Topological space (Alexandroff line)}}
'''[[टोपोलॉजी]] में, दीर्घ रेखा''' (या [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] रेखा) [[वास्तविक रेखा]] के समान कुछ सीमा तक स्थलीय स्थान है, किन्तु निश्चित विधि से लंबी है। इस प्रकार से यह वास्तविक रेखा की तरह ही स्थानीय रूप से व्यवहार करता है, किन्तु इसमें अलग-अलग उच्च माप के गुण होते हैं (उदाहरण के लिए, यह न तो लिंडेलोफ है और न ही अलग करने योग्य है)। इसलिए, यह टोपोलॉजी के मूलभूत प्रतिउदाहरणों में से के रूप में कार्य करता है।<ref name=SS7172>{{Cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | orig-year=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | zbl=1245.54001 | mr=507446 | year=1995 | pages=71–72 }}</ref> सहजता से, सामान्य वास्तविक-संख्या रेखा में रेखा खंडों की गणना योग्य संख्या <math>[0,1)</math> होती है, अंत-से-अंत तक रखी जाती है, जबकि दीर्घ रेखा का निर्माण ऐसे खंडों की अनगिनत संख्या से किया जाता है। 

== परिभाषा ==

इस प्रकार से संवृत लंबी किरण <math>L</math> को अर्ध-विवृत अंतराल <math>[0, 1),</math> के साथ पहले अनगिनत क्रमसूचक <math>\omega_1</math> के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है, जो [[आदेश टोपोलॉजी]] से सुसज्जित है जो <math>\omega_1 \times [0,1)</math> पर [[लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर|शब्दकोषीय क्रम]] से उत्पन्न होता है। विवृत लंबी किरण अधिक लघु गुण <math>(0, 0).</math> को हटाकर संवृत लंबी किरण से प्राप्त की जाती है।

अतः प्रत्येक दिशा में लंबी किरण को साथ रखकर लंबी रेखा प्राप्त की जाती है। अधिक कठोर रूप से, इसे विपरीत विवृत लंबी किरण ("विपरीत " का अर्थ है कि क्रम विपरीत हुआ है) के असंयुक्त संघ पर आदेश टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और (विपरीत नहीं) संवृत लंबी किरण, के पश्चात् बिंदुओं को पूर्ण प्रकार से आदेश देकर पूर्व के बिंदुओं से अधिक होती है। वैकल्पिक रूप से, विवृत लंबी किरण की दो प्रतियाँ लें और विवृत अंतराल <math>\{ 0 \} \times (0, 1)</math> की पहचान करें और दूसरे के समान अंतराल के साथ किन्तु अंतराल को विपरीत देना है, अर्थात बिंदु <math>(0, t)</math> की पहचान करना (जहाँ पर <math>t</math> वास्तविक संख्या है जैसे कि <math>0 < t < 1</math>) एक को दूसरे के बिंदु <math>(0, 1 - t)</math> के साथ, और लंबी रेखा को दोनों के मध्य पहचाने गए विवृत अंतराल के साथ दो विवृत लंबी किरणों को समीप करके प्राप्त टोपोलॉजिकल समिष्ट के रूप में परिभाषित किया जाता है। (पूर्व निर्माण इस अर्थ में उत्तम है कि यह लंबी रेखा पर ऑर्डर को परिभाषित करता है और दिखाता है कि टोपोलॉजी ऑर्डर टोपोलॉजी है; अतिरिक्त इस अर्थ में उत्तम है कि यह एक विवृत समुच्चय के साथ ग्लूइंग का उपयोग करता है, जो टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से स्पष्ट है।)

सहज रूप से, संवृत लंबी किरण वास्तविक (संवृत ) अर्ध-रेखा की तरह होती है, सिवाय इसके कि यह दिशा में अधिक लंबी होती है: हम मान सकते हैं कि यह किनारे पर लंबी होती है और दूसरे पर संवृत होती है। अतः विवृत लंबी किरण वास्तविक रेखा (या समकक्ष रूप से विवृत अर्ध-रेखा) की तरह है, इसके अतिरिक्त कि यह दिशा में अधिक लंबी है: हम मान सकते हैं कि यह किनारे पर लंबी और दूसरी तरफ लघु (विवृत) है। लंबी रेखा दोनों दिशाओं में वास्तविक रेखाओं से लंबी होती है: हम मान सकते हैं कि यह दोनों दिशाओं में लंबी है।

चूंकि , कई लेखक "लंबी रेखा" की वार्तालाप करते हैं जहाँ हमने (संवृत या विवृत) लंबी किरण का संवाद किया है, और विभिन्न लंबी स्थानों के मध्य अधिक भ्रम है। कई उपयोगों या प्रतिउदाहरणों में, चूंकि, भेद अनावश्यक है, क्योंकि महत्वपूर्ण भाग पंक्ति का "लंबा" अंत है, और इस प्रकार से इसमें कोई प्रभाव नहीं पड़ता कि दूसरे किनारे पर (चाहे लंबा, लघु या संवृत ) क्या होता है।

अतः संबंधित स्थान, (संवृत) विस्तारित लंबी किरण, <math>L^*,</math> को <math>L.</math> के दाहिने छोर पर एक अतिरिक्त गुण जोड़कर <math>L</math> के [[एक-बिंदु संघनन]] के रूप में प्राप्त किया जाता है। इसी प्रकार लंबी रेखा में दो गुणों को जोड़कर विस्तारित लंबी रेखा को परिभाषित किया जा सकता है,

== गुण ==

इस प्रकार से संवृतलंबी किरण <math>L = \omega_1 \times [0, 1)</math> में <math>[0, 1)</math>की अनगिनत संख्या में प्रतियां एक सिरे से दूसरे सिरे तक 'एक साथ चिपकी हुई' होती हैं। इसकी तुलना इस तथ्य से करें कि किसी भी {{em|गणनीय}} [[क्रमसूचक संख्या]] <math>\alpha</math> के लिए <math>[0, 1)</math> की <math>\alpha</math> प्रतियों को एक साथ चिपकाने से एक स्थान मिलता है जो अभी भी <math>[0, 1)</math> के लिए होमियोमॉर्फिक (और ऑर्डर-आइसोमोर्फिक) है (और यदि हमने <math>[0, 1),</math> की <math>\omega_1</math> से अधिक प्रतियों को एक साथ चिपकाने की प्रयास की तो परिणामी स्थान अब <math>\R.</math> के लिए स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक नहीं होगा)

<math>L</math> में प्रत्येक बढ़ता हुआ [[अनुक्रम की सीमा]] <math>L</math>; तक परिवर्तित होता है, यह इस तथ्य का परिणाम है कि (1) <math>\omega_1</math> के गुण [[गणनीय]] क्रमसूचक हैं, (2) गणनीय क्रमवाचकों के प्रत्येक गणनीय परिवार का सर्वोच्च एक गणनीय क्रमसूचक है, और (3) वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक बढ़ता हुआ और परिबद्ध क्रम अभिसरित होता है। नतीजतन, कोई सख्ती से बढ़ने वाला फलन <math>L \to \R.</math> नहीं हो सकता है वास्तव में, प्रत्येक निरंतर फलन <math>L \to \R</math> अंततः स्थिर होता है।

ऑर्डर टोपोलॉजी के रूप में, (संभवतः विस्तारित) लंबी किरणें और रेखाएँ [[सामान्य स्थान]] [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समिष्ट]] हैं। उन सभी में वास्तविक रेखा के समान [[प्रमुखता]] है, फिर भी वे 'अधिक लंबी' हैं।

ये सभी [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हैं। उनमें से कोई भी [[मेट्रिजेबल स्पेस|मेट्रिजेबल समिष्ट]] नहीं है; इसे लंबी किरण के रूप में देखा जा सकता है जो क्रमिक रूप [[क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] है किन्तु [[कॉम्पैक्ट जगह]] नहीं है, या यहां तक कि लिंडेलोफ समिष्ट भी नहीं है।

(गैर-विस्तारित) दीर्घ रेखा या किरण [[परा-सुसंहत|पैराकॉम्पैक्ट]] नहीं है। यह [[पथ से जुड़ा हुआ]] है, [[स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ]] है और [[बस जुड़ा हुआ है]] किन्तु अनुबंधित नहीं है। यह संवृत किरण के स्तिथियों में सीमा के साथ आयामी टोपोलॉजिकल [[विविध|मैनिफोल्ड]] है। यह [[प्रथम-गणनीय स्थान]] है, और यह प्रथम-गणनीय है किन्तु द्वितीय-गणनीय स्थान नहीं है और अलग करने योग्य नहीं है, इसलिए जिन लेखकों को बाद के गुणों की आवश्यकता होती है, वे लंबी रेखा को अनेक गुना नहीं कहते हैं।<ref>{{citation|title=Elements of Differential Topology|first=Anant R.|last=Shastri|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439831632|page=122|url=https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ&pg=PA122}}.</ref>

इस प्रकार से सभी लंबी स्थानों पर विचार करना समझ में आता है क्योंकि प्रत्येक जुड़ा हुआ (गैर-रिक्त) आयामी (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य नहीं) [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड]] संभवतः सीमा के साथ, सर्कल, संवृत अंतराल, विवृत अंतराल (वास्तविक रेखा) आधे विवृत अंतराल, संवृत लंबी किरण, विवृत लंबी किरण, या लंबी रेखा के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है,<ref>{{citation|title=Handbook of Set-Theoretic Topology|first1=K.|last1=Kunen|first2=J.|last2=Vaughan|publisher=Elsevier|year=2014|isbn=9781483295152|page=643|url=https://books.google.com/books?id=m8rNBQAAQBAJ&pg=PA643}}.</ref>

दीर्घ रेखा या किरण को (गैर-वियोज्य) विभेदक मैनिफोल्ड (संवृत किरण के स्तिथियों में सीमा के साथ) की संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है। चूंकि , टोपोलॉजिकल संरचना के विपरीत जो अद्वितीय है (सांस्कृतिक रूप से, वास्तविक रेखा को किसी भी किनारे पर लंबा बनाने का ही तरीका है), अलग-अलग संरचना अद्वितीय नहीं है:

इस प्रकार से वास्तव में, अनगिनत हैं ( स्पष्ट रूप से कहें तो <math>2^{\aleph_1}</math>) उस पर जोड़ीदार गैर-डिफियोमॉर्फिक स्मूथ संरचनाएं है।<ref>{{cite journal |first1=Peter J. |last1=Nyikos | title=Various smoothings of the long line and their tangent bundles | journal=[[Advances in Mathematics]] | volume=93 | year=1992 |issue=2 | pages=129&ndash;213 | doi=10.1016/0001-8708(92)90027-I| doi-access=free | mr=1164707 }}</ref> यह वास्तविक रेखा के बिल्कुल विपरीत है, जहां अलग-अलग स्मूथ संरचनाएं भी हैं, किन्तु ये सभी मानक के लिए भिन्न हैं।

अतः लंबी रेखा या किरण को (वास्तविक) विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड (संवृत किरण के स्तिथियों में सीमा के साथ) की संरचना से भी सुसज्जित किया जा सकता है। चूंकि, यह भिन्न-भिन्न स्तिथियों की तुलना में कहीं अधिक कठिन है (यह (वियोज्य) एक-आयामी विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण पर निर्भर करता है, जो कि भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स की तुलना में अधिक कठिन है)। फिर से, किसी भी <math>C^{\infty}</math> संरचना को अलग-अलग <math>C^{\omega}</math> (=विश्लेषणात्मक) संरचनाओं में अनंत रूप से कई विधियों से बढ़ाया जा सकता है (जो कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड के रूप में जोड़ीदार गैर-डिफोमोर्फिक हैं)।<ref>{{cite journal 
| last1=Kneser | first1=Hellmuth
| last2=Kneser | first2=Martin
| title=Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden
| journal=[[Archiv der Mathematik]]
| volume=11
| year=1960 
| pages=104&ndash;106
| doi=10.1007/BF01236917 | doi-access=free}}</ref> 

लंबी रेखा या किरण को [[रिमेंनियन मीट्रिक]] से सुसज्जित नहीं किया जा सकता है जो इसकी टोपोलॉजी को प्रेरित करता है। इसका कारण यह है कि रीमैनियन मैनिफोल्ड्स, पैराकॉम्पैक्टनेस की धारणा के बिना भी, मेट्रिज़ेबल दिखाया जा सकता है।<ref>{{cite book|author1=S. Kobayashi  |author2=K. Nomizu |name-list-style=amp |title=Foundations of differential geometry|volume=I|year=1963|pages=166|publisher=Interscience}}</ref>

इस प्रकार से विस्तारित लंबी किरण <math>L^*</math> कॉम्पैक्ट समिष्ट है। यह संवृत लंबी किरण <math>L,</math> का एक-बिंदु संघनन है किन्तु यह है {{em|भी}} इसका स्टोन-सेच कॉम्पैक्टिफिकेशन स्टोन-चेक कॉम्पैक्टिफिकेशन, क्योंकि (संवृत या विवृत) लंबी किरण से लेकर वास्तविक रेखा तक कोई भी [[निरंतर कार्य]] अंततः स्थिर होता है।<ref>{{cite book|last=Joshi|first=K. D.|title=Introduction to general topology|year=1983|publisher=Jon Wiley and Sons|isbn=0-470-27556-1|mr=709260|chapter=Chapter 15 Section 3}}</ref> <math>L^*</math> [[जुड़ा हुआ स्थान]] भी है, किन्तु कनेक्टेड समिष्ट नहीं है | पाथ-कनेक्टेड क्योंकि दीर्घ रेखा पथ द्वारा कवर करने के लिए 'अधिक लंबी' है, जो की अंतराल की सतत छवि है। <math>L^*</math> मैनिफोल्ड नहीं है और प्रथम गणनीय नहीं है। 

== पी-एडिक एनालॉग ==

दीर्घ रेखा का p-एडिक एनालॉग उपस्तिथ है, जो [[जॉर्ज बर्गमैन]] के कारण है।<ref>{{cite book |last=Serre |first=Jean-Pierre |author-link=Jean-Pierre Serre |title=Lie Algebras and Lie Groups (1964 Lectures given at Harvard University) |isbn=3-540-55008-9 |publisher=[[Springer-Verlag]] |series=Lecture Notes in Mathematics part II ("Lie Groups")|chapter=IV ("Analytic Manifolds"), appendix 3 ("The Transfinite ''p''-adic line")}}</ref>

इस स्थान का निर्माण p-एडिक पूर्णांकों की वलय की प्रतियों <math>X_{\gamma}</math> की एक बेशुमार निर्देशित समुच्चय के बढ़ते संघ के रूप में किया गया है, जो एक गणनीय क्रमसूचक <math>X_{\delta}</math> द्वारा अनुक्रमित है, <math>X_{\gamma}</math> से एक मानचित्र <math>\gamma.</math> को परिभाषित करें जब भी <math>\delta < \gamma</math> निम्नानुसार हो:
*यदि <math>\gamma</math> उत्तराधिकारी <math>\gamma</math> है तो <math>X_{\varepsilon}</math> से <math>X_{\gamma}</math>तक का मानचित्र केवल <math>p.</math> से गुणा है, अन्य <math>\delta</math> के लिए <math>X_{\delta}</math> से <math>X_{\gamma}</math> तक का मानचित्र <math>X_{\delta}</math> से <math>X_{\varepsilon}</math> तक के नक्शे की संरचना है और <math>X_{\varepsilon}</math>से <math>X_{\gamma}.</math> तक का मानचित्र है।
*यदि <math>\gamma</math> एक सीमा क्रमसूचक है तो <math>\delta < \gamma</math> के लिए समुच्चय <math>X_{\delta}</math> की प्रत्यक्ष सीमा ''p''-एडिक व्रत ों का एक गणनीय संघ है, इसलिए एक बिंदु को हटाकर <math>X_{\gamma}</math> के रूप में <math>X_{\gamma},</math> में एम्बेड किया जा सकता है, यह भी ''p''-एडिक व्रत ों का एक गणनीय संघ है। यह सभी <math>X_{\delta}</math> के लिए <math>X_{\delta}</math> से <math>X_{\gamma}</math> की संगत एम्बेडिंग को परिभाषित करता है
इस प्रकार से यह स्थान कॉम्पैक्ट नहीं है, किन्तु कॉम्पैक्ट सबसमिष्ट के किसी भी गणनीय समुच्चय के संघ में मिलन में सघन समापन होता है।।

== उच्च आयाम ==

उच्च आयामों में गैर-पैराकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के कुछ उदाहरणों में प्रूफ़र मैनिफोल्ड, किसी गैर-पैराकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के उत्पाद किसी भी गैर-रिक्त मैनिफोल्ड, लंबी त्रिज्या की व्रत , और इसी प्रकार से सम्मिलित हैं। [[बैगपाइप प्रमेय]] से पता चलता है कि वहाँ हैं गैर-पैराकॉम्पैक्ट सतहों <math>2^{\aleph_1}</math> के समरूपता वर्ग है।

इस प्रकार से लंबी रेखा के कोई समष्टि अनुरूप नहीं हैं क्योंकि प्रत्येक रीमैन सतह पैराकॉम्पैक्ट है, किन्तु कैलाबी और रोसेनलिच ने समष्टि आयाम 2 के गैर-पैराकंपैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड का उदाहरण दिया गया है।<ref>{{cite journal
| mr=0058293 
| last1=Calabi | first1=Eugenio
| last2=Rosenlicht | first2= Maxwell
| title=Complex analytic manifolds without countable base 
| journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
| volume=4
| year=1953
| issue=3 | pages= 335–340
| doi=10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x|doi-access=free}}</ref>
== यह भी देखें ==

* [[यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर टोपोलॉजी|यूनिट वर्ग पर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर टोपोलॉजी]]
* [[टोपोलॉजी की सूची]]

==संदर्भ==
{{reflist}}

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